4-5 中心极限定理
第五章_大数定律和中心极限定理 例题与解析
V 20 5 100 / 12 20
105 20 5 100 / 12 20
V 100 V 100 P 0 . 39 1 P 0 . 39 12 ) 20 12 ) 20 ( 10 ( 10
1 ( 0 . 39 ) 1 0 . 6517 0 . 3483
lim F n ( x ) F ( x )
W 则称{ F n ( x )} 弱收敛于F(x)，记为 Fn ( x) F ( x)。 L { 称 }依分布收敛于，记为 。
n
n
n
定理5.2 (几种收敛之间的关系) P ，则 L 。 1. 若
n
L P 2. 设为常数，则 n 当且仅当 n 。 a.s. P n ，则 n 。 3. 若
设随机变量 1， 2， ， n 相互独立且服从同一分布，且 具有相同的数学期望和方差：
E ( i ) ，D ( i ) ， i 1，， ， n ， 2
2
则随机变量
n
i 1
n
i
n
n
n
L N ( 0， ， 1)
即 n 的分布函数 F n ( x ) 对任何x满足
lim P (
n
n np
np (1 p )
x
x)
1 2
t
2
e
2
dt .
例2 (2002年数学四考研试题)
设随机变量 X 1， X 2， ， X n 相互独立，S n
n
X i.
i 1
则根据列维-林德贝格中心极限定理，当n充分大时，S n 近似
茆诗松《概率论与数理统计教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第4~5章【圣才出品】
（1）|φ （t）|≤φ （0）＝1．
——————
——————
（2）φ （－t）＝φ （t），其中φ （t）表示 φ （t）的共轭．
（3）若 y＝aX＋b，其中 a，b 是常数，则 φ Y（t）＝eibtφ X（at）．
（4）独立随机变量和的特征函数为每个随机变量的特征函数的积．即设 X 与 Y 相互独
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P
Xn a
P
Yn b
则有 ①
P
X n Yn a b
②
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P
X n Yn a b
③
P
Xn Yn a b(b 0)
2．按分布收敛、弱收敛
（1）按分布收敛
设随机变量 X，X1，X2，…的分布函数分别为 F（X），F1（X），F2（X），…．若对 F（x）
p(x) x e n/21 x/2 ，x 0 Γ (n / 2)2n/2
exp
it
2t 2
2
(1 it )1
(1 it )
(1 2it )n / 2
贝塔分布
Be(a，b)
p(x) Γ (a b) xa1 (1 x)b1，0 x 1 Γ (a)Γ (b)
Γ (a b)
(it)k Γ (a k)
P
Xn x
或者说，绝对偏差|Xn－x|小于任一给定量的可能性将随着 n 增大而愈来愈接近于 1， 即等价于 P（|Xn－x|＜ε）→1（n→∞）．
特别当 x 为退化分布时，即 P（X－c）＝1，则称序列{Xn}依概率收敛于 C． （2）依概率收敛于常数的四则运算性质如下： 设{Xn}，{Yn}是两个随机变量序列，a，b 是两个常数．如果
概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理
的概率很小” ，用数学语言表达，就是要证明： 0 ，有
nA nA lim P p 0 lim P p 1 n ，或 n n ． n
另一种提法是：研究随机变量 n A 的分布的极限行为，即讨 论分布函数
nA lim P p 0 lim P n n 或 n
nA p 1 ． n
证 引入
1 , 第i次试验中事件A发生 Xi ，i 1 , 2 , , n ， 0 , 第i次试验中事件A不发生
下面我们进一步来讨论贝努利试验．若记 n A 为 n 次贝努利试
nA 验中事件 A 发生的次数， 则事件 A 发生的频率为 n ． 所谓 “频 率的稳定性” ，无非是指当试验次数 n 无限增大(即 n )时，
nA 频率 n 无限接近于某个固定常数．这个固定的常数就是“事 件 A 在一次试验中发生的的概率 p” ． nA 由此可见，讨论频率 n 的极限行为，是理解概率论中最基本
2019年1月14日星期一
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§5.1
大数定律
作为预备知识，我们先明确随机变量序列收敛的
相关概念，同时给出一个重要的不等式，它是以下理 论证明所用的主要工具之一．
定 义 1.1 设 a 是常数，对于随机变量序列 ，如果 0 ，有
X1 , X 2 ,
, Xn ,
lim P
n
个常数，即在这个常数的附近摆动，这就是所谓的“频
率稳定性”．但对这一点，至今为止我们尚未给予理论 上的说明．另外，在第二章我们给出了二项分布的泊松 逼近，那么更一般的近似计算方案又是怎样呢?
