高考数学一轮复习《几何概型》新人教a版必修
高考数学一轮复习考点规范练55几何概型含解析新人教A版
考点规范练55 几何概型基础巩固1.(2021全国Ⅰ,文7)在区间(0,12)随机取1个数,则取到的数小于13的概率为( ) A.34 B.23 C.13 D.16答案:B解析:所求事件的概率P=13-012-0=23.2.若将一个质点随机地投入到如图所示的长方形ABCD 中,其中AB=2,BC=1,则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是( )A.π2 B.π4C.π6D.π8答案:B 解析:所求概率为S 半圆S 长方形=12π·122×1=π4,故选B .3.“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何?”其意思是:有一个正方形的池塘,池塘的边长为一丈,有一棵芦苇生长在池塘的正中央,露出水面一尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐(如图所示),问水有多深?芦苇有多长?其中一丈为十尺.若从该芦苇上随机取一点,则该点取自水上的概率为( )A.1213 B.113C.314D.213答案:B解析:设水深为x 尺,根据勾股定理可得(x+1)2=x 2+52,解得x=12,则水深12尺,芦苇长13尺.根据几何概型概率公式可得,从该芦苇上随机取一点,该点取自水上的概率为P=113,故选B.4.某人从甲地去乙地共走了500 m,途经一条宽为x m的河流,该人不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品未掉在河里,则能找到,已知该物品能被找到的概率为45,则河宽大约为()A.80 mB.50 mC.40 mD.100 m答案:D解析:由长度型的几何概型公式结合题意可知,河宽大约为500×(1-45)=100(m).5.已知在△ABC中,∠ABC=60°,AB=2,BC=6,在BC上任取一点D,则使△ABD为钝角三角形的概率为()A.16B.13C.12D.23答案:C解析:如图,当BE=1时,∠AEB为直角,则点D在线段BE(不包含B,E点)上时,△ABD为钝角三角形;当BF=4时,∠BAF为直角,则点D在线段CF(不包含C,F点)上时,△ABD为钝角三角形.故△ABD为钝角三角形的概率为1+26=12.6.有一个长、宽分别为50 m,30 m的游泳池,一名工作人员在池边巡视,某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心(对角线的交点)处呼唤工作人员,其声音可传出15√2 m,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是()A.34B.38C.3π16D.12+3π32答案:B解析:如图,工作人员在池边巡视的长度为160,工作人员能及时听到呼唤的长度为30+30=60,故所求的概率为60160=38.7.若在区间[-1,1]上随机取一个数x ,则sin πS 4的值介于-12与√22之间的概率为( )A.14 B.13C.23D.56答案:D解析:∵-1≤x ≤1,∴-π4≤πS 4≤π4.由-12≤sinπS 4≤√22, 得-π6≤πS 4≤π4,则-23≤x ≤1.故所求事件的概率为1-(-23)1-(-1)=56.8.记函数f (x )=√6+S -S 2的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x ,则x ∈D 的概率是 . 答案:59解析:由6+x-x 2≥0,即x 2-x-6≤0得-2≤x ≤3,所以D=[-2,3]⊆[-4,5].由几何概型的概率公式得x ∈D 的概率P=3-(-2)5-(-4)=59,答案为59.9.记集合A={(x ,y )|x 2+y 2≤4}和集合B={(x ,y )|x+y-2≤0,x ≥0,y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2,若在区域Ω1内任取一点M (x ,y ),则点M 落在区域Ω2的概率为 .答案:12π解析:作圆O :x 2+y 2=4,区域Ω1就是圆O 内部(含边界),其面积为4π,区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界),其面积为2,因此所求概率为24π=12π.10.在圆C :(x-3)2+y 2=3上任取一点P ,则锐角∠COP<π6(O 为坐标原点)的概率是 .答案:23解析:当∠COP=π6时,直线OP 的方程为x ±√3y=0,圆心C 到直线OP 的距离d=32.又圆C 的半径为√3,此时弦所对的圆心角为π3,所以所求概率P=1-π3×22π=23.能力提升11.在区间[-1,1]上随机取一个数k ,使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1不相交的概率为( ) A.34 B.23C.12D.13答案:C 解析:要使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1相交,应满足√52√≥1,解得-12≤k ≤12,所以在区间[-1,1]上随机取一个数k ,使直线y=kx+√52与圆x 2+y 2=1不相交的概率为P=12+121+1=12.故选C .12.如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(阴影部分)围成一个大正方形,中间空出一个小正方形组成的图形.若在大正方形内随机取一点,该点落在小正方形的概率为15,则图中直角三角形较大锐角的正弦值为( )A.√55B.2√55C.15D.√33答案:B解析:设小正方形的边长为1,直角三角形的直角边长分别为x ,1+x ,√S 2+(1+S )2. 