ch质点动力学基本方程
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高中物理奥林匹克竞赛专题--质点动力学的基本方程(共27页)
F
Fx
y d sin t
d2 y a y 2 d 2 sin t 2 y dt
作用在此质点上的力在轴上的投影为
Fx m ax m2 x Fy m ay m2 y
F Fxi Fy j m 2r
力F与矢径r共线、反向，这表明，此质点按给定的运动方程作 椭圆运动.
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10.1 牛顿定律
10.1.2 惯性参考系
如果只限于地球表面及其邻近范围的机械运动，对
于绝大多数的工程问题来说，研究对象的加速度一
般都要比地球自转而使之产生的附加的加速度大很
多，倘若要求的精度不很高，为了计算简便，可选
择地面参考系。忽略掉地球自转，选择地球参考系
为惯性参考系。地球参考系有时也叫地面参考系。
矢径形式 直 角 坐 标 形 式
d2x m 2 Fx dt 2 d y m 2 Fy dt 2 d z m 2 Fz dt
m
d2r dt
2
F
F v2 m Fn 0 Fb dv m dt
ma F
质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。
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10.1 牛顿定律
10.1.1 牛顿定律
第三定律 任何两个质点间的相互作用力 总是大小相等，方向相反，沿着同一直线， 且分别作用在这两个质点上。该定律也称 为作用与反作定律。
a LT
2
F M LT
2
量纲与其单位是物理量的两个方面，物理量的量纲
是一定的，它的大小却可以用不同的单位来度量
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10.2 质点的运动微分方程
9质点动力学的基本方程
质点：只有质量而无大小的物体。
动 力 学 介 绍
在下面两种情况下，可以把物体视为质点： 物体作平移的时候； 当物体的运动范围远远大于它自身的尺寸、忽略 其大小对问题的性质无本质影响的时候。
刚体：有质量、不变形的物体
质点系：由若干质点组成的、有内在联系 的系统
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
惯性参考系：以太阳为原点，三个坐标轴指向 三个恒星的日心参考系是惯性参考系。
如果在地球的引力场内，研究人造地球卫星 、大气流动、洲际导弹等等的机械运动，忽略掉 地球公转的加速度，只考虑地球自转的影响。选 择以地心为原点，三个坐标轴指向三个恒星的地 心参考系是惯性参考系。
临沂大学机械工程学院机械工程系
徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第一定律
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
牛顿定律，是牛顿在《自然哲学的数学原理》中 建立的描述物体机械运动的运动学三定律，亦称 为动力学基本定律。 第一定律(惯性定理) 任何质点如不受力作用 ，将永 远保持其静止或匀速直线运动状态。 定律定义了惯性参考系。涉及到了静止和匀速直 线运动，也就涉及了参考系。
m a
F
质点的质量与其加速度的乘积等于作用在此质点上诸 力的合力。 该定律表明， 质量是质点惯性的度量。
临沂大学机械工程学院机械工程系 徐波
理论力学
第九章 质点动力学的基本方程
牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）
第 一 节 动 力 学 的 基 本 定 律
11.第11章_质点动力学的基本方程
ma F
⑴ 质点在力作用下有确定的加速度，使质点运动状态 发生改变;
⑵ 对于相同质量的质点，作用力大，其加速度也大；
⑶ 用大小相等的力作用于质量不同的质点上，则质量 大的质点加速度小，质量小的质点加速度大。
质量是质点惯性的度量。
§11-2 动力学的基本定律
重力加速度 g — 在重力作用下得到的加速度
力的作用是改变物体机械运动的原因，动力学 就是从因果关系上论述物体的机械运动。机械运动 变化是力对物体作用的结果。
在静力学、运动学两篇中曾讨论过： 当作用于物体上的力系满足一定条件时，物体处于 平衡状态，力系的简化与合成、力系的平衡条件研究是 静力学的两个基本任务；
不考虑运动状态发生变化的原因，只从几何的观 点来论述物体的机械运动，是运动学的任务。
已知质点的运动，求作用在质点上的力（微分问题） 解题步骤和要点：
⑴ 正确选择研究对象 一般选择联系已知量和待求量的质点
⑵ 受力分析,画受力图 ⑶ 进行运动分析 分析质点运动的特征量 ⑷ 建立坐标系，列出适当形式的质点运动微分方程 ⑸ 求解未知量
