江苏省淮安市高三数学十月四校联考试题
江苏省淮安市十校2024-2025学年高三上学期第一次联考试题 数学含答案
2024~2025学年度第一学期高三年级第一次联考数学试卷（答案在最后）2024.9总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}1,2{},0,{2+==a B a A ，若}1{=B A ，则=A ．1B ．1-C ．0D ．1±2．若α为第二象限角，则A ．02s >αin B ．02cos <αC ．0cos sin >-ααD ．0cos sin <+αα3．函数)ln()(2x x x f +-=的定义域为A ．),1[]0,(+∞-∞ B ．)1,0(C ．]1,0[D ．),1[]0,(+∞-∞①若n m n m ⊥,//,//βα，则βα⊥②若βαβα//,//,//n m ，则n m //③若n m n m ⊥⊥⊥,,βα，则βα⊥④若βαβα⊥⊥⊥n m ,,，则n m ⊥A ．1B ．2C ．3D ．4要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
10．设函数∈--=，则下列说法正确的是A ．)(x f 是奇函数B ．)(x f 在R 上是单调函数C ．)(x f 的最小值为1D ．当0>x 时，0)(>x f 11．如图，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BB BC BP μλ+=，则下列说法正确的是B ．若1=+μλ，则//1P D 平面BD A 1C ．若21,1==μλ，则⊥OP 平面BD A 112．已知角α的终边经过点)3,2(-P ，则=-++-+-)2cos()2sin()cos()sin(απαππααπ.四、解答题：本题共5小题，共77分。
2020-2021学年江苏省淮安市某校高三(上)10月月考数学试卷 (有答案)
2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 向量a →=(1,−2)，b →=(2,−1)，则a →⋅b →=( ) A.5 B.3 C.4 D.−52. 集合A ={x|−1<x <3} ，B ={x|x 2+x −6<0,x ∈Z }，则A ∩B =( ) A.(−1,2) B.(−3,3) C.{0,1} D.{0,1,2}3. α=30∘是sin α=12的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f (x )=ln x −2x +1的零点所在的大致区间是( ) A.(2,e ) B.(1,2) C.(e,3) D.(3,+∞)5. 函数f(x)=sin (2x +π3)，若x 1x 2<0，且f(x 1)+f(x 2)=0，则|x 2−x 1|的取值范围为( ) A.(π6,+∞) B.(π3,+∞)C.(2π3,+∞)D.(4π3,+∞)6. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3,4)，则cos (2α+β)cos β+sin (2α+β)sin β的值是( ) A.−925B.725C.−725D.9257. 已知函数f(x)=sin ωx +√3cos ωx(ω>0)，x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，若|x 1−x 2|的最小值为π2，则( ) A.f(x)在(−5π12,π12)上单调递减B.f(x)在(−5π12,π12)上单调递增 C.f(x)在(−2π3,π3)上单调递减 D.f(x)在(−2π3,π3)上单调递增8. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( ) A.1 B.2 C.e D.2e二、多选题已知向量a →=(2,−1)，b →=(−3,2)，c →=(1,1)，则( ) A.a →//b →B.(a →+b →)⊥c →C.a →+b →=c →D.c →=5a →+3b →下列函数中，存在极值点的是( ) A.y =x −1x B.y =2|x| C.y =−2x 3−x D.y =x ln x在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =60∘, ∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =√3. 则下列说法正确的是( ) A.ac 的最小值是4B.ac 的最大值是4C.a +2c 的最小值是2+2√2D.a +2c 的最小值是3+2√2设函数f(x)=sin (ωx −π6)(ω>0)，已知f(x)在[0, π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是( )A.在(0, π)上存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2B.f(x)在(0, π)有且仅有1个最小值点C.f(x)在(0,π2)单调递增D.ω的取值范围是[136,196]三、填空题等腰直角三角形ABC 中， ∠C =90∘,CA =CB =√2，则有CA →⋅AB →=________.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则bc=________.设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为√3，则AB →⋅(DA →+DB →)等于________.已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)是偶函数，将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y =g (x )．已知y =g (x )的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω=________，若y =g (x )的图象在其某对称轴处对应的函数值为−2，则g(x)在[0,π]上的最大值为________． 四、解答题已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos C(a cos C +c cos A)+b =0. (1)求角C 的大小；(2)若b =2，c =2√3 ，求△ABC 的面积.如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若△ABC 的面积为2√3.(1)求m 的值；(2)求|AP →|的最小值．已知函数f(x)=log 121−ax x−1的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立，求实数m 的取值范围．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c(sin B +cos B)．(1)求∠ACB 的大小；(2)若∠ACB =∠ABC ，点A ，D 在BC 的异侧，DB =2,DC =1，求平面四边形ABDC 面积的最大值．某市近郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．(1)分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值．已知函数f(x)=12x2−a ln x+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若−2≤a<0，对任意x1,x2∈[1，2]，不等式|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|恒成立，求实数m的取值范围.参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】平面向量数量积的运算 【解析】根据平面向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【解答】解：由题意得a →⋅b →=1×2+(−2)×(−1)=4. 故选C . 2. 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义求解即可得结果. 【解答】解：因为B ={x |−3<x <2,x ∈Z }={−2,−1,0,1}， 所以A ∩B ={0,1}. 故选C . 3.【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】“α=π6”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=5π6．即可判断出结论．【解答】解：“α=30∘”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=150∘．因此“α=30∘”是“sin α=12”的充分不必要条件． 故选B ． 4. 【答案】 B函数零点的判定定理【解析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．【解答】解：∵函数f(x)=ln x−2x+1在(0, +∞)上连续且单调递增，且f(1)=0−2+1=−1<0，f(2)=ln2−1+1=ln2>0，∴f(1)f(2)<0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是(1, 2).故选B.5.【答案】B【考点】正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x1)+f(x2)=0⇔f(x1)=−f(x2)，|x2−x1|可视为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y=f(x)与函数y=−f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的两个相邻交点，因为x1x2<0，且当直线y=m过y=f(x)的图象与y轴的交点(0,√32)时，直线为y=√32，|AB|=π3，所以当直线y=m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y=m向下移动时，线段AB的长度为π2，所以|x2−x1|>π3．故选B．6.C【考点】任意角的三角函数二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式【解析】.【解答】解：由题意，角α终边经过点P(3,4)，则由三角函数定义可求出sinα=45，cosα=35，于是由二倍角公式可求出cos2α=925−1625=−725，而cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=cos[(2α+β)−β]=cos2α，所以cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=−725.故选C.7.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性【解析】利用辅助角公式将函数f(x)化简为f(x)＝2sin(ωx+π3)，由题可知，最小正周期T＝π，从而求得ω的值和f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由题意可知，T2=π2⇒T=π，即2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x+π3)．令2x+π3∈(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，则函数f(x)的单调递增区间为(kπ−5π12, kπ+π12)，k∈Z，当k=0时，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−512π,π12)，即B正确；令2x +π3∈(2kπ+π2, 2kπ+3π2)，k ∈Z ，则函数f(x)的单调递减区间为(kπ+π12, kπ+7π12)，k ∈Z ， 选项A 和C 的单调递减区间均不符合题意． 故选B . 8.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 导数的几何意义函数的零点与方程根的关系 函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R ，且F (−x )=F (x )，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x >0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题． 【解答】解：∵ 函数的定义域为R ，且F (−x )=f (−x )+f (x )=F (x )， ∴ 函数F (x )是偶函数，∵ f(x)={e −x +2mx +m ，x <0，e x (x −1)，x ≥0，（e 为自然对数的底），∴ f (−x )={e −x (−x −1)， x ≤0，e 2−2mx +m ， x >0，又因为F (x )有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根， 即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根，令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数， 下面求H (x )过(12,0)的切线斜率． 设切点为Q (t,t e t )，t >0， 则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )， 将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)， 即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍），此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点； 当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ． 故选D .二、多选题【答案】 B,D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算平面向量共线（平行）的坐标表示 平面向量的坐标运算 平行向量的性质【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力． 【解答】解：a →+b →=(−1,1)， (a →+b →)⋅c →=−1+1=0， 故(a →+b →)⊥c →．设c →=λ1a →+λ2b →(λ1,λ2∈R )，则(1,1)=λ1(2,−1)+λ2(−3,2)=(2λ1−3λ2,−λ1+2λ2)， 则{2λ1−3λ2=1,−λ1+2λ2=1,所以{λ1=5,λ2=3, 所以c →=5a →+3b →．故选BD . 【答案】 B,D【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】逐项根据极值的定义以及导数符号可得．【解答】解：A求导得，y′=1+1x2>0，函数在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，所以函数无极值点；B中x=0是函数的极小值点；C求导得，y′=−6x2−1<0恒成立，函数在R上递减，所以函数无极值点；D求导得，y′=1+ln x，当x∈(0, 1e)时，y′<0，当x∈(1e, +∞)时，y′>0，x=1e时，y′=0，所以x=1e是函数的极小值点.故选BD.【答案】A,D【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用【解析】首先利用条件构造得到a×c=c+a，再由基本不等式求解即可. 【解答】解：由题意，BD为∠ABC的平分线，则由S△ABC=S△ABD+S△BCD，可知12AB⋅BC⋅sin60∘=12AB⋅BD⋅sin30∘+12BD⋅BC⋅sin30∘，化简得√3AB⋅BC=AB⋅BD+BC⋅BD，∵BD=√3，∴AB⋅BC=AB+BC，即a⋅c=c+a，则由基本不等式可知a+c≥2√ac，解得ac≥4，所以ac的最小值为4，故A正确，B错误；而由a⋅c=c+a可知a=cc−1，其中c>1，于是由基本不等式可知：a+2c=cc−1+2c=1+1c−1+2c=3+1c−1+2(c−1)≥3+2√2，当且仅当1c−1=2(c−1)，即c=1+√22时取等号，故D正确，C错误.故选AD.【答案】A,B【考点】正弦函数的周期性正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】由题意根据f(x)在区间[0, π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+ |OA|, 32T+|OA|)，再用ω表示周期，得ω的范围．【解答】解：当x=0时，y=sin(−π6)=−12,又∵ω>0，∴画出函数f(x)=sin(ωx−π6)大致图象如图所示：又ω>0，所以x>0时f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，∵函数在[0, π]仅有3个零点时，∴(π，0)的位置在C∼D之间（包括C，不包括D），令f(x)=sin(ωx−π6)=0，则ωx−π6=kπ，解得：x=(π6+kπ)⋅1ω(k∈Z)，∴f(x)图象在y轴右侧与x轴的第一个交点横坐标为π6ω，最小正周期T=2πω，∴π6ω+T≤π<π6ω+32T，即π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω，解得136≤ω<196，故D错误；可知在区间[0, π]上，函数f(x)达到最大值和最小值，∴ 存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，故A 正确；由大致图象得，f(x)在(0, π)内有且只有1个最小值，故B 正确；∵ ω最小值为136，∴ 0<x <π2时，−π6<ωx −π6<17π12，又∵ 17π12∉(−π2, π2)， ∴ x ∈(0, π2)时，函数f(x)不单调递增，故C 错误．故选AB .三、填空题【答案】−2【考点】平面向量数量积的运算【解析】可画出图形，根据题意CA →⊥CB →，且|CA →|=√2，从而可得出CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=−CA →2,进而求得结果.【解答】解：如图，可知CA →⊥CB →，且|CA →|=|CB →|=√2，∴ CA →⋅CB →=0，∴ CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=CA →⋅CB →−(CA →)2=0−2=−2．故答案为：−2．【答案】6【考点】余弦定理正弦定理【解析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵ △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，∴ 由余弦定理、正弦定理可得{a 2−b 2=4c 2，cos A =b 2+c 2−a 22bc =−14， 解得3c 2=12bc ，∴ b c =6．故答案为：6.【答案】2【考点】解三角形平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理正弦定理【解析】先根据正余弦定理求出A =2π3，bc ＝4，再将DA →，DB →化为AB →，AC →后用数量积可得． 