由几何概型可得12S 2+(1+S )2=15,解得x=1(x=-2(舍)),所以直角三角形的边长分别为1,2,√5,直角三角形较大锐角的正弦值为√5=2√55,故选B .13.已知函数f (x )=x 2+bx+c ,其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )满足条件{S (2)≤12,S (-2)≤4为事件A ,则事件A 发生的概率为( ) A.14 B.58 C.12 D.38答案:C 解析:由题意, 得{4+2S +S ≤12,4-2S +S ≤4,0≤S ≤4,0≤S ≤4,即{2S +S -8≤0,2S -S ≥0,0≤S ≤4,0≤S ≤4,表示的区域(阴影部分)如图所示,可知阴影部分的面积为8, 所以所求概率为12,故选C .14.设点(a ,b )是区域{S +S -4≤0,S >0,S >0内的任意一点,则使函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内是增函数的概率为 . 答案:13解析:作出不等式组{S +S -4≤0,S >0,S >0所对应的平面区域如图△AOB 区域,可知符合条件的点所构成的区域面积为S △AOB =12×4×4=8. 若f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内是增函数,则{S >0,--2S 2S=S S ≤12,即{S >0,S -2S ≥0.则A (0,4),B (4,0), 由{S +S -4=0,S -2S =0得{S =83,S =43.即C (83,43). 则使函数f (x )=ax 2-2bx+3在区间[12,+∞)内为增函数的点(a ,b )所构成的区域为△OBC ,其面积为12×4×43=83.故所求的概率为838=13.15.如图,在Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=1,BC=2.在边BC 上任取一点M ,则∠AMB ≥90°的概率为 .答案:14解析:如图,在Rt △ABC 中,作AD ⊥BC ,D 为垂足,由题意可得BD=12,且点M 在BD 上时,满足∠AMB ≥90°,故所求概率为SSSS=122=14.16.张先生订了一份报纸,送报人在早上6:30~7:30之间把报纸送到他家,张先生离开家去上班的时间在早上7:00~8:00之间,则张先生在离开家之前能得到报纸的概率是 . 答案:78解析:以横坐标x 表示报纸送到时间,纵坐标y 表示张先生离家时间,建立如图所示的平面直角坐标系.因为随机试验落在正方形区域内任何一点是等可能的,所以符合几何概型.根据题意只要点落到阴影部分,就表示张先生在离开家前能得到报纸,故所求的概率为1×1-12×12×121×1=78.高考预测17.若不等式x 2+y 2≤2所表示的平面区域为M ,不等式组{S -S ≥0,S +S ≥0,S ≥2S -6表示的平面区域为N ,现随机向区域N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域M 内的概率为 . 答案:π24解析:分别作出平面区域M 和平面区域N 如图所示,可知平面区域M 与平面区域N 重叠部分的面积为14π(√2)2=π2,平面区域N 的面积为12×3×2+12×3×6=12,故所求的概率为12π12=π24.。
高考数学一轮复习 9.6几何概型讲解与练习 理 新人教A版
高考数学一轮复习 9.6几何概型讲解与练习理新人教A版[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2.了解集合概型的意义.几何概型是高考的一个重点，多以选择题或填空题的形式考查，并进一步强调知识间的横向联系，如2012年福建T6.[归纳·知识整合]1．几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．[探究] 1.几何概型有什么特点？提示：几何概型的特点：①无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个．②等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．2．几何概型和古典概型有什么区别？提示：几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限个，而几何概型的基本事件则有无限个．2．几何概型的概率公式P(A)＝构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.[自测·牛刀小试]1．容量为400 mL的培养皿里装满培养液，里面有1个细菌，从中倒出20 mL的培养液，则细菌被倒出的概率是( )A.1200B.120C.1400D.140解析：选B 细菌被倒出的概率为P＝20400＝120.2．已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )A.110B.19C.111D.18解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成所求事件的区域长度为1 min ，故P ＝110.3．某人向一个半径为6的圆形靶射击，假设他每次射击必定中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射中靶点与靶心的距离小于2的概率为( )A.113B.19C.14D.12解析：选B 射中区域的面积与整个圆形靶的面积的比值是19.4．点A 为周长等于3的圆周上一个定点，若在该圆周上随机取一点B ，则劣弧AB 的长度小于1的概率为________．解析：试验的全部结果构成的区域长度为3，所求事件发生的区域长度为2，故所求的概率为P ＝23.答案：235．