数学建模模拟试题(一)

数学建模模拟试题（一）
一、填空题（每题5分，共20分）
1. 若,,
x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是 .
2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 .
3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 .
4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型.
二、分析判断题（每小题15分，满分30分）
1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.
2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是
),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断，当事故发生时，司
机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml /mg (.
（提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为
t t kC t C t t C ∆-=-∆+)()()(
其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.）
三、计算题（每题25分，满分50分）
1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：
（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
2. 三个砖厂321,,A A A 向三个工地321,,B B B 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案，使总费用最小？
数学建模模拟试题（一）参考答案
一、填空题（每题5分，共20分）
1. k kx y ,=是比例常数；
2. )()(2211t n p m t n p m +<+；
3. 增长率是常数还是人口的递减函数；
4. 类比.
二、分析判断题（每小题15分，满分30分）
1. 问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个： （1）教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的限制等； （2）学生：是否连续上课，专业课课时与公共基础课是否冲突，选修人数等； （3）教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件；
（每个因素3分） 2. 设)(t C 为t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为
,/kC C -=
其通解是,e
)0()(kt
C t C -=而)0(C 就是所求量.
由题设可知,40)5(,56)3(==C C 故有 56e )0(3=-k
C 和 ,40e )0(5=-k C
由此解得
.94e 56)0(17.040/56e 32≈=⇒≈⇒=k k C k
可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定.
三、计算题（每题25分，满分50分）
1. 设21,x x 表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件： ,902321≤+x x ,303221≤+x x ,805821≤+x x 目标函数满足 ,680580m ax 21x x z += 合在一起便是所求线性规划模型：
,680580m ax 21x x z +=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=≥≤+≤+≤+.2,1,0,8058,3032,902321
2
121j x x x x x x x j （1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地.计算知：
最优解为 ,)740,745(
T
*
=X 目标值为 7
53300
max =z （万元）.
（2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知羊毛有7
2
59
单位的剩余量. 2. 本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解，
其次对方案进行最优性检验：
λ11 = 10-4+6-7=5 > 0， λ12 = 6-4+6-5=3 > 0， λ31 = 8-7+5-3=3 > 0， λ33 = 9-3+5-6=5 > 0，
故上述方案已是最优方案，即总运费最低的调运方案为：
2150
3310223021160231701,,,,B A B A B A B A B A −→−−→−−→−
−→−−→− 总费用为 2460150310630516071704=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）.
数学建模模拟试题（二）
一、填空题（每题5分，共20分）
1. 设S 表示挣的钱数，x 表示花的钱数，则“钱越多花的也就越多”的数学模型可以简单表示为 .
2. 假设,,21x C Y Y C S ∝∝则S 与x 的数学关系式为 ，其中21,C C 是常数.
3. 在建立人口增长问题的罗捷斯蒂克模型时，假设人口增长率r 是人口数量)(t x 的递减函数，若最大人口数量记作,m x 为简化模型，采用的递减函数是 .
4. 一次晚会花掉100元用于食品和饮料，其中食品至少要花掉40%，饮料起码要花30元，用f 和d 列出花在食品和饮料上的费用的数学模型是 .
二、分析判断题（每题15分，满分30分）
1. 作为经济模型的一部分，若产量的变化率与生产量和需求量之差成正比，且需求量中一部分是常数，另一部分与产量成正比，那么相应的微分方程模型是什么？.
2. 考虑在一片面积为定数的草地上进行牛的养殖问题.为了获得最大经济效益，指出建立该问题数学模型应该考虑的相关因素至少5个.
三、计算题（每题25分，满分50分）
1. 设某小型工厂使用A ，B 两种原料生产甲、乙两种产品，按工艺，生产每件产品甲需要原料A ，B 依次为6、5个单位，生产每件产品乙需要原料A ，B 依次为2、10个单位，两种原料的供给量依次为18和40个单位，两种产品创造的产值分别为1万元和2万元，试建立其生产规划模型，并回答以下问题：
（1）产值最大的生产方案是什么？最大产值是多少？方案是否有可选择余地？若有请至少再给出一个.
（2）依你所给最优方案，说明原料的利用情况.
2. 如图一是某村镇9个自然屯（用91,,v v 表示）间可架设有线电视线路的最短距离示意图，边旁数字为距离（单位：km ）.若每km 的架设费用是定数20元/m ，试协助有线电视网络公司设计一个既使得各村屯都能看到有线电视又使架设费用最低的路线，并求出最小架设费用.
数学建模模拟试题（二）参考答案
一、填空题（每题5分，共20分） 1. 0,>=k kx S ；
2. kx x C C k k S ==2121，其中2121C C k k k =；
3. )1()(m
x x
r x r -
=； 4. 30,4.0)/(,100≥≥+≤+d d f f f d .
二、分析判断题（每题15分，满分30分）
1. 令x 表示产量，y 表示需求量，则有)(d d x y k t
x
-=以及,bx a y +=其中k b a ,,均为常数.将后一式代入前一式即可得到
d cx t
x x b a k t x +=⇒-+=d d ))1((d d
2. 饲料来源、公羊与母羊的比例、饲料冬储、繁殖问题、羊的养殖年限、出售时机、
v 1 v 2 v 3 v 4 v 6 v 5 v 7
v 9 v 8 3 4 6 2 5 4 11 3 6 4 2 8 7 5
图一
羊制品及其深加工等.
三、计算题（每题25分，满分50分）
1. 设生产甲、乙两种产品的数量依次为,,21x x z 表示总产值，则有模型如下：
212m ax x x z +=
⎪⎩⎪
⎨⎧=≥≤+≤+.2,1,0401051826..2121j x x x x x t s j
使用图解法易得其产值最大的生产方案将有无穷多组（这是因为第二个约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率相等），其中的两个方案可以选为该直线段上的两个端点：
,)4,0(,)3,2(T 2
T
1
==X
X
最大产值均为 8=z （万元）
（2）按照上面的第一个解，原材料全部充分利用；而按照第二个解，原材料A 将有10个单位的剩余量，原材料B 将被充分利用（但产品甲不生产）.
2. 由题意可知，只需求出该网络图的最小树即可.利用破圈法容易得树形图（图二）：
故得架设路线为:
总架线长度为27km ，故总架设费用为 5420100027=⨯⨯（万元）
图二 v 1 v 2 v 3 v 4 v 6 v 5 v 8 v 7 v 9 4 3
2 4
3 4
2 5。