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微分方程模型介绍
微分方程模型介绍在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方模型。
微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
求解微分方程有三种方法：1）求解析解；2）求数值解（近似解）；3）定性理论方法。
建立微分方程模型的方法：1）利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
2）微元分析法利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律3）模拟近似法在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。
下面我们以生态学模型为例介绍微分方程模型的建立过程： 一. 单种群模型1. 马尔萨斯(Malthus)模型假定只有一个种群，()N t 表示t 时刻生物总数，r 表示出生率，0t 表示初始时刻，则生物总数增长的数学模型为()()()00d ,d (1)t t N t rN t t N t N =⎧=⎪⎨⎪=⎩不难得到其解为()0()0r t t N t N e-=.2. 密度制约模型由马尔萨斯模型知，种群总数将以几何级数增长，显然与实际不符，因为种群密度增大时，由于食物有限，生物将产生竞争，或因为传染病不再按照增长率r 增长，因而有必要修改，在(1)式右端增加一项竞争项。
()()()d (1)(2)d N t N t rN t tK=-其中K 为最大容纳量，可以看出当()N t K =时，种群的规模不再增大。
这个模型就是著名的Logistic 模型，可以给出如下解释：由于资源最多仅能维持K 个个体，故每个个体平均需要的资源为总资源的1K，在t 时刻个体共消耗了总资源的()N t K此时资源剩余()1N t K-，因此Logistic 模型表明：种群规模的相对增长率与当时所剩余的资源份量成正比，这种种群密度对种群规模增长的抑制作用。
第5章 微分方程模型(投影版)
“改变 改变”、“变化” 变化 、“增加” 增加 、“减少”等关键词 减少 等关键词 提示我们注意什么量在变化. 关键词“速率”, “增长” ,“衰变” ,“边际的” ,常涉及 到导数. 运用已知物理定律 机理分 利用平衡与增长式 析法 建立方法 常用微分方程 运用微元法 应用分析法
数学建模
第五章 微分方程模型
运用已知物理定律利用平衡与增长式机理分利用平衡与增长式运用微元法运用微元法应用分析法数学建模第五章微分方程模型描述对象特征随时间空间的演变过程动态模型分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态模型预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段微分根据函数及其变化率之间的关系确定函数本身微分方程模型根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程数学建模第五章微分方程模型数学建模第五章微分方程模型随着科学技术的发展常微分方程定性分析在各个学科领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础领域已成为必不可少的数学工具也是数学建模的必备基础理论
数学建模
问题 描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化规律 预报传染病高潮到来的时刻 预防传染病蔓延的手段
第五章 微分方程模型
按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型 模型 l 设时刻t 的病人人数x ( t )是连续、可微函数，并且每天每个病 是连续 可微函数 并且每天每个病 人有效接触的人数为常数λ t 到t +△t 病人人数的增加 x ( t + △t ) – x ( t ) =λx ( t ) △t
dx x , x(0) x0 dt 随着t的增加，病人人数 的增加 病人人数x ( t )无限增长，这显然是不符合实际的。 无限增长 这显然是不符合实际的 失败的原因：有效接触的人群中，有健康人也有病人，而只有健 康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。
微分方程模型(全)
解：设t时刻容器内的盐量为x(t)kg
t到t+dt, dt时间内容器中盐的改变量为dx,
dx=注入的盐水所含盐量-抽出的盐水中所含盐量
0.01 3dt
100
xt 3-
2t
2dt
dx
0.03dt
100
xt 3-
2t
2dt
0.03dt
2x 100
t
dt
dx 0.03 2x
dt
100 t
利用微分方程解决这样的问题的一般 步骤如下： （分为六步）
第一步: 注意到实际问题中有与数学中“导数”
有关的常用词，如
“速度”、“速率”（运动学、化学反应 中“）边；际的”（经济学中）；
“增长”（生物学、金融、经济等中）； “衰变”（放射性问题中）；
以及与“改变”、“变化”、“增加”、 “减少”等有关词语，都可能是微分方程的 问题。
单位 km/h 换成 m/s.