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
概率论与数理统计----第五章大数定律及中心极限定理
= 1 − Φ(3.54)
=0.0002
一箱味精净重大于20500的概率为 的概率为0.0002. 一箱味精净重大于 的概率为
推论:
特别，若X～Ｂ（n，p）,则当n充分大时， 特别， ～Ｂ（n 则当n充分大时，
Ｘ～Ｎ（np，npq） Ｘ～Ｎ（np，npq） np
若随机变量Ｘ～Ｂ（ Ｘ～Ｂ（n， ），则对任意实数x有 ），则对任意实数 即 若随机变量Ｘ～Ｂ（ ，p），则对任意实数 有
不等式证明 P{-1<X<2n+1}≥(2n+1)/(n+1)(n+1)
3. 设P{|X-E(X)|<ε}不小于 不小于0.9,D(X)=0.009.则用 不小于 则用
切比绍夫不等式估计ε的 最小值是( 切比绍夫不等式估计 的 最小值是
0.3 ).
4.(894) 设随机变量 的数学期望为 设随机变量X的数学期望为 的数学期望为µ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 标准差为 则由切比绍夫不等式 P{|X-µ|≥3σ}≤( ). 1/9 5. 设随机变量X的分布律为 设随机变量 的分布律为 P{X=0.3}=0.2, P{X=0.6}=0.8, 用切比绍夫不等式估计 |X-E(X)|<0.2的概率 的概率. 的概率
1 n lim P ∑ Xi − µ < ε = 1 n→∞ n i =1
定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A发生的概率 定理（贝努里利大数定律） 设每次实验中事件A 为p，n次重复独立实验中事件A发生的次数为nA，则对任 次重复独立实验中事件A发生的次数为n 意的ε>0 意的ε>0 ，事件的频率 nA ，有 ε>
∫
+∞
−∞
国开(中央电大)本科《社会统计学》网上形考任务试题及答案
国开(中央电大)本科《社会统计学》网上形考任务试题及答案章节测试试题及答案一、试题部分1.某班级有60名男生，40名女生，为了了解学生购书支出，从男生中抽取12名学生，从女生中抽取8名学生进行调查。
这种调查方法属于( )。
2.以下关于因变量与自变量的表述不正确的是( )。
3.为了解某地区的消费，从该地区随机抽取5000户进行调查，其中30%回答他们的月消费在5000元以上，40%回答他们每月用于通讯、网络的费用在300元以上。
此处5000户是( )。
4.某班级有100名学生，为了了解学生消费水平，将所有学生按照学习成绩排序后,在前十名学生中随机抽出成绩为第3名的学生，后面依次选出第13、23、33、43、53、63、73、83、93九名同学进行调查。
这种调查方法属于( )。
1.某班级学生平均每天上网时间可以分为以下六组：1)1小时及以下；2)1-2小时；3)2-3小时；4)3-4小时；5)4-5小时；6)5小时及以上，则5小时及以上这一组的组中值近似为( )。
2.下表为某专业一年级学生平均每周上网时间的频率分布表，按照向上累积的方法计算第5组的累积频率是( )。
3.以下关于条形图的表述，不正确的是( )。
等距分组和不等距分组有什么区别？请举例说明。
某行业管理局所属40个企业2011年产品销售额数据如下所示。
要求：(1)对2011年销售额按由低到高进行排序，求出众数、中位数和平均数。
(2)如果按照规定，销售额在125万元以上的为先进企业，115万-125万之间的为良好企业，105万-115万之间的为一般企业，105万以下的为落后企业，请按先进企业、良好企业、一般企业、落后企业进行分组，编制频数分布表，并计算累积频数和累积频率。
某大学有六门选修课，全校学生可以随意选择，不受任何限制。
根据教务处最终选课结果发现，全校一年级2000名学生中，有200人选修大学生心理分析，有400人选修影视欣赏，有180人选修古代中国文学鉴赏，有350人选修人格魅力的欣赏与培养，有570人选修社会统计方法及SPSS软件的应用，有300人选修当代中国外交分析。
第五章 数理统计 大数定律与中心极限定理
) 0.999
查正态分布函数表得
(3.1) 0.999
故
N 120 48
≥ 3.1,
从中解得N≥141.5,
即所求N=142.