如图所示，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为________．解析：根据随机模拟的思想，这个面积是10×200－114200＝4.3.答案：4.3与长度有关的几何概型[例1] (2012·辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45[自主解答] 设AC ＝x cm ，CB ＝(12－x )cm,0<x <12，所以矩形面积大于20 cm 2即为x (12－x )>20，解得2<x <10，故所求概率为812＝23. [答案] C在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C ，并以线段AC 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm 2与81 cm 2之间的概率是多少？解：面积为36 cm 2时，边长AC ＝6，面积为81 cm 2时，边长AC ＝9，故P ＝9－612＝312＝14.——————————————————— 求解与长度有关的几何概型的两点注意(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比； (2)求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度．1．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上随机取一个数x ，则cos x 的值介于0到12之间的概率为________． 解析：当－π2≤x ≤π2时，由0≤cos x ≤12，得－π2≤x ≤－π3或π3≤x ≤π2，根据几何概型概率公式得所求概率为13.答案：132．已知集合A ＝{x |－1<x <5}，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －23－x >0，在集合A 中任取一个元素x ，则事件“x ∈A ∩B ”的概率是________．解析：由题意得A ＝{x |－1<x <5}，B ＝{x |2<x <3}，由几何概型知，在集合A 中任取一个元素x ，则x ∈A ∩B 的概率为P ＝16.6与面积(体积)有关的几何概型[例2] (1)已知平面区域U ＝{(x ，y )|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y )|x ≤4，y ≥0，x －2y ≥0}，若向区域U 内随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率为________．(2)(2012·湖北高考)如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )A.12－1πB.1π C ．1－2πD.2π[自主解答] (1)依题意可在平面直角坐标系中作出集合U 与A 所表示的平面区域(如图)，由图可知S U ＝18，S A ＝4，则点P 落入区域A的概率为P ＝S A S U ＝29.(2)设OA ＝OB ＝r ，则两个以r 2为半径的半圆的公共部分面积为2⎣⎢⎡⎦⎥⎤14π·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22＝π－2r 28，两个半圆外部的阴影部分面积为14πr 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12π⎝ ⎛⎭⎪⎫r 22×2－π－2r 28＝π－2r28，所以所求概率为2×π－2r 2814πr 2＝1－2π.[答案] (1)29 (2)C——————————————————— 求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，以求面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到实验全部结果构成的平面图形，以便求解．3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )33C.23D．无法计算解析：选B 由几何概型知，S阴S正方形＝23，故S阴＝23×22＝83.4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x≤0，－1≤y≤2，x－y－1≥0表示的平面区域为M，(x－4)2＋y2≤1表示的平面区域为N，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N内的概率是________．解析：如图所示：P＝12×π×1212×1＋4×3＝π15.答案：π15与角度有关的几何概型[例3] 如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．[自主解答] 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为60°360°＝16.[答案]16———————————————————求解与角度有关的几何概型的注意点当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，切不可用线段代替，这是两种不同的度量手段．5．如图，M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是________．解析：连接圆心O 与M 点，作弦MN 使∠MON ＝90°，这样的点有两个，分别记为N 1，N 2，仅当点N 在不包含点M 的半圆弧上取值时，满足MN >2R ，此时∠N 1ON 2＝180°，故所求的概率为180°360°＝12. 