例11-1 以匀角速度ω转动的曲柄OA=r,AB=l,滑块质量为m,
在一般的工程问题中，把固定于地面的坐标系或相 对于地面作匀速直线平移的坐标系作为惯性参考系。
§11-3 质点的运动微分方程
将动力学基本方程
ma
F
表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
质点运动微分方程的矢量形式
质点动力学第二定律
ma
F
m
d2 dt
r
2
Fi
1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影
一般取9.80m/s2
工程力学—质点动力学基本方程
上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基 本方程。
注意以下几点： 1、当质点同时受几个力的作用时上式中的力应理解为这些
力的合力。 2、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时对质点运
动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表现的。作用力并不 直接决定质点的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方 向。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与 坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适 用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯 性坐标系。
5.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
mamdd2tr2
n i1
Fi
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
m d d 2 t2 xi n 1F xi,m d d 2 t2 yi n 1F yi m d d 2 t2 zi n 1F zi
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
m d dv ti n1F i,
m v2nF ni,0nF bi
i 1
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题 高速列车的振动问题
5 质点动力学基本方程
动力学基本定律 质点运动微分方程 质点动力学的两类基本问题
5.1 动力学的基本定律
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他 出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠 他的外祖母养大。
g P m
g 9 .7 8 0 4 9 (1 0 .0 0 5 2 8 8 4 sin 2 0 .0 0 0 0 0 5 9 sin 22 为 纬 度
注意以下几点： 1、当质点同时受几个力的作用时上式中的力应理解为这些
力的合力。 2、力与加速度的关系是瞬时关系，即力在某瞬时对质点运
动状态的改变是通过该瞬时确定的加速度表现的。作用力并不 直接决定质点的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方 向。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与 坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适 用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯 性坐标系。
5.2 质点的运动微分方程
1. 矢量形式的质点运动微分方程
mamdd2tr2
n i1
Fi
2. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影
m d d 2 t2 xi n 1F xi,m d d 2 t2 yi n 1F yi m d d 2 t2 zi n 1F zi
3. 质点运动微分方程在自然轴上投影
m d dv ti n1F i,
m v2nF ni,0nF bi
i 1
工程实际中的动力学问题 载人飞船的交会与对接
v2 v1
B A
工程实际中的动力学问题 高速列车的振动问题
5 质点动力学基本方程
动力学基本定律 质点运动微分方程 质点动力学的两类基本问题
5.1 动力学的基本定律
牛顿及其在力学发展中的贡献
牛顿出生于林肯郡伍尔索朴城的一个中等农户家中。在他 出生之前父亲即去世，他不到三岁时母亲改嫁了，他不得不靠 他的外祖母养大。
g P m
