【最新】九年级下学期中考专题复习课件 ---图形的折叠问题(共23张PPT)
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中考数学专题复习图形的折叠型题PPT课件
(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后
所得扇形的总个数(S)填入下表.
等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 **** n
所得扇形的总个数(S)
47
***
(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将本来的圆形 纸板剪成33个扇形？为什么？
例26、如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个
例25、如图，⊙O表示一圆形纸板，根
O
据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若 干个扇形面，操作过程如下：第1次剪，
第25题图
将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得的
扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁
的作法进行下去.(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次
剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹不写作法).
角(阴影部分)剪掉，得一四边形A1B1C1D1.试问怎 样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图
形的面积为原正方形面积的 5 ，请说明理由(写
出证明及计算过程).
9
E
A M DA M
例22、电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制
成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫 “晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、 宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直 径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺 寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计 切割损耗）
典例精析
一．折叠后求度数 例1、将一张长方形纸片按如图所示的方式折 叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ） A．600 B．750 C．900 D．950
例2、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C
分别落在D′、C′的位置，若∠EFB＝65°，则 ∠AED′等于（ ） A．50° B．55° C．60° D．65°
初三数学中考专题复习课折叠问题》ppt课件讲义
OE 4 5
k 1
H
O
探究型问题之“折叠问题”
例4：已知扇形 AOB 的半径为︵ 6，圆心角为 90°，E E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 A AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G．
求：点 E 可移动的最大距离是多少？ 3
O(G) O
G B
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边 上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠 后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
解x得 3a,所2a 以 x5a
4
4
可得△ PBE的三边之比3:4:5.
2ax
a
x 2ax
探究型问题之“折叠问题”
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
探究型问题之“折叠问题”
例1:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA
所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是
边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反y比例k 函(k数 0)
的图象与AC边交于点E．
x
请探索：是否存在这样的点
O
OE 15
4
E A
G M
N
B
F
O'
探究型问题之“折叠问题”
变式3：已知扇形 AOB 的︵ 半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G． （3）若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；
x 2a y
k 1
H
O
探究型问题之“折叠问题”
例4：已知扇形 AOB 的半径为︵ 6，圆心角为 90°，E E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 A AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G．
求：点 E 可移动的最大距离是多少？ 3
O(G) O
G B
探究型问题之“折叠问题”
将边长为2a的正方形ABCD折叠，使顶点C与AB边 上的点P重合，折痕交BC于E，交AD于F， 边CD折叠 后与AD边交于点H．
（1）如果P为AB边的中点，探究△ PBE的三边之比.
解x得 3a,所2a 以 x5a
4
4
可得△ PBE的三边之比3:4:5.
2ax
a
x 2ax
探究型问题之“折叠问题”
2.点的对称性：对称点连线被对称轴（折痕）垂直平分.
探究型问题之“折叠问题”
例1:已知：在矩形AOBC中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA
所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是
边BC上的一个动点（不与B,C重合），过F点的反y比例k 函(k数 0)
的图象与AC边交于点E．
x
请探索：是否存在这样的点
O
OE 15
4
E A
G M
N
B
F
O'
探究型问题之“折叠问题”
变式3：已知扇形 AOB 的︵ 半径为 6，圆心角为 90°，E 是半径 OA 上一点，F 是AB 上一点．将扇形 AOB 沿 EF 对折，使得折叠后的图形恰好与半径 OB 相切于点 G． （3）若 G 是 OB 中点，求 OE 和折痕 EF 的长；
x 2a y
九年级数学图形的折叠问题课件
图形折叠问题只所以这么受追捧，是因为这些图形在折叠过程中，
会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进 而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观 点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学 试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题．
