y=a(x+h)2课件
九年级数学上册 22.1.3 二次函数y=a(xh)2+k的图象和性质课件 (新版)新人教版
3．抛物线的平移： （1）把二次函数y=3x 2的图像(tú xiànɡ)， 先沿x轴向左平移３个单位， 再沿y轴向下平移2个单位， 得到__y_=_3(_x_+_3_)2_-_2___的图像(tú xiànɡ)； （2）把二次函数____y_=_-3_(_x_+_6_)2__的图像(tú xiàn 先沿y轴向下平移2个单位， 再沿x轴向右平移3个单位， 得到y=-3(x+3) 2－2的图像(tú xiànɡ).
第十九页，共32页。
抛物线y=a(x－h)2+k有如下 (rúxià)特点:
(1)当a>0时, 开口(kāi kǒu)向
上; 当a<0时，开口(kāi kǒu) (2)对向称下轴; 是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
第二十页，共32页。
二次函数(hánshù)y=a(x-h)2+k的图象和性质
y＝ax2
a＞0
a＜0
图象
O
O
开口 对称性 顶点
增减性
开口(kāi kǒu) |向a|越上大，开口越小
开口(kāi kǒu) 向下
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
第三页，共32页。
顶点是最高点
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
复习二次函数(hánshù)y=ax2+k的性质
1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y 0.5x2
y 0.5x2 1
y 0.5x2 1
y 2x2
y 2(x 1)2 y 2(x 1)2
向下(xiànɡ xià) x=0
2021年人教版数学九年级上册第四课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质课件
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质 第四课时 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
以练助学 名师点睛 基础过关 能力提升 思维训练
3
以练助学
名师点睛
• 知识点1 二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质
• 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是直线x＝h， 顶点坐标是(h,0)．
• (2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．
11
能力提升
• 8．已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，
与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为( )
• A．3或6 B．1或6
B
• C．1或3 D．4或6
• 9．若抛物线y＝2(x－m)m2－4m－3的顶点在x轴正半轴上，则m的值为
4
【典例】在平面直角坐标系中，二次函数 y＝a(x－h)2(a≠0)的图象可能是( )
A
B
C
D
5
• 分析：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点坐标为(h,0)，则顶点在x轴上， 只有D符合题意．
• 答案：D • 点评：二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的顶点在x轴上． • 知识点2 抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的关系 • 抛物线y＝a(x－h)2可以看成是由抛物线y＝ax2(a≠0)向左(h＜0)或向右(h
• (1)当a＞0时，抛物线y＝a(x－h)2(a≠0)开口向上，当x＜h时，函数值y随 x的增大而减小；当x＞h时，函数值y随x的增大而增大；当x＝h时，函 数y＝a(x－h)2取得最小值y＝0；
九年级数学下册 第三十章 二次函数 302 二次函数的图像和性质 第2课时 二次函数ya(x h)2
二次函数y=a （x-h ）2和y=a （x-h ）2+k 的图像和性质知识点一 二次函数y=a （x-h ）2的图像和性质把二次函数2x y =的图像向右平移3个单位长度，得到新的图像的函数表达式是（ ）32+=x y B. 32-=x y C. 2)3(+=x y D. 2)3(-=x y抛物线2)3(2--=x y 的顶点坐标和对称轴分别是（ ）3),0,3(-=-x 直线 B. 3),0,3(=x 直线C. 3),3,0(-=-x 直线D. 3),3,0(-=x 直线已知二次函数2)1(3+=x y 的图像上有三点 ),2(),,2(),,1(321y C y B y A - ，则321,,y y y 的大小关系为（ ） A.321y y y >> B.312y y y >> C.213y y y >> D.123y y y >>把抛物线2)1(6+=x y 的图像平移后得到抛物线26x y =的图像，则平移的方法可以是（ ）沿y y 轴向下平移1个单位长度x x 轴向右平移1个单位长度若二次函数12+-=mx x y 的图像的顶点在x 轴上，则m 的值是（ ）A. 2B. 2-C.0D. 2± 对称轴是直线2-=x 的抛物线是（ ）A.22+-=x yB.22+=x y C.2)2(21+=x y D.2)2(3-=x y对于函数2)2(3-=x y ，下列说法正确的是（ ）当0>x 时，y 随x 的增大而减小 B. 当0<x 时，y 随x 的增大而增大 C. 当2>x 时，y 随x 的增大而增大 D. 当2->x 时，y 随x 的增大而减小二次函数132+=x y 和2)1(3-=x y ，以下说法：①它们的图像都是开口向上；②它们的对称轴都是y 轴，顶点坐标都是原点（0，0）；③当0>x 时，它们的函数值y 都是随着x 的增大而增大；④它们的开口的大小是一样的. 其中正确的说法有（ ）2)1(3--=x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 。
苏科版九年级下册数学第5章二次函数y=ax2+k,y=a(x+ h)2的图像和性质
解题技巧：
知4－讲
①“左加右减自变量，上加下减常数项”，抛物线左右平移时，
只有h发生变化；上下平移时，只有k发生变化，反之，根据
h的值可以确定左右平移的方向和距离；根据k的值可以确定
上下平移的方向和距离.