g 9 .7 8 0 4 9 (1 0 .0 0 5 2 8 8 4 sin 2 0 .0 0 0 0 0 5 9 sin 22 为 纬 度
动力学 第九章 质点动力学的基本方程
l
小球速度v 与绳子张力F。
n
解： b
法向：
m
v2
F sin
mg
副法向： 0 F cos mg 解出： F
l sin
mg =1.96N cos
2
Fl sin v =2.1m/s m 这是混合问题。
例4：刹车的作用
已知：吊车的吊重为P，匀速 v0，绳长为l，空气阻力不计。求： 小车突然刹车后，绳子拉力T 的变化。 v0
度 转动,OA=r,AB=l,当
例9-1 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速
r / l比较小时,以O 为坐
标原点,滑块B 的运动方程可近似写为
2 x l 1 r cos t cos 2 t 4 4
如滑块的质量为m, 忽 略摩擦及连杆AB的质量,试
mg
xmax
y
再积分，得
x
m v0
e
m
t
C2
y
mg
t
m2 g
2
e
t m
D2
由初始条件：t=0时，x=y=0。代入上两式，求得常数
C2
m v0
D2
m2 g
2
4）质点的运动方程为
x
y
m v0
(1 e
m
t
)
O
m
v0
M
F
v
x
或
mg v y mg
t m
y
ch质点动力学基本方程
2
mg 0
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l (k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解 得：
kl m g m lcos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl m g ml
⑤求解未知量
v2 由 2 式得 T G (cos ), gl
, 因此 0时 , T Tmax 其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动
Tmax
2 2 v0 G v0 G(1 )G gl g l
2 G v0 [注]①动拉力Tmax由两部分组成, 一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分 g l
理论力学引Fra bibliotek力学模型：言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系
1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 刚体作平动时,刚体 质点；
质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离
不变的质点组成，又称为不变质点系。
2 2
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
解：取质点M为研究对象，受力及运动分析如图所示。作用 其上的力有重力和介质阻尼力，均为已知，求质点的运动， 属于动力学第二类问题。
在任意位置上，有 d 2x dx m 2 mg c dt dt
2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星；
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st 0
k( st x)
st
st
O
x
mg
x
x
O
mg
x
第16页
质点系运动微分方程 内力 外力 质点系内力系主矢和对任一点主矩都等于零。
设质点系由 n 个质点所组成，将每一个质点 所受力分为外力协力 ，内Fi 力协力 。 Fi 对于每一个质点
矢量形式质点系运动微分方程。
第17页
d
( mi i ) Fi
A
A
B
C
O
b
c
FN
FT
x
M
o
G
h h
第15页
例9-5卷扬机钢丝绳绕过固定滑轮后悬吊着质量m=15t重物匀速下
降，速度0=20m/min。因为滑轮发生故障，钢丝绳上端突 然被卡住。这时，因为钢丝绳含有弹性，重物将发生上下
振动。设钢丝绳悬垂段弹簧刚度系数k=5.78MN/m, 试求因 为重物振动所引发刚丝绳最大拉力。
F ma
质量—— 质点惯性量度。
Ma
F
重力加速度g——物体仅受重力作用而自由降落。
表示了质点加速度、所受力以及质量之间关系。
第4页
第三定律（作用与反作用定律） ——两质点间相互作用力，总是大小相等，方向相反， 沿着两点连线分别作用在两质点上。
第5页
第四定律（力独立作用定律） ——若质点同时受到几个力作用，则其加速度等于各 力分别作用于该质点时所作用各加速度矢量和。
d
( mi i ) Fi
Fi
( i 1,2,,n )
dt
本章小结
第18页
提议
用MATLAB求解理论力学问题。
第19页
9-24 9-26 9-29
第九章 质点动力学基本方程.