【解答】解：∵ (b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)sin B =(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)b =(a +c)(a −c)，即b 2+c 2−a 2=−bc ，∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12， ∴ A =2π3，∴ S △ABC =12bc sin A ，即√3=12bc ×√32， ∴ bc =4，∴ AB →⋅(DA →+DB →)=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12CB →]=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12(AB →−AC →)] =−AB →⋅AC →=−bc ⋅cos A=−4×(−12) =2.故答案为：2.【答案】1,√3【考点】余弦函数的周期性由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换余弦函数的对称性【解析】利用函数为偶函数，求出φ=π2，根据三角函数平移变换规律得到g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，再利用周期性和最大最小值求出ω，A，求出g(x)解析式，再利用余弦函数性质求解即可．【解答】解：y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为偶函数，则φ=π2+kπ(k∈Z)，又0<φ<π，∴ φ=π2，∴ f(x)=A sin(ωx+π2)=A cosωx．由题意得：g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，且y=g(x)相邻对称中心之间距离为2π，则T=4π，∴2π12ω=4π，∴ ω=1，∴ g(x)=A cos(12x+π6)．由g(x)在某对称轴处对应的函数值为−2，可得A=2．∴ g(x)=2cos(12x+π6)．∵ x∈[0,π]，则12x+π6∈[π6,2π3]，∴cos(12x+π6)∈[−12,√32]．∴ g(x)∈[−1,√3]．∴g(x)在[0,π]上的最大值为√3.故答案为：1；√3．四、解答题【答案】解：(1)△ABC中，∵2cos C(a cos C+c cos A)+b=0，由正弦定理可得2cos C(sin A cos C+sin C cos A)+sin B=0，∴2cos C sin(A+C)+sin B=0，即2cos C sin B+sin B=0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12，即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos C sin B +sin B =0, 可得cos C =12，即可得解C 的值．（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：(1) △ABC 中，∵ 2cos C (a cos C +c cos A )+b =0，由正弦定理可得2cos C (sin A cos C +sin C cos A )+sin B =0，∴ 2cos C sin (A +C )+sin B =0，即2cos C sin B +sin B =0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12， 即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【答案】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC → =mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14．(2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3， 得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3， 当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用向量的加法及其几何意义向量的模【解析】【解答】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC →=mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14． (2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3， 得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3， 当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【答案】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称 ∴ f(x)为奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，即log 121−ax x−1=−log 121+ax −x−1，化简得：1−a 2x 21−x 2=1，a 2x 2=x 2，在函数定义域内恒成立，∴ a 2=1，∴ a =±1，当a =1时，1−ax x−1=−1不合题意；当a =−1时，f (x )=log 121+x x−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意． ∴ a =−1.(2)∵ a =−1，∴ f(x)=log 121+x x−1，∵ 当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立， ∴ log 121+x x−1+log 12(x −1)=log 12(1+x)<m 恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【考点】函数恒成立问题对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值对数函数的定义域对数及其运算奇函数【解析】（1）根据奇函数性质和对数的运算性质即可解得（2）根据对数函数的单调性即可求出【解答】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称∴f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即log121−axx−1=−log121+ax−x−1，化简得：1−a 2x21−x2=1，a2x2=x2，在函数定义域内恒成立，∴a2=1，∴a=±1，当a=1时，1−axx−1=−1不合题意；当a=−1时，f(x)=log121+xx−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意．∴a=−1.(2)∵a=−1，∴f(x)=log121+xx−1，∵当x∈(1, +∞)时，f(x)+log12(x−1)<m恒成立，∴log121+xx−1+log12(x−1)=log12(1+x)<m恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【答案】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式三角形的面积公式三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【答案】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）总面积为xy＝3000，且2a+6＝y，则y=3000x ，a=y2−3=1500x−3（其中6<x<500），从而运动场占地面积为S＝(x−4)a+(x−6)a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S＝3030−6x−15000x =3030−(6x+15000x)，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【解答】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【答案】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）.所以m≥12，即m的最小值为12.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）. 所以m≥12，即m的最小值为12.。
江苏省2023-2024学年高三上学期10月阶段性联考试题 数学含解析
2023-2024学年度第一学期高三阶段性联考高三数学试题（答案在最后）命题人：审核人：注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}012M =,,，{}2320N x x x =-+≤，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}0,1 D.{}1,22.i 是虚数单位，复数734ii+=+A.1i- B.1i-+ C.17312525i + D.172577i -+3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A.521B.1021C.1121D.14.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a =2bD.3a =4b5.函数y =2sin 2x x 的图象可能是A. B.C. D.6.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=A.6425B.4825C.1D.16257.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.38.当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A.1- B.12-C.12D.1二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名10.已知函数2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A.1ω=B.函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数C.直线π3x =是函数()y f x =图象的一条对称轴D.点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心11.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b+的最小值为4C.+的最大值为1D.1422a b a b+++的最小值为312.设抛物线C ：20)2(y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则抛物线C 的方程为（）A.24y x= B.28y x= C.216y x= D.22y x=三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.15.过三点()0,0，()4,0，()1,1-的圆的方程是______．16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线y a =与双曲线C 交于M ，N 两点，直线y b =-与双曲线C 交于P ，Q 两点，若||||MN PQ =，则双曲线C 的离心率等于________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin =+b a C c A ．（1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）求锐二面角1D A C E --的余弦值．19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，224n n n a a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(25,0)-，5，点1A ，2A 为C 的左，右顶点．P 为直线1x =上的动点，1PA 与C 的另一个交点为M ，2PA 与C 的另一个交点为N ．（1）求C 的方程；（2）证明：直线MN 过定点．22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?2023-2024学年度第一学期高三阶段性联考高三数学试题命题人：审核人：注意事项：1．考试时间120分钟，试卷满分150分.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3．请用2B 铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}012M =,,，{}2320N x x x =-+≤，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}0,1 D.{}1,2【答案】D 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ，再利用集合的交集运算即可得到结论．【详解】2{|320}{|(1)(2)0}{|12}N x x x x x x x x =-+=--= ，{}012M =,,{1M N ∴⋂=，2}，故选：D ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础．2.i 是虚数单位，复数734ii+=+A.1i - B.1i-+ C.17312525i + D.172577i -+【答案】A 【解析】【详解】试题分析：()()()()()()7342142837134343425i i i ii i i i +-++-++===-++-，故选A ．考点：复数的运算．3.袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为A.521B.1021C.1121D.1【答案】B 【解析】【分析】由从共有15个球中任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，再利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】由题意，从共有15个除了颜色外完全相同的球，任取2个球，共有215C 种不同的取法，其中所取的2个球中恰有1个白球，1个红球，共有11510C C 种不同的取法，所以概率为11510215501010521C C C ==，故选B.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，以及古典概型及其概率的应用，其中解答中认真审题，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a =2bD.3a =4b【答案】B 【解析】【分析】由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.5.函数y =2sin 2x x 的图象可能是A. B.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()xx x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．6.若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=A.6425B.4825C.1D.1625【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．7.已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（）A.14B.12C.6D.3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，易得1q ≠，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ≠，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ≠，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ⎧-⎪++==⎨-⎪-=-=⎩，解得19612a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以5613a a q ==.故选：D .8.当1x =时，函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-，则(2)f '=（）A.1-B.12-C.12D.1【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-，()10f '=即可解得,a b ，再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+，所以依题可知，()12f =-，()10f '=，而()2a bf x x x '=-，所以2,0b a b =--=，即2,2a b =-=-，所以()222f x x x '=-+，因此函数()f x 在()0,1上递增，在()1,+∞上递减，1x =时取最大值，满足题意，即有()112122f '=-+=-．故选：B.二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.某中学为了解学生数学史知识的积累情况，随机抽取150名同学参加数学史知识测试，测试题共5道，每答对一题得20分，答错得0分．得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则（）A.该次数学史知识测试及格率超过90%B.该次数学史知识测试得满分的同学有15名C.该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D.若该校共有1500名学生，则数学史知识测试成绩能得优秀的同学大约有720名【答案】AC 【解析】【分析】A 选项，利用扇形图的数据得到及格率，B 选项先求出满分所占百分比，进而求出满分学生人数；C 选项，求出中位数和平均数，比出大小；D 选项先求出抽取的学生成绩优秀率，再估算出数学史知识测试成绩能得优秀的同学人数【详解】由图知，及格率为18%92%90%-=>，故A 正确．该测试满分同学的百分比为18%32%48%12%---=，即有12%15018⨯=名，B 错误．由图知，中位数为80分，平均数为408%6032%8048%10012%72.8⨯+⨯+⨯+⨯=分，故C 正确．由题意，1500名学生成绩能得优秀的同学有1500(48%12%)900⨯+=，故D 错误．故选：AC10.已知函数2()2cos 21(0)f x x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（）A.1ω=B.函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数C.直线π3x =是函数()y f x =图象的一条对称轴D.点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心【答案】ABD 【解析】【分析】先根据降幂公式和辅助角公式化一，再根据正弦函数的周期性求出ω，再根据正弦函数的单调性和对称性逐一判断即可.