高中必修三数学上期中模拟试题及答案

高中必修三数学上期中模拟试题及答案
一、选择题
1．函数()log a x x f x x
=
（01a <<）的图象大致形状是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1
2
x y +≥
”的概率，2p 为事件“12x y -≤
”的概率，3p 为事件“1
2
xy ≤”的概率，则 （ ） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<
D ．321p p p <<
3．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为( )
A ．1
B ．0
C ．1
D ．3
4．在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）
①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球. A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A ．7
B ．15
C ．25
D ．35
6．如图，是民航部门统计的某年春运期间12个城市出售的往返机票的平均价格以及相比
上年同期变化幅度的数据统计图表，根据图表，下面叙述不正确的是（ ）
A ．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高.
B ．深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降.
C ．平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州.
D ．平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门. 7．为计算11111123499100
S =-
+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入
A ．1i i =+
B ．2i i =+
C ．3i i =+
D ．4i i =+
8．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（ ） A ．
5
108
B ．
113
C ．
17
D ．
710
9．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.
（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2i
i ξ
=；
（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则
A ．()()1212,p p E E ξξ><
B ．()()1212,p p E E ξξ
C ．()()1212,p p E E ξξ>>
D ．()()1212,p p
E E ξξ<<
10．从区间[]
0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对
()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机
模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．
4n m
B ．
2n m
C ．
4m
n
D ．
2m
n
11．某次测试成绩满分是为150分，设n 名学生的得分分别为()12,,,1n i a a a a N i n ∈≤≤L ，
()1150k b k ≤≤为n 名学生中得分至少为k 分的人数.记M 为n 名学生的平均成绩，则（ ） A ．12150
b b b M n ++=L
B ．12150
150b b b M ++=L
C ．12150
b b b M n
++>
L
D ．12150
150
b b b M ++>
L
12．已知平面区域(
)0,y x y y ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨≤⎪⎪⎩⎩，直线2y mx m =+
和曲线y =两个不的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域
M 内的概率为()P M ．若01m ≤≤，则()P M 的取值范围为（ ）
A ．202,
π-⎛
⎤
⎥π⎝⎦
B ．202,
π+⎛
⎤
⎥π⎝⎦
C ．212,π+⎡⎤
⎢
⎥π⎣⎦
D ．212,π-⎡⎤
⎢
⎥π⎣⎦
二、填空题
13．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 14．在区间[]
3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______．
15．若x 是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，y 也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数，则2
2
1x y +<的概率为__________．
16．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表：
用b1表示变量Y与X之间的回归系数，b2表示变量V与U之间的回归系数，则b1与b2的大小关系是___．
17．下列四个命题：
①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；
②基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A＝{1，3}，B＝{3，5，6}，A，B为互斥事件，但不是对立事件；
③某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m，n，若一模考试数学平均分分别是a，
b，则这两个班的数学平均分为na mb
m n
+；
④如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行或相交．
其中真命题的序号是__________．
18．下方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为14，乙组数据的平均数为16，则x y
+的值为
__________．
19．甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．
20．正四面体的4个面上分别写着1、2、3、4，将3个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率是_____________．
三、解答题
21．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%.现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4 组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示
(1) 求a 的值
(2)现在要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人进行问卷调查，求在第1组已被抽到1人的前提下，第3组被抽到2人的概率； （3）若从所有参与调查的人中任意选出3人，记关注“生态文明”的人数为X ，求X 的分布列与期望.
22．为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.
（1）求图中a 的值，并求综合评分的中位数；
（2）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中恰有一个一等品的概率.