山东省中考 考试说明要求
图形的折叠问题
（复习课）
图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题
者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的 思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠， 因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的 性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多， 考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等， 甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目．
掌握轴对称图形的性质． 学会在运动变化中寻求不 变的图形性质． 培养学生运用运动变化的 观点分析和解决问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
中考中常见的题型：
（1）求角度 （2）求线段长度 （3）求周长
（4）求面积
（5）确定点的位置（分类讨论）
知识导引
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使 它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中 “折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实质是图形的轴 对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用．
考向4、平行四边形的折叠：
典例5、(2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形 纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在 点 处，折痕为 ．求证： （1）ECB FCG ； （2）EBC FGC ．
【自主作答】
考向5、圆折叠：
会产生很不错的性质，值得研究，出题人利用研究这些性质也可以进 而考查学生的一些对知识的掌握程度，动手能力，采用运动变化的观 点分析和解决问题的能力．鉴于此，我们有理由相信今后的中考数学 试卷中还会产生很多有关图形折叠的问题．
山东省中考 考试说明要求
图形的折叠问题
（复习课）
图形折叠问题，是一个非常好的题型，历年来深受中考数学出题
者的青睐．近年来很多城市的中考都在积极探索有关图形折叠题目的 思考与研究．在所有折叠图形的题目中，最受欢迎的还是矩形的折叠， 因为这种图形的性质特别好，便于折叠，折叠时也产生了很多很好的 性质，所以也便于出题人寻找出题的点．因此矩形折叠的题目最多， 考的也最多．还有对正方形的折叠、菱形、平行四边形、三角形等， 甚至现在连圆形也开始折叠．产生了很多不错的题目．
掌握轴对称图形的性质． 学会在运动变化中寻求不 变的图形性质． 培养学生运用运动变化的 观点分析和解决问题．
ห้องสมุดไป่ตู้
中考中常见的题型：
（1）求角度 （2）求线段长度 （3）求周长
（4）求面积
（5）确定点的位置（分类讨论）
知识导引
折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180°，使 它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠，其中 “折”是过程，“叠”是结果．折叠的问题的实质是图形的轴 对称变换，折叠更突出了轴对称知识的应用．
考向4、平行四边形的折叠：
典例5、(2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形 纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在 点 处，折痕为 ．求证： （1）ECB FCG ； （2）EBC FGC ．
【自主作答】
考向5、圆折叠：
2024年九年级中考数学复习课件++微专题5 图形的折叠与旋转
OA，试判断△AOD的形状，并说明理由． 解：△AOD为直角三角形．
理由：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC，
∴∠OCD＝60°，OC＝CD，∠ADC＝∠BOC＝150°.
∴△COD是等边三角形．∴∠ODC＝60°.
∴∠ADO＝∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°.
∴△AOD是直角三角形．
40°，将△ABD沿AD翻折得到△AED，则∠CDE＝___2_0_°_____. 思路点拨 结合已知条件和三角形内角和定理可求出∠ADB的度数，
根据折叠前后对应角相等，得到∠ADE＝∠ADB，根据三角形外角的性 质得到∠ADC的度数，再利用两角 之差求出∠CDE的度数．
图1
例2 如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC边上一
微专题5 图形的折叠与旋转
折叠和旋转都属于全等变换，折叠或旋转前后的图形对应的边和角 都相等．图形折叠后，“折痕”所在的直线是对应点连线的垂直平分线， 也是对应线段所在直线夹角的平分线；图形旋转后，对应点到旋转中心 的距离相等，各组对应点与旋转中心连线所成的角都相等．
类型 折叠 例1 如图1，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠BAD＝∠B＝
点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的点F处，则CE的长是 5
___3_______. 思路点拨 根据折叠前后对应边相等和矩形的
性质，得到EF＝CE，DF＝CD＝AB；在Rt△ADF中，
根据勾股定理求出AF的长，继而求出BF的长．
图2
方法1：在Rt△BEF中，设EF＝CE＝x，则BE＝3－x，
图2
3．(2016 广东)如图 3，矩形 ABCD 中，对角线 AC＝2 3 ，E 为 BC 边 上一点，BC＝3BE，将矩形 ABCD 沿 AE 所在的直线折叠，点 B 恰好落在 对角线 AC 上的点 B′处，则 AB＝____3____．
数学中考复习课件：图形的折叠问题
∴矩形的周长为36k，即36cm。
练习5 如图，将矩形纸片ABCD
E
沿一对角线BD折叠一次（折痕 A
与折叠后得到的图形用虚线表
F
示），将得到的所有的全等三角
形（包括实线、虚线在内）用符 号写出来。
B
答案：△ABD≌△CDB, △CDB≌△EDB, △EDB≌△ABD, △ABF≌△EDF.
练习6 如图，矩形纸片ABCD， D F
折痕为EF。若CD=3，EF=4，
则AD¹+BC¹=
。2
A
D'
C F
C' B
练习3 如图，将矩形ABCD纸片
对折，设折痕为MN，再把B点叠 B E
C
在折痕线MN上，若AB=3，则
折痕AE的长为（C ）。
MG
B'
N
(A) 33/2
(B) 33/4
(C ) 2
(D) 23
A
D
2、求角的度数
例3 将长方形ABCD的纸片， A
使点D落在BC边的一点F处，已知折
痕AE=55 cm，且tanEFC=3/4.