现在可以计算出“黄灯时间”
( Db
v02 ) 2 fg
A T Db I L T
v0
I
L .
v0
2 fg v0
模型应用和数据试验（暂略）
例 5：作战模型
例5 作战模型
题目：讨论传统的正规战争、游击战争、以及
分别使用正规部队和游击部队的所谓混合战争 的作战模型。
当然，这些模型是非常简单的，只考虑双 方的兵力的多少和战斗力的强弱，并且当时只 使用枪炮之类的常规武器。兵力因战斗减员和 非战斗减员而减少，由于增援而增加；战斗力 是杀伤对方的能力，它与射击率（单位时间的 射击次数）、射击命中率以及战争类型（正规 战、游击战等）有关。即这些模型仅考虑战场 上的兵力的优劣，并没有考虑交战双方的政治、 外交、经济、社会等因素，所以仅用这些模型 来判别一场战争的结局是不现实的。
微分方程模型
模型评价
隔离病人和在传染病爆发前对易感人群接 种疫苗都是有效降低日接触率λ 种疫苗都是有效降低日接触率λ, 使σ减小, 减小, 从而使病人比例减小; 从而使病人比例减小; 研发特效药是有效提高日治愈率 使使σ 研发特效药是有效提高日治愈率;使使σ 减小,从而使病人比例减小; 减小,从而使病人比例减小;
微分方程模型
常微分方程
常微分方程是最简单的微分方程之一，也 是在建模中经常使用的方程； 常微分方程就是各项系数为常数的微分方 程； y '+ y + xy 2 = 0 微分方程的解就是满足这个式子的函数 y=f(x,C)； y=f(x,C)；
Mathematica解常微分方程 Mathematica解常微分方程
SIS模型问题描述 SIS模型问题描述
有些传染病如流行性感冒、伤风等愈后免 疫力很低，于是病人被治愈后变成健康者， 健康者还可以被感染再变成病人。 传染病的传播是有一定范围的，在传染病 传播期内所考察地区的总人口数相对稳定。
SIS模型变量假设 SIS模型变量假设
传染病区总人口设为N 传染病区总人口设为N； 传染病区人群分为健康者和病人，它们在 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 人口所点比例分别为s(t)和i(t)； 日接触率：每个病人每天有效传染的平均 人数百分比λ 人数百分比λ，当病人与健康者接触，一 部分健康者就会被感染变为病人； 日治愈率：每天被治愈的病人点总病人总 数的百分比 数的百分比；
第五章微分方程模型64786共69页
建模 s(t) i(t) r(t) 1
3个函数有两个独立，需建立 i(t),s(t),r(t) 的两个方程
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t ) s ( t ) ] N ( t ) i ( t s ) t
ds
dt
si
di
ds
1 1
s
i
) i0 , s (0 ) s0
s(t)单调减相轨线的方向
im
s1/,iim t,i0
i(s)(s i)s1lns
00
s0
P4
P2
P1
P3
s 满s足 0i0s 1lnss 0 0
0 s S0 1/ s0
1s
P1: s0>1/ i(t)先升后降至0
增加假设 建模
3）I病人每天治愈的比例为
~日治愈率
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
ddti i(1 i) i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/
~ 一个感染期内每个病人的有效
接触人数，称为接触数。
di
dt
si i
ds
dt
si
i(0 ) i0 , s (0 ) s 0
无法求出 i(t),s(t) 的解析解
在相平面 s~i上研
究解的性质
i0s01(通r常 (0)r0很小）
SIR模型
di
dt
si
i
ds
dt
si
消去dt
/
《微分方程模型》课件
即 f (x) 2xdx C x2 C.
又由条件: 曲线过(1,3), 即 f (1) 3,
于是得 C 2. 故所求的曲线方程为:
y x2 2.