【详解】2π()2cos 21cos 222sin 26f x x x x x x ωωωωω⎛⎫=-==+⎪⎝⎭，则2ππ2T ω==，所以1ω=，故A 正确；所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为π0,6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以πππ2,662x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，故B 正确；因为π2ππ2sin 1336f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π3x =不是函数()y f x =图象的一条对称轴，故C 错误；因为5π5ππ2sin 01266f ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以点5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心，故D 正确.故选：ABD .11.已知0a >，0b >，且1a b +=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为14B.11a b+的最小值为4C.+的最大值为1D.1422a b a b+++的最小值为3【答案】ABD【分析】利用基本不等式即可判断AC ；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断BD.【详解】对于A ，因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()2144a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，所以ab 的最大值为14，故A 正确；对于B ，()1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+⎝= ⎪⎭，当且仅当b aa b =，即12a b ==时取等号，所以11a b+的最小值为4，故B 正确；对于C ，因为a b +≥，所以()22a b a b +≥++，+≤=当且仅当12a b ==时取等号，C 错误；对于D ，由1a b +=，得()()22333a b a b a b +++=+=，则()()141142222322a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()421215533223a b a b a b a b ⎛+⎡⎤+ =++≥+=⎢ ++⎣⎦⎝，当且仅当()42222a b a b a b a b++=++，即0,1a b ==时，取等号，所以1422a b a b+++的最小值为3，故D 正确.故选：ABD .12.设抛物线C ：20)2(y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点()0,2，则抛物线C 的方程为（）A.24y x= B.28y x= C.216y x= D.22y x=【解析】【分析】结合抛物线的定义求得M 点的坐标，将M 点坐标代入抛物线方程，求得p ，由此求得抛物线C 的方程.【详解】因为抛物线C 的方程为()220y px p =>，所以焦点02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),M x y ，由抛物线的性质知52p MF x =+=，得52px =-．因为圆心是MF 的中点，所以根据中点坐标公式可得圆心的横坐标为52，由已知得圆的半径也为52，故该圆与y 轴相切于点()0,2，故圆心的纵坐标为2，则点M 的纵坐标为4，即5,42p M ⎛⎫-⎪⎝⎭，代入抛物线方程，得210160p p -+=，解得2p =或8p =．所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =．故选：AC三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.设向量a ，b 的夹角的余弦值为13，且1a = ，3b =r ，则()2a b b +⋅= _________．【答案】11【解析】【分析】设a 与b的夹角为θ，依题意可得1cos 3θ=，再根据数量积的定义求出a b ⋅ ，最后根据数量积的运算律计算可得．【详解】解：设a 与b 的夹角为θ，因为a 与b 的夹角的余弦值为13，即1cos 3θ=，又1a = ，3b =r ，所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯= ，所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+= ．故答案为：11．14.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.【答案】36π.【分析】求出球的半径即可.【详解】解：因为正方体的顶点都在同一球面上，所以球的直径为正方体的对角线，所以26R ==，所以3R =，故球的表面积：24π36πS R ==.故答案为：36π.15.过三点()0,0，()4,0，()1,1-的圆的方程是______．【答案】()()222313x y -+-=【解析】【分析】根据圆心经过弦的中垂线可先求得圆心的坐标，再根据圆心到圆上的点的距离为半径求解即可【详解】由题，设()0,0A ，()4,0B ，()1,1C -，则AB 的中垂线方程为2x =，又()0,0A 和()1,1C -的中点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，且直线AC 的斜率为1-，故直线AC 的中垂线斜率为1，故直线AC 的中垂线方程为1122y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+，故圆心的坐标为1y x =+与2x =的交点()2,3，半径r ==故圆的方程为()()222313x y -+-=故答案为：()()222313x y -+-=16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，直线y a =与双曲线C 交于M ，N 两点，直线y b =-与双曲线C 交于P ，Q 两点，若||||MN PQ =，则双曲线C 的离心率等于________．【答案】3【解析】【分析】将y a =代入双曲线方程可求||MN ，将y b =-代入双曲线可求||PQ ，根据MN =，得出,,a b c 的齐次式，从而可求离心率.【详解】将y a =代入22221x y a b-=，得22221a x a b -=，即()22242222a b a a x a b b=+=+，解得x =所以MN =将y b =-代入22221x y a b-=，得222x a =，即222x a =，解得x =，所以PQ =，因为MN =，所以222MN PQ =，即()22222416a b a a b +=，所以223a b=，所以双曲线C 的离心率为233e ===.故答案为：3.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin =+b a C c A ．（1）求A ；（2）若2a =，求ABC 面积的最大值．【答案】（1）π4A =（21【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合三角形得内角和定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）利用余弦定理结合基本不等式求出bc 的最大值，再结合三角形的面积公式即可得解.【小问1详解】因为cos sin =+b a C c A ，由正弦定理得sin sin cos sin sin B A C C A =+，又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，所以sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C C A +=+，即cos sin sin sin A C C A =，又()0,πC ∈，则sin 0C >，所以tan 1A =，又因()0,πA ∈，所以π4A =；【小问2详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2242b c bc =+≥，所以4bc ≤=+当且仅当b c =时取等号，所以12sin 124ABC S bc A bc ==≤△，即ABC 1．18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ；（2）求锐二面角1D A C E --的余弦值．【答案】（1）证明见详解（2）33【解析】【分析】（1）利用中位线定理证得1OD BC ∥，再利用线面平行的判定定理即可证得；（2）易证ACBC ⊥，建立空间直角坐标系C xyz -，分别求出面1A CD 的法向量n 与面1A CE 的法向量m，进而求出cos ,n m 〈〉，故得到锐二面角1D A C E --的余弦值.【小问1详解】连结1AC ,交1AC 于点O ，连结DO ，因为在直三棱柱111ABC A B C -中，面11AA C C 是矩形，则O 为1AC 的中点，又因为D 为AB 的中点，所以1OD BC ∥，又因为OD ⊂平面1A CD ,1BC ⊄平面1A CD ,所以1//BC 平面1ACD ；【小问2详解】由12,22AA AC CB AB ====，可知AC BC ⊥,以C 为坐标原点，CA 方向为x 轴正方向，CB方向为y 轴正方向，1CC方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，则()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2D E A ,()1,1,0CD = ,()0,2,1CE = ,()12,0,2CA =，设(),,n x y z =r 是平面1ACD 的法向量，则100n CD n CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取()1,1,1n =--；同理，设(),,m a b c =是平面1A CE 的法向量，则100m CE m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即20220b c a c +=⎧⎨+=⎩，可取()2,1,2=-r m ，从而cos ,3n m n m n m ⋅〈〉===，所以锐二面角1D A C E --的余弦值为3.19.设n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，224n n n a a S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）4(1)nn +．【解析】【详解】分析：（1）利用n S 与n a 的关系式即可求出n a ；（2）裂项相消法求和.详解：（1）由224n n n a a S +=，知211124n n n a a S ++++=.两式相减，得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-.因为0n a >，所以12n n a a +-=.又因为211124a a a +=，解得10a =（舍去）或12a =.所以{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，通项公式为2n a n =.（2）由2n a n =可知()11111122241n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⎝⎭.∴12n n T b b b =++⋅⋅⋅+111111142231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()41n n =+.点睛：利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．20.设函数f(x)＝ax ＋(a ，b ∈Z)，曲线y ＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y ＝3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y ＝f(x)上任一点的切线与直线x ＝1和直线y ＝x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值．【答案】(1)f(x)＝x＋；(2)证明见解析【解析】【详解】(1)解f′(x)＝a－，()()'2023f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩解得或因为a ，b ∈Z ，故f(x)＝x＋.(2)在曲线上任取一点，由f′(x 0)＝1－知，过此点的切线方程为y －＝[1－](x －x 0)．令x ＝1，得y＝，切线与直线x ＝1的交点为(1,)；令y ＝x ，得y ＝2x 0－1，切线与直线y ＝x 的交点为(2x 0－1,2x 0－1)；直线x ＝1与直线y ＝x 的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为|2x 0－1－1|＝2.所以，所围三角形的面积为定值2.21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(25,0)-，5，点1A ，2A 为C 的左，右顶点．P 为直线1x =上的动点，1PA 与C 的另一个交点为M ，2PA 与C 的另一个交点为N ．（1）求C 的方程；（2）证明：直线MN 过定点．【答案】（1）221416x y -=（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，列出方程，求得,a b ，即可得到C 的方程；（2）根据题意，分别得到,M N 的坐标，然后分直线MN 的斜率存在以及不存在分别讨论，即可得到结果.【小问1详解】由题意可设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，左焦点为(25,0)-，则5c =，离心率为5，则255c e a a===2a =，22220416b c a =-=-=，则C 的方程为221416x y -=.【小问2详解】因为点1A ，2A 为C 的左，右顶点，P 为直线1x =上的动点，所以()()122,0,2,0A A -，设()1,P t ，()()1122,,,M x y N x y ，则直线1PA 的方程为()23ty x =+，联立直线1PA 与双曲线的方程可得()22231416t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 可得()222236441440t xt x t ----=，方程两根为1,2x -，由韦达定理可得2124144236t x t +-=-，所以21227236t x t +=-，()112482336t t y x t =+=-，即22227248,3636t t M t t ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭；设直线2PA 方程为()2y t x =--，联立直线2PA 与双曲线的方程可得()2221416y t x x y ⎧=--⎪⎨-=⎪⎩，消去y 可得()2222444160t xt x t -+--=，方程两根为2,2x ，由韦达定理可得22241624t x t +=-，则222284t x t +=-，()2221624t y t x t -=--=-，即2222816,44t t N t t ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭；由对称性可知，若直线MN 过定点，则定点在x 轴上，当直线MN 的斜率不存在时，222227228364t t t t ++=--，可得212t =，此时，124x x ==，则直线MN 经过点()4,0E ，当212t ≠时，22224883627212436MEt t t k t t t -==+---，22221684281244NE MEt t t k k t t t --===+---，所以,,M N E 三点共线，即直线MN 经过点()4,0E .综上，直线MN 经过定点()4,0.22.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?【答案】（1）详见解析；（2）300.【解析】【分析】（1）由题意知的可能取值为200，300，500，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，只需考虑200500n ≤≤，根据300500n ≤≤和200300n ≤≤分类讨论．【详解】解：（1）由题意知，所有的可能取值为200，300，500，由表格数据知的分布列为2003005000.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则2n ；若最高气温位于区间，则1200-2n ；若最高气温低于20，则=800-2n因此当00时，若最高气温不低于20，则2n ，若最高气温低于20，则=800-2n ，因此160+1.2nn 时，的数学期望达到最大值，最大值为520元．所以300。
届江苏省四校高三联考数试卷及答案
江苏省姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考高 三 数 学 2008.12一、填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分.)1．若复数z 满足i iz 32+=（i 是虚数单位），则z =__________．2．已知命题P ：“R x ∈∀，0322≥-+x x ”，请写出命题P 的否定: ． 3．已知21sin =α，其中⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则=+)6cos(πα ． 4．若方程ln 62x x =-的解为0x ，则满足0k x ≤的最大整数k = ． 5．已知函数()xf x x e =⋅，则'(0)f = . 6．函数)6(sin 12π--=x y 的最小正周期是 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若41217198a a a a +++= ，则25S 的值为 .8．已知圆()1222=+-y x 经过椭圆 22221x y a b+= ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = .9．设直线1l ：220x y -+= 的倾斜角为1α，直线2l ：40mx y -+= 的倾斜角为2α，且 2190αα=+o，则m 的值为 .10．已知存在实数a 满足 2ab a ab >> ，则实数b 的取值范围为 . 11．已知函数b a x a b x x f ++--+=)2()(22是偶函数，则此函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是 ．12．已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 中点为(,)M x y o o ，且2y x >+o o ，则y x oo的取值范围为 . 13．已知平面上的向量PA u u u r 、PB u u u r满足224PA PB +=u u u r u u u r ,2AB =u u u r ，设向量2PC PA PB =+u u u r u u u r u u u r ，则PC u u u r的最小值是 .14．如果函数2()(31)xxf x a a a =--(0a >且1)a ≠在区间[)0+，∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是 ．二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．（本小题满分14分）如图四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ， Q 为PA 的中点. 求证：⑴ PC ∥平面QBD ；⑵ 平面QBD ⊥平面PAC .16．