也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的 概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.
例3 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数
是一个随机变量，设一个学生无家长、 1名家长、名 2 家长来参加会议的概率分别为0.05、.8、.15.若学校 0 0 共有 400名学生，设各学生参加会议的家长数相互 独立，且服从同一分布.
lim P n X np np 1 p x 1 2
x
t
2
e
2
dt x
证明:设 则
第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生
由中心极限定理,结论得证
当 n 充分大时，二项分布 X ~ B n , p 可近似地用正态分布N np , np 1 p 来代替。
由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们 不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随 n 机变量. 即考虑随机变量X k ( k 1,n)的和 X k
k 1
讨论Yn的极限分布是否为标准 正态分布
在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分 布这一类定理都叫做中心极限定理.
5.2
中心极限定理 标准化随机变量
如
意思是:当
时,Xn落在
内的概率越来越大.
a
而
意思是:
,当
几个常用的大数定律
定理5-2 切比雪夫大数定律
，
设{Xi, i=1,2,...}为独立的随机变量序列， 且存在数学期望、方差 E X n nDBiblioteka X n2 nDX
第五章 大数定理与中心极限定理
说明
1 n 1、定理中{| X i | }是指一个随机事件， n i 1 当n 时，这个事件的概率趋于1.
2、 定理以数学形式证明了随机变量X 1 , X n 1 n 的算术平均X X i 接近数学期望E（X k） n i 1 （k 1,2, n），这种接近说明其具有的稳定性 .
第五章 大数定律与中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 大数定律
1.1 切比雪夫不等式 1.2 依概率收敛 1.3 大数定律
§2 中心极限定理
HaiNan University
1
第五章 大数定律与中心极限定理
大数定律的客观背景
事件发生的频率稳定于某一常数 大量随机试验中 测量值的算术平均值具有稳定性
证明 取连续型随机变量的情况来证明.
设 X 的概率密度为 f ( x ), 则有
HaiNan University3第五章 大数定律 Nhomakorabea中心极限定理
P{ X μ ε }
2 x μ ε
x μ ε
f ( x)d x
x μ f ( x)d x 2 ε
1 1 2 2 2 ( x μ) f ( x ) d x 2 σ . ε ε
定理2 (契比雪夫大数定律)
1 nM M 1 D( X i ) 2 D( X i ) 2 . n i 1 n n n i 1 由契比雪夫不等式得: M 1 n 1 n P{ X i E ( X i ) } 1 n n i 1 n i 1 2
HaiNan University
10
第五章 大数定律与中心极限定理
1.3 大数定律
问题 : 设nA是n重贝努利试验中事件A发生 的次数，p是事件A发生的概率，
第五章 大数定律与中心极限定理
（1） 设X表示保险公司在每一个参保者身上所得的收益，则X为随机变量，服从两点分布，其分布规律为
X 12 12－b Pk 0.998 0.002 故保险公司在每一位参保者身上获的平均收益
E(X)＝12×0.998+(12-b)×0.002=12-0.002b
若要使保险公司期望盈利，则应有
解：将船舶每遭受一次波浪冲击看作是一次试验，并假定各次试验是独立的。在90000次波浪冲击中纵摇角度大于3°的次数记为X，则X是一个随机变量，且有X～b(90000,1/3).其分布律为：
所求的概率为：
要直接计算是麻烦的，我们利用棣莫弗-拉普拉斯定理来求它的近似值，即有：
其中n=90000,P=1/3.即有
据统计，某年龄的健康人在五年内死亡的概率为，某保险公司准备开办该年龄段的五年人寿保险业务，预计有2500人参加保险，条件是参加保险者交保险金12元，若五年内死亡，公司支付赔偿金b元（b待定），便有以下几个问题：
（1） 确定b，使保险公司期望盈利；
（2） 确定b，使保险公司盈利的可能性超过99％；
第五章 大数定律与中心极限定理
* 随机现象的规律只有在大量随机现象的考察中才能显现出来。
* 研究大量的随机现象，常常采用极限形式。
* 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有二种：大数定律与中心极限定理。
1 大数定律
* 事件发生的频率具有稳定性；
* 大量测量值的算术平均值也具有稳定性。
例如在分析天平上称量一质量为μ的物品，以表示n次重复测量结果，经验告知，当n充分大时，其平均值对μ的偏差是很小的。