答案：121条规律——对几何概型概率公式中“测度”的认识几何概型的概率公式中的“测度”只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法．2种方法——判断几何概型中的几何度量形式的方法 (1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系；(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域.创新交汇——几何概型与定积分的完美结合1．几何概型是近几年高考的热点之一，主要考查形式有两种：一是以实际问题为背景直接考查与长度、面积有关的几何概型的概率求解，多涉及三角形、矩形、圆等平面图形的计算；二是与定积分、解析几何、函数、立体几何、线性规划、等知识交汇命题．2．解决此类问题关键是理解几何概型的含义及其求法原理，并熟练掌握相关知识． [典例] (2012·福建高考)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17[解析] 阴影部分的面积为∫10(x －x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2|10＝23－12＝16，利用几何概型公式得，P ＝S 阴影S 正方形＝161＝16. [答案] C [名师点评]1．本题有以下创新点(1)考查方式的创新：对于定积分的考查，由常规方式转换为以几何概型为载体考查定积分的计算；(2)考查内容的创新：本题将几何概型与定积分求面积完美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性．2．解决本题的关键点解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，再利用几何概型公式求解． 3．在解决以几何概型为背景的创新交汇问题时，应注意以下两点(1)要准确判断一种概率模型是否是几何概型，为此必须了解几何概型的含义及特征； (2)运用几何概型的概率公式时，注意验证事件是否等可能性． [变式训练](2013·沈阳模拟)设集合A ＝{(x ，y )||x |＋|y |≤2}，B ＝{(x ，y )∈A |y ≤x 2}，从集合A 中随机地取出一个元素P (x ，y )，则P ∈B 的概率是________．解析：在直角坐标系中分别作出集合A ，B 所表示的区域，从集合A 中随机地取出一个元素P (x ，y )，则P ∈B 的区域为图中阴影部分，由定积分知识可求得阴影部分的面积为2⎝⎛⎭⎪⎫∫ 10x 2d x ＋12＋2＝173，则从集合A 中随机地取出一个元素P (x ，y )，则P ∈B 的概率为1738＝1724.答案：1724一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．取一根长度为4 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m。
高三数学一轮复习 第五部分 第2讲 几何概型(艺术班)新人教A版
第五章 概率第2讲 几何概型一、必记2个知识点1．几何概型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的概率公式：P(A)＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积二、必明1个易误区易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发生是等可能的，不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．三、必会3个方法几何概型的常见类型的判断方法(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)1．(2013·石家庄模拟)在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A.14B.13C.12D.32解析：选C 如图，设圆的半径为r ，圆心为O ，AB 为圆的一条直径，CD 为垂直AB 的一条弦，垂足为M ，若CD 为圆内接正三角形的一条边，则O 到CD 的距离为r 2，设EF 为与CD 平行且到圆心O 距离为r 2的弦，交直径AB 于点N ，所以当过AB 上的点且垂直AB 的弦的长度超过CD 时，该点在线段MN 上变化，所以所求概率P ＝r 2r ＝12. 2.(2013·北京西城模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，则OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：163．(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．解析：因为0≤a≤1，由3a －1>0得13<a≤1，由几何概型的概率公式得，事件“3a －1>0”发生的概率为1－131＝23.答案：23[类题通法]求与长度(角度)有关的几何概型的概率的方法是把题中所表示的几何模型转化为长度(角度)．然后求解，要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度、角度)[典例] 过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( )A.18B.116C.127D.2764[解析] 根据几何概型知识，概率为体积之比，即P ＝－43＝18.[答案] A [针对训练]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 解析：选B 正方体的体积为：2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为：12×43πr3＝12×43π×13＝23π，则点P 到点O 的距离大于1的概率为：1－23π8＝1－π12.