（本小题满分14分）已知O 为原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =u u u r ，(3cos ,sin )OB x x =u u u r，(2,0)OC =u u u r ,0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.(1)求证：()OA OB OC -⊥u u u r u u u r u u u r;⑵ 求tan AOB ∠的最大值及相应的x 值.17．（本小题满分14分）已知以点P 为圆心的圆经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D，且||CD =. (1)求直线CD 的方程； ⑵求圆P 的方程；⑶设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.BACDPQO18．（本小题满分16分）甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方每年向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入．乙方在不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x （元）与年产量t （吨）满足函数关系t x 2000=．若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s 元（以下称s 为赔付价格）．（1）将乙方的年利润w （元）表示为年产量t （吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额2002.0t y =（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s 是多少？19．（本小题满分16分）设函数()ln f x ax x =+，()22g x a x =.⑴当1a =-时，求函数()y f x =图象上的点到直线30x y -+=距离的最小值；⑵是否存在正实数a ，使()()f x g x ≤对一切正实数x 都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的各项都是正数，11a =，11112n n n na a a a +++=+ ，2n n n b a a =+ .⑴求数列{}n b 的通项公式；⑵求数列{}n a 的通项公式； ⑶求证：()()()122311111111n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+<+++ .附加题21．（本小题满分8分）求由曲线xy 1=，1=y ，2=y ，1=x 所围成的面积．22．（本小题满分8分）解不等式:|21||4|2x x +--<23．（本小题满分12分）已知两曲线x x f cos )(=，x x g 2sin )(=，)2,0(π∈x ．（1）求两曲线的交点坐标；（2）设两曲线在交点处的切线分别与x 轴交于,A B 两点，求AB 的长．24．（本小题满分12分）已知动圆Q 与x 轴相切，且过点()0,2A . ⑴求动圆圆心Q 的轨迹M 方程；⑵设B 、C 为曲线M 上两点，()2,2P ，PB BC ⊥，求点C 横坐标的取值范围.高三数学参考答案一、填空题1．i 23- 2．R x ∈∃,0322<-+x x 3．214．2 5．1 6．π 7．50 8．139．-2 10． (),1-∞- 11．2 12．11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．2 14．133<≤a 二、解答题15[解]：证：设 ⋂AC BD=0,连OQ 。
南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考.docx
高中数学学习材料唐玲出品南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅰ 必做题部分参考公式：锥体的体积公式：,31Sh V =锥体其中S 是锥体的底面积，h 是高． 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．1. 设集合}2,1,0{=A ，}3,2{2++=a a B ，}1{=B A ，则实数a 的值为________．2. 设复数z 满足5)43(=-z i （i 是虚数单位），则=z ________．3. 右图是一个算法流程图，则输出的k 的值是________．4. 在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示.若该处高速公路规定正常行驶速度为h km /90～h km /120，试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 辆．5. 将函数)0)(2sin(πϕϕ<<+=x y 的图象沿x 轴向左平移8π个单位，得到函数 )(x f y =的图象，若函数)(x f y =的图象过原点，则=ϕ_________．6. 已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为21，乙胜的概率为31，则甲胜的概率 为________．7. 设偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)1()12(f x f ≤-的x 的取值范围是_______．8. 在等比数列}{n a 中，已知3252-=a a ，443=+a a ，且公比为整数，则=10a ________．9. 如图，正四棱锥ABCD P -的底面一边AB 长为cm 32，侧面积为238cm ，则它的体积为________．A B C D P10. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的渐近线与圆1)2(22=++y x 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为_________．11. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=-2,log 2,)21()(3x x x x f a x （,0>a 且1≠a ）的值域是),2[+∞，则实数a 的取值范围是________．12. 已知ABC ∆外接圆O 的半径为2，且AO AC AB 2=+，||||AO AB =，则=⋅CB CA ________． 13．已知y x ,为正实数，则xy y x x ++22的最小值为________．14．设0))(3(2≤-+b x ax 对任意),0[+∞∈x 恒成立，其中b a ,是整数，则b a +的取值的集合为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15． （本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且ac b c a -=+222．（1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，,1,32==BD AD 求C cos 的值． A B CD16． （本小题满分14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，BC AD //，且AD BC 2=，CD PB CD AD ⊥⊥,，点E 在棱PD 上，且ED PE 2=．（1）求证:平面⊥PCD 平面PBC ；（2）求证://PB 平面AEC ．PC BD A E17． （本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且点)1,2(P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点B A ,都在椭圆C 上，且AB 中点M 在线段OP （不包括端点）上．①求直线AB 的斜率；②求AOB ∆面积的最大值．18． （本小题满分16分）如图，B A ,是海岸线OM ，ON 的两个码头，Q 为海中一小岛，在水上旅游线AB 上，测得Q km OA MON ,6,3tan =-=∠到海岸线ON OM ,的距离分别为km 2，km 5107． （1）求水上旅游线AB 的长； （2）海中km PQ P 6(=，且OM PQ ⊥处的某试验产生的强水波圆P ，生成t 小时时的半径为km t r 23 66=．若与此同时，一游轮以h km / 218的速度自码头A 开往码头B ，试研究强水波是否波及游轮的航行? O M NP B A Q19． （本小题满分16分）设R b a ∈,，函数a x a e x f x--=ln )(，其中e 是自然对数的底数，曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为0)1(=+--b y x e ．（1）求实数b a ,的值；（2）求证:函数)(x f y =存在极小值； （3）若),21[+∞∈∃x ，使得不等式0ln ≤--xm x x e x 成立，求实数m 的取值范围． 20． （本小题满分16分）（2）若2016,21<==m d a ，求m 的最大值；（3）是否存在正整数k ，满足)(3121121m m k k k k a a a a a a a a ++++=++++-++- ?若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．南师附中、淮阴、天一、海门数学四校联考数学Ⅱ 附加题部分【选做题】本题包括D C B A ,,,四个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，已知圆上是弧AC =弧BD ，过点C 的圆的切线CE 与BA 的延长线交于点E ．（1）求证：BCD ACE ∠=∠；（2）求证：CD AE BD ⋅=2B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=121a A 的一个特征值3=λ所对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11e ，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 为θθρsin 2cos 4+=．曲线C 上的任意一点的直角坐标为),(y x ，求y x -的取值范围D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知关于x 的不等式b a x <+||的解集为}42|{<<x x ．（1）求实数b a ,的值；（2）求bt at ++12的最大值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．22． （本小题满分10分）某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动：消费金额X （元） )1000,500[ )1500,1000[ ),1500[+∞抽奖次数 1 2 4抽奖中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球（每次只能抽取一个，且不放回抽取），若抽得红球，获奖金10元；若抽得白球，获奖金20元；若抽得黑球，获奖金40元，（1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000元，求该顾客获得奖金70元的概率；（2）若某顾客在该商场当日消费金额为1200元，获奖金ξ 元。
2024届江苏省淮安市等四市高三质量检测试题(三)数学试题
2024届江苏省淮安市等四市高三质量检测试题（三）数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧是真命题 C ．()p q ∨⌝是真命题D ．()p q ∧⌝是假命题2．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．493．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A．y x = B．y x = C．=±y x D．)1=±y x4．已知实数x 、y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．1-B ．2C ．7D ．85．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）A ．()85424π++B ．()85824π++C ．()854216π++D ．()858216π++6．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，λ两两互相垂直，点A α∈，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离与P 到点A 的距离相等，则点P 的轨迹上的点到β的距离的最小值是（ ） A ．33-B ．3C ．332- D ．327．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2-B ．2C ．12-D ．128．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（ ）A ．2493π+B ．4893π+C ．48183π+D ．144183π+9．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，P 为抛物线上一点，(1,1)A ，当PAF ∆周长最小时，PF 所在直线的斜率为（ ）A．43-B．34-C．34D．4311．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x ya b+=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足MAMB=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（）A．23B．33C．22D．3212．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 8898 95 60 73 88 74 86 77 79 9497 100 99 97 89 81 80 60 79 6082 95 90 93 90 85 80 77 99 68如图的算法框图中输入的i a为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m，n的值，则m n-=（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高三数学：淮阴中学四校2023-2024学年高三下学期期初测试联考试题和答案
2024届高三年级第二学期期初测试数学本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
共4页，总分150分，考试时间120分钟。
第I 卷(选择题共58分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{x ∈R |x 2－2x －3＜0}，集合B ＝{x ∈R |log 2(x ＋2)＜1}，则A ∩B ＝A .(－3,2)B .(－2,3)C .(－2,0)D .(－1,0)2．已知复数z 满足(1－i )z ＝3－i ，则复数|z |＝A .2BC .D 3．在∆ABC 中，“A ＝B ”是“cos A ＋sin A ＝cos B ＋sin B ”的A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4．我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例，在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3,4,5,6,8,10,12,13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为A .47B .328C .1112D .3565．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线与下底面所成的角为3π，则该圆台的体积为A .433B .533πC .733D .8336．若(2－x )10的展开式中二项式系数和为A ，所有项系数和为B ，一次项系数为C ，则A ＋B ＋C ＝A .4095B .4097C .－4095D .－40977．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则233x y x y x y+++的最大值为A .2425B .98-C .98-D .348．若x 1，x 2是关于x 的方程3sin2x －cos2x ＝a 在［0,2π］内的两根，则tan (x 1＋x 2)的值为A .－3B .3D .－13D .13二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
江苏省淮阴中学2024-2025学年高三上学期10月阶段测试数学试题(含答案)