②画二次函数y=a(x+h)2+k(a≠0)的图像的关键是先确定顶点坐
要点提醒： a 决 定 抛 物 线 的 开 口 方 向 和 开 口 大 小 ， 所 以 y=ax2(a≠0) 与
y=ax2+k(a≠0)的图像开口方向和开口大小相同，只是位置不同.
(0，k)
知1－讲
a，k 的符 y=ax2+k(a>0) y=ax2+k(a<0)
号
k>0 k<0 k>0 k<0
图像
方法点拨：
知2－讲
平移规律：左加右减，横变纵不变.
①“ 左 加 ” 表 示 当 h ＞ 0 时 ， 函 数 y=a(x+h)2 的 图 像 可 以 由 函 数
y=ax2的图像向左平移h个单位长度得到.
②“ 右 减 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x+h)2 的 图 像 可 以 由 函 数
知2－讲
方法点拨： 当a>0时，抛物线开口向上，图像有最低点，当x=
－h时，y最小值=0； 当a<0时，抛物线开口向下，图像有最高点，当x=
－h时，y最大值=0.
知2－讲
解：由y=－3(x－1)2可知，抛物线开口向下，对称轴 为直线x=1，顶点坐标为(1，0).
知2－讲
例4 在平面直角坐标系中，函数y=－x－1与y=－ (3x
沪科版九年级上册数学精品教学课件 第21章 第2课时 二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
解： 由题意得 m2 9 0，所以 m ≠ ±3.
3. 若函数 y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4 是二次函数，
那么 m 的取值范围是什么？
解：由题意得
m2
2m
1
2，
m 1 0.
m的取值范围是 m 3.
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧 扣概念的特征进行解题.
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15， 即矩形的面积为 15 cm2.
课堂小结
二次 函数
定义 一般形式
特殊形式
右边是整式； 自变量的最高指数是 2； 二次项系数 a ≠ 0.