(1)求证：AFB∽FEC；
(2)求矩形ABCD的周长。
B
证明：（1）∵∠B=C=D=90º，
又根据题意RtADE≌RtAFE,
∴AFE=90º, ∴AFB=FEC ,
D E
FC
∴AFB∽FEC.
解（2）由tanEFC=3/4，设EC=3k，则FC=4k， 在RtEFC中，得EF=DE=5k。
若把ABE沿折痕BE上翻，使 A点恰好落在CD上，此时，
E
AE:ED=5:3，BE=55，求矩形
的长和宽。
初三数学中考专题复习课课件折叠问题
总结解题思路
在练习过程中，不断总结解题思路，分析解题方 法和技巧的适用范围，提高解题的灵活性和准确 性。
THANKS
感谢观看
数值。
03
函数图像的折叠
在函数学习中，函数图像的折叠可以用于理解函数的性质和变化规律。
例如，将平面直角坐标系中的函数图像沿某条直线折叠，可以观察到图
像的对称性、交点和极值点等特征的变化。
折叠问题与其他数学知识的联系
几何变换
折叠问题涉及到几何变换的知识，包括平移、旋转和对称 等。通过这些变换，可以理解图形在折叠过程中的变化规 律和特征。
饰品和工艺品。
建筑设计
在建筑设计中，折叠结 构可以创造出具有独特 美感和功能的建筑。例 如，通过折叠金属板或 塑料板，可以制作出轻 巧、美观的建筑外壳。
航天器设计
在航天器设计中，折叠 结构被广泛应用于火箭 和卫星等设备。通过折 叠或展开结构，可以减 少或增加设备的体积，
便于运输和存储。
折叠问题的拓展和深化
第二季度
第三季度
第四季度
纸盒制作
在包装和设计领域，折 叠纸盒是最常见的应用 之一。通过折叠纸板， 可以形成具有特定形状 和功能的纸盒，用于包 装、存储和运输物品。
折纸艺术
折纸是一种源于中国的 传统艺术，通过折叠纸 张来创造出各种形状和 动物等形象。折纸艺术 不仅具有观赏价值，还 可以用于制作玩具、装
将代数式或方程进行折叠，考查对代数式的理解和变形能力。
折叠与轴对称的结合
考查对轴对称和折叠概念的理解和应用。
折叠问题的解题策略
01
02
03
理解折叠过程
明确折叠前后的图形关系 ，理解边长、角度等的变 化。
建立数学模型
在练习过程中，不断总结解题思路，分析解题方 法和技巧的适用范围，提高解题的灵活性和准确 性。
THANKS
感谢观看
数值。
03
函数图像的折叠
在函数学习中，函数图像的折叠可以用于理解函数的性质和变化规律。
例如，将平面直角坐标系中的函数图像沿某条直线折叠，可以观察到图
像的对称性、交点和极值点等特征的变化。
折叠问题与其他数学知识的联系
几何变换
折叠问题涉及到几何变换的知识，包括平移、旋转和对称 等。通过这些变换，可以理解图形在折叠过程中的变化规 律和特征。
饰品和工艺品。
建筑设计
在建筑设计中，折叠结 构可以创造出具有独特 美感和功能的建筑。例 如，通过折叠金属板或 塑料板，可以制作出轻 巧、美观的建筑外壳。
航天器设计
在航天器设计中，折叠 结构被广泛应用于火箭 和卫星等设备。通过折 叠或展开结构，可以减 少或增加设备的体积，
便于运输和存储。
折叠问题的拓展和深化
第二季度
第三季度
第四季度
纸盒制作
在包装和设计领域，折 叠纸盒是最常见的应用 之一。通过折叠纸板， 可以形成具有特定形状 和功能的纸盒，用于包 装、存储和运输物品。
折纸艺术
折纸是一种源于中国的 传统艺术，通过折叠纸 张来创造出各种形状和 动物等形象。折纸艺术 不仅具有观赏价值，还 可以用于制作玩具、装
将代数式或方程进行折叠，考查对代数式的理解和变形能力。
折叠与轴对称的结合
考查对轴对称和折叠概念的理解和应用。
折叠问题的解题策略
01
02
03
理解折叠过程
明确折叠前后的图形关系 ，理解边长、角度等的变 化。
建立数学模型
中考复习专题：与折叠有关的探究问题(共27张PPT)
①判断 B′G 与 D′H 的数量关系与位置关系，并说明理由； ②直接写出此时点 H，G 之间的距离．
图3
B 题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H.