第一章 绪论
常微分方程是现代数学的一个重要分支,是人们解决各 种实际问题的有效工具,它在几何,力学,物理,电子技术,自 动控制,航天,生命科学,经济等领域都有着广泛的应用,本 章将通过几个具体例子,粗略地介绍常微分方程的应用,并 讲述一些最基本概念.
§1.1 微分方程模型
微分方程:
联系着自变量,未知函数及其导数的关系式.
解: 设t时刻时镭元素的量为R(t),
由于镭元素的衰变律就是R(t)对时间的变化律dR(t) , dt
依题目中给出镭元素的衰变律可得:
dR kR, dt
R(0) R0
这里k 0,是由于R(t)随时间的增加而减少 .
解之得: R(t) R0ekt
即镭元素的存量是指数规律衰减的.
例2 物理冷却过程的数学模型
物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.
解: 设物体在时刻 t 的温度为 u(t). 根据导数的物理意义, 则
温度的变化速度为 du . 由Newton冷却定律, 得到 dt
du dt
k (u
ua ),
其中 k 0 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数
学模型.
注意:此式子并不是直接给出u 和 t 之间的函数关系,而只是
（3.2）
（3.2）的解为: θ(t)= θ0cosωt
当 t T 时,θ(t)=0 4
故有
g T
l4 2
其中 g
l
由此即可得出
T 2 gБайду номын сангаас
数学建模微分方程模型
数学建模微分方程模型在数学建模的旅程中，微分方程模型扮演了至关重要的角色。
它们在描述和解决各种实际问题中，从物理学到社会科学，都起到了关键的作用。
在本章中，我们将探讨微分方程模型的基本概念、类型和应用。
微分方程是一种方程，它包含未知函数的导数。
这种方程在描述变化率时非常有用，例如，描述物体的速度或加速度。
在形式上，微分方程可以表示为 y'(x) = f(x, y)，其中 y'表示 y的导数，f是一个给定的函数。
根据方程的特点，微分方程可以划分为多种类型，如线性微分方程、非线性微分方程、常微分方程、偏微分方程等。
每种类型的方程都有其特定的求解方法和应用领域。
微分方程在众多领域中都有应用，如物理学、工程学、经济学等。
例如，牛顿第二定律就是一个微分方程，它描述了物体的加速度如何由作用力决定。
人口增长模型、传染病模型等也都依赖于微分方程。
建立微分方程模型通常需要以下步骤：确定模型的目标和变量；然后，根据问题背景和物理规律建立数学模型；通过数值计算或解析解法得出结果。
求解微分方程的方法主要有两种：数值方法和解析方法。
数值方法是通过计算机程序或软件进行数值计算得到近似解，而解析方法是通过求解方程得到精确解。
对于某些类型的微分方程，可能需要结合使用这两种方法。
建立微分方程模型后，我们需要对模型进行评估和检验，以确保其有效性和准确性。
这通常包括对模型的假设进行检验、对模型的预测结果进行验证以及对模型的参数进行估计和调整等。
随着科学技术的发展，微分方程模型的应用前景越来越广阔。
例如，在生物学中，微分方程被用来描述疾病的传播动态；在经济学中，微分方程被用来分析市场供需关系的变化；在工程学中，微分方程被用来模拟复杂系统的行为等。
未来，随着大数据和人工智能等技术的发展，微分方程模型将在更多领域得到应用和发展。
微分方程模型是数学建模中一个极其重要的部分。
通过学习和掌握微分方程的基本概念、类型、应用以及求解方法等，我们可以更好地理解和解决现实生活中的各种问题。
微分方程模型.ppt
利用达伦贝尔动力平衡原理建模
• 请建立如图系统的微分方程模型
Example :mass-spring-damper
cy
k ky y M Mຫໍສະໝຸດ cyf(t)
f(t)
达伦贝尔力平衡原理
d y (t ) dy M c ky (t ) f (t ) 2 dt dt
2
古斯塔夫· 罗伯特· 基尔霍夫
y 0 y
y0
df dx
f ( x)
x0
We get Δ y=kΔ x Or y=kx
A
y kx
x
x0 x0 x
非线性系统的线性化
请列出系统的微分方程并线性化。
例 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微
分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。 从图中不难看出，小球所受的合力为mgsinθ， 根据牛顿第二定律可得： ml mg sin
Does not satisfy the superposition property
and
(3)
yx
2
When
x x0 x
y y0 y Equation (2) can be rewritten
as
y0 y kx0 kx b
We have
y kx
or
y kx
Linearization of Weak Nonlinear Characteristic
Linearization using Taylor series point( Equilibrium Position)
expansion about the operating
The output-input nonlinear characteristic of y=f(x) is illustrated in the following figure:
微分方程模型
图示
y 敌艇 R=(0,at)
D(x,y)
x (c,0)
几何关系
dy tg y at
dx
x
即 x dy y at dx
如何消去时间t?