淮阴中学2024-2025学年高三上学期10月阶段测试数学2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，其中i 是虚数单位，则（ ）A ．1B ．2C D2．设，则“”是“都不为1”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A ．向左平移后的所得函数B ．向右平移后的所得函数C ．向左平移后的所得函数D ．向右平移后的所得函数4．已知是曲线上一点，直线经过点，且与曲线在点处的切线垂直，则实数的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．某厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润元，要使得生产900千克该产品获得的利润最大，则的值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．96．已知函数，且，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．7．若偶函数满足，且当时，，则（ ）A ．B ．C ．D ．8．在中，角所对的边分别是，已知，且，当取得最小值时，的最大内角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．()i 12i z =-+z =,a b ∈R 1ab a b +≠+,a b ()sin f x x x =-()f x π3()f x π3()f x π6()f x π6P 2:e xC y =:20l x y c ++=P C P c 4ln2--ln242--2-1-x 110x ≤≤310051x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x ()()4f x x x =+()()2230f a f a +-<a ()3,0-()3,1-()1,1-()1,3-()f x ()()11f x f x +=-()0,1x ∈()21xf x =-()2log 36f =5479916716ABC △,,A B C ,,a b c 2b =()cos2cos 1cos B B A C +=--2a c +ABC △12-二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．若，则（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知，则（ ）A ．当时，B ．当时，C ．当时，在上的投影向量为D ．当时，的夹角为钝角11．已知函数，则（ ）A ．函数的最小正周期为B ．当时，函数的值域为C ．当时，函数的单调递增区间为D ．若函数在区间内恰有2025个零点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合，若，则______．13．已知为钝角，且，，则______．14．已知函数，当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，则______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在平面直角坐标系中，动点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）已知点为曲线上的一点，曲线在点的切线交直线于，过作直线的垂线交于点，求的面积．0,0a b c <<<01ab <<ac bc>a c a b c b+<+552332a b a b a b +>+()()1,2,,1a b m ==-2m =a b =3m =()5a a b⊥-3m =-a b12b2m <,a b()cos2sin ,0f x x a x a =+≠()f x 2π1a =()f x 92,8⎡⎤-⎢⎣⎦2a =-()f x ()π7π2π,2π26k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z ()f x ()()0,πk k ∈Z 1350k ={}{}21,3,,1,2A aB a ==+A B A = a =α(cos tan101α⋅︒-=α=()()32,f x x ax a b a b =+-+∈R ()f x a ()33,31,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭b =xOy M x M 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭M C C ()01,P y -C C P 1y =-Q P QP C N PQN △16．（15分）如图，在三棱台中，和都为等腰直角三角形，，为线段的中点，为线段上的点，且平面．（1）求证：点为线段的中点；（2）求二面角的余弦值．17．（15分）已知的内角的对边分别为，周长为，且．（1）求角；（2）设的延长线上一点满足，又线段（不含端点）上点满足，求线段的长度．18．（17分）已知函数．（1）若函数存在一条对称轴，求的值；（2）求函数的单调区间；（3）若函数恰有2个零点，求的取值范围．19．（17分）在无穷数列中，若，且，则称数列为“数列”，设为“数列”，记的前项和为．（1）若，求的值；（2）若，求的值；（3）证明：中总有一项为1或2．111ABC A B C -111A B C △ABC △4AC =111112,90,CC AC ACC BCC CBA G ==∠=∠=∠=︒AC H BC AB∥1C GH H BC 1B AA C --ABC △,,A B C ,,a b c 18,6c =2sin sin sin A B C =A BA D 2AD =AC P 2PDA PBA ∠=∠AP ()()()ln 1ln 1,0f x x k x k =-++≠()f x k ()f x ()f x k {}n a *n a ∈N ()1,1,2,3,1,n n n n a a n a a +==+⎪⎩ 是完全平方数不是完全平方数{}n a K {}n a K {}n a n n S 39S =1a 15a =()*363,,k S S S k ∈N{}n a数学参考答案2024.10一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．C 3．A 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．ВС 10．AВC 11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．2 13．130° 14．1四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）设，由题意，化简得，所以动点的轨迹方程为；（2）由及点，所以，由知点处的切线斜率为，所以直线方程为，令，则，又直线，与，得，所以，所以面积为．16．（15分）解：（1）连接，设，连接，因为平面平面，平面平面，所以．(),M x y y =214y x =+M 214y x =+214y x =+()01,P y -51,4P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2y x '=P 2-QP 324y x =--1y =-1,18Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭17:24PN y x =+214y x =+2230x x --=35,22N ⎛⎫⎪⎝⎭PQN △111322*********PQ PN ⎫⎫⋅=++=⎪⎪⎭⎭1AC 11AC C G O = 1,HO AG 1A B ∥11,C GH A B ⊂1ACB 1ACB 1C GH OH =1A B OH ∥三棱台中，有，又为线段的中点，所以，所以四边形为平行四边形．所以是的中点，所以中，得点是的中点．（2）过点作交于，连接．因为，即，由（1）知，，所以，又因为平面，所以平面．因为平面，所以．又三角形为等腰直角三角形，为斜边的中点，所以，且．又因为平面，所以平面．因为平面，所以，由平面，所以平面，所以，故为二面角的平面角．在中，，所以在中，，所以，111ABC A B C -11AC AC ∥G AC 11122CG AC C A ===11AC CG O 1AC 1ACB △H BC G 1GM AA ⊥1AA M BM 1190C CA BCC ∠=∠=︒11,C C BC CC AC ⊥⊥11C C AG ∥11,AG BC AG AC ⊥⊥,AC BC ⊂ABC 1AG ⊥ABC BG ⊂ABC 1AG BG ⊥ABC G AC AC BG ⊥2BG =11,,AC AG G AC AG =⊂ 11ACC A BG ⊥11ACC A 1AA ⊂11ACC A 1BG AA ⊥1,,,GM AA BG GM G BG GM ⊥=⊂ BGM 1AA ⊥BGM 1AA GM ⊥BMG ∠1B AA C --1AGA △111,2,AG AC AG AC GM AA ⊥==⊥GM =BMG △,2,BG GM BG GM ⊥==BM =所以，所以二面角17．（15分）解：（1）在中，，由正弦定理得，又因为三角形周长为18，所以，所以，所以，即为正三角形，所以；（2）如图等边中，作于，设，所以，因为，所以，又，所以，所以．18．（17分）解：（1）因为函数，所以函数定义域为，且函数存在一条对称轴，故对称轴为，所以，即，cosGM BMG BM ∠===1B AA C--ABC △2sin sin sin ,6A B C c ==236ab c ==12a b +=22()()41441440a b a b ab -=+-=-=6a b c ===ABC △π3A =ABC △PQ AB ⊥Q (0)AQ x x =>6,BQ x PQ =-=2PDA PBA ∠=∠tan 2tan ,tan tan PBA PDA PBA PDA ∠=∠∠=∠==0x >8x =-16AP =-()()()ln 1ln 1f x x k x =-++()1,1-()f x 0x =()()f x f x =-()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1x k x x k x -++=++-所以，故，当且仅当时上式恒成立，故；（2）由题意，当时，有且，所以，故的单调减区间为；当时，令，且当时，，当时，，所以的单调增区间为，单调或区间为；（3）由（2）知，．所以，故．令，所以，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为，所以的解为或．当时，有，因为，所以，故在有一个零点，又因为，此时有2个零点，满足題意：()()()()1ln 11ln 10k x k x --+-+=()11ln 01xk x--=+10k -=1k =()()()()()1111111k x k k f x x x x x -+--⎡⎤-⎣⎦=+-+-'=+0k <()()1120k k +--=>()()()11120k k k +⋅---=->()0f x '<()f x ()1,1-0k >()()10,1,11k f x x k -∈-+'==11,1k x k -⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭()0f x '>1,11k x k -⎛⎫∈⎪+⎝⎭()0f x '<()f x 11,1k k -⎛⎫- ⎪+⎝⎭1,11k k -⎛⎫⎪+⎝⎭0k >max 122()ln ln 111k k f x f k k k k -⎛⎫==+ ⎪+++⎝⎭22lnln 011kk k k +>++()22lnln ,011k g k k k k k =+>++()2ln 1kg k k ='+01k <<()0g k '<1k >()0g k '>()g k ()0,1()1,+∞()10g =22ln ln 011k k k k +>++01k <<1k >1k >1011k k -<<+()()()ln 1ln 1f x x k x =-++1111ln ln 2ln2ln20222kkk k f k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-<-+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 1,11k k -⎛⎫⎪+⎝⎭()00f =()f x当时，有，因为，所以，故在有一个零点，又因为，此时有2个零点，满足题意；所以的取值范围为或．19．（17分）解：（1）①若，则不满足，②若，满足，满足，满足，③若，所以不满足，综上，；（2）当时，中的各项依次为，即数列从第6项开始每3项是一个周期，所以，，所以时，；所以；（3）证明：首先证明：一定存在某个，使得成立．若对每一个，都有，则在为完全平方数时，必有；在不为完全平方数时，则必存在，使得为完全平方数，的最小的完全平方数，满足．即存在，使得，则即每一个完全平方项及其后一项递减，如此进行下去，出现小于或等于4的项，对每一个，都有矛质，01k <<1101k k --<<+()()()ln 1ln 1f x x k x =-++11111111ln 2ln ln2ln20222k k k f k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-+<-⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 11,1k k -⎛⎫- ⎪+⎝⎭()00f =()f x k 01k <<1k >11a =33S =12a =319,3S a ==319,4S a ==39S =124,9a S >>1112,3,4a a a ===15a ={}n a 5,6,7,8,9,3,4,2,3,4,2,3, {}n a 312318S a a a =++=563466989320,38,47S S a a a S S -=++=++===2k ≥()3182092920k S k k =++-=+318,1,920,2k k S k k =⎧=⎨+≥⎩i a 4i a ≤N i +∈4i a >i a 1i i a a +=<i a ()*m m ∈Ni ma+()*i a l i m <+∈N 1i m i i m aa a +++=<<*k ∈N i m i i a a ++=1i m k a +++=<*i ∈N 4i a >所以必定存在某个，使得成立．经检验，当时，中出现1；当时，中出现2，综上，中总有一项为1或2．i a 4i a ≤1i a ={}n a 2,3,4i i i a a a ==={}n a {}n a。
江苏淮安五校联盟2024届高三上学期10月学情调查测试数学试题(解析版)
2024届高三五校联盟10月学情调查测试数学试题试卷满分：150分 考试时长：120分钟一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}2780,31,A xx x B x x k k −−<−∈N ∣∣，则A B = （ ）A. {}2,5B. {}1,2,5−C. {}2,5,8D. {}1,2,5,8−【答案】A 【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合A ，即可由交集运算求解.【详解】由{}2780A xx x =−−<∣可得{}18,A xx =−<<∣又{}{}31,1,2,5,8,B xx k k ==−∈=−N ∣，所以A B = {}2,5， 故选：A2. 已知复数z 满足()2i 2i z +=−，则z =（ ）A.54i3+ B.C.34i5+ D.34i5− 【答案】D 【解析】【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可.【详解】由()()()()22i 2i44i 1342i 2i i 2i 2i 2i 555z z −−−−+=−⇒====−++−， 故选：D3. 已知m ∈R ，命题2:,420p x x x m ∀∈−+≥R ，命题:3q m ≥，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据一元二次不等式恒成立，利用判别式即可求解2m ≥，利用集合间的关系即可求解.【详解】2:,420p x x x m ∀∈−+≥R 为真命题，则1680m ∆=−≤，故2m ≥， 由于{}3m m ≥ {}2m m ≥，所以p 是q 的必要不充分条件， 故选：B4. 数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列{}n a ，其前六项分别为1,3,6,10,15,21，则11n a n ++的最小值为（ ） A.12B. 34C. 1D.32【答案】C 【解析】【分析】先得出递推公式，叠加法求通项公式，再用基本不等式求最小值即可. 【详解】数列{}n a 前六项分别为1,3,6,10,15,21，依题知21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n −−=−=−=−= ， 叠加可得：()()()1122322n n n a a n n −+−=+++=≥ ，得()222n n na n +=≥，当1n =时，211112a +==，满足22n n na +=， 所以22n n n a +=，所以1111111212122n a n n n n n ++=+=+−≥+++，当且仅当1121n n +=+时，即1n =时，等号成立，又n ∈*N ，所以等号取不了，所以最小值在1n =取得， 当1n =时，111n a n +=+，所以最小值为1. 故选：C5. 已知α为锐角，πcos 3α +，则πcos 23α −=（ ） A. 35B.35C. 45−D.45【答案】D 【解析】【分析】根据二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】由于πcos 3α +，所以22ππ4cos 22cos 1335αα +=+−=−， πcos 23α−= 2π2π4cos 2πcos 2335αα +−=−+=， 故选：D6. 已知函数()()ln 1f x x =−，则使不等式()()12f x f x +<成立的x 的取值范围是（ ） A. ()(),11,−∞−∪+∞ B. ()2,1−−C. ()(),21,−∞−+∞D. ()()1,1,3−∞−∪+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可列不等式求解.【详解】由于()()ln 1f x x =−的定义域为()(),11,−∞−∪+∞，关于原点对称， 且()()()()ln 1ln 1,f x x x f x −=−−=−=故()f x 为偶函数，而当()1,ln(1)x f x x >=−为单调递增函数，故当1x <−，()f x 单调递减， 由()()12f x f x +<可得112x x <+<，平方得()22114x x <+<，解得<2x −或1x >，故x 的取值范围是()(),21,−∞−+∞ ， 故选：C7. 已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且5633n n S n T n +=+，则使得n na b 为整数的正整数n 的个数为（ ） A. 6 B. 7C. 8D. 9【答案】B 【解析】【分析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得()2121n n S n a −=−，进而可求解.【详解】由于()()()()12121212212122n n n n a a n a n S n a −−+−−===−所以()21215216352924521311n n n n n S a b n T n n n −−−++===−+=+++，要使nna b 为整数，则1n +为24的因数，由于12n +≥，故1n +可以为2,3,4,6,8,12,24，故满足条件的正整数n 的个数为7个， 故选：B8. 已知6644log log log log 49,96x x y y x y =−=+，则xy的值为（ ）A.B.C.1+D.1−【答案】B 【解析】【分析】根据对数和指数的互化关系可得,m n 均满足方程233122kk +=，进而根据一元二次方程210t t +−=的解，即可结合32xy=的单调性求解.【详解】令64log ,log x m y n ==，则6,4mn x y ==，由6644log log log log 49,96x x y y x y =−=+可得649,496m m m n n n =−=+，进而可得2331,22m m =− 故233122m m+=，同理可得233122nn+=，令210t t t +−=⇒=t =，故330,022m n>> ，均为方程210t t +−=的实数根，故32m=，32n=由于函数32xy = 为单调递增函数，所以m n =，6342mm nx y ===， 故选:B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知{}n a 为等比数列，n S 是其前n 项和.若375416,a a a a =与52a 的等差中项为20，则（ ） A. 11a =B. 公比2q =−C. 12n n a −=D. 21n nS =− 【答案】ACD 【解析】【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解公比和首项，进而由求和公式以及通项公式即可求解.【详解】由37516a a a =得52551616a a a ⇒==， 又4a 与52a 的等差中项为20，则4454082a a a +=⇒=，所以公比为542a q a ==， 故31411a q a a =⇒=，故1122,2112nn n n na S −−===−−， 故ACD 正确，B 错误， 故选:ACD10. 已知正数,a b 满足21a b +=，则（ ） A. ab 的最大值为14B.12a b+的最小值为9 C. 224a b +的最小值为14D. 24a b +的最小值为【答案】BD 【解析】【分析】运用基本不等式逐一判断即可. 【详解】A ：因为,a b 是正数，所以1128a b ab =+≥⇒≤，当且仅当2a b =时取等号， 即当11,24a b ==时，ab 有最大值为18，因此本选项不正确； B ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b++=++≥+=，当且仅当22b a a b =时取等号，即当13a b ==取等号，故本选项正确； C ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以2221422a b a b +≤⇒+≥，当且仅当2a b =时取等号，即当11,24a b ==时， 224a b +有最小值12，因此本选项不正确； D ：因为,a b 是正数，21a b +=，所以24a b +≥，当且仅当2a b =时取等号，即当11,24a b ==时，24a b +的最小值为 因此本选项正确， 故选：BD11. 