23．某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温． 气温()℃
14
12
8
6
用电量(度)
22 26 34 38
（I ）求线性回归方程；（参考数据：
4
1
1120i i i x y ==∑，4
2
1
440i i x ==∑） （II ）根据（I ）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa
y b x =-⋅． 24．某“双一流A 类”大学就业部从该校2018年已就业的大学本科毕业生中随机抽取了100
人进行问卷调查，其中一项是他们的月薪收入情况，调查发现，他们的月薪收入在人民币1.65万元到2.35万元之间，根据统计数据分组，得到如下的频率分布直方图：
（1）将同一组数据用该区间的中点值作代表，求这100人月薪收入的样本平均数x ； （2）该校在某地区就业的2018届本科毕业生共50人，决定于2019国庆长假期间举办一次同学联谊会，并收取一定的活动费用，有两种收费方案：
方案一：设区间[)1.85,2.15Ω=，月薪落在区间Ω左侧的每人收取400元，月薪落在区间Ω内的每人收取600元，月薪落在区间Ω右侧的每人收取800元； 方案二：每人按月薪收入的样本平均数的3%收取；
用该校就业部统计的这100人月薪收入的样本频率进行估算，哪一种收费方案能收到更多的费用？
25．菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但采集上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x(单位：千克)清洗该蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y(单位：微克)的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． y （微克）
x （千克）
x v
y u v
w v
()
2
8
1
i
i x x =-∑
()
8
2
1
i
i w w =-∑
()()81
i
i
i x x y y =--∑ ()()8
1
i
i
i w w y y =--∑
3 38 11 10 37
4 －121 －751
其中2x ω=
（I ）根据散点图判断，ˆy
bx a =+与2
ˆy dx c =+，哪一个适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用
水量x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
(Ⅱ)若用解析式2
ˆy
dx c =+作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程，求出ˆy 与x 的回归方程．(c ，d 精确到0.1)
(Ⅲ)对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请估计需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？(精确到0.1，参考数据
5 2.236≈)
附：参考公式：回归方程ˆ
ˆˆy
a bx =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ()()
()
1
2
1
ˆˆˆ,n
i
i
i n
i i x x y y b
a
y bx x x ==--==--∑∑ 26．为了了解某省各景区在大众中的熟知度，随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区？”，统计结果如下表所示： 组号 分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的频率
第1组 [)1525， a
0.5
第2组 [)2535， 18
x
第3组 [)3545， b 0.9 第4组 [)4555， 9 0.36
第5组
[)5565，
3
y
（1）分别求出,,,a b x y 的值；
（2）从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2,3,4组每组抽取的
人数；
（3）在（2）中抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有年龄段在[
)3545，
的概率
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
确定函数是奇函数，图象关于原点对称，x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，即可得出结论． 【详解】
由题意，f （﹣x ）＝﹣f （x ），所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D ； x ＞0时，f （x ）＝log a x （0＜a ＜1）是单调减函数，排除A ． 故选C ． 【点睛】
本题考查函数的图象，考查函数的奇偶性、单调性，正确分析函数的性质是关键．
2．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
因为,[0,1]x y ∈，对事件“1
2
x y +≥”，如图（1）阴影部分，
对事件“1
2
x y -≤”，如图（2）阴影部分， 对为事件“1
2
xy ≤
”，如图（3）阴影部分，
由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，
根据几何概型公式可得231p p p <<．
（1） （2） （3） 考点：几何概型．
3．B
解析：B 【解析】
经过第一次循环得到32s i ==，，
不满足4i ＞， 执行第二次循环得到43s i ==，， 不满足4i ＞，， 执行第三次循环得到s=1，i=4，不满足4i ＞，， 经过第四次循环得到05s i ==，， 满足判断框的条件 执行“是”输出0S =．
故选B ． 4．D
解析：D 【解析】
在（1）中，一队每场比赛平均失球数是1.5，二队每场比赛平均失球数是2.1， ∴平均说来一队比二队防守技术好，故（1）正确；
在（2）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
∴二队比一队技术水平更稳定，故（2）正确；
在（3）中，一队全年比赛失球个数的标准差为1.1，二队全年比赛失球个数的标准差为0.4，
∴一队有时表现很差，有时表现又非常好，故（3）正确；
在（4）中，二队每场比赛平均失球数是2.1，全年比赛失球个数的标准差为0.4， ∴二队很少不失球，故（4）正确. 故选：D ．
5．B
解析：B
【解析】
试题分析：抽样比是，所以样本容量是
．
考点：分层抽样
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据折线的变化率，得到相比去年同期变化幅度、升降趋势，逐一验证即可． 【详解】
由图可知，选项A 、B 、C 都正确，对于D ，因为要判断涨幅从高到低，而不是判断变化幅度，所以错误． 故选D ． 【点睛】
本题考查了条形统计图的应用，从图表中准确获取信息是关键，属于中档题．
7．B
解析：B 【解析】
分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项. 详解：由11111123499100
S =-
+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】
3311166617()216A P AB C C C +==Q ，11155561116691
()1216
C C C P B C C C =-=
()()()72161
|2169113
P AB P A B P B ∴=
=⨯= 故选：B 【点睛】
本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题.