1、求导：
2、速度与路程的关系： b ds
dt
dt
3、分解 dx 得：
（这里有负号是因为s随x的减小而增大） 4、将第2、3步代入第1步，可得模型
注入浓度为c1的同样溶液，假定溶液立即被搅 匀，并以v2的流量流出这种混合后的溶液，试 建立容器中浓度与时间关系的数学模型。
模型的建立
参数设定：设容器中溶液溶质的质量为x(t)，原 来的初始质量为x0，t＝0时溶液的体 积为v0。
在△t的时间间隔内，容器内溶质的改变量：
其中c1：输入溶液浓度， c2：t时刻溶液浓度
2gy
（2）弧微分公式： ds 1 (y/ )2 dx
（3）下降的时间： dt ds ds 1 ( y/ )2 dx
v 2gy
2gy
模型：
2、追线问题
我缉私舰雷达发现，距c海里处有一艘走私 船正以匀速度a沿直线行驶，缉私舰立即以最大 的速度b追赶，若用雷达进行跟踪，保持船的瞬 时速度方向始终指向走私船，试求缉私舰追逐 路线和追上的时间。
令t 0,得 dp rp(N p), r 0, dt
p(0) 1
解
p(t)
N
为
1 (N 1)erNt
当t无穷大时，p(t)的趋向及范围？ 还有当？时变化率最大？
如果考虑广告的效应呢？
考虑单位时间内使用该技术的企业数增量 时应把示范效应和广告效应一起考虑。而 广告只对没采用该技术的企业起作用。假 设其引起的增量与（N-p）成正比
数学建模 第五章 微分方程模型M05-2010
dy dt
y
f0y
dK dt
L
dy dt
Ly
Bernoulli方程
1 1
f0 f0 1 (1 ) t y (t ) ( y0 )e
N [ s ( t t ) s ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t
di dt si i ds si dt i ( 0 ) i0 , s ( 0 ) s 0
i0 s 0 1
无法求出 i ( t ), s ( t )
i ( t ) i0 e
t
ti
?
若有效接触的是病人, 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病人) 和未感染者(健康人)
模型2
假设
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人) 1）总人数N不变，病人和健康 人的 比例分别为 i ( t ), s ( t ) . 2）每个病人每天有效接触人数 为, 且使接触的健康人致病.
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = / 建模
s (t ) i (t ) r (t ) 1
需建立 i ( t ), s ( t ), r ( t ) 的两个方程.