运 由上式可见，质点的速度在水平方向的投影 vx 不是
动 常量，而是随着时间的增加而不断减小，当t 时，
微 分 方
vx 0；质点的速度在 y 轴上的投影v y ，随着时间
律
质点受力作用时所获得的加速度的大小与作
用力的大小成正比，与质点的质量成反比，加速
度的方向与力的方向相同。
即：
a
F
或
ma
F
9.1
m
动
由于上式是推导其它动力学方程的出发点，所以通常 称上式为动力学基本方程。
力 学
当质点同时受几个力的作用时上式中的
F
为这些力的合力。
应理解
基
该定律表明：
代入数据，联立求解得：
TA 8.65(N) TB 7.38(N )
TA
b
TB n
M mg
B
60 O
v
下面再对本题作进一步的分析
r
微 讨论，由（1）、（2）式可得：
分 方
TA
2 (9.8 3 2v2 ) 31
TB
2 (2v2 9.8) 3 1
程 令 TA 0，可得 v 4.9 3 2.91(m s)
mg
因为
dx dt
vx
v cos
dy dt
vy
v sin
9.2
质 点
将它们代入运动微分方程，并令
d2x dt 2
dx dt
0
C m
，得：
d2y dt 2
dy dt
第十章 质点的基本运动方程
第十章质点动力学的基本方程102质点的运动微分方程102质点的运动微分方程2在自然轴上的投影质点动力学的两类基本问题第一类问题
第十章
第十章
质点动力学的基本方程
本章提出了质点动力学的三个基本定律，即牛顿三定律。其中第二定 律的数学表达式又称作质点动力学基本方程，由于加速度可用微分形 式表述，因此又称作质点的运动微分方程。质点动力学问题一般分为 第一类基本问题、第二类基本问题及混合问题。
第十章
质点动力学的基本方程
10-2 质点的运动微分方程
ma = Fi
或
d r m 2 = Fi dt
2
1 、在直角坐标轴上的投影
10-2 质点的运动微分方程
2、在自然轴上的投影
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力。 第二类问题：已知力求运动。 混合问题：第一类与第二类问题的混合。
第十章
质点动力学，因此应重点掌握质点动力学的 两类基本问题。
第十章
质点动力学的基本方程
10-1
动力学基本定律 牛顿三定律
第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 重力 力的单位:牛[顿], 第三定律 (作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一 直线,且同时分别作用在这两个物体上。
10-2 质点的运动微分方程
第十章
第十章
质点动力学的基本方程
本章提出了质点动力学的三个基本定律，即牛顿三定律。其中第二定 律的数学表达式又称作质点动力学基本方程，由于加速度可用微分形 式表述，因此又称作质点的运动微分方程。质点动力学问题一般分为 第一类基本问题、第二类基本问题及混合问题。
第十章
质点动力学的基本方程
10-2 质点的运动微分方程
ma = Fi
或
d r m 2 = Fi dt
2
1 、在直角坐标轴上的投影
10-2 质点的运动微分方程
2、在自然轴上的投影
3 、质点动力学的两类基本问题 第一类问题：已知运动求力。 第二类问题：已知力求运动。 混合问题：第一类与第二类问题的混合。
第十章
质点动力学，因此应重点掌握质点动力学的 两类基本问题。
第十章
质点动力学的基本方程
10-1
动力学基本定律 牛顿三定律
第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 第二定律 重力 力的单位:牛[顿], 第三定律 (作用与反作用定律): 两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反,沿着同一 直线,且同时分别作用在这两个物体上。
10-2 质点的运动微分方程
理论力学第十章质点动力学的基本方程(1)
不变的质点组成。又称为不变质点系。
三.动力学分类: 质点动力学
质点系动力学
10-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律 (力与加速度之间的关系定律）
ma F
1）建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定 量关系。
2）质量是质点惯性的度量。（质量越大，质点惯性越大）
[例4] 一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m
的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成 60 角。如
小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。
解 : 研究小球，
0 F cos mg
m v2 F sin
其中 l sin, 解得 F mg 1.96N
所受的力. 2
FN
解：属第一类问题
F
ma x F cos
mg
其中 ax x r2 cos t cos2 t
1)当 0时, ax r2 1 , 且 0,
F mr2 1
2)当
2
时,
ax
r 2
且cos
l2 r2 l
F mr22 l 2 r 2
[注] 第一类问题较简单，一般将运动方程求导后 可得到加速度，代入质点运动微分方程后即 可求得力。
