数学必修五知识点

高中数学必修5知识点第一章、数列一、基本概念1、数列：按照一定次序排列的一列数．2、数列的项：数列中的每一个数．3、数列分类：有穷数列：项数有限的数列．无穷数列：项数无限的数列．递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 常数列：各项相等的数列．摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列．4、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式．5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． （2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()na dn a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 （1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。

（2）d m n a a m n )(-=- （3）m n m n n a a a +-+=2 5、等差数列的前n 项和的公式公式：①()12n n n a a S +=；②()112n n n S na d -=+． 公式特征：21()22nd dS n a n =+-是一个关于n 且没有常数项的二次函数形式 等差数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2nn ∈N ，则()21n n n S n a a +=+，且S S nd -=偶奇，1n n S a S a +=奇偶． ②若项数为()*21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，且n S S a -=奇偶，1S nS n =-奇偶 （其中n S na =奇，()1n S n a =-偶）．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列． 6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：①定义法：）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1⇒{}n a 是等差数列②中项法：)221*++∈+=N n a a a n n n （⇒{}n a 是等差数列③通项公式法：),(为常数b k bkn a n +=⇒{}n a 是等差数列④前n 项和公式法：),(2为常数B A BnAn S n +=⇒{}n a 是等差数列三、等比数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比． （2）符号表示：1n na q a +=（常数） 2、通项公式 （1）、若等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则11n n a a q -=．（2）、通项公式的变形：①n mn m a a q-=；②n mnma qa -=． 3、等比中项：在a 与b 中插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项．若2G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项．注意：a 与b 的等比中项可能是G ±。

4、等比数列性质若{}n a 是等比数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a ⋅=⋅；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =⋅． 5、等比数列{}n a 的前n 项和的公式：（1）公式：()()()11111111n nn na q S a q a a qq qq =⎧⎪=-⎨-=≠⎪--⎩． （2）公式特点：()11(1)1n n n n a q k q A Aq qs =-=-=-- （3）等比数列的前n 项和的性质：①若项数为()*2nn ∈N ，则S q S =偶奇．②nn m n m S S q S +=+⋅．③n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列（0n S ≠）．6、等比数列判定方法： ①定义法：⇒=+（常数）q a a nn 1{}n a 为等比数列； ②中项法：⇒≠⋅=++)0(221n n n n a a a a {}n a 为等比数列；③通项公式法：⇒⋅=为常数）q k qk a nn ,({}n a 为等比数列；④前n 项和法：⇒-=为常数）（q k q k S nn ,)1({}n a 为等比数列。

四、求通项公式方法①观察、归纳、猜想法求数列通项②应用⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 求数列通项注意：一分为二或合二为一③累加法：若递推关系式形式为1()n n a a f n +=+用累加法 ④累乘法：若递推关系式形式为1()n n a a f n +=用累乘法 ⑤转化为等差法：若递推关系式形式为1nn n m a p ma a +=+ （m 、p 为常数）⑥转化为等比法：若递推关系式形式为q pa a n n +=+1。