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0, a, b, c 是常数)
y = ax2； y = ax2 + bx； y = ax2 + c. (a ≠ 0，a，b，c 是常数)
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( C ) A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0 C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y = 2x＋1 C．y = 3x2＋1 4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
例3 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元.每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 (其中 x 为 正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式； 解：依题意知生产第 x 档次的产品，提高了(x－1)档，利 润增加了 2(x－1) 元. 则有 y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]. 即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 的图象和性质课件
y
1
x2
2 有什么关系？
2
2
抛物线 y =a（x - h）2与抛物线 y = ax2 有什么关系？
4．类比探究 y a（x h）2的图象和性质
归纳: 当 h＞0 时，把抛物线 y = ax 2 向右平移 h 个单位长 度，就得到抛物线 y =a（x - h）2 ； 当 h＜0 时，把 y = ax 2 向左平移｜h｜个单位长度，
就得到抛物线 y =x - h）2．
针对练习
抛物线
y
1 (x
2
2)2
1、开口方向： 。
2、对称轴：
。
3、顶点：
。
4、当 把抛物线
y
1 (x
2
2)2向左平移 3个单位，
就得到抛物线
。
；
5、当 把抛物线 y
1 (x
2
2)2 向右平移
2个单位，
就得到抛物线
．
完成导学案10页课堂训练
小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y =a（x - h）2 与抛物线 y = ax2 的区 别与联系是什么？
温故知新
y 1 x2 k 2
开口方向：
向上
对称轴： y 轴；
顶点： （0，k）．
当 k＞0 时，把抛物线 y 1 x2 向上平移 k 个单位，
就得到抛物线 y 1 x2 k； 2
2 当 k＜0 时，把抛物线
y 1 x2
向下平移
k 个单
2
位，就得到抛物线
y
1 x2
2
k．
22.1.3 二次函数的图象和性质
二次函数几何画板课件
复习导入
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2之间的关系
移动方向
平移前解析式
Hale Waihona Puke 平移后解析式简记向左平移h
个单位
y=ax2
y=a(x+h)2
左加
向右平移h
个单位
y=ax2
y=a(x-h)2
右减
探究新知
画出二次函数 =
,
=
(−) ,
=
(−) +3的图象，并探究它们的图
象特征和性质．
列表：自变量x从顶点的横坐标向右开始取值．
x
0
2
3
4
=
0
2
8
x
1
2
3
4
5
(−)
0
2
8
x
1
2
3
4
5
= (−) +3
3
5
11
=
1
探究新知
描点和连线：画出图
象在对称轴右边的部
分．利用对称性，画
第一章 二次函数
1.2 二次函数的图象与性质4
复习导入
二次函数y=a（x-h）2的性质
y=a（x-h）2
开口方向
a＞0
a＜0
向上
向下
对称轴
直线x=h
顶点坐标
（h，0）
最值
增减性
当x=h时，y最小=0
22.1.3二次函数的图像与性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上 向下 向上
直线x=－3 直线x=1 直线x=3
(－3, 5 ) ( 1, －2 ) ( 3 , 7)
向下
直线x=2 ( 2 , －6 )
x=h 减小 h
x=h 增大 h
可以看作互相平移得到的.
平移规律
左 右 平 移 y = ax2 + k
பைடு நூலகம்
y = a( x - h )2 + k 上 下 平 移
简记为： 上下平移， 括号外上加下减；
y = a(x - h )2 左右平移，
上下平移 y = ax2 左右平移
括号内左加右减. 二次项系数a不变.
当堂练习
1.完成下列表格: 二次函数
左右平移：括号内 左加右减自变量； 上下平移：括号外 上加下减函数值.
一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同.
数学享有盛誉还有另一个原因： 正是数学给了各种精密自然科学一定程 度的可靠性，没有数学，它们不可能获 得这样的可靠性。
――艾伯特·爱因斯坦
这是函数 y=a(x-h)2+k 的性质
哦!
(h,k) 小
(h,k) 大
向上
增大 k
向下
减小 k
练一练
1.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与 y 1 x2 2形状相同，且 3
顶点坐标是（4，2），试求这个函数关系式.
21.2)y=a(x+h)2的图象和性质
位置
开口方向 增减性 最值
当x=-h时,最小值为0.
a 越大,开口越小.
当x=-h时,最大值为0.
a 越小,开口越大.
开口大小
画出下列函数图象，并说出抛物线的 开口方向、对称轴、顶点，最大值或 最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2 y= −2（x+3）2 y= −2（x-2）2
y= 3（x+1）2
二次函数的图像和性质
二次函数y=a(x+h)2的图象和性质
上节复习
y＝ax2+k
图象
a>0
a<0
k>0
k<0
k>0
k<0
开口向下 开口向上 开口 ︱a︱越大，开口越小；︱a︱越小，开口越大 关于y轴对称 对称性 顶点
(0,k)
顶点是最高点 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减 顶点是最低点
X=-1
4.抛物线y=-3(x-1)2可以看作是 抛物线y=-3x2沿x轴向右平移了1 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看 作是抛物线y=-3x2沿x轴向左平 移了1个单位.