FA
ml 2a
( 2a
g)
FB
ml 2a
( 2a
g)
[例2] 曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转
动,OA=r,AB=l,当 r / l比较小时,以O 为坐标原点,滑块
B 的运动方程可近似写为
x
l
1
2
4
质点运动学方程
质点运动学方程质点运动学方程是物理学中一种基本的微分方程，它用来描述任意物体在一个恒定的外界力作用下的运动。
质点运动学方程的形式如下：\begin{equation} m \frac{d^2x}{dt^2} = F(x,t) \end{equation}其中，$m$代表质量，$x$代表位置，$F(x,t)$代表外力。
可以看出，该方程表明了质量、位置和外力之间的关系，即质点在外力作用下的运动是由质量和位置决定的。
从物理角度来看，质点运动学方程是一种受外力作用的动态系统，它可以描述物体的运动状态，而不需要考虑物体的形状、体积或其他特征。
因此，质点运动学方程在物理学中具有重要的地位，它可以描述任意物体在恒定的外力作用下的运动状态，而实际的物理对象的运动可以由调整外力的大小和方向来实现。
质点运动学方程也是传统力学中最常用的方程之一，它描述了两种力之间的相互作用，这两种力是：外力和惯性力（又称惯性力或内力）。
其中，外力又可以分为三类：引力、斥力和流体力，各自都是物体的外力，而惯性力则是物体自身的力，是物体的惯性（或惯量）所激发出来的力。
质点运动学方程表明，当外力改变时，物体的运动状态也会随之改变，这是因为外力会改变物体的加速度，而加速度又会改变物体的速度，从而改变物体的运动状态。
同时，质点运动学方程也可以用来描述惯性力和外力之间的关系，即惯性力可以抵消外力，当惯性力大于外力时，物体会保持原来的运动状态；当外力大于惯性力时，物体的运动状态会发生变化。
质点运动学方程不仅可以用来描述物体在外力作用下的运动，而且还可以用来描述物体在惯性力作用下的运动。
例如，可以使用质点运动学方程来描述弹簧的运动，弹簧的运动受到弹簧的弹性力和惯性力的作用，这两种力的大小受到弹簧的长度和弹性系数等因素的影响。
总之，质点运动学方程是物理学中一种基本的微分方程，它可以用来描述物体在外力和惯性力作用下的运动状态。
它不仅可以用来描述宏观上物体的运动状态，而且也可以用来描述微观上物体的运动状态，这样就可以更好地理解物理系统的运动规律。
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.矢量形式
ma F
a
d2r dt 2
m
d2r dt 2
F
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
F x
m
d2 y dt 2
F y
m
d2z dt 2
F z
3.自然形式
m d2S F
dt 2
v2
m
F
n
0 Fb
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形 式, 柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点 动力学的两类问题。
研究内容:
质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
动力学的两类基本问题： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力、部分运动，求另一部分力、
部分运动；已知主动力，求运动，再由运动求约束力。
理论力学
第八章 质点动力学
sin
0
,
v0
,
待求
0
t 瞬时 , M A , xS , yH , vx , vy
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
m
dvx dt
m
dvy dt
0
mg
dx dt
dy dt
c1 gtc2
x
y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
微分方程 积分一次
再积分一次
代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
Tmax
G(1
v02 ) gl
G
G g
v02 l
因此 0时 , T Tmax
[注]①动拉力Tmax由两部分组成,
一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分Gg
v02 l
由加速度引起，称为附加动拉力。
②减小绳子拉力的方法：减小跑车速度或者增加绳子长度。 。
例： 离心式转速计工作原理如图所示。弹性细绳ACD系住的 小球质量为m。弹性细绳的原长(未受力时的长度)为CD，弹性
例：煤矿用填充机进行填充, 为保证充
填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶
板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速
度v0 ? (2)初速v0 与水平的夹角a0？
解：选择填充材料M为研究对象，受力
如图所示，M作斜抛运动。建立图示坐标系。
t
0, x0
0,
y0
0; v0x
v0
cos0 , v0 y
v0