9．A
解析：A 【解析】
()
11222m n m n
p m n m n m n +=
+⨯=+++， ()
()()
()()()()()21121
11313
m m n n mn p m n m n m n m n m n m n --=
+
⨯+⨯
++-++-++-()()
2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，
()()()()()()
()()
22
22123212332233223161m n m n m m mn n n
m n m m mn n n p p m n m n m n m n m n ++---++-+-++--=-=
+++-++-()()()
51061mn n n m n m n +-=
>++-，故12p p >，
()()()112201222n
m n m n E m n m n m n ξ++⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪+++⎝⎭
，
()()()()()()()()22212133201131331n n mn m m mn n n E m n m n m n m n m n m n ξ⎛⎫
⎛⎫--++-=⨯⨯+⨯+⨯ ⎪
⎪ ⎪ ⎪++-++-++-⎝⎭⎝⎭
()()
2233231m m mn n n m n m n -++-=++-，由上面比较可知()()12E E ξξ>，故选A
考点：独立事件的概率,数学期望.
10．C
解析：C 【解析】
此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为
41
m P n π
==，所以4m
n
π=．故选C ． 11．A
解析：A 【解析】 【分析】
由于选项中必有一项正确，故本选择题利用特殊法解决．设2n =，这2名学生的得分分
别为150，150．则这2名学生中得分至少为(1150)k k 剟分的人数分别为：2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，计算12150
b b b n
++⋯+的值，再对照选项即可得到答案．
【详解】 利用特殊法解决．
假设2n =，这2名学生的得分分别为150，150． 则这2名学生中得分至少为1分的人数分别为：12b =， 这2名学生中得分至少为2分的人数分别为：22b =， 这2名学生中得分至少为3分的人数分别为：32b =，
⋯
这2名学生中得分至少为150分的人数分别为：1502b =， 即这2名学生中得分至少为(1150)k k 剟
分的人数k b 分别为： 2，2，⋯，2，2．一共有150个“2”，
从而得k 分的同学会被记k 次，所有k b 的和恰好是所有人得分的总和， 即12112k k b b b b a a -++⋯++=+， 从而
1215022222150
15022
b b b n ++⋯++++⋯+⨯===．
1215022222150
2150150150
b b b ++⋯++++⋯+⨯===．
对照选项，只有（A ）正确． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查众数、中位数、平均数、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查特殊化思想思想、化归与转化思想．属于基础题．
12．D
解析：D 【解析】 【分析】
判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，即可求解相应概率的范围，得到答案． 【详解】
由题意知，平面区域(
)0,y x y y ⎧⎫≥⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨≤⎪⎪⎩⎩，表示的图形是半圆是半圆以及内部点的集合，如图所示，
又由直线2y mx m =+
过半圆y =
(2,0)-，
当0m =时直线与x 轴重合，此时()1P M =，故可排除,A B ， 若1m =，如图所示，可求得2
()2P M ππ
-=， 所以()P M 的取值范围为212,π-⎡⎤
⎢
⎥π⎣⎦
．
【点睛】
本题主要考查了集合概型的应用，其中解答中判断平面区域，利用特殊值法排除选项，然后利用特殊法，求解相应概率的范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．
二、填空题
13．【解析】从分别写有12345的5张卡片中随机抽取1张放回后再随机抽取1张
基本事件总数n=5×5=25
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（21）（31）（32）（41）
解析：2 5
【解析】
从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，
基本事件总数n=5×5=25，
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：
（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），
共有m=10个基本事件，
∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=2 . 5
故答案为2 5 .