定义：设是一个随机变量序列，a是一个常数。若对于任意正数，有：
概率论与数理统计(第二版-刘建亚)习题解答-第1章
概率论与数理统计（第二版.刘建亚）习题解答——第一章1－1解：（1）C AB ；（2）ABC ；（3）C B A ；（4）C AB C B A BC A ； （5）C B A ；（6）C B A C B A C B A C B A 。
1－2 解：（1）A B ；（2）AB ；（3）ABC ；（4）AB C ()。
1－3解：1＋1＝2点，…，6＋6＝12点，共11种； 样本空间的样本点数：n ＝6×6＝12， 和为2，1,1A ，1An ，1()36An P A n ， …… 和为6，1,5;2,4;3,3;4,2;5,1A，5An ，5()36A n P A n， 和为(2＋12)/2=7，1,6;2,5;3,4;4,3;5,2;6,1A ，6An ，61()366A n P A n , 和为8，2,6;3,5;4,4;5,3;6,2A ，5An ，5()36A n P A n， …… 和为12，6,6A，1An ，1()36A n P A n ， ∴ 出现7点的概率最大。
1－4解：只有n ＝133种取法，设事件A 为取到3张不同的牌，则313A n A ，（1）31333131211132()1313169AA n P A n；（2）37()1()169P A P A 。
1－5解： （1）()()()()()0.450.100.080.030.30P ABC P A P AB P AC P ABC（2）()()()0.100.030.07P ABC P AB P ABC（3）∵ ,,ABC ABC ABC 为互不相容事件，参照（1）有()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2[()()()]3()0.450.350.302(0.100.080.05)0.090.73P ABCABCABC P ABC P ABC P ABC P A P AB P AC P ABC P B P AB P BC P ABC P C P AC P BC P ABC P A P B P C P AB P BC P AC P ABC（4）∵ ,,ABC ABC ABC 为互不相容事件，参照（2）有()()()()()()()3()0.100.080.0530.030.14P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC P AB P AC P BC P ABC（5）()()()()()()()3()0.450.350.300.100.080.0530.030.90P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC（6）()1()10.900.10P A B C P A B C 。
第5章大数定律与中心极限定理
越小，则事
件{|X - E(X)|<
}的概率越大，即随机变量 X 集中
在期望附近的可能性越大. 也说明方差大小反映随机变量 取值的分散程度。
例1. 已知正常男性成人血液中,每毫升白细胞数平均是 7300,均方差是700 .利用契比雪夫不等式估计每毫升白 细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率
k 1 n
n
D( X k )
k 1
的分布函数的极限.
一、独立同分布的中心极限定理
定理1 设 任意实数 有
为一列相互独立相同分布
的随机变量，且具有数学期望和方差， 则对于
其中
为标准正态分布的分布函数。
若一随机变量可以表示成数量很多的相互独立相 同分布的随机变量的和，则该随机变量可近似服从 正态分布，标准化后就服从标准正态分布。
的概率 求200个仓内老鼠总数超过350只的概率 则 解: 设第i个粮仓内老鼠数目为 独立且同分布
得
例4：有一批电子元件装箱运往外地,正品率为80%， 若要95%以上的概率使箱内正品数多于1000只,问箱内
至少要装多少只元件？
解：设装n只元件， 记X为n只元件中正品的件数， 则 利用定理得
由于当
这个定理表明，二项分布的极限分布是正态分布
当
很大时，我们便可以利用定理 2 来近似计算二
项分布的概率。
例1. 设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成， 每个部件的损坏率为0.1。为了使整个系统正常工作， 至少必须有85个部件正常工作，求整个系统正常工作 的概率。
解：设 X 是损坏的部件数，则 X ~ B100, 0.1 则整个系统能正常工作当且仅当 X 15. 由德莫佛-拉普拉斯定理有 15 100 0.1 X 100 0.1 P{ X 15} P 100 0.1 0.9 100 0.1 0.9
第5章 大数定律及中心极限定理
第五章 大数定律与中心极限定理● 随机现象的规律只有在大量随机现象的考察中才能显现出来。
● 研究大量的随机现象，常常采用极限形式。
● 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有二种：大数定律与中心极限定理。