二次函数y=a(x+h)2的性质：
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x+h)2 (a>0) 抛物线
在对称轴(直线:x=-1)左侧 (即x<-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而减少,. 顶点是最低点,函数 有最小值.当x=-1时, 最小值是0..
y 3x 2
y 3x 1
2
在对称轴(直线:x=-1)右侧 (即x>-1时),函数y=3(x+1)2 的值随x的增大而增大,.
第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
活动 四： 课堂 总结 反思【教学反思】 ①[授课流程反思]新课导入环节中, 引导学生在观察函数图象上下功夫, 同时给学生设置有悬念的问题, 使学生积极思考问题；在探究新知过程中, 让学生经历类比联想、归纳总结的过程, 应用由特殊到一般的思想, 增强学生的观察、分析、归纳和表达能力. ②[讲授效果反思] 引导学生注意三点: (1)明确记忆函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)函数图象的平移规律；(3)掌握函数的性质. ③[师生互动反思] 教学过程中, 教师对学生进行引导, 使他们能够积极投入到对数学知识的探索过程中来, 养成探索的好习惯. ④[习题反思]好题题号__________________________________________ 错题题号__________________________________________反思教学过程和教师表现, 进一步提升操作流程和自身素质. 一、知识回顾: 画出二次函数y ＝－ (x ＋1)2, y ＝－ (x －1)2的图象, 并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及最值、函数值的变化情况．先列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y ＝－12(x ＋1)2… … y ＝－12(x －1)2……在坐标纸上描点并画图:(1)观察图象, 填开口方向顶点对称轴最值对称轴右侧的增(2)请在图上把抛物线y＝－x2也画上去(草图).①抛物线y＝－ (x＋1)2, y＝－ x2, y＝－ (x－1)2的形状大小________.②把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x＋1)2；把抛物线y＝－ x2向______平移________个单位, 就得到抛物线y＝－ (x－1)2.(2)对于抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2的图象, 形状________, 位置__________.当h>0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到；当h<0时, 抛物线y＝a(x－h)2的图象可由y＝ax2的图象向________平移________个单位得到．小试牛刀:2.抛物线y ＝4(x －2)2与y 轴的交点坐标是________, 与x 轴的交点坐标为________.3. (1)把抛物线y ＝3x2向右平移4个单位后, 得到的抛物线的表达式为________. (2)把抛物线y ＝3x2向左平移6个单位后, 得到的抛物线的表达式为________.4.(1)将抛物线y ＝－ (x －1)2向右平移2个单位后, 得到的抛物线表达式为__________． (2)将抛物线y ＝－13(x －4)2向________平移________个单位得到y ＝－13x 2.5. 写出一个顶点是(5, 0), 形状、开口方向与抛物线y ＝－2x2都相同的二次函数表达式__________.当堂巩固检测(1)二次函数y ＝2(x ＋5)2的图象是________, 开口________, 对称轴是________, 当x ＝____________时, y 有最________值, 是________.(2)二次函数y ＝－3(x －4)2的图象是由抛物线y ＝－3x2向________平移________个单位得到的；开口________, 对称轴是________, 当x ＝________时, y 有最__________值, 是__________.(3)将二次函数y ＝2x2的图象向右平移3个单位后得到函数________的图象, 其对称轴是________, 顶点是________, 当x________时, y 随x 的增大而增大；当x________时, y 随x 的增大而减小.(4)将二次函数y ＝－3(x －2)2的图象向左平移3个单位后得到函数____________的图象, 其顶点坐标是________, 对称轴是__________, 当x ＝________时, y 有最________值, 是________.(5)抛物线y ＝4(x －3)2的开口方向__________, 对称轴是__________, 顶点坐标是__________, 抛物线有最________点, 当x ＝__________时, y 有最________值, 其值为__________, 抛物线与x 轴的交点坐标为________, 与y 轴的交点坐标为________．三、课时小结1. 抛物线y ＝2(x ＋3)2的开口__________；顶点坐标为________；对称轴是________； 当x ＞－3时, y 随x 的增大而__________；当x ＝－3时, y 有最________值是________. 2．抛物线y ＝m(x ＋n)2向左平移2个单位后, 得到的函数表达式是y ＝－4(x －4)2, 则m ＝________, n ＝________．3．二次函数y ＝a(x ＋h)2(a ≠0)的图象由y ＝ x2向右平移得到的, 且过点(1, 2), 试说明向右平移了几个单位？。
华东师大版九年级数学下册26.2.3二次函数 的图像与性质(二) 课件
所以函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
所以当x＞2时，y随x的增大而减小．
10．[2021·衡阳期末]在函数y＝2(x＋1)2的图象上有三
点A(1，y1)，B(－3，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，
y3的大小关系是( A )
A．y1＝y2＞y3
象左右平移|h| 个单位得到.抛物线y=a(x-h)²的顶点是
（h,0）,对称轴是x=h.
