2019版一轮优化探究文数练习：第一章 第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 Word版含解析

一、填空题
1．已知p是真命题，q是假命题，则下列复合命题①p且q，②非p且非q，③非p或非q，④
非p或q中真命题的个数是________．
解析：∵p是真命题，q是假命题，∴非p是假命题，非q是真命题，由复合命题的真值表知，非p或非q为真命题，故1个．
答案：1 2．命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝x－3的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“綈p”中是真命题的是________．
解析：依题意p假，q真，所以“p∨q”“綈p”是真命题．
答案：p∨q，綈p
3．若命题p：∀x∈R,2x2－1>0，则该命题的否定是________．
答案：∃x∈R, 2x2－1≤0 4．若命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，
则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．
因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，
故－22≤a≤22.
答案：[－22，22]
5．现有下列命题：
①命题“∃x∈R，x2＋x＋1＝0”的否定是“∃x∈R，x2＋x＋1≠0”；
②若集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x≤－1}，则A∩(∁R B)＝A；
③函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋π
2
(k∈Z)；
④若非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则b与a－b的夹角为60°.
其中为真命题的是________．解析：命题①假，因为其中的存在符号没有改；命题②真，因为∁R B＝(－1，＋∞)，所以A∩(∁
R B)＝A；命题③真，若φ＝kπ＋
π
2
(k∈Z)，则f(x)＝sin(ωx＋kπ＋
π
2
)＝±cos ωx为偶数；命题④假，
因为|a|＝|b|＝|a－b|，所以由三角形法则可得|a|，|b|的夹角为60°，b与(a－b)的夹角为120°.所
以填写答案为②③.
答案：②③
6．已知命题p：∃x∈[0，π
2
]，cos 2x＋cos
x－m＝0为真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：依题意，cos 2x＋cos x－m＝0在x∈[0，π
2
]上恒成立，即cos 2x＋cos x＝m.令f(x)＝cos
2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1＝2(cos x＋1
4
)2－
9
8
，由于x∈[0，
π
2
]，所以cos x∈[0,1]，于是f(x)∈[－1,2]，因此实数m的取值范围是[－1,2]．
答案：[－1,2]
7．已知命题p1：存在x0∈R，使得x20＋x0＋1<0成立；p2：对任意x∈
[1,2]，x2－1≥0.以下命题：
①(綈p1)∧(綈p2)；②p1∨(綈p2)；③(綈p1)∧p2；④p1∧p2.
其中为真命题的是________(填序号)．
解析：∵方程x20＋x0＋1＝0的判别式
Δ＝12－4＝－3<0，∴x20＋x0＋1<0无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；
由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1.∴对任意x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．
∵綈p1为真命题，p2为真命题，
∴(綈p1)∧p2为真命题．
答案：③
8．用“充分、必要、充要”填空：
(1)p∨q为真命题是p∧q为真命题的________条件；
(2)綈p为假命题是p∨q为真命题的________条件．
解析：(1)p∨q为真命题p∧q为真命题，反之成立．
(2)綈p为假命题⇒p为真命题⇒p∨q为真命题，反之，p∨q为真命题綈p为假命题．
答案：必要充分
9．已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．
命题p：若α∥β，n⊂α，m⊂β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
下面的命题中，真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
①p∨q；②p∧q；③p∨綈q；④綈p∧q.
解析：∵命题p是假命题，命题q是真命题．
∴綈p是真命题，綈q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，
p∨綈q是假命题，綈p∧q是真命题．
答案：①④
二、解答题
10．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)∃x0∈R，x20－4＝0；
(2)∀T＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T)＝sin x；
(3)集合A是集合A∪B或A∩B的子集；
(4)a，b是异面直线，∃A∈a，B∈b，使AB⊥a，AB⊥b.
解析：它们的否定及其真假分别为：
(1)∀x∈R，x2－4≠0(假命题)．
(2)∃T0＝2kπ(k∈Z)，sin(x＋T0)≠sin x(假命题)．
(3)存在集合A既不是集合A∪B的子集，也不是A∩B的子集(假命题)．
(4)a，b是异面直线，∀A∈a，B∈b，有AB既不垂直于a，也不垂直于b(假命题)．
11．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解析：设g(x)＝x2＋2ax＋4，
由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，
所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点，
故Δ＝4a 2－16<0，∴－2<a <2.
又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数，
所以3－2a >1，∴a <1.
又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．
(1)若p 真q 假，则⎩⎪⎨
⎪⎧
－2<a<2，
a≥1，
∴1≤a <2；
(2)若p 假q 真，则⎩⎪⎨
⎪⎧
a≤－2或a≥2，
a<1，
∴a ≤－2.
综上可知，所求实数a 的取值范围为1≤a <2，或a ≤－2.
12．已知a >0，设命题p ：函数y ＝a x 在R 上单调递减，q ：不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，若p
和q 中有且只有一个命题为真命题，求a 的取值范围．
解析：由函数y ＝a x 在R 上单调递减知0<a <1，所以命题p 为真命题时a 的取值范围是0<a <1，
令y ＝x ＋|x －2a |，则y ＝错误!不等式x ＋|x －2a |>1的解集为R ，只要y min >1即可，而函数y 在R 上的最小值为2a ，所以2a >1，即a >1
2.即q 真⇔a >12.若p 真q 假，则0<a ≤1
2
；若p 假q 真，
则a ≥1，所以命题p 和q 有且只有一个命题为真命题时a 的取值范围是0<a ≤1
2
或a ≥1.。