2017-2018年山东省烟台市高二(上)期中数学试卷和参考答案

2017-2018学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若实数a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣c＞b﹣c C．D．ac＞bc2．（5分）数列，﹣，，﹣，…的一个通项公式为（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+13．（5分）不等式的解集为（）A． B．C．D．4．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定5．（5分）中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的．已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈．问每天多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）．此问题的答案为（）A．390尺B．尺C．尺D．尺6．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．97．（5分）在△ABC中，a=2，，△ABC的面积等于，则b等于（）A．B．1 C．D．28．（5分）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．0≤k≤1 B．0≤k＜1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥19．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．10．（5分）在等比数列{a n}中，a4•a8=2，a2+a10=3，则=（）A．2 B．C．2或D．﹣2或11．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A．（4，5） B．（﹣3，﹣2）∪（4，5） C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5] 12．（5分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是（）A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=18﹣a7，S8=．15．（5分）设x，y满足约束条件，目标函数2z=2x+ny（n＞0），若z最大值为2，则n的值等于．16．（5分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T 3=21，求S3．18．（12分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且（10＜x＜100），该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W（万元），（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式，并求年利润的最大值；（2）为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范围．19．（12分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．20．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若向量与向量共线，且A=120°．（1）求a：b：c；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．21．（12分）在数列{a n}中，a1=4，前n项和S n满足S n=a n+1+n．（1）求证：当n≥2时，数列{a n﹣1}为等比数列，并求通项公式a n；（2）令，求数列{b n}的前n项和为T n．22．（12分）设函数f（x）=|x﹣a|+x（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若g（x）=|x+1|，求不等式g（x）﹣2＞x﹣f（x）恒成立时实数a的取值范围．2017-2018学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若实数a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式恒成立的是（）A．a2＞b2B．a﹣c＞b﹣c C．D．ac＞bc【解答】解：对于A，令a=﹣1，b=﹣2，不成立，对于B，根据不等式的基本性质，成立，对于C，令a=2，b=﹣1，不成立，对于D，令c=0，不成立，故选：B．2．（5分）数列，﹣，，﹣，…的一个通项公式为（）A．a n=（﹣1）n B．a n=（﹣1）nC．a n=（﹣1）n+1D．a n=（﹣1）n+1【解答】解：由已知中数列，﹣，，﹣，…可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负故可用（﹣1）n+1来控制各项的符号，故数列的一个通项公式为a n=（﹣1）n+1故选：D．3．（5分）不等式的解集为（）A． B．C．D．【解答】解：∵，∴﹣≤0，∴≥0，∴x＞﹣或x≤﹣2，即不等式的解集是（﹣∞，﹣2]∪（﹣，+∞），故选：A．4．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定【解答】解：∵角A、B、C满足sinA：sinB：sinC=5：12：13，∴根据正弦定理，整理得a：b：c=5：12：13，设a=5x，b=12x，c=13x，满足（5x）2+（12x）2=（13x）2因此，△ABC是直角三角形．故选：C．5．（5分）中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元5世纪）卷上二十三“织女问题”：今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．问日益几何．其意思为：有一个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的．已知第一天织5尺，经过一个月30天后，共织布九匹三丈．问每天多织布多少尺？（注：1匹=4丈，1丈=10尺）．此问题的答案为（）A．390尺B．尺C．尺D．尺【解答】解：设每天多织布d尺，由题意得：30×5+=270，解得d=．∴每天多织布尺．故选：C．6．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则=（）A．1 B．3 C．6 D．9【解答】解：∵等比数列{a n}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，∴2×=，即（a1q2）=，解得q=﹣1（舍）或q=3，∴==q2=9．故选：D．7．（5分）在△ABC中，a=2，，△ABC的面积等于，则b等于（）A．B．1 C．D．2【解答】解：∵a=2，，△ABC的面积等于=acsinB=2×，∴解得：c=1，∴由余弦定理可得：b===．故选：C．8．（5分）已知函数的定义域为R，则实数k的取值范围是（）A．0≤k≤1 B．0≤k＜1 C．k＜0或k＞1 D．k≤0或k≥1【解答】解：k=0时，f（x）=8，符合题意；k≠0时，，解得：0＜k≤1，综上：k∈[0，1]，故选：A．9．