1 大数定律● 事件发生的频率具有稳定性；●大量测量值的算术平均值也具有稳定性。
大数定律就是从这种稳定性的研究中得出的。
定理一（契比雪夫大数定律）设随机变量序列,,,,21nXX X …相互独立，且具有相同的数学期望和方差：()()().,2,1,2 ===kX D X E k kσμ前n 个随机变量的算术平均：∑==nk k XnX 11对于任意正数ε，有{}εμ<-∞→||lim X P n =.1|1|1lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμnk kn XnP则称{X n }服从大数定律。
证：由于(),11111μμ=⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑==n nX E nX nE nk knk k(),111222121nn nX D nX n D nk kn k k σσ=⋅==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑==由契比雪夫不等式可得：./1|1|221εσεμn XnP nk k-≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=在上式中令,∞→n 并注意到概率不能大于1，即得：.1|1|lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=∞→εμnk k n X nP● 定理一给出了关于平均值稳定性的科学的描述。
● 上式的意义：⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑=εμ|1|1nk k X n是一个随机事件，等式表明，当∞→n 时，这个事件的概率趋于1。
即对于任意正数ε，当n 充分大时，不等式εμ<-∑=|1|1nk kX n成立的概率很大。
● 还表明，当n 很大时，随机变量nX X X ,,,21 的算术平均∑==nk kXnX 11接近于数学期望()()()μ====k X E X E X E 21.这种接近是在概率意义下的接近。
● 说明平均结果∑==nk kXnX 11渐趋稳定性。
第五章大数定律与中心极限定理
• 例:一加法器同时收到 个噪声电压 k(k=1,2,…,20), 一加法器同时收到20个噪声电压 一加法器同时收到 个噪声电压V 它们相互独立且都在区间[0,10]上服从均匀分布 噪声 上服从均匀分布,噪声 它们相互独立且都在区间 上服从均匀分布 的近似值. 电压总和V=V1+V2+…+V20,求P{V>105}的近似值 电压总和 求 的近似值 • 解:易知 易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心 易知 由独立同分布的中心 20 极限定理知
∑ D( X
k =1
n
k
)=
σ2
n
1 n 所以 P{| ∑ X k − µ |< ε } = P {| X n − E ( X n ) |< ε } n k =1 D( X n ) σ2 ≥ 1− = 1− 2 2 nε ε
设随机变量序列{Y 如果存在一个常数a 定义 设随机变量序列{Yn}，如果存在一个常数a，使得 ε>0 对任意的 ε>0，有
1 故 n
X k 1 . ∑ 2 P→ 3 k =1
§2
中心极限定理
定理(林德贝尔格 勒维 定理):设 定理 林德贝尔格-勒维 林德贝尔格 勒维(Lindeberg-Levy)定理 设 定理 {Xk}为相互独立的随机变量序列 服从同一分布 且 为相互独立的随机变量序列,服从同一分布 为相互独立的随机变量序列 服从同一分布,且 具有数学期望E(Xk)=µ和方差 和方差D(Xk)=σ2 ,则随机变 具有数学期望 和方差 则随机变 量
X 1 ~ U ( −1, 1). 则 1 （1） n X k，（2）1 ∑ n k =1
n 2 X k 分别 依概 率收 敛吗 ？ ∑ k =1 n
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
第五章大数定律和中心极限定理讲解
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第12页
说明：
(1) 切比雪夫弱大数定律和辛钦弱大数定律的条件是不同的， 但它们都可以推导出伯努利大数定律.
切比雪夫弱大数定律里随机变量序列不要求是同分布的， 但是要求它们的方差有一致的上界。
辛钦弱大数定律里随机变量序列是同分布的，但不要求 它们的方差存在或有一致上界。
讨论 “概率是频率的稳定值” 的确切含义：
伯努利大数定律和博雷尔强大数定律
12 June 2019
概率论与数理统计
理学院数学系
第五章 大数定律与中心极限定理
第3页
从抛硬币说起
回顾第一章概率的统计定义，我们是用 事件的频率近似代替这个事件的概率。
试验者 德.摩 根 蒲丰
皮尔逊 皮尔逊
维尼
抛 掷 次 数n 出现正面的次数m 出现正面的频率m / n
第10页
切比雪夫弱大数定律
设X1, X2 , 为独立随机变量序列，具有共同
的数学期望，并且Var[Xi ] C, i 1, 2, , 则对任意 0有
lim
n
P
X1
X2 n
Xn
0.
