高中人教版数学教材必修一《几类不同增长的函数模型》教学设计

3.2.1几类不同增长的函数模型

教学要求：

①结合实例体会直线上升，指数爆炸，对数增长等不同增长的函数模型的意义.

②借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.

③恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.

④收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等），了解函数模型的广泛应用.

教学重点

：将实际问题转化为函数模型，比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型的增长差异，结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．

教学难点：

怎样选择数学模型分析解决实际问题．

教学过程：

一、新课引入：

大家翻到课本P84-85，看到图片上有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气．

你们知道兔子的数量为什么增加得如此之快吗？有什么规律？

据生物学家统计，在理想环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中，种群数量的增长将由指数增长转变为对数增长，并逐渐趋于稳定。

在我们的生活中无处不存在函数关系，我们来看看生活中的函数是如何增长的。

二、讲授新课：

1、例题讲解：例1、

当国家有难的时候，四川有难的时候，社会各界纷纷伸出援助之手，献出自己的一份爱心，看了下面几张图片，我感动得热泪盈眶。

正如温总理所说的“多难兴邦”，在这个时候，充分体现了中华民族强大的凝聚力，很多企

金融企业

地产企业

汽车企业

港澳台企业

外资企业

1.建设银行 6473万 1.碧桂园 1300万 1.广汽集团 2103万 1.台塑集团 1

亿

1.三星 3000万

2.中国银行 6400万 2.桃源

居 1300万

2.奇瑞 1600万 2.台湾长荣

7000万

2.益海嘉里 2000万

3.中国平安 3500万 3.泛海控股 1200万 3.现代 起亚 1260万 3.富士康 6000

万 2.印尼金光 2000万

4.交通银行 3200万 4.华侨城 1100万 4.东风公司 1130万 4.润泰集团

5500万 4.LG 1700万

5.招商局 2713万 5.上置控股 1000万 5.广州本田 1103万 5.霖园集团 5000万 5.赛诺菲－安万特1500万

6.工商银行 2600万 6.恒大地产 1000万 6.吉利汽车 1000万 6.香港赛马会

3000万 6.佳能公司 1100万

7.中信集团2000万 7.复地集团 1000万 7.比亚迪 1000万 7.电讯盈科

2000万

7.强生 1000万

甲企业说：我以后每天捐5万元；

乙企业说：我第一天捐1万元，以后每天比前一天多捐1万元；

丙公司说：我第一天捐0.1万元，以后每天捐款额都比前一天翻一番。 问：你觉得哪个公司更慷慨？

探究：在本例中涉及哪些数量关系？每天捐款额和捐款天数？ 学生较易得到每天捐款数额（万元）y 和天数n 有如下关系： 甲：5y =； 乙：y n =；

丙：1

0.12n y -=⨯

问：只捐3天呢？

学生就会发现原来谁更慷慨是和捐款天数有关的，所以要根据捐款天数分类讨论。 追问：哪个公司更慷慨，其实是比较这三个公司的什么？是每天捐款额还是几天总共捐款额？

根据以上分析，你认为哪个企业更慷慨？

答：当捐款天数小于9天时，甲最慷慨，其次是乙，再次是丙；当捐款天数为9天时，丙最慷慨，甲和乙一样；当捐款天数大于9天时，丙最慷慨，其次是乙，再次是甲。

丙函数随着n 的增大,y 值增加的速度越来越快，而甲是常函数，不增加，乙是一次函数，匀速增加。我们再研究一下我们常见的几种函数的增长速度。 我们已经学过的函数有哪些？

常函数，一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。 我们要研究这些函数增长性，我们就举几个在第一象限是增函数的上述函数的例子（让学生自己举）

在同一坐标系中画出函数2

x

函数增长的速度也是先慢后快，但是没有指数函数增加得快；对数函数增长速度先快后慢，越来越慢。

例2、第四个公司什么话都没多说，只是默默地每天给慈善总会寄来钱。三个月过去了，慈

善总会秘书一五一十地把第四个公司每天捐来的钱做了登记。她看了登记表以后觉得很奇怪，这到底是什么规律？以后每天这个公司到底会寄多少钱过来？于是，她把表格中的部分数据重新摘记下来，想找人帮忙找到其中的规律，你能帮慈善总会秘书找到其中

思考点一：从特殊的几点考虑，（3，1），（9，2），（27，3），（81，4），大概可以猜出是函数

3log y x =；

思考点二：可以从增长速度考虑，发现增加的速度越来越慢，猜想是对数函数，再代几组数字加以验证。

例3、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%．现有三个奖励模型：

0.25y x =；7log 1y x =+； 1.002x y =. 问：其中哪个模型能符合公司的要求？ 探究：本例涉及了哪几类函数模型？本例的实质是什么？

根据问题中的数据，如何判定所给的奖励模型是否符合公司要求？ 通过对三个函数模型增长差异的比较，写出例2的解答．