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t )] Ns ( t ) i ( t ) t Ni ( t ) t
传染病蔓延 传染病不蔓延
1/~ 阈值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平 (日治愈率) 医疗水平
数学建模公选课：第五讲-微分方程模型
详细描述
龙格-库塔方法具有较高的精度和稳定性，适用于求解各种复杂的一阶和二阶常微分方程。
04
微分方程模型的应用实例
人口增长模型
总结词
描述人口随时间变化的规律
详细描述
人口增长模型通常使用微分方程来描述人口随时间变化的规律。该模型基于假设，如人口增长率与当 前人口数量成正比，来建立微分方程。通过求解该微分方程，可以预测未来人口数量。
模型建立
如何根据实际问题建立合适的微分方 程模型是一个挑战。
02
高维问题
对于高维微分方程，如何求解是一个 难题。
01
03
非线性问题
非线性微分方程的求解更加复杂和困 难。
未来展望
随着科学技术的发展，微分方程模型 的应用领域将更加广泛，求解技术也 将更加成熟和多样化。
05
04
多尺度问题
如何处理不同时间尺度的微分方程是 一个挑战。
数学建模公选课：第五讲 -微分方程模型
• 微分方程模型简介 • 微分方程模型的建立 • 微分方程模型的求解方法 • 微分方程模型的应用实例 • 微分方程模型的发展趋势与展望
01
微分方程模型简介
微分方程的基本概念
微分方程是描述数学模型中变量随时间变化的数学表达式，通常表示为包含未知函 数及其导数的等式。
05
微分方程模型的发展趋势与展望
微分方程模型在各领域的应用前景
物理领域
描述物体的运动规律，如牛顿 第二定律、波动方程等。
经济领域
分析市场供需关系和预测经济 趋势。
工程领域
预测和控制系统的动态行为， 如电路、机械系统等。
生物医学领域
微分方程模型
微分方程模型引言微分方程是描述自然界中很多现象和问题的数学模型。
通过建立微分方程模型，我们可以定量地描述和预测各种物理、化学、生物和工程问题的演化和变化。
本文将介绍微分方程模型的基本概念、常见类型和求解方法，并给出一些应用实例。
基本概念微分方程是含有未知函数及其导数的方程。
通常用符号形式表示如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0其中，y是未知函数，x是自变量，n是方程中最高阶导数的阶数。
微分方程模型是以微分方程为基础，结合具体物理、化学、生物和工程问题的特点所建立的数学模型。
通过对问题的建模，我们可以将真实世界中复杂的问题简化为数学形式，从而利用微分方程的性质和解析方法求解或近似解。
常见类型微分方程可以分为多种类型，常见的包括：•一阶常微分方程：包含一个未知函数的一阶导数的方程，形式如下：y' = f(x, y)•高阶常微分方程：包含一个未知函数的高阶导数的方程，形式如下：F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0•偏微分方程：包含多个未知函数及其偏导数的方程，形式如下：F(x, y, z, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ∂^2u/∂z^2, ..., ∂^nu/∂x^n, ∂^nu/∂y^n, ∂^nu/∂z^n) = 0求解方法求解微分方程模型的方法包括解析解和数值解。
解析解对于一些简单的微分方程模型，可以通过解析方法求得解析解。
解析解是指能够用数学公式精确表示的解。
解析解求解的基本思路是尝试找到满足微分方程的函数形式，并通过代入求导的方式得到方程中的常数。
一些经典的微分方程模型如线性微分方程、齐次线性微分方程、可分离变量的微分方程等可以通过解析方法求解。
数值解对于一些复杂的微分方程模型，无法找到解析解或解析解难以求得，我们可以采用数值解法进行近似求解。
微分方程模型(动态模型)
例1：池水含盐问题 ：
池中有一定体积的盐水， 池中有一定体积的盐水，从池的一端向 池中注入一定浓度是盐水。 池中注入一定浓度是盐水。混合的盐水将 从池的另一端流出。 从池的另一端流出。建模描述池中盐水浓 度的动态。 度的动态
模型假设：假设注入池中的盐水迅速与池中原有的盐水 均匀的混合，从而改变池中盐水的浓度. 符号设定： V0： 池 中 原 有 盐 水 的 体 积 ， p0： 池 中 原 有 盐 水 的 浓 度 . V ( t )： t 时 刻 池 中 盐 水 的 体 积 ， p( t )： t 时 刻 池 中 盐 水 的 浓 度 . r1 ( t ), p1 ( t )： 表 示 盐 水 注 入 的 速 度 和 浓 度 ， r0 ( t ), p0 ( t )： 盐 水 流 出 的 速 度 和 浓 度 ， 显 然 ： p0 ( t ) = p( t ). 模型分析：池中盐水的体积、浓度将仅仅依赖于盐水注入 的速度、注入的浓度和流出的速度和浓度.