与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一，归纳起来常见的命题角度有：(1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划知识交汇命题的问题；(3)与平面向量的线性运算交汇命题的问题角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1．(2013·陕西高考)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )A ．1－π4 B.π4－1 C ．2－π4 D.π4解析：选A 由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12×π×12＝π2，矩形面积为2，则所求概率为2－π22＝1－π4. 角度二 与平面向量的线性运算交汇命题的问题3．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB ＋PC ＋2PA ＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )A.14B.13C.23D.12解析：选D 由题意可知，点P 位于BC 边的中线的中点处．记黄豆落在△PBC 内为事件D ，则P(D)＝S △PBC S △ABC ＝12. 课后作业[试一试]1．在长为6 m 的木棒AB 上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离大于2 m ，∴P ＝26＝13. 2．四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8D ．1－π8解析：选B 如图，要使图中的点到O 的距离大于1，则该点需取在图中阴影部分，故概率为P ＝2－π22＝1－π4. [练一练]1.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________． 解析：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2＝23，∴S ＝83.答案：83 2．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x2－4x≤0，－1≤y≤2，x －y －1≥0，表示的平面区域为M ，(x －4)2＋y2≤1表示的平面区域为N ，现随机向区域内抛一粒豆子，则该豆子落在平面区域N 内的概率是________．解析：如图所示：P ＝12×π×1212＋＝π15.答案：π15 [做一做]1．已知△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，则使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A.16B.13C.12D.23解析：选C 如图，当BE ＝1时，∠AEB 为直角，则点D 在线段BE(不包含B ，E 点)上时，△ABD 为钝角三角形；当BF ＝4时，∠BAF 为直角，则点D 在线段CF(不包含C ，F 点)上时，△ABD 为钝角三角形．所以△ABD 为钝角三角形的概率为1＋26＝12. 2．在区间[－5,5]内随机地取出一个数a ，则恰好使1是关于x 的不等式2x2＋ax －a2<0的一个解的概率为( )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7解析：选D 由已知得2＋a －a2<0，解得a>2或a<－1.故当a ∈[－5，－1)∪(2,5]时，1是关于x 的不等式2x2＋ax －a2<0的一个解．故所求概率为P ＝－1＋＋－5－－＝710＝0.7. 3．(2014·淄博模拟)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为( )A.14B.13C.427D.415解析：选A 正方形的面积为36 cm2时，边长AM ＝6，面积为81 cm2时，边长AM ＝9，∴P ＝9－612＝312＝14.4．(2013·海淀模拟)在一个边长为1 000米的正方形区域的每个顶点处都设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆破点，则爆破点距离监测站200米内都可以被监测到，那么随机投放一个爆破点被监测到的概率为________．解析：根据题几何概型得所求的概率为P ＝＝π25.答案：π255．(2013·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y)．(1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率；(2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率．解：(1)设“a ∥b”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y.基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P(A)＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16. (2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b ＜0，即2x ＋y ＜0，且x≠2y.