（5分）在△ABC中，a=x，b=2，B=45°，若此三角形有两解，则x的取值范围是（）A．x＞2 B．x＜2 C．D．【解答】解：==2∴a=2sinAA+C=180°﹣45°=135°A有两个值，则这两个值互补若A≤45°，则C≥90°，这样A+B＞180°，不成立∴45°＜A＜135°又若A=90，这样补角也是90°，一解所以＜sinA＜1a=2sinA所以2＜a＜2故选：C．10．（5分）在等比数列{a n}中，a4•a8=2，a2+a10=3，则=（）A．2 B．C．2或D．﹣2或【解答】解：等比数列{a n}的公比为q，a4•a8=2，a2+a10=3，可得a2•a10=2，解得a2=1，a10=2，或a2=2，a10=1，则q8==2或，可得=q8=2或，故选：C．11．（5分）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0的解集中，恰有3个整数，则a 的取值范围是（）A．（4，5） B．（﹣3，﹣2）∪（4，5） C．（4，5]D．[﹣3，﹣2）∪（4，5]【解答】解：∵关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，∴不等式可能为（x﹣1）（x﹣a）＜0，当a＞1时得1＜x＜a，此时解集中的整数为2，3，4，则4＜a≤5，当a＜1时，得a＜x＜1，则﹣3≤a＜﹣2，故a的取值范围是[﹣3，﹣2）∪（4，5]．故选：D．12．（5分）已知锐角A是△ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对应边，若sin2A﹣cos2A=，则下列各式正确的是（）A．b+c=2a B．b+c＜2a C．b+c≤2a D．b+c≥2a【解答】解：由sin2A﹣cos2A=，得cos2A=﹣，又A为锐角，∴0＜2A＜π，∴2A=，即A=，由基本不等式得bc≤（）2∴﹣3bc≥﹣（b+c）2由余弦定理有a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣（b+c）2=，即4a2≥（b+c）2，解得：2a≥b+c，故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=18﹣a7，S8=72．【解答】解：由等差数列的通项公式及其性质可得：a1+a8=a2+a7=18．∴S8==4×18=72．故答案为：72．15．（5分）设x，y满足约束条件，目标函数2z=2x+ny（n＞0），若z最大值为2，则n的值等于2．【解答】解：作出可行域与目标函数基准线y=﹣x+z，由解得B（1，1）由线性规划知识，可得当直线yy=﹣x+z过点B（1，1）时，z取得最大值，即2+n=4，解得n=2；故答案为：2．16．（5分）若关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，则实常数λ的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【解答】解：关于x的不等式≥0对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，等价于≥对任意n∈N*在x∈（﹣∞，λ]恒成立，∵=，∴对x∈（﹣∞，λ]恒成立．设，它的图象是开口向上，对称轴为x=﹣的抛物线，∴当x≤﹣时，左边是单调减的，所以要使不等式恒成立，则λ2+，解得λ≤﹣1，或（舍）当x＞﹣，左边的最小值就是在x=﹣时取到，达到最小值时，=，不满足不等式．因此λ的范围就是λ≤﹣1．故答案为：（﹣∞，﹣1]．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；（2）b1=1，T3=21，可得1+q+q2=21，解得q=4或﹣5，当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．18．（12分）某公司生产电饭煲，每年需投入固定成本40万元，每生产1万件还需另投入16万元的变动成本，设该公司一年内共生产电饭煲x万件并全部销售完，每一万件的销售收入为R（x）万元，且（10＜x＜100），该公司在电饭煲的生产中所获年利润为W（万元），（注：利润=销售收入﹣成本）（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式，并求年利润的最大值；（2）为了让年利润W不低于2360万元，求年产量x的取值范围．【解答】解：（1），10＜x＜100=，∵，当且仅当x=50时，“=”成立，∴w≤﹣1600+4360=2760，即年利润的最大值为2760．（2）整理得x2﹣125x+2500≤0，解得：25≤x≤100，又10＜x＜100，所以25≤x＜100时答：为了让年利润W不低于2360万元，年产量x的范围是[25，100）．19．（12分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A相距海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船位于观测站A北偏东45°+θ（0°＜θ＜45°）的C处，．在离观测站A的正南方某处E，（1）求cosθ；（2）求该船的行驶速度v（海里/小时）．【解答】解：（1）∵，∴sin∠EAC=．（2分）∴cosθ=cos（﹣∠EAC）=+=．（6分）（2）利用余弦定理求得BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosθ=925，∴BC=5．（10分）又该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为5海里，该船的行驶速度v=15（海里/小时）．（14分）20．（12分）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若向量与向量共线，且A=120°．（1）求a：b：c；（2）若△ABC外接圆的半径为14，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由m，n共线，得，，所以：2b=a+c设a=b﹣d，c=b+d，由已知，，即，∴，从而，∴a：b：c=7：5：3．（2）由正弦定理，得：，由（1）设即，所以：所以：，所以：△ABC的面积为．21．（12分）在数列{a n}中，a1=4，前n项和S n满足S n=a n+1+n．（1）求证：当n≥2时，数列{a n﹣1}为等比数列，并求通项公式a n；（2）令，求数列{b n}的前n项和为T n．【解答】（1）证明：n=1，a1=4．当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=a n+1+n﹣a n﹣n+1，∴a n﹣1=2（a n﹣1），+1∴，则，得，∴a n=；（2）解：当n=1时，．当n≥2时，，∴当n=1时，，当n≥2时，，令，∴，∴=，∴，∴．经检验n=1时，T1也适合上式．∴（n∈N*）．22．（12分）设函数f（x）=|x﹣a|+x（1）当a=2时，求函数f（x）的值域；（2）若g（x）=|x+1|，求不等式g（x）﹣2＞x﹣f（x）恒成立时实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，当a=2时，f（x）=|x﹣2|+x=，∵f（x）在（2，+∞）上单调递增，∴f（x）的值域为[2，+∞）．（2）由g（x）=|x+1|，不等式g（x）﹣2＞x﹣f（x）恒成立，有|x+1|+|x﹣a|＞2恒成立，即（|x+1|+|x﹣a|）min＞2而|x+1|+|x﹣a|≥|（x+1）﹣（x﹣a）|=|1+a|，∴|1+a|＞2，解得a＞1或a＜﹣3．。