五、求前n 项和公式方法①公式法：若数列为等差或等比数列直接应用求和公式 ②倒序相加法：若数列首尾两项和有规律③乘比错位相加法：通项公式为n n n c a b =（其中n a 为等差数列，n b 为等比数列） ④裂相求和法：通项公式为1111()n n n n n k k b a a d a a ++==-（n a 为等差数列）⑤分组求和第二章、解三角形一、正弦定理1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A=，sin 2b R B=，sin 2cC R =；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．3、定理应用范围：（1）已知两边及一边对角 （2）已知两角及一边 4、已知两边及一边对角解的个数判断5、三角形面积公式：sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 二、余弦定理1、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．2、、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A=，222cos 2a c b ac +-B=，222cos 2a b c C ab+-=． 3、余弦定理应用范围：（1）已知三边 （2）已知两边及其夹角（两边及一角） 4、射影定理：cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b a C c A c a B b A =+=+=+三、常用公式及结论1、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ；②若222a b c +>，则90C <o ；③若222a b c +<，则90C >o．2、大边对大角A>B <=>a>b <=>sinA>sinB3、三角形内角和定理,, - 22222A B C A B CA B C πππ+++++===Cos 22A B C Sin ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 4、二倍角公式：2tan 22tan 221tan 222222112Sin Sin Cos Cos Cos Sin Cos Sin ααααααααααα==-=-=-=-；5、两角的和与差公式：()()()()() , S () , S () , C(), C()tan tan tan , T1tan tan ()tan Sin Sin Cos Cos Sin Sin Sin Cos Cos Sin Cos Cos Cos Sin Sin Cos Cos Cos Sin Sin αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+=++-=--+=-+-=+-++=-+()tan tan , T1tan tan ()αβαβαβαβ--=+-6、辅助角公式第三章、不等式一、比较大小及不等式性质1、比较大小依据：0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<．2、比较大小方法：作差法：步骤①作差 ②变形（常用方法：通分、配方、分子、分母有理化、因式分解等）③定号作商法：0,01,1,1a a aa b a b a b a b b b b >>>⇔>=⇔=<⇔<当时3、不等式的性质： ①a b b a >⇔<；②,a b b c a c >>⇒>；③a b a c b c >⇒+>+；④,0a b c ac bc >>⇒>，,0a b c ac bc ><⇒<；⑤,a b c d a c b d >>⇒+>+；⑥0,0a b c d ac bd >>>>⇒>；⑦()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >；⑧)0,1a b n n >>⇒>∈N >．二、一元二次不等式解法：1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式． 解法步骤：⑴确定对应一元二次方程的判别式及根⑵作出对应一元二次函数的图像 ⑶由函数图象写出相应不等式的解集2、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：3、一元二次不等式恒成立问题20ax bx c ++>()0a ≠恒成立条件0240a b ac >∆=-<20axbx c ++<()0a ≠恒成立条件240a ac b <∆=-< 4、含参一元二次不等式解法分类讨论：①二次项系数②相应方程是否有根③两根的大小 5、一元二次方程实根分布 分析思路：求根公式法：12x x韦达定理法：①判别式②两根之和③两根之积函数图象法：①判别式②对称轴位置③区间端点函数值基本类型与相应方法： 设)0()(2三、基本不等式1、a 、b 是两个正数，则2a b+称为正数a 、b a 、b 的几何平均数． 2、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则a b +≥，即2a b+≥．3、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．4、基本不等式求最值：设x 、y 都为正数，则有（1）若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最大值24s ．（2）若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最小值．注意：利用基本不等式求最值条件：① 正 ② 定 ③ 相等 5、对号函数图像性质(,0)by ax a b x=+>的图像与性质：（1）定义域：{|0}x x ≠；（2）值域：{|y y y ≥≤-或； （3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间(,+)-∞∞和上是增函数，在区间[和上为减函数； （5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线；（6）图象：如右图所示五、简单线性规划 1、基本概念①、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式． ②、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组．③、二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式组的x 和y 的取值构成有序数对(),x y ，所有这样的有序数对(),x y 构成的集合．2、二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般,二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0在平面区域中，表示直线Ax ＋By ＋C ＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax ＋By ＋C ≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．3、二元一次不等式所表示的平面区域的判断方法：①可在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧任取一点，一般取特殊点(x 0，y 0)，从Ax 0＋By 0＋C 的正(或负)来判断Ax ＋By ＋C ＞0(或Ax ＋By ＋C ＜0)所表示的区域．当C ≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点． ②也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：（ⅰ）y ＞kx ＋b 表示直线上方的半平面区域；y ＜kx ＋b 表示直线下方的半平面区域．（ⅱ）B ＞0时，Ax ＋By ＋C ＞0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＜0表示直线下方区域；B ＜0时，Ax ＋By ＋C ＜0表示直线上方区域；Ax ＋By ＋C ＞0表示直线下方区域.4．简单线性规划(1)基本概念：目标函数：关于x ，y 的要求最大值或最小值的函数，如z ＝x ＋y ，z ＝x 2＋y 2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x，y)称为可行解．可行域：由所有可行解组成的集合称为可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．。