由 A 题易证∠GB′C＝∠HD′A．
∵MN∥BC，∴MN∥BC∥AD， ∴∠AD′M＝∠DAD′＝2∠FAD，
∠CB′N＝∠BCB′＝2∠ECB．
图1
图2
图1
(一)填一填，做一做： (1)图 2 中，∠CMD＝ 75°
图2
，NF＝ 4－2 3 ；
(2)图2中，试判断△AND的形状，并给出证明；
解：△AND是等边三角形．理由如下： 由折叠及正方形可知DN＝CD＝AD，AN＝DN，
∴＝DN＝AD．
∴△AND是等边三角形．
剪一剪、折一折：将图2中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠， 使点A落在点A′处，分别得到图3、图4.
∴∠AD′M＝∠CB′N. ∴∠AD′M＋∠HD′A＝∠CB′N＋∠GB′C， 即∠HD′M＝∠GB′N. ∴B′G∥D′H. ②4 3－4.
例3．问题情境： 已知在正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G 是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′. (1)如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形 BEB′G是菱形．
图1
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90°. 由折叠可知 BE＝BE′，∠CB′E＝∠ABC＝90°. 在 Rt△BCE 和 Rt△ECB′中，∵EG＝GC，
式表示)．
【提示】设AA′′ND＝mn ＝a，则 A′N＝am，A′D＝an. ∵∠N＝∠D＝∠A＝∠GA′H＝60°， ∴∠NA′G＋∠A′GN＝∠NA′G＋∠DA′H＝120°. ∴∠A′GN＝∠DA′H.
图3
B 题：①结论：B′G＝D′H，B′G∥D′H.
由 A 题易证∠GB′C＝∠HD′A．
∵MN∥BC，∴MN∥BC∥AD， ∴∠AD′M＝∠DAD′＝2∠FAD，
∠CB′N＝∠BCB′＝2∠ECB．
图1
图2
图1
(一)填一填，做一做： (1)图 2 中，∠CMD＝ 75°
图2
，NF＝ 4－2 3 ；
(2)图2中，试判断△AND的形状，并给出证明；
解：△AND是等边三角形．理由如下： 由折叠及正方形可知DN＝CD＝AD，AN＝DN，
∴＝DN＝AD．
∴△AND是等边三角形．
剪一剪、折一折：将图2中的△AND剪下来，将其沿直线GH折叠， 使点A落在点A′处，分别得到图3、图4.
∴∠AD′M＝∠CB′N. ∴∠AD′M＋∠HD′A＝∠CB′N＋∠GB′C， 即∠HD′M＝∠GB′N. ∴B′G∥D′H. ②4 3－4.
例3．问题情境： 已知在正方形纸片ABCD中，AB＝4，点E是AB边上的一点，点G 是CE的中点，将正方形纸片沿CE所在直线折叠，点B的对应点为点B′. (1)如图1，当∠BCE＝30°时，连接BG，B′G，求证：四边形 BEB′G是菱形．
图1
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC＝90°. 由折叠可知 BE＝BE′，∠CB′E＝∠ABC＝90°. 在 Rt△BCE 和 Rt△ECB′中，∵EG＝GC，
式表示)．
【提示】设AA′′ND＝mn ＝a，则 A′N＝am，A′D＝an. ∵∠N＝∠D＝∠A＝∠GA′H＝60°， ∴∠NA′G＋∠A′GN＝∠NA′G＋∠DA′H＝120°. ∴∠A′GN＝∠DA′H.
初三数学中考专题复习课件：矩形中的折叠问题
折叠后面积的求解
折叠后，矩形的面积可能 发生变化，需要求解新的 面积。
折叠问题的解题思路与技巧
分析图形特点
分析题目中给出的图形特点，确定折叠轴和 关键点。
利用勾股定理和三角函数
在解题过程中，可以利用勾股定理和三角函 数等数学知识进行计算。
建立数学模型
根据题目要求，建立相应的数学模型，如角 度、边长、面积等。
矩形的性质
对角都是直角
矩形的每个角都是直角，即90度。
对边平行且相等
矩形的两组对边平行且长度相等。
矩形的判定方法
01
02
03
定义法
根据矩形的定义，有一个 角是直角的平行四边形是 矩形。
对角线判定法
如果平行四边形的对角线 相等且互相平分，则它是 矩形。
技巧。
THANKS
感谢观看
GH的长为 _______．
02
答案
$frac{5}{2}$
03
练习题二
在矩形ABCD中，AB=4， BC=5，将矩形折叠，使点A 与点C重合，折痕为EF，则
△DEF的面积为 _______．
04
答案
$10$
05
总结与反思
本节课的重点与难点
重点
掌握矩形折叠问题的基本解题思路和方法，理解折叠前后图形的对应关系。
模拟试题解析
模拟题一
在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，将 矩形折叠，使点B与点D重合，折痕 为EF，则△DEF的面积为 _______．
模拟题二
在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将 矩形折叠，使点A与点C重合，折痕为 EF，则△DEF的周长为 _______．
练习题与答案
01
2025年河南省九年级中考数学二轮复习特色专题课件：专项13+几何图形的折叠问题
1．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB(其中n＞1)，E是AB边的中点， 将∠A沿过点E的直线折叠，∠C沿过点D的直线折叠，点A与点C的对 应点重合于点O.若E，O，D三点在同一条直线上，则n的值为___2_.