基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧ ，⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2，－1≤y≤1.B ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，⎪⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x≤2，－1≤y≤1，2x ＋y ＜0，x≠2y.则由图可知，P(B)＝μB μΩ＝1212＋323×2＝13. 即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13. [提升考能]1．用一平面截一半径为5的球得到一个圆面，则此圆面积小于9π的概率是( ) A.45 B.15 C.13 D.12解析：选B 依题意得截面圆面积为9π的圆半径为3，球心到该截面的距离等于4，球的截面圆面积小于9π的截面到球心的距离大于4，因此所求的概率等于5－45＝15. 2．函数f(x)＝x2－x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x0∈[－5,5]，使f(x0)≤0的概率是( )A ．1 B.23 C.310 D.25解析：选C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解，当x0∈[－1,2]时，f(x0)≤0，则所求概率P ＝2－－5－－＝310. 3.如图，M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长度超过2R 的概率是( )A.15B.14C.13D.12解析：选D 由题意知，当MN ＝2R 时，∠MON ＝π2，所以所求概率为2×π22×π＝12.4.如图，圆的直径是正方形边长的一半，圆位于正方形的内部．现随意地将飞镖掷向正方形内，则飞镖击中圆面部分的概率是( )A.16B.13C.π12D.π16解析：选D 设圆的半径为1，则正方形的边长为4，有正方形的面积为16，圆的面积为π，根据题意，飞镖击中圆面部分的概率即圆的面积与正方形的面积比，即其概率为π16，选D.5．(2014·惠州调研)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为( ) A.12 B.1532 C.1732 D.3132解析：选B 方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆，故⎩⎪⎨⎪⎧ a2＞b2，e ＝c a ＝a2－b2a ＜32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a2＞b2，a2＜4b2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b ，a ＜2b ， 又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式组的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故所求的概率P ＝S 阴影2×4＝1532. 6．(2013·昆明质检)在区间[0,10]上任取一个实数a ，使得不等式2x2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立的概率为________．解析：要使2x2－ax ＋8≥0在(0，＋∞)上恒成立，只需ax≤2x2＋8，即a≤2x ＋8x在(0，＋∞)上恒成立．又2x ＋8x≥216＝8，当且仅当x ＝2时等号成立，故只需a≤8，因此0≤a≤8.由几何概型的概率计算公式可知所求概率为8－010－0＝45.答案：45 7．已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．若从袋子中随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b.(ⅰ)记“a ＋b ＝2”为事件A ，求事件A 的概率；(ⅱ)在区间[0,2]内任取2个实数x ，y ，求事件“x2＋y2＞(a －b)2恒成立”的概率．解：(1)依题意n n ＋2＝12，得n ＝2. (2)(ⅰ)记标号为0的小球为s ，标号为1的小球为t ，标号为2的小球为k ，h ，则取出2个小球的可能情况有：(s ，t)，(s ，k)，(s ，h)，(t ，s)，(t ，k)，(t ，h)，(k ，s)，(k ，t)，(k ，h)，(h ，s)，(h ，t)，(h ，k)，共12种，其中满足“a ＋b ＝2”的有4种：(s ，k)，(s ，h)(k ，s)，(h ，s)．所以所求概率为P(A)＝412＝13. (ⅱ)记“x2＋y2＞(a －b)2恒成立”为事件B ，则事件B 等价于“x2＋y2＞4恒成立”，(x ，y)可以看成平面中的点的坐标，则全部结果所构成的区域为Ω＝{(x ，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x ，y ∈R}，而事件B 构成的区域为B ＝{(x ，y)|x2＋y2＞4，(x ，y)∈Ω}．所以所求的概率为P(B)＝1－π4.。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：9.6 几何概型 Word版含答案