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1. “ 左 加 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x － h)2 可 变 形 为
y=a(x+|h|)2 ，其图象可以由函数 y=ax2 的图象向左平移|h|
点坐标为(h，0)，函数最大值为0，因为当2≤x≤5时，与其对应
的函数值y的最大值为－1，所以h不能取2～5(含2与5)之间的
数．当h<2时，函数在x＝2处取最大值－1，把(2，－1)代入y
＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h>5时，
函数在x＝5处取最大值－1，把(5，－1)代入y＝－(x－h)2，解
得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】 B
12．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于
点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得A(－1，0)．
因为OB＝OA，所以B(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得a＝－1，
左
________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称
22.1.3.2 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 初中数学人教版九年级上册教学课件
yO －2
－2 －4 －6
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y 1 x 12
2 y 1 x2
2
y 1 x 12
2
向下 向下 向下
直线x＝－1 (－1，0) 直线x＝0 (0，0) 直线x＝1 (1，0)
2 4x
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
探究二
二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的性质
2
2
对称轴和顶点．
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x 12
2
··· －2
1 2
0
1 2
－2 －4.5
－8
···
y 1 x 12
2
·ห้องสมุดไป่ตู้· －8 －4.5
－2
1 2
0
1 2
－2 ···
探究二
描点、连线，画出这两个 函数的图象．
－4
y 1 x 12
2
2
解：列表．
x
··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y 1 x2 2
9 ··· 2
2
1 2
0
1 2
2
9
2
···
y 1 ( x 2)2 2
···
25 2
8
9 2
2
1 2
0
1 2 ···
探究一
描点、连线，画出这两 个函数的图象．
y x2 6 5 4 3 2 1
y 1 x2 2
y 1 ( x 2)2
若抛物线y＝3(x＋ 2 )2的图象上的三个点为A(－3 2，y1)，B(－1，y2)， C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为__y_2_＜__y_3＜__y_1__．
华师版九年级数学下册作业课件 第26章 二次函数 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
2．(3 分)将抛物线 y＝－x2 向左平移 2 个单位后，得到的抛物线的表达式是
(A
)
A．y＝－(x＋2)2
B．y＝－x2＋2
Hale Waihona Puke C．y＝－(x－2)2 D．y＝－x2－2
3．(3 分)对于任何实数 h，抛物线 y＝－x2 与抛物线 y＝－(x－h)2 的相同点是( B )
A．对称轴相同 B．形状与开口方向相同
∴当 x＞－2 时，y 随 x 的增大而减小．∵抛物线的顶点坐标为(－2，0)，∴当 x＝ －2 时，函数有最大值，最大值为 0
一、选择题(每小题 8 分，共 16 分) 11．如图是二次函数 y＝a(x－h)2 的图象，则直线 y＝ax＋h 不经过( B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：(1)∵抛物线 y＝a(x＋h)2 的对称轴是直线 x＝－2，∴－h＝－2，即 h＝2.∴
抛物线的解析式为 y＝a(x＋2)2.∵抛物线 y＝a(x＋2)2 过点(1，－3)，∴－3＝9a，解得
a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x＋2)2
3
3
(2) 抛物线的顶点坐标为(－2，0)
(3)∵a＝－1 ，∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， 3
9．(3 分)已知函数 y＝－(x－1)2 图象上两点 A(2，y1)，B(a，y2)，其中 a＞2，则 y1 与 y2 的大小关系是 y1___>____y2.(填“＜”“＞”或“＝”)
10．(10 分)抛物线 y＝a(x＋h)2 的对称轴是直线 x＝－2，且过点(1，－3). (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)当 x 在什么范围内时，y 随 x 的增大而减小？当 x 取何值时，函数有最大(或 最小)值？
《二次函数的图象与性质》二次函数PPT课件(第3课时)
13.抛物线y=a(x+2)2过点(1,-3). (1)求抛物线对应的函数表达式; (2)指出抛物线的对称轴、顶点坐标; (3)当x取何值时,y的值随x值的增大而减小?