本章知识导图
2．如图，在矩形ABCD中，BC＝12，点E为射线DC上一点，且CE＝5， 点F为AD的中点，连接BE，EF，将△DEF沿直线EF折叠，若点D的 对应点D′恰好落在BE上，则AB的长为__9_或__4_.
本章知识导图
方法总结 折叠问题中求线段长的一般方法：找不变的角和边，设未知线段的长， 利用勾股定理或相似三角形建立等量关系，列方程求解．
本章知识导图
典例4 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为边AB上一动点(不与 A，B重合)，沿DE将△ADE翻折，点A落在点A′处，当△A′BC为等腰 三角形时，△A′AD的面积为_9___3_或__9_.
①K型相似：△CB′E∽△DAB′； ②在Rt△CB′E或Rt△DAB′中，利用勾股定理 求解
本章知识导图
典例1 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将△ABC沿AC折 叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于_3__. 提示：设DF＝x，则AF＝CF＝8－x. 在Rt△CDF中，利用勾股定理列方程求解
本章知识导图
③DA1 的最小值为 2 5－2；
④DA1 达到最小值时，MN＝5－ 5.
你认为小王同学得到的结论正确的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
本章知识导图
【解析】由折叠，可得A1E＝AE＝BE＝2，则A1E的长度恒为2，故① 正确；在△A1DE中，A1D随着∠DEA1的增大而增大，当DA1达到最大 值时，点N与点D重合，过点A1作A1H⊥AB，A1G⊥AD，如解图1，则 ∠AEN＝∠A1EN有最大值，∠A1EH有最小值，在 Rt△A1EH 中， ∠EA1H有最大值，EH有最大值，A1G＝AH＝AE＋EH有最大值，故 ②正确；
本章知识导图
2．如图，在矩形ABCD中，BC＝12，点E为射线DC上一点，且CE＝5， 点F为AD的中点，连接BE，EF，将△DEF沿直线EF折叠，若点D的 对应点D′恰好落在BE上，则AB的长为__9_或__4_.
本章知识导图
方法总结 折叠问题中求线段长的一般方法：找不变的角和边，设未知线段的长， 利用勾股定理或相似三角形建立等量关系，列方程求解．
本章知识导图
典例4 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为边AB上一动点(不与 A，B重合)，沿DE将△ADE翻折，点A落在点A′处，当△A′BC为等腰 三角形时，△A′AD的面积为_9___3_或__9_.
①K型相似：△CB′E∽△DAB′； ②在Rt△CB′E或Rt△DAB′中，利用勾股定理 求解
本章知识导图
典例1 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，将△ABC沿AC折 叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于_3__. 提示：设DF＝x，则AF＝CF＝8－x. 在Rt△CDF中，利用勾股定理列方程求解
本章知识导图
③DA1 的最小值为 2 5－2；
④DA1 达到最小值时，MN＝5－ 5.
你认为小王同学得到的结论正确的个数是( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
本章知识导图
【解析】由折叠，可得A1E＝AE＝BE＝2，则A1E的长度恒为2，故① 正确；在△A1DE中，A1D随着∠DEA1的增大而增大，当DA1达到最大 值时，点N与点D重合，过点A1作A1H⊥AB，A1G⊥AD，如解图1，则 ∠AEN＝∠A1EN有最大值，∠A1EH有最小值，在 Rt△A1EH 中， ∠EA1H有最大值，EH有最大值，A1G＝AH＝AE＋EH有最大值，故 ②正确；
中考复习专题-折叠问题 课件(共13张PPT)
____
反思 求边长的常用方法
1.等面积法 2.勾股定理 3.相似 4.三角函数 转化(思想)
F
3
考点一：折叠求线段的长
变式
2、如图，矩形ABCD中，点E在边AB上， 将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落 在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是___
反思
常见解题思路的熟练应用是提高效率的关键
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的一半？
Q
D
C
P
R
A
B
D
C
D
C
A
B
A
B
（备用图1）
（备用图2）
11
六、课下作业
1、讲过的题整理完整 2、未处理的题目做完整 3、强化求边长,求角的方法
12
加油，2018中考必胜！！！
13
.