已知函数()323f x x x =−，则（ ） A. ()f x 的图象关于原点中心对称B. ()f x 在区间[]2,1−上的最小值为C. 过点()2,10有且仅有1条直线与曲线()y f x =相切D. 若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数t 的取值范围是()3,1−− 【答案】AD 【解析】【分析】根据奇函数的定义即可判断A ，求导得函数的单调性，即可求解函数的最值，进而判断B ，求解切点处的切线方程，将经过的点代入，利用方程的根即可判断DC.【详解】()323f x x x =−的定义域为R ，且()()()()332323f x x x x x f x −=−−−=−+=−，所以()f x 为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确，()2636f x x x x ′=−=+ ，令()0f x '>得x >或x <故()f x 在,, −∞+∞单调递增，在 单调递减，故()f x 在区间2, − 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，又()210f f −=−，最小值为10−，故B 错误， 设切点为()00,x y ，则切点处切线方程为()()230006323y xx x x x =−−+−，若切线经过()2,10，则将()2,10代入可得()()2320000340210x x x x −+=⇒−−=，所以01x =或02x =，故经过()2,10会有两条切线，C 错误， 若切线经过()1,P t ，则将()1,P t 代入()()2300006323y xx x x x =−−+−得3200463x x t −+−=，令()()322463,()1212121g x x x g x x x x x ′=−+−=−+=−−， 则当01,()0,x g x ′<<>因此()g x 在()0,1单调递增，在(),0∞−和()1,+∞单调递减，作出()g x 的图象如下：()()()()1103g x g g x g ==−==−极大值极小值，， 要使过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，则直线过点y t =与()g x 的图象有三个不同的交点，故3<1m −<−，D 正确， 故选：AD12. 已知函数()()sin (0)f x x ωϕω=+>，则（ ）A. 12,x x 是方程()1f x =的两个不等实根，且12x x −最小值为π，则2ω=B. 若()π,6f x ϕ=在[]0,2π上有且仅有4个零点，则2329,1212ω ∈C. 若()π,6f x ϕ=在ππ,64−上单调递增，则()f x 在()0,2π上的零点最多有3个 D. 若()1,f x ω=的图象与直线(01)y m m =<<连续的三个公共点从左到右依次为,,M N P ，若3PN MN =，则m =【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦函数性质和周期公式可判断A ；函数()f x 由小到大的第4个零点在区间[]0,2π内，第5个零点大于2π求解可判断B ；根据单调性和第3个零点在区间()0,2π内分别求出ω范围即可判断C ；数形结合可得π2MN =，然后可得π2π,4M x k k ϕ+=+∈Z ，即可求出m ，可判断D .【详解】A 选项：由题可知πT =，所以2π2π2πTω===，A 正确； B 选项：若π6ϕ=，令()πsin 06f x x ω=+=得ππ6x k ω+=，即ππ,6k x k ωω=−+∈Z ， 所以，函数()f x 由小到大的第4个零点为π4π6ωω−+，第5个零点为π5π6ωω−+， 由题知，π4π2π6π5π2π6ωωωω−+≤−+> ，解得23291212ω≤<，B 正确； C 选项：由πππ262x ω−≤+≤得2ππ33x ωω−≤≤， 因为()f x 在ππ,64 − 上单调递增，所以2ππ36ππ34ωω −≤−≥ ，解得403ω<≤， 若()f x 在()0,2π上有3个零点，则π3π2π6ωω−+<，解得1712ω>，因174123>，所以C 错误； D 选项：由图可知，2πMP =，又3PN MN =，所以π2MN =，即π2N M x x −=， 因为π2π,22MN x x k k ϕ++=+∈Z ，所以π2π,4M x k k ϕ+=+∈Z ， 所以()πsin sin 2π4M m x k ϕ=+=+=D 正确. 故选：ABD .三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 满足1111,2n na a a +=−=，则2024a =__________. 【答案】12##0.5 【解析】【分析】根据递推式得到数列的周期，应用周期性求对应项.【详解】由题设312411,2, (2)2,,a a a a =−===， 所以{}n a 是周期为3的数列，则202436742212a a a ×+===. 故答案为：12为14. 已知函数()22ln f x x x =−，若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则实数m 的取值范围是__________. 【答案】1[,1)4【解析】【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解.【详解】由()22ln f x x x =−得()21414x f x x x x−′=−=，由于函数()f x 的定义域为()0,∞+，故令()0f x ′≥,解得12x ≥，故()f x 的单调递增区间为1,2+∞， 若()f x 在区间()2,1m m +上单调递增，则12212m m m≥+>，解得114m ≤<， 故答案：1[,1)415. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c D 为BC 边中点，若222,24AD b c =+=，则ABC 面积S 的最大值为__________.【答案】 【解析】【分析】根据向量模长公式即可2cos 8bc A =−，结合基本不等式即可求解12bc ≤，进而根据三角函数的单调性，结合面积公式即可求解.【详解】由于D 为BC 边中点,所以()12AD AB AC =+,平方2222242162cos AD AB AC AB AC c b bc A =++⋅⇒=++,因此2cos 8bc A =−,由于22242b c bc +=≥，所以12bc ≤，当且仅当b c ==时等号成立，故41cos 3A bc −=≤−， 由于cos y x =在()0,π单调递减，故当1cos 3A =−时，A 最小，且为钝角， 114sin sin 2tan 22cos ABC S bc A A A A−===− , 为由于tan y x =在π,π2单调递增，故当tan A 取最小值时，此时面积最大，故当1cos 3A =−时，此时A最小，进而tan A 最小，故面积最大，由1cos 3A =−可得sin tan A A ==−，故面积的最大值为，故答案为：16. 已知函数()212ln 8f x a x a x =−−，若()0f x ≥恒成立，则满足条件的所有整数a 的取值集合为__________.（参考数据：ln20.6931,ln5 1.6094≈≈） 【答案】{1,2,3,4} 【解析】【分析】对函数求导，讨论0a ≤、0a >研究单调性，转化为极小值0f ≥恒成立，构造中间函数2()1ln 8a a a ϕ=+−研究使()0a ϕ≥对应a 的区间，即得答案.【详解】由题意()22f x ax x ′=−=且,()0x ∈+∞， 当0a ≤时()0f x ′<，即()f x 在,()0x ∈+∞上递减，又()1(1)08af a =−≤， 所以，定义域内存在()0f x <，不符合题意；当0a >时，0x<<()0f x ′<，()f x 递减；x >()0f x '>，()f x 递增；所以()21ln 8a f x f a ≥=+−，要使()0f x ≥恒成立，只需21ln 08a a +−≥，令2()1ln 8a a a ϕ=+−且0a >，则214()44a a a a a ϕ−′=−=， 所以，02a <<时()0a ϕ′>，()a ϕ递增；2a >时()0a ϕ′<，()a ϕ递减；由211717()0(1),(4)2ln 210(5)ln 5e 8e 88ϕϕϕϕ=−<<==−>>=−，所以()a ϕ在1(,1),(4,5)e各有一个零点，且a 取两个零点之间的值（含零点）时()0a ϕ≥， 故整数{1,2,3,4}a ∈时()0f x ≥恒成立. 故答案为：{1,2,3,4}【点睛】关键点点睛：利用导数研究()f x 单调性，特殊值判断0a ≤是否能使()0f x ≥恒成立，对于0a >求()f x 的极小值，构造中间函数研究极小值恒大于等于0的情况.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 17. 已知函数()sin (0)f x x x t ωωω=++>，且()f x 的最大值为3，最小正周期为π. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在ππ,36−上的值域，并指出()f x 取得最大值时自变量x 的值. 【答案】（1）π()2sin(2)13f x x =++ （2）值域为[1，()f x 取最大值时自变量x 值为π12【解析】【分析】（1）由辅助角公式化简()f ，即可由周期公式求解2ω=，根据最值可得1t =， （2）由[]x ∈−ππ,36得ππ2π2[,]333x +∈−，即可结合三角函数的性质求解.【小问1详解】1()sin 2(sin cos 2sin()23f x x x t x x t x t ωωωωωπ=++=⋅++++， 所以()f x 的最小正周期2ππT ω==，则2ω=；且()f x 的最大值23t+=，则1t =.所以π()2sin(2)13f x x =++. 【小问2详解】 因为[]x ∈−ππ,36，所以ππ2π2[,]333x +∈−，则πsin(2)[3x +∈，则2sin(2)1[13x π++∈，所以()f x的值域为[1.当()f x 取得最大值时，ππ2=32x +，所以自变量x 的值为π12.的18. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且7943,3a S a =−=. （1）求数列{}n a 通项公式与前n 项和n S ； （2）若n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）211210n n a n S n n =−=−， （2）2210,51050,6n n n n T n n n −≤= −+≥【解析】【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，进而根据公式即可求解，（2）根据当5n ≤时，0n a >，n n n b a a ==；当6n ≥时，0n a <，n n n b a a ==−，即可分类求解，结合等差数列求和公式即可. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111639363(3)a d a d a d +=−+=+ ，解得192a d ==− . 所以数列{}n a 的通项公式为9(1)(2)112n a n n =+−⋅−=−， 数列{}n a 的前n 项和29112102n nS n n n +−=⋅=−. 【小问2详解】 由1120n a n =−>得112n <，所以当5n ≤时，0n a >，n n n b a a ==； 由1120n a n =−<得112n >，所以当6n ≥时，0n a <，n n n b a a ==−. 所以，当5n ≤时，210n nT S n n ==−； 当6n ≥时，1212567()n n n T b b b a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+1251252()()2n n a a a a a a S S ++⋅⋅⋅+−++⋅⋅⋅+=− 2222(1055)(10)1050n n n n ×−−−−+.所以，2210,51050,6n n n n T n n n −≤= −+≥ . 19. 已知函数()()221ln ,f x x a x a x a =−++∈R .（1）若()f x 在1x =处取得极值，求()f x 的极值；的（2）若()f x 在[]1,e 上的最小值为2a −，求a 的取值范围. 【答案】（1）极大值为5ln 24−−，极小值为2− （2）(,1]−∞ 【解析】【分析】（1）根据极值点可得()10f ′=，进而可得1a =，利用导数即可求解函数的单调区间，进而可求解极值，（2）根据导数确定函数单调性，结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】2()(21)ln f x x a x a x =−++，()2(21)af x x a x′=−++，0x >.因为()f x 在1x =处取得极值，所以(1)2(21)0f a a ′=−++=，则1a =.所以2()3ln =−+f x x x x ，21231(21)(1)()23−+−−′=−+==x x x x f x x x x x， 令()0f x ′=得12x =或1，列表得 所以()f x 的极大值为11315()ln ln 224224f =−+=−−，极小值为(1)13ln12f =−+=−. 【小问2详解】22(21)(21)()()2(21)a x a x a x x a f x x a x x x−++−−=−++==′. ①当1a ≤时，()[1,e],0x f x ′∈>，所以()f x 在[1,e]上单调递增，()f x 的最小值为(1)2f a =−，满足题意；②当1e a <<时，令()0f x '>，则x a >或102x <<，所以()f x [1,]a 上单调递减，在[,e]a 上单调递增，此时，()f x 的最小值为()(1)2f a f a <=−，不满足题意； ③当e a ≥时，()f x 在[1,e]上单调递减，()f x 的最小值为(e)(1)2f f a <=−，不满足题意. 在综上可知，实数a 的取值范围时(,1]−∞. 20. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1342n n S n a −=−.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1n n b a =，求证：数列{}n b 的前n 项和32n T <. 【答案】（1）131n n a -=+（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据,n n S a 的关系可得132n n a a −=−，进而可得{1}n a −为等比数列，即可求解， （2）利用放缩法，结合等比数列求和公式即可求证. 【小问1详解】 因为1342n n S n a −=−，所以322n n S a n =+−①当1n =时，1113122a S a +−，所以12a =； 当2n ≥时，113(1)22n n S a n −−=+−− ①-②得133122n n n a a a −=−+，即132n n a a −=−， 则113(1)n n a a −−=−，所以数列{1}n a −构成以111a −=为首项，3为公比的等比数列， 则113n n a −−=，所以131n n a -=+.【小问2详解】 因为131n n a -=+，所以11131nn nb a −==+，所以1221111111313131n n n T b b b −=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+++++ 2111()111133133()11333223213nn n −−<+++⋅⋅⋅+==−⋅<−. 21. ABC 中，角,,A B C 的对边为()223,,,sin sinsin sin sin 222B A a b c a b c A B b A +++=.（1）求角C 的大小；（2）若3,c ABC = 内切圆的半径r =ABC 的面积. 【答案】（1）π3C =（2） 【解析】【分析】（1）利用正弦定理的角边化及降幂公式，结合余弦定理的推论及三角函数的特殊值对应的特殊角即可求解；（2）根据（1）的结论及三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】由正弦定理得223()(sinsin )222B A a b c a b ab +++=， 因为221cos 1cos 1sinsin (cos cos )222222B A B A a b a b a b a B b A −−++=⋅+⋅=−+ 2222221()22222a b a c b b c a a b ca b ac bc ++−+−+−=−⋅+⋅=，所以3()22a b c a b c ab +−++⋅=，则22()3a b c ab +−=，即222a b c ab +−=，由余弦定理得1cos 2C =， 又0πC <<， 所以π3C =. 【小问2详解】由（1）知22()3a b c ab +−=，因为3c =，所以2()93a b ab +−=（*）.又ABC 的面积11sin ()22Sab C a b c r ==++⋅，即11sin (3)232ab a b π⋅=++，则2(3)ab a b =++， 代入（*）式得2()96(3)a b a b +−=++，即(3)(3)6(3)a b a b a b +++−=++，所以36a b +−=，则9a b +=，所以ABC 的面积11()1222S a b c r =++⋅=×=22. 已知函数()()cos 1,x f x g x ax x x==−. （1）若函数()f x 在点π,02A处的切线与函数()g x 的图象有公共点，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）214a −π≥（2）1(,0)[,)2−∞∪+∞ 【解析】【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解切线方程，联立方程转化为一元二次方程，利用判别式即可求解,（2）将问题转化为2()cos 10h x x ax =+−=没有实数根，求导，利用导数确定函数的单调性,分类讨论，进而结合零点存在性定理即可求解. 【小问1详解】 因为cos ()xf x x=，所以2sin cos ()x x x f x x −−′=， 则()f x 在点π,02A处的切线斜率为2()2f π′=−π，所以切线方程为2()2y x π=−−π，即21πy x =−+. 由21π1y x y axx=−+=−得211x ax x −+=−π，即22()10a x x −+−=π. 因为函数定义域为{|0}x x ≠，所以方程22()10a x x −+−=π有非零实数根， 当2πa =时，1x =，符合题意，当2πa ≠时，则214()0a ∆+−π≥，即214a −π≥，且2πa ≠，所以实数a 的取值范围是21π4a ≥−.【小问2详解】因为函数()f x 和函数()g x 的图象没有公共点，所以()()f x g x =，即cos 1x ax x x=−无实根， 所以当0x ≠时，2()cos 10h x x ax =+−=无实根， 因为()()h x h x −=，即()h x 是偶函数，所以2()cos 10h x x ax =+−=在(0,)+∞上无实根. ()2sin h x ax x ′=−，记()()2sin m x h x ax x ′==−则()2cos m x a x ′=−，,()0x ∈+∞. ①当0a <时，20ax <，又1cos 1x −≤≤，则cos 10x −≤，所以2()cos 10h x x ax =+−<，满足()0h x =在(0,)+∞上无实根.②当0a =时，()cos 10h x x =−=在(0,)+∞上有实根，不合题意，舍去. ③当12a ≥时，()2cos 0m xa x ′=−≥，所以()2sin h x ax x ′=−在(0,)+∞单调递增， 则()(0)0h x h ′′>=，所以2()cos 10h x x ax =+−=在(0,)+∞上单调递增， 所以()(0)0h x h >=，满足()0h x =在(0,)+∞上无实根. ④当102a <<时，因为()2cos m xa x ′=−在π(0,)2单调递增，且(0)210m a ′=−<，()202m a π′=>， 则存在唯一的0π(0,)2x ∈，使00()2cos 0m x a x ′=−=，列表得 所以当0(0,)x x ∈时，()(0)0h x h ′′<=，则()h x 在0(0,)x 单调递减，则()(0)0h x h <=， 又因为2(2)40h a π=π>，且()h x 在(0,)+∞上连续，所以2()cos 10h x x ax =+−=在(0,2π)上有实根，不合题意. 综上可知，实数a 的取值范围是1(,0)[,)2−∞∪+∞. 【点睛】方法点睛：1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