问题分析： 由物理知识知道，水瓶中热水降温的速 度与水温减去环境温度之差成正比。利用 dC = −k (C − C0 ) 热力学规律，可以得出温度C与降温时间t dt 的关系——降温曲线C=C(t)。找出通过点 其中：C为水瓶内的温度,它为时间t的函数， (100，0)，(60，24)的降温曲线，就可知道 C0为外界环境温度，k为比例系数，取正值. 3小时后的对应温度C1。因此，若在3小时 后测得温度不低于C1，那么，水瓶的保温 性能就可以认为是合格的。
产生这种现象的主要原因是,随着人口的 增加,自然资源、环境条件等因素对人口继续 增长的阻滞作用越来越显著.如果当人口较少 时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常 数的话,那么当人口增加到一定数量之后,增长 率就会随着人口的继续增加而逐渐减小.许多 国家的人口增长的实际情况完全证实了这一 点. 为了使人口预报特别是长期预报更好的 符合实际情况,必须修改”人口增长率是常数” 这一基本假设.
微分方程模型[整理版]
![微分方程模型[整理版]](https://img.taocdn.com/s3/m/86cc9de9f605cc1755270722192e453610665b62.png)
第5章 微分方程模型5.1 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？5.2 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dtt dp = 其中t 以分钟计。
在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。
鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。
此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。
（1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。
（2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数)(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？5.3 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。
若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。
5.4 用具有放射性的14C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子与氮结合产生14C 。
植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14C 。
在活组织中14C 的吸收速率恰好与14C 的衰变速率平衡。
但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。
由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚死亡时14C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。
若测得古生物标本现在14C 的衰变速率，由于14C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。
试建立用14C 测古生物年代的模型（14C 的半衰期为5568年）。
5.5 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代：（1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ⋅g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ⋅g ），试确定该洞中绘画的年代；（2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ⋅g ），活数标本为6.68计数（min ⋅g ），试估计该建筑的年代。
微分方程模型
微分⽅程模型第四章微分⽅程模型§4.1利⽤平衡原理和微元法建模进⼀步理解建模基本⽅法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的⽤法．所谓平衡原理是指⾃然界的任何物质在其变化的过程中⼀定受到某种平衡关系的⽀配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的⾓度组建数学模型的⼀个关键问题.就象中学的数学应⽤题中等量关系的发现是建⽴⽅程的关键⼀样.微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微⼩单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系⽐较简单，⽽且容易使⽤微分学的⼿段进⾏处理．这类模型基本上是以微分⽅程的形式给出的．