解:(1)∵抛物线经过点(1,-3),∴-3=9a,a=-13. ∴抛物线的函数表达式为 y=-13(x+2)2. (2)对称轴为直线 x=-2,顶点坐标为(-2,0). (3)∵a=-13<0,∴当 x>-2 时,y 的值随 x 值的增大而减小.
15.如图,抛物线y=a(x-h)2+k与x轴的一个交点为A(3,0),与y轴的交点为B(0,3),其顶点为 C,对称轴为直线x=1.
(1)求抛物线对应的函数表达式; (2)M为y轴上的一个动点,当△ABM为等腰三角形时,求点M的坐标. 解:(1)抛物线对应的函数表达式为y=-(x-1)2+4. (2)①当MA=MB时,点M(0,0); ②当AB=AM时,点M(0,-3);
关系是 ( B )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
【变式拓展】对于二次函数y=-
1 3
x2+2,当x为x1和x2时,对应的函数值分别为y1和y2.
假设x1>x2>0,那么y1和y2的大小关系是 ( B )
A.y1>y2 B.y1<y2
C.y1=y2 D.无法比较
《二次函数的图象与性 质》二次函数PPT课件(
第3课时)
第二章 二次函数
二次函数的图象与性质
第3课时
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.对于函数y=-2(x-3)2,以下说法不正确的 ( D )
一元二次函数高一数学精品课件
知识点二 一元二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质 (1) 函 数 y ＝ a(x － h)2 ＋ k 的 图 象 是 一 条 __抛 __物 __线 __ ， 顶 点 坐 标 是 __(h_，__k_)__，对称轴是直线_x_＝__h____；
解析：由题意得抛物线的对称轴是 y 轴且开口向下，顶点为(0,1)， 故该抛物线为 y＝－x2＋1.故选 A. 答案：A
2．已知一元二次函数的图象的顶点坐标是(1，－3)，且经过点 P(2,0)，则这个一元二次函数的解析式为________．
解析：设所求一元二次函数的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，则其顶点 坐标为(h，k)．∵顶点坐标为(1，－3)，∴h＝1，k＝－3， 即所求的一元二次函数为 y＝a(x－1)2－3. 又∵图象经过点 P(2,0)，∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴这个一元二次函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x. 答案：y＝3x2－6x
(2)当 a>0 时，抛物线开口向__上____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而__减__小____；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自 变量 x 的增大而___增__大___；函数在 x＝h 处有最____小____值，记作 __ym_i_n＝__k__． 当 a<0 时，抛物线开口向__下____；在区间(－∞，h]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而___增__大___；在区间[h，＋∞)上，函数值 y 随自
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2
二次函数y=ax2+k有如下性质: (1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4 -3 -2-1 o1 2 3 4 5 x
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下 平移|k|得到. (k>0,向上平移;k<0向下平移.)
二次函数y=a(x+h) 的性质
y＝a(x+h)2 a>0 当x=h时, 最小值为0.
开口向上
2
最 值 开口方向
对称轴 顶点坐标 增减性
a<0 当x=h时, 最大值为0.