14．【解析】【分析】求出不等式的解集计算长度运用几何概型即可求出概率【详解】或则在区间上随机取一个数x使得成立的概率为故答案为【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率只需将题目中的含有绝对值不等式进行求
解析：2 3
【解析】
【分析】
求出不等式的解集，计算长度，运用几何概型即可求出概率【详解】
11x +≥Q
0x
∴≥或2x ≤-
则在区间[]
33-，
上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为42
63
= 故答案为23
【点睛】
本题考查了几何概型中的长度型概率，只需将题目中的含有绝对值不等式进行求解，然后计算出长度，即可得到结果
15．【解析】分析：不等式组表示的是正方形区域面积为满足的平面区域为阴影部分的面积利用几何概型概率公式可得结果详解：根据题意画出图形如图所示则不等式组表示的是正方形区域面积为其中满足的平面区域为阴影部分的 解析：
36
p 【解析】
分析：不等式组0303
x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的是正方形区域，面积为339⨯=，满足22
1x y +<的平
面区域为阴影部分的面积2
1144
ππ⋅=，利用几何概型概率公式可得结果.
详解：
根据题意，画出图形，如图所示，
则不等式组03
03x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩
表示的是正方形区域，面积为339⨯=，
其中满足22
1x y +<的平面区域为阴影部分的面积21144
ππ⋅=，
故所求的概率为
4936
P π
π==，故答案为36p
. 点睛：对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．
16．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所
以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是
解析：12b b >. 【解析】
分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，
点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接
根据用公式求$,a b
$，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b $的正负，决定正相关与负相关.
17．①④【解析】分析：根据方差定义互斥与对立概念平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对因为基本事件空间是Ω＝{123456}若事
解析：①④. 【解析】
分析：根据方差定义、互斥与对立概念、平均数计算方法以及线面位置关系确定命题真假. 详解：因为样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；所以①对 因为基本事件空间是Ω＝{1，2，3，4，5，6}，若事件A ＝{1，3}，B ＝{3，5，6}，A ，B 不为互斥事件，所以②错；
因为某校高三（1）班和高三（2）班的人数分别是m ，n ，若一模考试数学平均分分别是a ，b ，则这两个班的数学平均分为
ma nb
m n
++，所以③错； 因为如果平面外的一条直线上有两个点到这个平面的距离相等，那么这条直线与这个平面的位置关系为平行（同侧时）或相交（异侧时），所以④对. 因此真命题的序号是①④.
点睛：对命题真假的判断，主要要明确概念或公式.
18．9【解析】阅读茎叶图由甲组数据的中位数为可得乙组的平均数：解得：则:点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)叶的位置只有一个数字而茎的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录不能遗漏特别
解析：9 【解析】
阅读茎叶图，由甲组数据的中位数为14 可得4x = ，
乙组的平均数：
824151810165
y
+++++= ，解得：5y = ，
则:459x y +=+= .
点睛：茎叶图的绘制需注意：(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置的数据．19．【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传
解析：1 4
【解析】
用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法
所有传球方法共有：
甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；
甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；
则共有8种传球方法．
记求第3次球恰好传回给甲的事件为A，可知共有两种情况，，而总的事件数是8，
∴P(A)=2
8
=
1
4
.
