第2章随机变量及其分布【概率统计精品讲义】

即
CMk
C nk N M
C
n N
Cnk pk qnk ,
其中 p M , q 1 M .
Nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
N
2020/8/7
11
泊松分布与二项分布的关系
泊松定理：
设 X ~ B(n, p), 若当n→∞时，
np （ 0 常数）, 则有
lim
n
Cnk
p
k
q
nk
k e , k
k!
0,1,2,
注： 当n充分大, p很小 (p<0.1),
2020/8/7
7
实例：在n重伯努利概型中
设X表示事件A恰好出现的次数，
X=k的概率为
Pn ( X k) Cnk pk qnk , k 0,1,2,, n
则X服从二项分布B (n, p) .
例如
设一批产品共N件，其中有M件次品，
按放回抽样方式,
随机抽取n件样品(0≤n≤M).
设随机变量X表示取出的次品数(X=0,1,2,…,n), 则
P(X
k)
C C k nk M NM
C
n N
,
k 0,1, 2,
其中n, M, N 都是正整数，
且n ≤N, M≤N;
, n;
则称
随机变量X服从超几何分布, 其中n, M, N是分布的参数.
记作X～H (n, M, N),
2020/8/7
4
实例：产品检验模型
一批产品共N件, 其中M件次品, N-M件正品,
随机变量的定义
定义: 设随机试验E的样本空间为
{}, 若对于每
一个样本点
, 变量X 都有确定实数值与之对应,
则X是定义在
上的实值函数,
即 X X (),我们称
这样的变量X为随机变量.
随机变量的分类
(1) 离散随机变量:取值只有有限个或可列无穷多个;
(2) 非离散随机变量 连续随机变量: 取值是在某个实数区间
x
x
事件“X≤x”当x→-∞时是不可能事件;
事件“X≤x”当x→+∞时是必然事件.
(3)离散随机变量X，F (x)是右连续函数,
即
lim F(x) F(a)
xa
连续随机变量X，F(x)在(-∞,+ ∞)处处连续.
2020/8/7
14
连续随机变量和概率密度
定义.若随机变量X的取值范围是某个实数区间I
P( X
k
)
Cnk
(
M N
)k
(1
M N
)nk
(k 0,1,2,, n)
故X~B (n, M/N).
2020/8/7
8
泊松分布
定义. 设随机变量X的概率分布为
p( X k) k e , k 0, 1, 2, ; (其中 0)
k!
X ~ P(),
则称随机变量X服从泊松分布，
记作
参数
是分布的参数.
5) 某公路段上在单位时间内发生交通事故的次数;
……
2020/8/7
10
二项分布与超几何分布的关系
定理: 注：
若X~H (n, M, N)，
则当N→∞时，有
lim
N
CMk
C nk N M
C
n N
Cnk pk qnk
当N充分大时，
超几何分布H (n, M, N)的
概率函数近似等于二项分布B(n,p)的概率函数,
即np比较适中时，
二项分布B( n, p)的概率函数近似等于泊松分布
P( )的概率函数:
Cnk pk qnk
k
k!
e , 其中
np
2020/8/7
12
随机变量X的分布函数
定义：设X为一随机变量，
x R, 则事件“X ≤x”
的概率P(X≤x)称为随机变量X的分布函数,
记作
F(x)=P (X≤x).
注：
当x1 x2时,
P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1).
2020/8/7
13
分布函数F (x)的性质
(1) F(x)是非减函数,
(2) 0 F(x) 1;且
即若x1 <x2, 则
F(x1) F(x2 );
F() lim F(x) 0; F () lim F(x) 1;
Pn ( X k) Cnk pk qnk , k 0,1,2,, n
其中n为正整数，
0 p 1, p q 1;
则称随机变量X服从二项分布，
记作X～B (n, p),
n
n
10
Pn ( X k) Cnk pk qnk ( p q)n 1
其中n,p为分布的参数. k0
k 0
注：
20 当n=1时，X~B(1, p)，即为(0-1)分布.
2020/8/7
2
(2)性质
显然，概率分布p(xi) 有下面的性质:
10 p(xi ) 0, i 1, 2,;
20 p(xi ) 1.
i
注：当X取得有限i 个可能值时，
当X取得可列无穷多个可能值时,
表示有限项的和;
表示收敛级数和.
i
2020/8/7
3
超几何分布
定义.设随机变量X的概率分布为
设随机变量X只可能取0,1两个值 ,
为
P( X k) pk q1k , k 0, 1
且概率分布
(0 p 1)
则称X服从(0 - 1)分布或两点分布.
(0 - 1)分布的概率分布也可写成
X 01 pk 1-p p
2020/8/7
6
2.二项分布 B (n, p)
定义. 设随机变量X的概率分布为
2020/8/7
1
2. 离散随机变量的概率分布
(1)定义
定义: 设X为离散随机变量,
其所有可能取值为
x1, x2,, xn , (),且 P( X xi ) p(xi ) (i 1,2,)
或记为
X
x1
x2
xi
xn
p(xi ) p(x1) p(x2) p(xi )
p(xn )
则称 p(xi) (i=1,2,…) 为 X 的概率分布或概率函数.
按不放回抽样方式,
随机抽取n件样品(0≤n≤M)
求取出的n样品C中Mk CCNn恰NnkM有k件次品A的概率？
P(X k) P( A)
(设随机变量X表示取出的次品数k ) 此X的概率分布称为超几何分布H(n, M, N).
(k 0,1,2,, n)
2020/8/7
5
二项分布
1.(0–1)分布
(有界或无界),
且存在非负函数f (x)，
使得对于任意
区间 (a, b] I 有
b
P(a X b) a f ( x)dx ,
则称X为连续随机变量;
函数f (x)称为连续随机变量
X的概率密度函数(probability density function), 概率密度.
k e e k ee 1
k0 k!
k0 k!
2020/8/7
9
泊松分布的应用
泊松分布在公共事业、生物、医学及工业等领域
有着广泛的应用.
例如：
1) 某服务设施在一定时间内到达的人数；
2)某电话交换台在单位时间内收到的呼唤次数；
3) 汽车站台一天的侯客人数；
4)某医院在一天内的急诊病人数;