裂项相消与放缩法解数列专题

数列专题3

一、裂项求和法

裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.

通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：1

1

+•n n a a ， }{n a 是0≠d 的等差

数列。

常用裂项形式有：

；111)1(1+-=+n n n n 1111()()n n k k n n k =-++；)1

21121(211)12)(12()2(2+--+=+-n n n n n ；

])2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-n n n n n n n ；

)(1

1b a b

a b a --=+；

)(11n k n k n k n -+=++特别地：n n n

n -+=++111

二、用放缩法证明数列中的不等式

将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。

1.常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：

①

1

n

i

i a

k =<∑（k 为常数）；②1

()n i i a f n =<∑；③1

()n i i a f n =<∏；④1

n

i i a k =<∏（k 为常数）.

放缩目标模型→可求和（积）→等差模型、等比模型、裂项相消模型

2.几种常见的放缩方法

（1）添加或舍去一些项，如：a a >+12

；n n n >+)1( （2）将分子或分母放大（或缩小）

①n n n n n 111)1(112--=-< ； 111)1(112

+-=+>n n n n n （程度大） ②)11

11(21)1)(1(11112

2+--=+-=-

11111121312111<+=++++++≤+++++++n n n n n n n n n 或21221212121312111==+++≥+++++++n n n n n n n n n ④n n n n n n n ==+++>++++111131211

⑤平方型：)121

121(21

444412

22+--=-<=n n n n n ； )1

11(41)1(41441)12(122n

n n n n n n --=-=-<-

⑥立方型：])

1(1

)1(1[21)1(112

3+--=--≤--b a b a a b a n n n ；)1()

(1

11

≥>-≤--b a b a a b a n n ⑧k

k k k k 21

111<++=-+；

⑨利用基本不等式，)1()1(++<+n n n n ，如：4lg 16lg 15lg )5lg 3lg (5lg 3log 2

=<=+<⋅

（一）放缩目标模型可求和—等比数列或等差数列 例如：（1）求证：)(12

1

212121*32N n n ∈<++++ .

（2）求证：)(11

21121121121*32N n n ∈<++++++++ .

（3）求证：)(22323222121*32N n n

n

n ∈<++++++++ .

总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若1

n

i i a =∑可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，

一般要先将通项n a 放缩后再求和.

问题是将通项n a 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的n b 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等. 实际问题中，n b 大多是等比模型或裂项相消模型. （1）先求和再放缩

例1.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a n ＋12－4n －1，n ∈N *

，且a 2，a 5，a 14构成等比

数列．

(1)

证明：2a =

(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1223

111

11

2

n n a a a a a a ++++

<.

（2）先放缩再求和 例如：求证：)(2131211*

222N n n

∈<++++ .

例如：函数x x x f 414)(+=，求证：)(212

1)()2()1(*

1

N n n n f f f n ∈-+>++++ .

例2.设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足

，且a 1，a 2+5，a 3成等差数列．

（1）求a 1的值；

（2）求数列{a n }的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有

．

总结：一般地，形如n

n n b a a -=或b a a n n -=（这里1≥>b a ）的数列，在证明

k a a a n

<+++1

1121

练习：

1.设数列}{n a 满足0≠n a ，11=a ，)2()21(11≥+-=--n a a a n a n n n n ，数列}{n a 的前n 项和为n S .

（1）求数列}{n a 的通项公式；

（2）求证：当2≥n 时，21

<<+n S n n

； （3）试探究：当2≥n 时，是否有

3

5

)12)(1(6<<++n S n n n ？说明理由.

（3）形如

1

()n

i

i a

f n =<∑

例如：设)1(3221+++⋅+⋅=n n S n ，求证：

)(2

)

2(2)1(*N n n n S n n n ∈+<<+.

根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：22112

2

2b a b a ab b

a +≤

+≤≤+ 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2

b

a a

b +≤，若放缩成

1)1(+<+n n n ，则得2)

1(2)3)(1(121

+>++=

+<∑=n n n k S n

i i n ，就放过“度”了。 总结：形如

1

()n

i

i a

f n =<∑的数列不等式证明：

设n S 和n T 分别为数列}{n a 和}{n b 的前n 项和，若)(*

N n b a n n ∈<，利用不等式的“同向可加性”这一

基本性质，则有n n T S <.要证明不等式

1

()n

i

i a

f n =<∑，如果记)(n f T n =看作是数列}{n b 的前n 项和，则