常数为k。设AB=CB=l，试求转速计稳定转动（ 0 ）时,其
转动轴的角速度ω与偏角θ的关系以及杆AB所受的力。
解：取小球A为研究对象，受力如图b（空间汇交力系）。
小球的加速度：
aA
a
n A
AB sin
2
l sin
2
细绳的弹性力F沿AC线，大小为
F k CA k 2l sin
2
小球A的运动微分方程：
v0
(v0cos0 )2 (v0sin0 )2
g 2s2 2gH 10.5 m/s 2gH
0
tg
1
v0 sin 0 v0 cos 0
tg1 2H s
31
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l(k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解
得：
kl mg ml cos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl mg ml
第一类问题解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
则运动方程为:
则轨迹方程为: y
x
v0tcos0
xtan0
12, ygvv00t2scixno0s2 20012
gt
2
最高点A处
dy dt
v0
s in 0
gt
0,
t v0 sin0
g
将到达A点时的时间t、x=S、y=H 代入运动方程，得
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
四、质点动力学的两类基本问题
1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。 ----求微分问题。
2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。 ----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动
微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求 积分，并确定相应的积分常数的问题。
例：桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运 动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因 惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②任一时刻受力分析如图所示 ③任一时刻运动分析，沿以O 为圆心, l为半径的圆弧摆动。
④列出自然形式的质点运动微方程
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G v2 T Gcos
gl
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
§8–1 惯性参考系中的质点动力学 §8–2 非惯性参考系中的质点动力学
§8-1 惯性参考系中的质点动力学
一、动力学基本定律（牛顿三定律） 1.第一定律（惯性定律）：
2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）： ma F
3.第三定律（作用与反作用定律）：
二.惯性参考系：牛顿三定律成立的参考系。
1.一般工程问题：固连于地面或相对于地面作匀速直线平动的物 体； 2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星； 3.天体运动问题：太阳为中心、三轴指向三个恒星。
理论力学
引言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系 力学模型： 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时,刚体 质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成，又称为不变质点系。
S
s in
F
cos
2
maA
即
S cos F sin mg 0
2
S sin 2klsin cos ml 2 sin
22
S cos 2klsin 2 mg 0
2
S sin 2klsin cos ml 2 sin
22
S cos 2klsin 2 mg 0
2
（1） （2）
ma F
a
d2r dt 2
m
d2r dt 2
F
2.直角坐标形式
m
d2x dt 2
F x
m
d2 y dt 2
F y
m
d2z dt 2
F z
3.自然形式
m d2S F
dt 2
v2
m
F
n
0 Fb
质点运动微分方程除以上三种基本形式外,还可有极坐标形 式, 柱坐标形式等等。应用质点运动微分方程，可以求解质点 动力学的两类问题。
研究内容:
质点动力学
质点系动力学
质点动力学是质点系动力学的基础。
动力学的两类基本问题： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力、部分运动，求另一部分力、
部分运动；已知主动力，求运动，再由运动求约束力。
理论力学
第八章 质点动力学
sin
0
,
v0
,
待求
0
t 瞬时 , M A , xS , yH , vx , vy