2023-2024学年江苏省决胜新高考高三上学期10月大联考数学试题及答案
决胜新高考——2024届高三年级大联考本试卷共6页，22小题，满分150分。
考试时间120分钟。
数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
2．设全集 12345U ，，，，，若 2A B ， 4U A B ，15U U A B ，，则 A ．3A ，且3B B ．3A ，且3B C ．3A ，且3BD ．3A ，且3B3．已知不共线的两个非零向量，a b ，则“+a b 与 a b 所成角为锐角”是“|||| a b ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数 22sin 221x y x x ，的图象大致为6．已知函数π()sin()(6f x x 在π(π)2，上单调递减，则 的取值范围是 A ．403，B ．45[33，C ．1(02，D ．5[1]3，7．已知πsin sin =31，则πcos =3A ．12B ．3C ．23D ．28．已知 2ln332ln 33ln 3a b c ，，，则A ．a c bB ．c a bC ．a b cD ．b c a 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
江苏省四校联考高三数学试卷(文科)
江苏省四校联考高三数学试卷（文科）一、选择题1、满足条件MU{1，2}={1，2，3}的集合M 的个数是（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、42、函数f(x)=xx e cos sin -的最小正周期为（ ）A 、4π B 、2πC 、πD 、2π 3、“a ＞1”是“a1＜1”成立的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 4、若函数y=f （x ）的定义城为[0、1]，则下列函数中，可能是偶函数的是（ ） A 、y=-2f(x) B 、y=f(2x) C 、y=f(-2x) D 、y=f(x 2)5、△ABC 三个顶点A 、B 、C 到平面α的距离分别为2cm 、3cm ，4cm 且它们在α的同侧，则△ABC 的重心到平面α的距离为（ ） A 、2cmB 、3cmC 、4cmD 、9cm6、已知无究数列{n a }是各项均为正数的等差数列，则有（ ） A 、64a a ＜86a a B 、64a a ≤86a a C 、64a a ＞86a a D 、64a a ≥86a a7、平面上点P 与不共线三点A 、B 、C 满足关系式：PA+PB+PC=AB ，则下列结论正确的是（ ）A 、P 在CA 上，且CP=2PAB 、P 在AB 上，且AP=2PBC 、P 在BC 上，且BP=2PCD 、P 为△ABC 的重心8、直线MN 与双曲线C ：22a x -22by =1的左、右两支分别交于M 、N 两点，与双曲线C 的右准线相交于点P ，F 为右焦点，若|FM|=2|FN|又NP=λPM （λ∈R ），则实数λ的取值为（ ）A 、21B 、1C 、2D 、319、函数f(x)=142sin 42cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππx x 是（ ）A 、周期为π的奇函数B 、周期为π的偶函数C 、周期为2π的奇函数D 、周期为2π的偶函数10、口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }，⎩⎨⎧-=次摸取白球第次摸取红球第n n a n 11,如果Sn 为数列{n a }的前n 项和，那么S 7=3的概率为（ ） A 、5257)32()31(CB 、4337)31()32(CC 、5257)31()32(CD 、4337)32()31(C 11、如果)('x f 是二次函数，且)('x f 的图象开口向上，顶点坐标为（1，-3），那么曲线y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（ ）A 、（0，32π]B 、[0，2π）U[32π，π）C 、[0，2π] U [32π，π]D 、[2π，32π]12、如果数列{n a }满足：首项a 1=1，且1+n a = )(2)(2为偶数为奇数n a n a n n +，那么下列说法中正确的是：（ ）A 、该数列的奇数项a 1、a 3、a 5，…成等比数列，偶数项a 2、a 4、a 6，…成等差数列；B 、该数列的奇数项a 1、a 3、a 5，…成等差数列，偶数项a 2、a 4、a 6，…成等比数列；C 、该数列的奇数项a 1、a 3、a 5，…分别加上4后构成一个公比为2的等比数列；D 、该数列的奇数项a 2、a 4、a 6，…分别加上4后构成一个公比为2的等比数列；弋阳一中 铅山一中 四校联考高三数学(文科)答题卡横峰一中 德兴一中题号 选择题 填空题1718 19 20 21 22 总分 分数一、选择题（每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案二、填空题（每小题4分，共16分）13、二项式922⎪⎭⎫⎝⎛-x x 展开式中x 1的系数为 。
2024届江苏省淮安市高中校协作体高三上学期期中考数学试题及答案
淮安市高中校协作体２０２３～２０２４学年度第一学期高三年级期中联考
数学试卷
考试时间：120分钟总分：150分命题人：
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．全部选对得5分，
每小题
空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a4=−2，S10=25．
(1)求数列{a n}的通项公式； (2)求S n的最小值及取得最小值时n的值．
20. （本题满分12分）
淮安市高中校协作体２０２３～２０２４学年度第一学期高三年级期中联考
数学试卷参考答案
考试时间：120分钟总分：150分命题人：
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．全部选对得5分，
空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位
四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）
．８分
20. （本题满分12分）
从下列两个条件中任选一个作为已知，补充在上面问题的横线中进行求解（若两个都 。
2025届四校联考高三数学期中考试试卷及答案
上海（四校联考）2024学年高三数学第一学期期中考试试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合{}265<0A x x x =-+，{}0,1,2B =，则A B ⋂=___________．【答案】：{}22．已知向量(1,2)a =- ，(3,2)b = ，则b 在a方向上的数量投影为_____________．【答案】：52.53．曲线xy e =在点(01)，处的切线方程为_______．【答案】：1y x =+4．某老年健康活动中心随机抽取了6位老年人的收缩压数据，分别为120，96，153，146，112，136，则这组数据的40%分位数为__________．【答案】：1205．二项式6(3x 的展开式中，常数项为_______．【答案】：18-6．关于x 的方程100910152024x x x +++-=的解集为__________．【答案】：{}07．已知>0x ，>0y ，4x y xy +=，则x y +的最小值为________．【答案】：98．《九章算术》卷五《商功》中有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺.”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺.”（注：刍童为上下底面是相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），则《商功》中提及的这个刍童的外接球表面积为________平方尺．【答案】：41π9．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为2x xe e shx --=，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移12个单位，再向上平移2个单位，得到函数()y f x =的图象，并且数列{}n a 满足条件(2025n na f =，则数列{}n a 的前2024项和2024S =________________．【答案】：202310.已知椭圆Γ：22143x y +=，点1F 和2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点，则12PF F △内切圆半径的最大值为__________．【答案】：404811.在ABC △中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，若2222024a b c +=，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B =+________．【答案】：3312．若关于x 的方程2(ln )20x x e a x x a -⋅-+-=在(0,1]上有两个不等的实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】：311(,]3e e二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13．设z C ∈，则1z R z+∈是1z =的（）条件．A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】：B14．在ABC △中，10BC =，M 为BC 中点，4AM =，则AB AC ⋅= （）．A .9-B .16-C .9D .16【答案】：14. A15．已知定义在R 上的函数()y f x =，其导数为()f x '，记()()g x f x '=，且()()4f x f x x --=，()(2)0g x g x +-=，则下列说法中正确的个数为（）．（1）(0)1g =；（2）()f x y x=的图象关于(0,2)对称；（3）()(2)0f x f x +-=；（4）21()nk g k n n==-∑．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B16．已知正项数列{}n a 满足1112ln n n n a a a ++=-，下列说法正确的是（）．A ．当10<<1a 时，数列{}n a 单调递减B ．当1>1a 时，数列{}n a 单调递增C ．当10<<1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，01<2n n a D ．当1>1a 时，存在正整数0n ，当0n n ≥时，0<2n n a 【答案】：D三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．某市数学竞赛初赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取100名学生，得到他们的成绩，将数据分成五组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）若只有前35%的学生能进决赛，则入围分数应设为多少分？（2）采用分层随机抽样的方法从成绩为[80,100]的学生中抽取容量为6的样本，再从该样本中随机抽取2名学生进行问卷调查，设X 为其中达到90分及以上的学生的人数，求X 的概率分布及数学期望.【解析】：（1）成绩在区间[80,100]的比例为：(0.0100.005)100.150.35+⨯=<；（2分）成绩在区间[70,100]的比例为：0.150.04100.550.35+⨯=>，因此65%分位数位于区间[70,80)；（4分）因此入围分数为：0.40.27010750.4-+⨯=，因此入围分数应设为75分；（6分）（2）在这六个人中，有两人的分数在90分及以上，因此0,1,2X =，(0)P X =2426C C =25=（8分）1124268(1)15C C P X C ⋅===（10分）(2)P X =2226C C=115=，则X 的概率分布为：01228151515⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（12分）所以X 的数学期望为812[]1215153E X =⨯+⨯=.（14分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()y f x =是定义在(1,1)-上的奇函数，并且当0x >时，()cos sin(223x x f x π=⋅+2cos 2x（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求关于x 的不等式21(log 1)()(0)2f x f x f ++-<的解集.【解析】：（1）当01x <<时，()fx 1sin()234x π=-+；（2分）当0x =时，()0f x =；当10x -<<时，0x ->，()()f x f x -=-=1sin(234x π+-；（4分）因此1sin(1234()0, 0133sin()1 0234x x f x x x x ππ⎧-+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+--⎪⎩<<<<；（6分）（2）当(0,1)x ∈时，13336x ππππ---<<<，因此有()y f x =在(0,1)上严格增；（8分）而当0x =时1333sin()02342x π-+=>，因此有()y f x =在(1,1)-上严格增；原不等式可化为：21(log 1)()2f x f x +-<；（10分）而()y f x =是定义在(1,1)-上的严格增函数，所以221log 1111121log 12x x x x ⎧⎪-+⎪⎪--⎨⎪⎪+-⎪⎩<<<<<；（12分）因此不等式的解集为11(,42.（14分）19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱锥P ABC -中AC BC ⊥，平面PAC ⊥平面ABC ，2PA PC AC ===，4BC =，E ,F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l.（1）求证：直线EF ⊥平面PAC ；（2）若直线l 上存在一点Q （与B 都在AC 的同侧），且直线PQ 与直线EF 所成的角为4π，求平面PBQ 与平面AEF 所成的锐二面角的余弦值.【解析】：（1）证明：BC AC ⊥ ，平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =BC ∴⊥平面PAC ；（2分）又E 、F 分别为PB 、PC 的中点，//BC EF ∴；（4分）EF ∴⊥平面PAC ；（6分）（2）BC AC ⊥ ，∴以C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A ，(0,4,0)B，P，1(,0,)22E，1(,2,22F ，而//EF BC ，BC 不在平面AEF 上，EF ⊂平面AEF ，//BC ∴平面AEF ，//l BC ∴，设Q 点坐标为(2,,0)(0)y y ≥，(1,PQ y = ，(0,2,0)EF = ，cos ,PQ EF ∴=2=，即2y =，则Q 点坐标为(2,2,0)；（8分）设平面PBQ 的法向量000(,,)n x y z = ，即0n PQ n BQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0000020220x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，取01x =，可得n = ；（10分）设平面AEF 法向量为111(,,)m x y z = ，则0m AE m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，取11x =，可得m = ；（12分）cos ,5m n ∴== ，即平面PBQ 与平面AEF所成的锐二面角的余弦值为5.（14分）20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知点G 是圆22:(1)16T x y ++=上一动点（T 为圆心），点H 的坐标为(1,0)，线段GH 的垂直平分线交线段TG 于点R ，动点R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）M ，N 是曲线C 上的两个动点，O 是坐标原点，直线OM 、ON 的斜率分别为1k 和2k 且1234k k =-，则MON △的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；（3）设P 为曲线C 上任意一点，延长OP 至Q ，使3OQ OP =，点Q 的轨迹为曲线E ，过点P 的直线l 交曲线E于A 、B 两点，求AQB △面积的最大值.【解析】：（1）RH RG =，则42RT RH RT RG GT TH +=+===>，则曲线C 是以(1,0)-和(1,0)为焦点，4为长轴的椭圆；（2分）设椭圆方程为22221x y a b +=，则2,1a c ==，2223b a c =-=，曲线C ：22143x y +=；（4分）（2）设(2cos )M ϕϕ，(2cos )N θθ，则123sin 3sin 2cos 2cos k k ϕθϕθ==⋅34-，即cos()0θϕ-=；（7分）12cos 2cos )2MON S ϕθθϕθϕ∴=-=-=△为定值；（10分）（3）设点(,)Q x y ，则点(,33x y P ，代入椭圆方程得到曲线E ：2213627x y +=；当直线l 的斜率不存在时：设:([2,2])l x n n =∈-，代入E 中有223274y n =-，则2AQB AOB S S ==≤△△（12分）当直线l 斜率存在时：设:l y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，代入E 的方程：222(43)841080k x mkx m +++-=，则122843km x x k -+=+，2122410843m x x k -=+；（14分）122AQB AOBS S m x x ==-==△△；（16分）而l 与椭圆C 有公共点，代入得：222(43)84120k x kmx m +++-=，由0∆≥有2243k m +≥，记2243m t k =+，则AQB S =≤△，综上，AQB △面积的最大值为.（18分）21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()y f x =的表达式为()(2ln )()f x x ax x a R =-∈.（1）当1a =时，求()y f x =的单调增区间；（2）若当1x >时，()1f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：5740472ln1012233420232024+++⨯⨯⨯ >.【解析】：（1）1a =时，2()(2ln )2ln f x x x x x x x =-=-，则()2(ln 1)f x x x '=--（2分）令()ln 1g x x x =--，则1()1g x x'=-，则()g x 在(0,1)上严格减，(1,)+∞上严格增，则()(1)0g x g ≥=，即()f x 在(0,)+∞上严格增，因此函数()y f x =的增区间为(0,)+∞；（4分）（2）()22(1ln )2(ln 1)f x ax x ax x '=-+=--，记()ln 1h x ax x =--，则1()h x a x'=-，若1a ≥，则1a1≤，即1x >时()0h x >，()f x ∴在(1,)+∞上严格增，()(1)1f x f a >=>，满足要求；（6分）若(0,1)a ∈，则11a >，1(1,x a ∈时()0h x <，则1()(1,f x a 在上严格减，故当1(1,x a ∈时，()(1)1f x f a <=<，不满足要求；（8分）若(,0]a ∈-∞，则()0h x <，()f x 在(1,)+∞上严格减，则()(1)1f x f a <=<，不满足要求；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.（10分）（3）由（2）可知1a =时2()2ln 1f x x x x =->，则12ln (1)x x x x <->，取21n x n +=+，则221232ln112(1)(2)n n n n n n n n n ++++<-=+++++，即2322ln (1)(2)1n n n n n ++>+++；（14分）20222022112323420242ln 2ln()2ln 2012(1)(2)1232023n n n n n n n ==++∴>=⨯⨯⨯=+++∑∑ ，即572334+⨯⨯40472ln101220232024++⨯ >.。