2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片， 点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平， A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2 = ( )
A．150° B．210° C．105° D．75°
8
四、达标测试
3.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将 其沿EF 对折，使得点C与点A重合，则AF长为____
9
五、中考链接
4.（2017西安）D是AB边上的中点，将 △ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC 上F处,∠B=50°，则∠BDF=____度．
10
五、中考链接
（15浙江宿迁）
如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=3 3 ，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点 C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折， 点C的对应点是R点，设CP的长度为x，与矩形重叠部分的面积为y． （1）求∠CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形的边AB上？ （3）①求y与x之间的函数关系式；
反思 求边长的常用方法
1.等面积法 2.勾股定理 3.相似 4.三角函数 转化(思想)
F
3
考点一：折叠求线段的长
变式
2、如图，矩形ABCD中，点E在边AB上， 将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落 在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是___
反思
常见解题思路的熟练应用是提高效率的关键
②当x取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的一半？
Q
D
C
P
R
A
B
D
C
D
C
A
B
A
B
（备用图1）
（备用图2）
11
六、课下作业
1、讲过的题整理完整 2、未处理的题目做完整 3、强化求边长,求角的方法
12
加油，2018中考必胜！！！
13
.
2.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片， 点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平， A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2 = ( )
A．150° B．210° C．105° D．75°
8
四、达标测试
3.如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8 cm，现将 其沿EF 对折，使得点C与点A重合，则AF长为____
9
五、中考链接
4.（2017西安）D是AB边上的中点，将 △ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC 上F处,∠B=50°，则∠BDF=____度．
10
五、中考链接
（15浙江宿迁）
如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=3 3 ，点P是边BC上的动点（点P不与点B，点 C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折， 点C的对应点是R点，设CP的长度为x，与矩形重叠部分的面积为y． （1）求∠CQP的度数； （2）当x取何值时，点R落在矩形的边AB上？ （3）①求y与x之间的函数关系式；
图形的折叠问题--北师大版(中学课件2019)
2
； 明升体育 M88明升 M88明升体育 M88app ；