注：这里的随机变量不要求是同分布的，
但是要求它们的方差有一致的上界。
第7页
伯努利大数定律可以说是最早发现，也是最基本的大数定律， 以它为基础人们又发展起来其它的大数定律。 大家很容易理解抛硬币出现正面的概率是二分之一，但是日常 生活中，很多问题里事件的概率不能直观感受到或者预先知道， 这时我们就利用伯努利大数定律，以频率来代替概率。
第五章大数定理与中心极限定理
2. 随机事件的频率
lim P p =1 n n
p f n p
n
作业
P112
1、3、6、7
§5.4中心极限定理
在客观实际中有许多随机变量,它们是由大 量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。 而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用 都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正 态分布，这种现象就是中心极限定理的客观背 景。
设{ξn}为随机变量序列，ξ为随机变量，其对 应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连 续点，有
第五章
大数定律与中心极限定理
5.1大数定律的概念 5.2切贝谢夫不等式 5.3切贝谢夫定理 5.4中心极限定理
“概率是频率的稳定值”。前面已经提到， 当随机试验的次数无限增大时，频率总在其概 率附近摆动，逼近某一定值。大数定理就是从 理论上说明这一结果。正态分布是概率论中的 一个重要分布，它有着非常广泛的应用。中心 极限定理阐明，原本不是正态分布的一般随机 变量总和的分布，在一定条件下可以渐近服从 正态分布。这两类定理是概率统计中的基本理 论，在概率统计中具有重要地位。
பைடு நூலகம்
大数定律以确切的数学形式表达了这种规 律性,并论证了它成立的条件,即从理论上阐述 了这种大量的、在一定条件下的、重复的随机 现象呈现的规律性即稳定性.由于大数定律的作 用,大量随机因素的总体作用必然导致某种不依 赖于个别随机事件的结果.
§5.2 切贝谢夫不等式
一个随机变量离差平方的数学期望就是它的
f n p
n
证明:设
则
1 第i次试验事件A发生 i 0 第i次试验事件A不发生
E (i ) p, D(i ) p(1 p)
概率论第五章 大数定律及中心极限定理
的标准化变量为
n
X i n
Yn i1 n
则Yn的分布函数Fn(x)对任意的x∈(-∞,+∞)都有
n X i n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P(Yn
x)
lim
n
P
i 1
n
x
x
1
t2
e 2 dt
2
该定理说明，当n充分大时， Yn近似地服从标准正 态分布，Yn~N(0,1)， (n )
P|
X
|
2 2
P X
1
2 2
证明 (1)设X的概率密度为p(x),则有
P{| X | } p(x)dx
| x |2
p(x)dx
|x|
|x|
2
1
2
(x
)2
p(
x)dx
2 2
Xi 2
0
pi
1 4
1 2
2
(i 1,2, , n, )
1 4
解
因为 X1, X 2 , , X n ,
相互独立， EX i 0 ， E
X
2 i
1
又
DX i
E
X
2 i
EX i
2
1 0
1， i
1,2,
, n,
所以,满足切比雪夫大数定理的条件,可使用大数定理.