开口向下
直线x=－ h （－ h，0)
顶点是最低点 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 顶点是最高点 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
0 1 2 1 2
1
2
3
· · · · · · · · ·
－2 －4.5 －8 0
1 2
－2
－4
－2 －2 －4
2
4
－6
观察讨论:
－4
－2 －2 －4 －6
2
4
1、抛物线
1 2 1 2 y x 1 y x 1 的开口方向、 2 2
对称 轴、顶点坐标分别是什么？
下 ，对称轴 3、函数y =-2(x+1)2的图象开口向____ (-1,0) 是____________ ________，当 直线x=-1 ，顶点坐标是
大 值为____ < -1 0 ；当x_____ -1 时，函数有最____ x=____
> -1 时， y随x的 时，y随x的增大而增大，当x_____ 增大而减小。 4、抛物线y=3x2-4，y=3(x-1)2与抛物线y=3x2 位置 不同。抛物线y=3x2-4 形状 相同，_______ 的_______ 是由抛物线y=3x2向____ 下 平移____ 4 单位而得到； 右 平移 抛物线y=3(x-1)2是由抛物线y=3x2向____ 1 单位而得到。 ____
学以致用1： 抛物线
y = 2(x+3)2 y = -3(x-1)2
y = -4(x-3)2
开口方向 对称轴
向上 向下 向下 直线x=-3
顶点坐标
( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)
直线x=1
直线x=3
抛物 线，开口向____ 上 ， 1、函数y=2x2的图象是______ (0,0) ，当x=___ y轴 ，顶点坐标是_______ 对称轴是_____ 0 0 ；在对称轴左侧， y 小 值为____ 时，函数有最____ 减小 ，在对称轴右侧， y随x的 随x的增大而_______
k 5、下列图像可能是y= 和y=k (x-1)2在 x 同一坐标系的是（ C ）
A
B
C
D
1.抛物线y=ax2+k、抛物线y=a(x+h)2和抛物线 y=ax2的形状完全相同,开口方向一致; 当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下. 2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下 平移|k|得到.(k>0,向上平移;k<0向下平移.) 抛物线y=a(x+h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右 平移|h|得到. (h>0,向左平移;h<0向右平移.) 3.抛物线y=ax2+k有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向下; (2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k). 抛物线y=a(x+h)2有如下特点: (1)当a>0时, 开口向上,当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=－ h; (3)顶点是(－ h,0).
1 2 1 1 2 2 y x 1 与抛物线 y x 抛物线 y x 1 2 2 2
有什么关系？
1 2 x 向左平移1个单位，就得到抛物 2 1 2 1 2 y x 向右平移1个单位，就得到抛物 线 y x 1 ；把抛物线 2 2
1 1 2 2 画出二次函数 y x 1 , y x 1 2 2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
1 x 12 2 1 2 y x 1 2 y
探究
的图象，
· · · · · · · · ·
－3
－2
－2 1 2
－1
0
－8 －4.5 －2
增大 。 增大而_______
下 ，对称轴是 2、函数y=-2x2+4的图象开口向____ (0,4) ，当x=____ y轴 ，顶点坐标是_______ _____ 0 时，函 大 值为____ 数有最____ 4 ；当x<0时，y随x的增大而 增大 ，当x>0时， y随x的增大而_______ 减小 。 _______
可以发现，把抛物线 y
线 y
1 2 x 1 ． 2
－4－2 －2 －4 －62 Nhomakorabea4
1 2 y x 1 2
y
1 x 12 2
1 y x2 2
一般地,抛物线y=a(x+h)2有如下性质:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下; (2)对称轴是直线x=－ h;
1 -5 -4-3-2 -1 -1 o1 2 3 4 5 x 1 -2 y ( x 1) 2 -3 2 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 y
(3)顶点是(－ h,0).
抛物线y=a(x+h)2可以由抛物线y=ax2向左或向 右平移|h|得到. (h>0,向左平移;h<0向右平移.)
应用1：
抛物线 开口方向 对称轴 向上 向下 向下 y轴 y轴 y轴 顶点坐标 (0,1) ( 0 , -2 ) (0,3)
y = x2 + 1 y = -2x2 - 2 y = -x 2 + 3
应用2：
抛物线y=ax2＋c与y=－2x2的形 状大小，开口方向都相同，且其 顶点坐标是（０，1），则其表达 2＋ 1 y= － 2x 式为 ，它是由抛物线 2 y=－2x 向 上 平移 1 个单位 得到的．