故答案为1 4
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
20．【解析】将3个正四面体同时投掷于桌面时共有种情况与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除时则这3个数的乘积为4的倍数（1）这3个数为122时有3种情况；（2）这3个数为124时有种；（3）这3个
解析：11 16
【解析】
将3个正四面体同时投掷于桌面时，共有3464
=种情况，与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除时，则这3个数的乘积为4的倍数，（1）这3个数为1,2,2时，有3
种情况；（2）这3个数为1,2,4时，有3
3=6
A种；（3）这3个数为1,3,4时，有3
3=6
A
种；（4）这3个数为1,1,4时，有3种；（5）这3个数为2，2,2时，有1种；（6）这3个数为2,2,3时，有3种；（7）这3个数为2,2,4时，有3种；（8）这3个数为1,4,4时，
有3种；（9）这3个数为2,3,4时，有3
3=6
A种；（10）这3个数为2,4,4时，有3种；（11）这3个数为3,3,4时，有3种；（12）这3个数为3,4,4时，有3种；（13）这3个数为4,4,4时，有1种。

故共有3+6+6+3+1+3+33633+3+1=44
++++种，故与桌面接
触的3个面上的3个数的乘积能被4整除的概率为
4411
==
6416 P。

点睛：本题主要考查古典概型求概率，属于易错题。

在求与桌面接触的3个面上的3个数的乘积能被4整除时，采用分类讨论法，注意要做到不重不漏。

三、解答题
21．(1)0.035
a= (2)
21
50
（3）()
12
.
5
E X=
【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图求出a的值；（2）设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A，第3组抽到2人为事件B，由条件概率公式得到所求概率；（3）X的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率值，从而得到X的分布列与期望.
试题解析：
（1）由()
100.0100.0150.0300.0101
a
⨯++++=，得0.035
a=，
（2）第1，2，3组的人数分别为20人，30人，70人，从第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取12人，则第1，2，3组抽取的人数分别为2人，3人，7人.
设从12人中随机抽取3人，第1组已被抽到1人为事件A，第3组抽到2人为事件B，则()
()
()
12
27
3
12
1221
210210
3
12
21
|.
50
C C
P AB C
P B A
C C C C
P A
C
===
+
（3）从所有参与调查的人中任意选出1人，关注“生态文明”的
概率为
4
,
5
P=X的可能取值为0，1，2，3.
()3
3
41
01
5125
P X C
⎛⎫
∴==-=
⎪
⎝⎭
，()
12
1
3
4412
11
55125
P X C
⎛⎫⎛⎫
==-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
()21
2
3
4448
21
55125
P X C
⎛⎫⎛⎫
==-=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，()
3
3
3
464
3
5125
P X C
⎛⎫
===
⎪
⎝⎭
所以X的分布列为
4
~3,
5
X B
⎛⎫
⎪
⎝⎭
Q，()412
3.
55
E X np
==⨯=
22．(1)0.040
a=；中位数为82.5. (2)
3
5
【解析】 【分析】
（1）根据频率之和为1，结合频率分布直方图对应矩形区域面积求解即可；先结合数值预判中位数所在组距应在80到90之间，设综合评分的中位数为x ，结合频率计算公式求解即可；
（2）先结合分层抽样计算出一等品所占比例，再采用列举法表示出所有基本事件，结合古典概率公式求解即可 【详解】
（1）由频率和为1，得(0.0050.0100.0250.020)101a ++++⨯=，0.040a =； 设综合评分的中位数为x ，则(0.0050.0100.025)100.040(80)0.5x ++⨯+⨯-=，解得
82.5x =，
所以综合评分的中位数为82.5.
（2）由频率分布直方图知，一等品的频率为(0.0400.020)100.6+⨯=，即概率为0.6； 所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；
所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a 、b 、c ，非一等品2个，记为D 、E ； 从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab 、ac 、aD 、aE 、bc 、bD 、bE 、
cD 、cE 、DE 共10种；
抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD 、aE 、bD 、bE 、cD 、cE 共6种，
所以所求的概率为63105
P ==. 【点睛】
本题考查频率分布直方图中具体数值的求解，中位数的计算，求解具体事件对应的概率，属于中档题
23．(1)
250y x =-+. (2) 30度. 【解析】
分析：()I 求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；
()II 10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10℃时的用电量．
详解：()4
4
2
1
1
103011204402i i i i i I x y x y x b ======∴=-∑
∑
，，，，
把()1030，
代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =． ∴回归方程为250y x =-+；
()II 当10x =时，30y =，估计当气温为10℃时的用电量为30度．
点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
24．(1)2；(2) 方案一能收到更多的费用. 【解析】 【分析】
（1）每个区间的中点值乘以相应的频率，然后相加； （2）分别计算两方案收取的费用，然后比较即可． 【详解】
(1)这100人月薪收入的样本平均数x 是
0.02 1.70.10 1.80.24 1.90.312x =⨯+⨯+⨯+⨯0.2 2.10.09 2.20.04 2.32+⨯+⨯+⨯=.