例1 设警⽅对司机饮酒后驾车时⾎液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有⼀起交通事故,在事故发⽣3个⼩时后,测得司机⾎液中酒精含量是56%(mg/ml), ⼜过两个⼩时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发⽣时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建⽴设)(t x 为时刻t 的⾎液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量t t x x ??∝?)(, 即t t kx t x t t x ?-=-?+)()()(其中k >0为⽐例常数, 式前负号表⽰浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到,d d kx tx -=且满⾜40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =.模型求解容易求得通解为ktc t x -=e)(, 代⼊0)0(x x =,得到ktx t x -=e)(0则)0(0x x =为所求. ⼜由,40)5(,56)3(==x x 代⼊0)0(x x =可得17.04056e 40e56e 25030=?===--k x x kk k 将17.0=k 代⼊得 25.93e 5656e17.03017.030≈?=?=??-x x >80故事故发⽣时,司机⾎液中的酒精浓度已超出规定.例2 在凌晨1时警察发现⼀具⼫体, 测得⼫体温度是29?C, 当时环境温度是21?C . ⼀⼩时后⼫体温度下降到27?C , 若⼈的正常体温是37?C , 估计死者的死亡时间.解运⽤⽜顿冷却定律T ')(T T out -=-α, 得到它的通解为 )(0out out T T T T -+=t α-e , 这⾥0T 是当0=t 时⼫体的温度, 也就是所求的死亡时间时⼫体的温度, 将题⽬提供的参数代⼊:=-+=-++--27e1(t t αα解得: 168e=-tα和 166e)1(=+-t α则34e=α求得:)(409.2)12(,2877.0h Ln t ≈-=≈αα这时求得的t 是死者从死亡起到⼫体被发现所经历的时间, 因此反推回去可推测死者的死亡时间⼤约是前⼀天的夜晚10:35.例3在⼀种溶液中，化学物质A 分解⽽形成B ，其速度与未转换的A 的浓度成⽐例．转换A 的⼀半⽤了20分钟，把B 的浓度y 表⽰为时间的函数，并作出图象．解：记B 的浓度为时间t 的函数y(t )，A 的浓度为x(t )．⼀、假设1．1mol A 分解后产⽣n mol B ． 2．容体的体积在反应过程中不变．⼆、建⽴模型，求解有假设知，A 的消耗速度与A 的浓度成⽐例，故有下列⽅程成⽴其中k 为⽐例系数．设反应开始时t = 0，A 的浓度为x0，．解初值问题==-0)0(d d xx kx tx得 ktx t x -=e )(0它应满⾜当t = 20（分）时，A 的浓度为021)20(x x =020021e所以得 )2ln 200e )(（tx t x -=由于B 的浓度为x 浓度减少量的n 倍，故有)e1(]e[)(2ln 2002ln 2000t t nx x x n t y ---=-=三、作图（如图4.1）图4.1 例4追逐问题1．问题如图14-4所⽰，正⽅形ABCD 四个顶点各有⼀⼈。
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• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 • 分析对象特征的变化规律 • 预报对象特征的未来性态 • 研究控制对象特征的手段
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 • 根据建模目的和问题分析作出简化假设 • 按照内在规律或用类比法建立微分方程
问题
5.1 传染病模型
• 描述传染病的传播过程 • 分析受感染人数的变化规律 • 预报传染病高潮到来的时刻 • 预防传染病蔓延的手段
1s
P1: s0>1/
0 P2: s0<1/
i(t)先升后降至 i(t)单调降至0
传染病蔓延 1/ 传染病不蔓延 ~阈
值
模型4
预防传染病蔓延的手段
SIR模型
传染病不蔓延的条件——s0<1/ • 提高阈值 1/ 降低 (=/)
,
(日接触率) 卫生水平
(日治愈率) 医疗水平
• 降低 s0
i(1 i)
i
i(0) i0
~ 日接触率 1/ ~感染期
/ ~ 一个感染期内每个病人的
有效接触人数，称为接触数。
模型3
di/dt
dii(1i)i /
dt
i
dii[i(11)]
dt
i
>1
i0
>1
1
1-1/
i0 di/dt < 0
0
1-1/ 1 i
i0
0
i()
1
1
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
s(t)i(t)1
di dt
i (1 i )
i ( 0 )
i 0
模型2
di
dt
i (1 i )
Logistic 模型
i
i ( 0 )
i 0
1
i(t)
1
1/2
i0
0
tm
t=tm, di/dt 最大
1
1 i0
1et
t
tm
1
ln
1 i
0
1
tm~传染病高潮到来时刻 t i 1?