列直角坐标形式的质点运动微分方程并对其积分运算
m
dvx dt
m
dvy dt
0
mg
dx dt
dy dt
c1 gtc2
x
y
c1t c3 1 gt2
2
c2t
c4
微分方程 积分一次
再积分一次
代入初始条件得 : c1 v0cos0 ,c2 v0sin0 ,c3 c4 0
Tmax
G(1
v02 ) gl
G
G g
v02 l
因此 0时 , T Tmax
[注]①动拉力Tmax由两部分组成,
一部分即物体重量G,称为静拉力；一部分Gg
v02 l
由加速度引起，称为附加动拉力。
②减小绳子拉力的方法：减小跑车速度或者增加绳子长度。 。
例： 离心式转速计工作原理如图所示。弹性细绳ACD系住的 小球质量为m。弹性细绳的原长(未受力时的长度)为CD，弹性
例：煤矿用填充机进行填充, 为保证充
填材料抛到距离为S=5米,H=1.5米的顶
板A处。求 (1)充填材料需有多大的初速
度v0 ? (2)初速v0 与水平的夹角a0？
解：选择填充材料M为研究对象，受力
如图所示，M作斜抛运动。建立图示坐标系。
t
0, x0
0,
y0
0; v0x
v0
cos0 , v0 y
v0
常数为k。设AB=CB=l，试求转速计稳定转动（ 0 ）时,其
转动轴的角速度ω与偏角θ的关系以及杆AB所受的力。
解：取小球A为研究对象，受力如图b（空间汇交力系）。
小球的加速度：
aA
a
n A
AB sin
2
l sin
2
细绳的弹性力F沿AC线，大小为
F k CA k 2l sin
2
小球A的运动微分方程：
v0
(v0cos0 )2 (v0sin0 )2
g 2s2 2gH 10.5 m/s 2gH
0
tg
1
v0 sin 0 v0 cos 0
tg1 2H s
31
例：求质量为m的质点M在粘性介质中自由下落的运动方程。 设质点受到的阻尼力Fr=-cv，c称为粘度系数，简称粘度。初始 时质点在介质表面上被无初速度释放。
如果sinθ≠0，则由第（1)式可解得：
S l(k m 2 )
此即杆AB所受的力，方向与S相反。 再将S的值代入第（2)式，注意到三角关系，可解
得：
kl mg ml cos
系统稳定转动时的最小角速度为
（此时 cos 1 ）
min
kl mg ml
第一类问题解题步骤和要点：
①正确选择研究对象（一般选择联系已知量和待求量的质点）。 ②正确进行受力分析,画出受力图(应在一般位置上进行分析)。 ③正确进行运动分析（分析质点运动的特征量）。 ④选择并列出适当形式的质点运动微分方程（建立坐标系）。 ⑤求解未知量。
则运动方程为:
则轨迹方程为: y
x
v0tcos0
xtan0
12, ygvv00t2scixno0s2 20012
gt
2
最高点A处
dy dt
v0
s in 0
gt
0,
t v0 sin0
g
将到达A点时的时间t、x=S、y=H 代入运动方程，得
v0cos0
sg 2gH
v0sin0 2gH
发射初速度大小与初发射角 0 为
四、质点动力学的两类基本问题
1.已知质点的运动规律，求作用于质点上的力。 ----求微分问题。
2.已知质点上所受的力，求质点的运动规律。 ----按质点运动的初始条件和力的函数关系对运动
微分方程进行求解，从数学角度看，是解微分方程或求 积分，并确定相应的积分常数的问题。
例：桥式起重机跑车吊挂一重为G的重物，沿水平横梁作匀速运 动，速度为 v0 ，重物中心至悬挂点距离为l。突然刹车，重物因 惯性绕悬挂点O向前摆动，求钢丝绳的最大拉力。
解：①选重物(抽象为质点)为研究对象 ②任一时刻受力分析如图所示 ③任一时刻运动分析，沿以O 为圆心, l为半径的圆弧摆动。
④列出自然形式的质点运动微方程
ma F ,
G g
dv dt
Gsin
1
man Fn ,
G v2 T Gcos
gl
2
⑤求解未知量
由2式得 T G(cos v2 ) ,
gl
其中 ,v为变量. 由1式知 重物作减速运动 ,
§8–1 惯性参考系中的质点动力学 §8–2 非惯性参考系中的质点动力学
§8-1 惯性参考系中的质点动力学
一、动力学基本定律（牛顿三定律） 1.第一定律（惯性定律）：
2.第二定律（力与加速度之间的关系定律）： ma F
3.第三定律（作用与反作用定律）：
二.惯性参考系：牛顿三定律成立的参考系。
1.一般工程问题：固连于地面或相对于地面作匀速直线平动的物 体； 2.人造卫星、洲际导弹问题：地心为原点，三轴指向三个恒星； 3.天体运动问题：太阳为中心、三轴指向三个恒星。
理论力学
引言
动力学：研究物体的运动与所受力之间的关系 力学模型： 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。
例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时,刚体 质点。
2.质点系：由有限或无限个有一定联系的质点组成的系统。
刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成，又称为不变质点系。
S
s in
F
cos
2
maA
即
S cos F sin mg 0
2
S sin 2klsin cos ml 2 sin
22
S cos 2klsin 2 mg 0
2
S sin 2klsin cos ml 2 sin
22
S cos 2klsin 2 mg 0
2
（1） （2）