江苏省淮安市数学高三上学期理数10月月考试卷
江苏省淮安市数学高三上学期理数10月月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高一下·芦溪期末) 不等式（x+2）（x﹣1）＞0的解集为（）A . {x|x＜﹣2或x＞1}B . {x|﹣2＜x＜1}C . {x|x＜﹣1或x＞2}D . {x|﹣1＜x＜2}2. （2分）(2017·陆川模拟) 已知命题p：∀x∈（1，+∞），x3+16＞8x，则命题p的否定为（）A . ￢p：∀x∈（1，+∞），x3+16≤8xB . ￢p：∀x∈（1，+∞），x3+16＜8xC . ￢p：∃x0∈（1，+∞），x03+16≤8x0D . ￢p：∃x0∈（1，+∞），x03+16＜8x03. （2分） (2019高一上·绵阳期中) 已知a=log20.3，b=20.1 ， c=0.21.3 ，则a，b，c的大小关系是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·杭州期末) 已知角的终边经过点，则A .B .C .D .5. （2分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成”函数.给出下列函数：①；②；③；④.其中“互为生成”函数的是（）A . ①②B . ②③C . ③④D . ①④6. （2分） (2018高一下·山西期中) 在中，下列命题正确的个数是（）① ；② ；③点为的内心，且 . ，则为等腰三角形；④ ，则为锐角三角形．A . 1B . 2C . 3D . 47. （2分）已知a>0.b>0,,a,b等差中项是,且,,则最小值（）A . 3C . 5D . 68. （2分）已知直线与圆交于两点，则与向量(为坐标原点)共线的一个向量为（）A .B .C .D .9. （2分）一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为，公差为，则这个多边形的边数为（）A . 8B . 9C . 16D . 9或1610. （2分）已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P－ABCD的四个侧面中的最大的面积是（）B .C . 6D . 811. （2分） (2016高二上·惠城期中) 设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A . 2B . 3C . 4D . 912. （2分）设f(x)是定义在R上的偶函数，对x∈R ，都有f(x+4)=f(x)，且当x∈[－2,0]时，f(x)＝（）x－1，若在区间(－2，6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a＞1)恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A . (1,2)B . (2，＋∞)C . (1,)D . (,2)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·张家口期中) 设复数，则复数的共轭复数为________．14. （1分） (2017高二下·吉林期末) 设△ABC的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且a＝2，cosC＝－，3sinA＝2sinB ，则c＝________．15. （1分） (2016高一下·亭湖期中) 将函数f（x）=cosx的图象向右平移个单位后所得的图象的函数解析式为________．16. （1分） (2017高三上·孝感期末) 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （5分）(2017·茂名模拟) 已知函f（x）=sin（2x﹣）﹣cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值时x的集合；（Ⅱ）设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，b=1，，且a＞b，求角B和角C．18. （10分）(2012·湖北) 已知等差数列{an}前三项的和为﹣3，前三项的积为8．（1）求等差数列{an}的通项公式；（2）若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和．19. （10分）(2018·商丘模拟) 在中，内角所对的边分别为，若，且 .（1）求证：成等比数列；（2）若的面积是2，求边的长.20. （10分） (2018高二下·河北期中) 已知数列的前项和为，且满足， .（1）写出，，，并推测数列的表达式；（2）用数字归纳法证明（1）中所得的结论.21. （5分） (2016高一下·湖南期中) 已知函数f（x）= ．（1）判断函数f（x）在区间（0，1）和[1，+∞）上的单调性（不必证明）；（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求的值；（3）若存在实数a，b（1＜a＜b）使得x∈[a，b]时，f（x）的取值范围是[ma，mb]（m≠0），求实数m的取值范围．22. （10分） (2015高二下·广安期中) 在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（α为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ=cosθ．（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若P，Q分别是曲线C1和C2上的任意一点，求|PQ|的最小值．23. （10分）解答题（Ⅰ）已知a和b是任意非零实数满足|2a+b|+|2a﹣b|≥λ|a|，求实数λ的最大值．（Ⅱ）若不等式|2x+1|﹣|x+1|＞k（x﹣1）﹣恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、23-1、。
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淮安市十月四校联考数学试卷 2008.10本试卷分填空题和解答题两部分，试卷共3页，总分为160分，考试时间120分钟．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分1.下列命题中真命题的个数有 ▲ 个（1）2,10x R x x ∀∈-+>（2）{}1,1,0,10x x ∀∈-+>（3）3,x N x x ∃∈≤使2.已知：函数()()2411f x x a x =+-+在[)1,+∞上是增函数，则a 的取值范围是 ▲3.已知点()3,1--和()4,6-在直线320x y a --=的两侧，则a 的取值范围是 ▲4.若数列{}n a 的前n 项和225n S n n =++，则567a a a ++= ▲ 5.22cos 75cos 15cos75cos15++的值等于 ▲6.已知：,01(),(())3ln ,0x e x g x g g x x ⎧≤==⎨>⎩则 ▲ 7.设,x y 为正实数，且33log log 2x y +=，则11x y +的最小值是 ▲. 8.已知：集合{{}2,23,A x y B y y x x x R ====--∈，则()R C A B =▲9.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，已知：60,1,4A b c ===，则sin B 的值等于_ ▲10.已知向量(3,4),//,1,b a b a b =-=向量则等于 ▲ 11.如果实数.x y 满足不等式组22110,220x x y x y x y ≥⎧⎪-+≤+⎨⎪--≤⎩则的最小值是 ▲12.已知数列{}n a 满足12a =,111n n a a +=-+,则2008a = ▲ 13. △ABC 内接于以O 为圆心的圆，且3450OA OB OC +-=．则C ∠= ▲14.已知：函数()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，若()22f =，则()2006f 的值为 ▲二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分14分）已知命题p:()()2lg 1f x x ax =++的定义域为R ，命题q ：关于x 的不等式2x x a +->1的解集为R ，若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数a 的取值范围.16.（本题满分14分）已知：()()()()5,0,0,5,cos ,sin ,0,A B C αααπ∈（1）若AC BC ⊥，求sin 2α（2）若31OA OC +=OB 与OC 的夹角17.（本题满分15分）已知：数列{}n a 满足()211232222n n n a a a a n N -+++++=∈…… （1）求数列{}n a 的通项（2）若n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项的和n S18.（本题满分15分）北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x 元（x ∈N *）．（Ⅰ）写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y （元）与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式（并写出这个函数的定义域）；（Ⅱ）当每枚纪念销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y （元）最大，并求出这个最大值．19. （本题满分16分）对于定义域为[]0,1的函数()f x ，如果同时满足以下三条：①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②(1)1f =；③若12120,0,1x x x x ≥≥+≤，都有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则称函数()f x 为理想函数．(1) 若函数()f x 为理想函数，求(0)f 的值；(2)判断函数()21x g x =-])1,0[(∈x 是否为理想函数，并予以证明；(3)若函数()f x 为理想函数，假定∃[]00,1x ∈，使得[]0()0,1f x ∈，且00(())f f x x =，求证00()f x x =．20. （本题满分16分）设正项数列｛n a ｝的前项和为S n ，q 为非零常数。
已知对任意正整数n , m ，当n ＞ m 时，m n m m n S q S S -⋅=-总成立。
（1）求证数列｛n a ｝是等比数列；(2)若正整数n , m , k 成等差数列，求证：n S 1＋k S 1≥mS 2.（命题校对：茹跃华 张海）淮安市十月四校联考数学试卷答题纸 200810 一、填空题： 1._________________2.___________________3._________________4.____________ 5._________________6.___________________7._________________8.____________ 9._________________10.__________________11.________________12.___________ 13.________________14.___________________ 二、解答题： 解答题答案必须答在矩形框内，答在框外无效。
班级姓名座号……………………○…………………密……………○……………封……………○……………线……………………○……………………解答题答案必须答在矩形框内，答在框外无效。
淮安市十月四校联考数学试卷参考答案及评分标准（仅供参考）200810一、填空题 1. 2 2.32a ≤ 3.724a -<< 4.39 5.54 6.13 7.23 8.()1,4,12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 3434(,)5555--或（，） 11. 5 12. 2 13. 0135 14.2 二、解答题：15.解：p 为真命题时，240a =-<……………………………………………………2分 22a -<<………………………………………………………4分 P 为真命题时，令()22,222,2x a x a g x x x a a x a -≥⎧=+-=⎨<⎩()2g x a ∴=小……………………………………………………6分|2|1x x a +->的解集为R1212a a ∴>>即……………………………………………………7分 又“p 或q 为真”，“p 且q ”为假∴P ，q 中一真一假…………………………………………………………………8分∴22221122a a a a a ⎧-<<≤-≥⎧⎪⎪⎨⎨≤>⎪⎪⎩⎩或或………………………………………………12分 ∴1222a a -<≤≥或 ∴a 的取值范围是1222a a -<≤≥或……………………………………………14分 16.解（1）()()cos 5,sin ,cos ,sin 5AC BC αααα=-=-…………………………1分 AC BC ⊥∴()()cos cos 5sin sin 50AC BC αααα⋅=-+-=即1sin cos 5αα+=………………………………………………………………4分 ∴()21sin cos 25αα+= ∴24sin 225α=-………………………………………………………………7分 （2）()5cos ,sin OA OC αα+=+ ∴(5OA OC +==9分 ∴1cos 2α=又()0,απ∈ ∴sin 2α=, 1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∴53OB OC ⋅=11分设OB 与OC 夹角为θ，则 52cos 51OB OC OB OCθ⋅===⋅⋅ ∴30θ︒= , OB 与OC 夹角为30︒……………………………………14分 17．解（1）n=1时， 112a =………………………………………………………………1分 2n ≥时，211232222n n n a a a a -++++=…… （1） 22123112222n n n a a a a ---++++=…… （2）………………3分 （1）-（2）得 1122n n a -=， 12n n a =……………………………………5分 又112a =适合上式 ∴12n n a =…………………………………………7分 （2）2n n b n =⋅………………………………………………………………………8分 231222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅……()23121222122n n n S n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅………………………………10分 ∴()21122222n n n S n +-=+++-⋅……()111212222212n n n n n n +++-=-⋅=--⋅-…………………………13分∴()1122n n S n +=-+………………………………………………………15分18.解：（I ）依题意[2000400(20)](7),[2000100(20)](7),x x y x x +--⎧=⎨---⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈…………………3分 ∴ 400(25)(7100(40)(7),x x y x x --⎧=⎨--⎩**720,2040,x x N x x N<≤∈<<∈ ………………………5分 此函数的定义域为*{|740,}x x x N <<∈ ………………………7分 （Ⅱ）22400[(16)81],271089100[(),24x y x ⎧--+⎪=⎨--+⎪⎩**720,2040,x x N x x N <≤∈<<∈ …………………………9分 当720x <≤，则当16x =时，max 32400y =（元）；…………………………11分 当2040x <<，因为x ∈N *，所以当x ＝23或24时，max 27200y =（元）；……13分 综合上可得当16x =时，该特许专营店获得的利润最大为32400元．……………15分19. 解：（1）取021==x x 可得0)0()0()0()0(≤⇒+≥f f f f ．……………………1分又由条件①0)0(≥f ，故0)0(=f ．………………………3分（2）显然12)(-=x x g 在[0，1]满足条件①0)(≥x g ；...........................4分 也满足条件②1)1(=g ． (5)若01≥x ，02≥x ，121≤+x x ，则)]12()12[(12)]()([)(21212121-+---=+-++x x x x x g x g x x g0)12)(12(1222122121≥--=+--=+x x x x x x ，即满足条件③，..................8分 故)(x g 理想函数． (9)（3）由条件③知，任给m 、∈n [0，1]，当n m <时，由n m <知∈-m n [0，1]，)()()()()(m f m f m n f m m n f n f ≥+-≥+-=∴．………………………11分 若)(00x f x <，则000)]([)(x x f f x f =≤，前后矛盾；………………………13分 若)(00x f x >，则000)]([)(x x f f x f =≥，前后矛盾．………………………15分故)(00x f x = ． ………………………16分20.（1）因为对任意正整数n , m ，当n ＞ m 时，m n m m n S q S S -⋅=-总成立。