第五章数定理与中心极限定理
第五章数定理与中⼼极限定理第五章⼤数定理与中⼼极限定理■考试内容切⽐雪夫（Chebyshev ）不等式切⽐雪夫⼤数定律伯努利（Bernoulli ）⼤数定律⾟钦（Khinchine ）⼤数定律棣莫弗—拉普拉斯（De Moivre —Laplace ）定理列维—林德伯格（Levy —Lindberg ）定理■考试要求1．了解切⽐雪夫不等式。
2．了解切⽐雪夫⼤数定律、伯努利⼤数定律和⾟钦⼤数定律（独⽴同分布随机变量序列的⼤数定律）3．了解棣莫弗—拉普拉斯定理（⼆项分布以正态分布为极限分布）和列维—林德伯格定理（独⽴同分布随机变量序列的中⼼极限定理）3⼤均2中和1不等（3个⼤数定理、2个中⼼极限定理和⼀个不等式）。
⼀、切贝雪夫不等式1.1 切贝雪夫不等式及其应⽤范围如果不知道X 属于何种分布，只要()E X 和()D X 存在，就可以估算出以()E X 为中⼼的对称区间上取值的概率。
即：则任给0,ε>有或●证明：由积分⽐较定理可知：()[]()[]()()(){}{}(){}(){}()222()()22()222()()()()1()()1x E X x E X x E X D X x E X f x dx x E X f x dx f x dxf x dx P X E X D X P X E X D X D X P X E X P X E X εεεεεεεεεεεεε∞-∞==-≥?-≥≤--<≤-<≥-1.2 依概率收敛的定义设a 是⼀个常数，n X 为⼀随机变量序列， 0, {}1n P X a εε?>?-<=或{}0n P X a ε-≥=，则称{}n X 依概率收敛于a ，记为或。
⼆、⼤数定理●⼤数定理的应⽤范围：●⼤数定理的特征：2.1 切⽐雪夫⼤数定理设随机变量12,,,n X X X …相互独⽴，服从同⼀分布（任意分布），且具有相同的数学期望和⽅差()211(), ; nk k k k E X D X X X n µσ====∑则0,ε?>有在⼤量的测量值中，算术平均值11nk k x n =∑具有稳定性，即n 个随机变量的算术平均值，当n⽆限增加时，将⼏乎变成⼀个常数，即接近数学期望()k E X µ=，这种接近是概率意义上的接近，也就是X 依概率收敛µ，记为PX µ??→，这也是为什么在实际应⽤中，常⽤算术平均来描述事件发⽣的加权平均（即数学期望）的原因。
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§4.5 中心极限定理
n z i 1 X i n z ( z ) ( z ) P 1 2 2 1 n
于是所求的概率为
E( X i ) 0
300
i1 X i P( i1 X i 10) P(
2 i E ( X i ), sn D( X i ), fi (x)是 X i的概率密度， 其中 i 1 n
对任何实数 z 有 则当 n 时，
1 lim P( Z n z ) e dt, n 2π
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t2 z 2
(1) 设 X1 , X 2 , , X n 独立同分布， E ( X i ) , 且 D( X i ) 2 0, i 1 ,2 ,, n. 则当 n 充分大时，
P( z1
i1 X i n z ) ( z ) ( z ).
n
n
2
2
1
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假设被研究的随机变量可以表示为大量随机变量 的和,其中每一个随机变量对于总和只起微小的作用, 则可以认为这个随机变量实际上是服从正态分布的.
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§4.5 中心极限定理
小 结
1 三个定理 林德伯格定理 列维定理 棣莫弗-拉普拉斯定理 2 两个近似计算公式
P(180 i 1 X i 220)
100
E ( X i ) 2 D( X i ) 1.69
100
180 100 2 i 1 X i 100 2 220 100 2 P( ) 100 1.69 100 1.69 100 1.69
20 i 1 X i 200 20 P( ) 13 13 13 20 20 ( ) ( ) 2 (1.54) 1 13 13 2 0.9382 1 0.8764.
则当 n 时， 它们的和的极限分布是正态分布：
i1 X i n lim P z n n
n
1 e dt, 2π
t2 z 2
其中z 是任意实数 .
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§4.5 中心极限定理
由列维定理可得如下的近似公式： [推论] 设 X1 , X 2 , , X n 独立同分布， 且
第四章
正态分布
§4.5 中心极限定理
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§4.5 中心极限定理
则 设 X1 , X 2 , , X n 为随机变量， X1 X 2 X n 的分布,除了若干例外,一般很难求出. 问题：能否利用极限的方法进行近似处理？ 在很一般条件下,和的极限分布就是正态分布.
在一定条件下,大量独立随机变量的和的极限分布 为正态分布的一系列定理统称为中心极限定理.
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§4.5 中心极限定理
[定理1]（列维定理）
设独立随机变量 X1, X 2 , , X n , 服从相同分布， 并且数学期望和方差都存在：
E ( X i ) , D( X i ) 2 0, i 1 ,2 ,, n,,
之间的概率为
m2 np m1 np P(m1 Yn m2 ) ( ) ( ), npq npq 其中p q 1.