(2)方案一：月薪落在区间Ω左侧收活动费用约为()0.020.1040050100000.24+⨯⨯÷=（万元）；
月薪落在区间Ω收活动费用约为()0.240.310.206005010000 2.25++⨯⨯÷=（万元）；
月薪落在区间Ω右侧收活动费用约为()0.090.0480050100000.52+⨯⨯÷=（万元）； 因此方案一，这50人共收活动费用约为3.01（万元）； 方案二：这50人共收活动费用约为500.033x ⨯⋅=（万元）； 故方案一能收到更多的费用. 【点睛】
本题考查频率分布直方图及其应用，属于基础题．
25．（1）见解析； （2）2
ˆ 2.060.0y
x =-+；（3）需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜. 【解析】 【分析】
（I ）根据散点图判断2ˆy
dx c =+适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程类型；（II ）令2x ω=，先建立y 关于w 的线性回归方程，平均数公式可求出ω与y 的值从而可
得样本中心点的坐标，从而求可得公式()()()
8
182
1751= 2.0374ˆi i i i i w w y y d w w ==---=≈--∑∑， =38ˆˆ211=60c
y dw =-+⨯，可得y 关于w 的回归方程，再代换成y 关于x 的回归方程可得结果；（III ）解关于x 的不等式，求出x 范围即可. 【详解】
（I ）根据散点图判断2
ˆy
dx c =+适宜作为蔬菜农药残量ˆy 与用水量x 的回归方程类型； （Ⅱ）令2w x =，先建立y 关于w 的线性回归方程，
由于()()()
8
182
1751= 2.0374ˆi i i i i w w y y d w w ==---=≈--∑∑，∴=38ˆˆ211=60c y dw =-+⨯． ∴y 关于w 的线性回归方程为 2.060.ˆ0y
w =-+，
∴y 关于x 的回归方程为22.06.0ˆ0y
x =-+．
(Ⅲ)当ˆ20y
<时，22.060.020x -+< ， 4.5x >≈ ∴为了放心食用该蔬菜，估计需要用4．5千克的清水清洗一千克蔬菜． 【点睛】
本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.
26．（1）5a =，27b =，0.9x =，0.2y =；（2）分边抽取2,3,1人；（3）1
5
. 【解析】 【分析】
（1）根据数据表和频率分布直方图可计算得到第4组的人数和频率，从而可得总人数；根据总数、频率和频数的关系，可分别计算得到所求结果；（2）首先确定第2,3,4组的总人数，根据分层抽样原则计算即可得到结果；（3）首先计算得到基本事件总数；再计算出恰
好没有年龄段在[
)3545，
包含的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】
（1）第4组的人数为：
9
250.36
=人，第4组的频率为：0.025100.25⨯＝ 25
1000.25
n ∴=
= Q 第一组的频率为0.010100.1⨯= ∴第一组的人数为：0.110010⨯=
100.55a ∴=⨯=
Q 第二组的频率为0.020100.2⨯= ∴第二组的人数为：0.210020⨯=
18
0.920
x ∴=
= Q 第三组的频率为0.030100.3⨯= ∴第三组的人数为：0.310030⨯=
300.927b ∴=⨯=
Q 第五组的频率为0.015100.15⨯= ∴第五组的人数为：0.1510015⨯=
3
0.215
y ∴=
= （2）第2,3,4组的总人数为：1827954++=人
∴第2组抽取的人数为：186254⨯
=人；第3组抽取的人数为：276354
⨯=人；第4组抽取的人数为：9
6154
⨯
=人。