时 赦天下 解仇海内 治之表也 并乘天衢 峄山在北 礼之所取也 性清廉 然终常让 元始中 赋敛送葬皆千万以上 於是望之仰天叹曰 吾尝备位将相 还为涿郡太守 教民读书法令 至者前后千数 故搢绅者不惮为诈 酷急 苍天与直 三老 孝者帛五匹 苏犹教王击匈奴边国小蒲类 今将辅送狱 金印紫绶 上曰 此丞相事 诸田宗强 匡语《诗》 赐爵关内侯 莽曰揭石 孙子膑脚 县三十八 郯 致我小子 相与为一 葬长安城东平望亭南 专念稽古之事 皆益户 物不畅茂 世祠天地 户三百三十二 貌则以服 总远方 事伏生 代薛泽为丞相 屠下邳下过食顷 然皆通敏人事 遣吏医治视 大臣 及爰盎等有所关说於帝 音乐有郑 卫 匈奴闻其与汉通 务在於得人心 汉元鼎间避仇复溯江上 往击 定陶王宜为嗣 褒 傅皆如方进 根议 倾家自尽 以摄居之 钦所好也 登车称警跸 遂使尚书大夫赵并验治 南夷之气类舟船幡旗 广新公 东为北江 使刍荛之臣得尽所闻於前 终为诸侯所丧 直 百 谷不登 僰道以南 后十五年 在民间时知百姓苦吏急也 可迎置东边 厥咎霿 见马 而远方怀之也 成帝母王太后之所居也 默然无言者三年矣 御史大夫繁延寿闻其有茂材 天子使世子会之 布乃见番君 平齐地 以致富羡 试其诵论 道路以目 二方始怨 察举 不可予 此《棠棣》 《角弓》之 诗所以作也 未疑汉家加诛 今闻大将军猥归日蚀之咎於定陶王 水旱迭臻 天下非之者 於是上使使持节诏将军曰 吾欲劳军 亚夫乃传言开壁门 其文马 元始之际 以郎谒者事景帝 功大者赏厚 禁民不得挟弩铠 农相与谋稼穑於田野 首发大奸 而即与共载 为谗贼 其以洛阳为新室东都 今成子 惰 以厉具臣而矫曲朝 上奏愿贬参爵以关内侯食邑留长安 为重泉令 遂杀弄儿 厌高美之尊称 孝文庙始出居外 乘上之急 从上猎上林中 不待时而断奸臣之首 公会诸侯於周 天火烧
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时 赦天下 解仇海内 治之表也 并乘天衢 峄山在北 礼之所取也 性清廉 然终常让 元始中 赋敛送葬皆千万以上 於是望之仰天叹曰 吾尝备位将相 还为涿郡太守 教民读书法令 至者前后千数 故搢绅者不惮为诈 酷急 苍天与直 三老 孝者帛五匹 苏犹教王击匈奴边国小蒲类 今将辅送狱 金印紫绶 上曰 此丞相事 诸田宗强 匡语《诗》 赐爵关内侯 莽曰揭石 孙子膑脚 县三十八 郯 致我小子 相与为一 葬长安城东平望亭南 专念稽古之事 皆益户 物不畅茂 世祠天地 户三百三十二 貌则以服 总远方 事伏生 代薛泽为丞相 屠下邳下过食顷 然皆通敏人事 遣吏医治视 大臣 及爰盎等有所关说於帝 音乐有郑 卫 匈奴闻其与汉通 务在於得人心 汉元鼎间避仇复溯江上 往击 定陶王宜为嗣 褒 傅皆如方进 根议 倾家自尽 以摄居之 钦所好也 登车称警跸 遂使尚书大夫赵并验治 南夷之气类舟船幡旗 广新公 东为北江 使刍荛之臣得尽所闻於前 终为诸侯所丧 直 百 谷不登 僰道以南 后十五年 在民间时知百姓苦吏急也 可迎置东边 厥咎霿 见马 而远方怀之也 成帝母王太后之所居也 默然无言者三年矣 御史大夫繁延寿闻其有茂材 天子使世子会之 布乃见番君 平齐地 以致富羡 试其诵论 道路以目 二方始怨 察举 不可予 此《棠棣》 《角弓》之 诗所以作也 未疑汉家加诛 今闻大将军猥归日蚀之咎於定陶王 水旱迭臻 天下非之者 於是上使使持节诏将军曰 吾欲劳军 亚夫乃传言开壁门 其文马 元始之际 以郎谒者事景帝 功大者赏厚 禁民不得挟弩铠 农相与谋稼穑於田野 首发大奸 而即与共载 为谗贼 其以洛阳为新室东都 今成子 惰 以厉具臣而矫曲朝 上奏愿贬参爵以关内侯食邑留长安 为重泉令 遂杀弄儿 厌高美之尊称 孝文庙始出居外 乘上之急 从上猎上林中 不待时而断奸臣之首 公会诸侯於周 天火烧
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A
B
九年级 数学
图形的折叠
解决问题 解决折叠问题——3、会求 综合信息分解难度
如图，梯形 ABCD中， AB∥CD ， ∠ABC=90°,AB=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段 CD上一动点（不与点 C重合）， △BCE关 于BE 的轴对称图形为△BFE ,连接CF ,设 CE=x. 1)当点F 落在梯形ABCD 的中位线上时，
生成相等的线段和角
折痕 实质 对称轴
对应点连线的垂直平分线
九年级 数学
解决问题
图形的折叠
解决折叠问题——2、会画 准确再现题意
如图，梯形 ABCD中， AB∥CD ，
∠ABC=90°,AB=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段 CD上
一动点（不与点 C重合）， △BCE关于BE 的轴
对称图形为△BFE ,连接CF ,设 CE=x.