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§4.5 中心极限定理
说明： (1) 当 n 充分大时， 服从二项分布 B(n , p) 的随机 变量 Yn 近似地服从正态分布 N (np , npq) . (2) 在第二章中， 泊松分布是二项分布的极限分布，
100
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§4.5 中心极限定理
[定理2] （棣莫弗-拉普拉斯定理） 设在独立试验序列中， 事件 A在各次试验中发生的
概率为 p(0 p 1) , 随机变量 Yn 表示事件 A 在 n 次试验
中发生的次数， 则有 t2 Yn np 1 z 2 lim P z e dt, n 2π npq p 其中z 是任何实数， q 1.
E ( X i ) , D( X i ) 2 0, i 1 ,2 ,, n,
则当 n 充分大时，
i 1 X i n z z2 ( z2 ) ( z1 ), P1 n 其中z1 , z2是任意实数 .
n
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证它们的数学期望与方差存在， 例如,设 X1 , X 2 ,, X n
服从如下分布：
2k 1 P( X i ) k , k 1 ,2 , , i 1 ,2 ,, n. k 2
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§4.5 中心极限定理
2k 1 1 所以 E ( X i ) 不存在 由于级数 k 发散， k 1 k 2 k 1 k (i 1 ,2 ,, n). 从而(D)不正确.
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§4.5 中心极限定理
(2) 设Yn ~ B(n , p), 则
m2 np m1 np P(m1 Yn m2 ) ( ) ( ), npq npq 其中 p q 1.
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§4.5 中心极限定理
§4.5 中心极限定理
其中，
Zn
X i E ( X i ) i 1 i 1
D ( X i )
i 1 n
n
n
1 n ( X i i ) . sn i 1
即
t2 n ( X i i ) i 1 1 z e 2 dt. lim P z n sn 2 π 由林德伯格定理可知：
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§4.5 中心极限定理
分析： 根据列维-林德伯格中心极限定理的条件， 要求 X1, X 2 ,, X n独立同分布且数学期望与方差存在. 当 X1, X 2 ,, X n 的数学期望与方差相同时,X1, X 2 ,, X n 未必服从相同分布，因而(A)、(B) 不正确. 当 X1 , X 2 ,, X n 服从同一离散型分布时， 不能保
则 解： 设 X i 为第 i 次轰炸命中目标的炸弹数，
E ( X i ) 2, D( X i ) 1.69 , i 1, 2,,100.
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§4.5 中心极限定理
于是
n z i 1 X i n z ( z ) ( z ) P 1 2 2 1 n
显然，事件 A 在 n 次试验中发生的次数
Yn X i ,
i 1
n
所以， 按列维定理可知， 等式成立.
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§4.5 中心极限定理
由定理可以推知：设在独立试验序列中， 事件 A
在各次试验中发生的 概率为 p(0 p 1) , 则当 n 充分 大时， 事件A 在 n 次试验中发生的次数 Yn 在 m1 与 m2
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§4.5 中心极限定理
证： 设随机变量 X i 表示事件A 在第 i 次试验中发生 的次数 (i 1 ,2 ,, n ,), 则这些随机变量相互独立，
服从相同的 "0 1" 分布， 并且有数学期望及方差： E ( X i ) p , D( X i ) pq , i 1 ,2 ,, n ,.
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§4.5 中心极限定理
[例1] 计算机进行加法计算时,把每个加数取为最接 近于它的整数来计算.设所有的取整误差是相互独立 的随机变量,并且都在区间[0.5,0.5] 上服从均匀分布, 求300个数相加时误差总和的绝对值小于10的概率. 解： 设随机变量 X i 表示第 i 个加数的取整误差， 则 并且有 X i 在区间 [0.5 ,0.5] 上服从均匀分布， 1 E ( X i ) 0 , D( X i ) , i 1 ,2 , ,300. 12
思考题
设随机变量X1 , X 2 ,, X n 相互独立， Sn X 1 X 2 X n , 当 n 充分大时， 根据列维-林德伯格中心极限定理， S n 近似服从正态分布， X1 , X 2 ,, X n 只要 (A) 有相同的数学期望 (B) 有相同的方差 (C) 服从同一指数分布 (D) 服从同一离散型分布
当 X1 , X 2 ,, X n服从 同一指数分布 e( ) 时， 1 1 E ( X i ) , D( X i ) 2 , i 1 ,2 ,, n. 都存在， 符合定理条件. 答: 应选(C)
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