1i(t)
i0小
1
i(t)按S形曲线增长感健染康期者内人数有不效超接过触病感人染数的
模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
模型4
传染病有免疫性——病人治愈 后即移出感染系统，称移出者
SIR模型
假设 1）总人数N不变，病人、健康人和移
出者的比例分别为 i(t),s(t),r(t)
di
dt
si i
ds
dt
si
无法求出 i(t),s(t)
的解析解
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
在相平面 s~i 上
研究解的性质
i0s01(通r常 (0)r0很小）
模型4
SIR模型
di
dt
si
i
ds
dt
si
消去dt
/
di
ds
1 1
s
i
s
s0 - 1/ = x2
小, s0 1
提高阈值1/ 降低 被传染人数比例 x
5.2 经济增长模型
增加生产 发展经济 增加投资 增加劳动力 提高技术
• 建立产值与资金、劳动力之间的关系 • 研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大
• 调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
模型2
假设
建模
区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)
1）总人数N不变，病人和健康
人的 比例分别为 i(t),s(t)
SI 模型
2）每个病人每天有效接触人数 ~ 日
为, 且使接触的健康人致病
接触率
N [ i( t t) i( t) [ ]s ( t)N ] ( t) ti
di si
dt
zQ/Lf0g(y) g(y)y, 01
Qf0L(K/L)
g(y)
Q (K,L)f0KL 1 Douglas生产函数
Q, Q 0 K L
2Q 2Q K2 , L2 0
(日接触率) tm
病人可以治愈！
模型3
传染病无免疫性——病人治愈成 为健康人，健康人可再次被感染 SIS 模型
增加假设 3）病人每天治愈的比例为 ~日治愈率
建模 N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) t
di dt
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
模型1 已感染人数 (病人) i(t)
假设
• 每个病人每天有效接触
(足以使人致病)人数为
建模 i(t t) i(t)i(t) t
di i dt i(0 ) i0
i(t)i0et
t i ?
若有效接触的是病人， 则不能使病人数增加
必须区分已感染者(病 人)和未感染者(健康人)
SIR模型
di
dt
si
i
ds
dt
si
di
ds
1 1
s
i
s s0
i0
i
1
i(s)(s0i0)s1lnss0
D
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
P4
s(t)单调减相轨线的方向 im
s1/,iim t,i0
P2
P1
P3
s 满s足 0i0s1lnss 0 0 0 s S0 1/ s0
2）病人的日接触率 , 日治愈率, 接触数 = /
建模 s(t) i(t) r(t) 1
需建立 i(t),s(t),r(t)的两个方程
模型4
SIR模型
N [ i ( t t ) i ( t ) ] N ( t ) i ( t ) s t N ( t ) ti
N [ s ( t t) s ( t) ] N ( t) i ( t s ) t
s s 0
i 0
相轨线
i(0 ) i0 , s (0 ) s0
相轨线 i ( s ) 的定义域
i(s)(s0ii0)s1lnss0
D { s ,i( )s 0 ,i 0 ,s i 1 } 1
在D内作相轨线 i ( s )
的图形，进行分析
D 0
s
1
模型4 相轨线 i ( s ) 及其分析
的估计
提高 r0
s0i0r01
s0 i0 s1lnss 0 0 忽略i0
群体免疫
lns0 lns
s0 s
模型4
被传染人数的估计
SIR模型
记被传染人数比例 xs0s
s0
i0
s1lnss 0
0
i0
0,
s0
1
x 1ln1( x)0
s0
i
x<<s0 x(1s012sx02)0
x2s0(s0 1)
P1
0 s 1/ s 0
产值 Q(t)
资金 K(t) 劳动力 L(t) 技术 f(t) = f0
Q (t)f0F (K (t)L ,(t))F为待定函数
1. 道格拉斯(Douglas)生产函数
静态模型 Q (K ,L )f0F (K ,L )
每个劳动 力的产值
z
Q L
每个劳动 力的投资
y
K L
模型假设 z 随着 y 的增加而增长，但增长速度递减