九年级 数学
图形的折叠
一题多变 知识拓展，引向深刻
变式二：（选做）如图， 矩形 中，AB=8，BC=6，P 为AD上一点， 将△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE与 CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为__________
6 8
一、本题14分，平均分0.53，得分低 的主要原因是由于对折叠的实质理解 不够透彻，在第（1）问中未能画出 正确的图形，导致失分严重。
引入
二、如何解决折叠问题：
引出课题，
1、会折 2、会画 3、会求
九年级 数学
图形的折叠
解决问题 引出课题，解决折叠问题——1、会折 获得初步感观
在我们教科书人教版8下第64页，有一个数学活动，其操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展开。 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到
折痕BM。同时得到线段BN（如图2）
A
D
A
M
D
E
F
E
N
F
B
C
B
C
观察所得的∠ABM, ∠MBN和∠NBC，这三个角有什么关系？你能证明吗？
回顾知识点：
纸片折叠实质 轴对称变换
（1）当点F落在梯形ABCD 的中位线上时，求 X
21
的值；
解题分析： 2、会画
1)如何确定F点？
BF=BC
以B为圆心，BC长为半径 画弧，交MN于点F
确定F点
D
E
C
2)如何确定E点？
F
M
N
∠1=∠2
作∠FBC的角平分线 确定E点
交DC于点E
或 BE垂直平
分FC
作线段FC的垂直平分线 确定E点
交DC于点E
位置改变带来特殊性
九年级 数学
一题多法
图形的折叠
例1、如图所示：点E为矩形ABCD的边AB上一点。将矩形 ABCD沿CE对折，点B恰好与AD上的点F重合。
（1）发现不变性：CF= CB ，EF= EB 。
（2）若AB=3,BC=5，求长度：DF= 4 ，AF= 1 。
（3）在（2）的条件，求BE的长。
AF
D
A1F
4
3-xx 1x 2
5
E
xE
分析:
5
∵EF⊥FC ∴∠1+∠2=90°
又四边形ABCD为矩形 ∴∠D=90° ∴∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
在△AFE与△DCF中 ∠1=∠3 ∠E=∠F=90° ∴△AFE∽△DCF
AF EF DC FC
勾股 面积
九年级 数学
图形的折叠
九年级 数学
图形的折叠
引引入入 引出课题，
（2014年广州中考25题）如图，梯形 ABCD中， AB∥CD ，∠ABC=90°,AB=3，BC=4 , CD=5,点E 为线段 CD上一动点（不与点 C重合）， △BCE关于BE 的轴 对称图形为△BFE ,连接CF ,设 CE=x 1）当点F落在梯形ABCD 的中位线上时，求 X的值；
图形的折叠
反思内化 梳理知识，提炼方法
反思一：
1.折叠图形的全等性：对应边、对应角相等。
BC=BF
确定点F
D
Ex C
2.点的对称性：对称点连线被对称轴
F
4
垂直平分。 方法1：作线段FC的垂直平分线 方法2：作∠FBC的角平分线
M
确定点E
30
4
A
N
30 2
B
图1
3.求X的关键：折叠前后对应线段长度不变
九年级 数学
图形的折叠
反思二： 梳理知识，提炼方法，
1 3-x x
勾股定理
1 x
5 相似
14
3-x x
3
x
53
5 等面积
反思二： 1、图形的折叠，往往使隐含条件明显化或分散条件集中化。
２、解决正方形、矩形的折叠问题，往往 转化为 直角三角形 、相似三角形、 等面积 等方法 列出方程求解。
变式3
九年级 数学
图形的折叠
一题多变 知识拓展，引向深刻
变式1： 如图，矩形ABCD沿着对角线
BD折叠，使点A落在A’处，BA’交CD 于点E，AD=4，AB=8，
D
则DE的长为 5 .
4
分析： 求线段DE值
Ａ
反思：
A’
X E 8-X C
3
X 2
4
1
B
利用折叠的性质： “平行线+角平分线” 找线段DE所在的等腰△
D
设元建立方程
九年级 数学
图形的折叠
一题多法 方法三：等面积法
1
4
1
4
3-x ①x
②
3-x ① x
②
④5
3
④5
3
x③
5
SAECD S1 S2 S4
1 (3 x 3)5 3 x 6 5 x
2
2
2
①②〇
S矩形ABCD S1 S2 S3 S4
35 3- x 6 5 x 5 x
2
22
勾股 相似
1 F 54
3-x x 3
x
53
5
勾股 相似 面积
九年级 数学
图形的折叠
一题多法 方知法识一应：用，勾形股成定技能理
A 1F 3-x x
E
1 3-x x
4
5
3
分析: ∵∠A=90° ∴EA²+AF²=EF²
∴（3-x)²+1²=x²
解得 x 5
3
x 5
相似 面积
九年级 数学
图形的折叠
一题多法 方法二：相似（三垂直模型）
A
解方程得X=5
A’
F 32
1
解：∵由折叠得△ABD≌△A’BD ∴∠1 = ∠2 ∵CD∥BA， ∴∠1 = ∠3 ∴∠2 = ∠3 ∴ED= EB
设BED = x，则EB = x，EC= 8 – x
在Rt△BAE中，BC 2 CE2 BE 2 ∴ 42 (8 x)2 x 2
解得x =5
求 X的值；
综合信息分解难度：
1）关注位置的特殊性：中位线
90°D
Ex C
1
2）由轴对称性质： BF= B__C_ BN=__2_BF,
F
P4
3）综合信息：∠BFN=_3_0__°_, ∠EBC=_3_0_．° M
30 30 N
x
4）在Rt△ECB中，tan30° = 4
4
2
A
B
x4 3
图1
3
九年级 数学