第六节 几何概型几何概型(1)了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． (2)了解几何概型的意义．知识点 几何概型 1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个． (2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性． 3．几何概型的概率公式 P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).易误提醒 易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的．[自测练习]1．有一根长为1米的细绳，随机将细绳剪断，则使两截的长度都大于18米的概率为( )A.34B.13C.12D.23解析：如图，将细绳八等分，C ，D 分别是第一个和最后一个等分点，则在线段CD 的任意位置剪断，得到的两截细绳长度都大于18米(C 、D 两点除外)．由几何概型的计算公式可得，两截的长度都大于18米的概率为P ＝681＝34.答案：A2．在区间[－2,3]上随机选取一个数X ，则X ≤1的概率为( )A.45B.35C.25D.15解析：区间[－2,3]的长度为5，区间[－2,1]的长度为3，因此P (X ≤1)＝35，选B.答案：B3．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为________．解析：设阴影区域的面积为S ，则S 2×2＝23，∴S ＝83.答案：83考点一 与长度(角度)有关的几何概型|1．(2016·韶关调研)在区间[0,2]之间随机抽取一个数x ，则x 满足2x －1≥0的概率为( ) A.34 B.12 C.14 D.13解析：区间[0,2]看作总长度为2，区间[0,2]中满足2x －1≥0的只有⎣⎡⎦⎤12，2，长度为32，P ＝322＝34. 答案：A2．(2015·高考重庆卷)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．解析：设方程x 2＋2px ＋3p －2＝0的两个根分别为x 1，x 2，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，结合0≤p ≤5，解得23<p ≤1或2<p ≤5，所以所求概率P ＝⎝⎛⎭⎫1－23＋(5－2)5＝23. 答案：233.如图所示，在直角坐标系内，射线OT 落在30°角的终边上，任作一条射线OA ，则射线OA 落在∠yOT 内的概率为________．解析：如题图，因为射线OA 在坐标系内是等可能分布的，所以OA 落在∠yOT 内的概率为60360＝16.答案：16(1)与长度有关的几何概型：如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为 P (A )＝构成事件A 的区域长度试验的全部结果所构成的区域长度.(2)与角度有关的几何概型：当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段．考点二 与体积相关的几何概型|在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．[解析] 由题意，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点，满足几何概型，记“点P 到点O 的距离大于1”为事件A ，则事件A 发生时，点P 位于以O 为球心，以1为半径的半球外．又V 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1＝23＝8，V 半球＝12·43π·13＝23π，∴所求事件概率P (A )＝8－23π8＝1－π12.[答案] 1－π12对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为( )A ．0.008B ．0.004C ．0.002D ．0.005解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P (A )＝2400＝0.005. 答案：D考点三 与面积有关的几何概型|与面积有关的几何概型是近几年高考的热点之一．归纳起来常见的命题角度有： 1．与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题． 2．与线性规划交汇命题的问题． 3．与定积分交汇命题的问题．探究一 与三角形、矩形、圆等平面图形面积有关的问题1．(2015·湖北八校二联)记集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}和集合B ＝{(x ，y )|x ＋y －2≤0，x ≥0，y ≥0}表示的平面区域分别为Ω1和Ω2，若在区域Ω1内任取一点M (x ，y )，则点M 落在区域Ω2的概率为________．解析：作圆O ：x 2＋y 2＝4，区域Ω1就是圆O 内部(含边界)，其面积为4π，区域Ω2就是图中△AOB 内部(含边界)，其面积为2，因此所求概率为24π＝12π.答案：12π探究二 与线性规划交汇命题的问题2．(2015·高考湖北卷)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析：x ，y ∈[0,1]，事件“x ＋y ≥12”表示的区域如图(1)中阴影部分S 1，事件“|x －y |≤12”表示的区域如图(2)中阴影部分S 2，事件“xy ≤12”表示的区域如图(3)中阴影部分S 3.由图知，阴影部分的面积S 2<S 3<S 1，正方形的面积为1×1＝1.根据几何概型的概率计算公式，可得p 2<p 3<p 1.答案：B探究三与定积分交汇命题的问题3．(2015·高考福建卷)如图，点A的坐标为(1,0)，点C的坐标为(2,4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析：依题意知点D的坐标为(1,4) ，所以矩形ABCD的面积S＝1×4＝4，阴影部分的面积S阴影＝4－⎠⎛12x2d x＝4－13x3|21＝4－73＝53，根据几何概型的概率计算公式得，所求的概率P＝S阴影S＝534＝512.答案：512求解与面积有关的几何概型的注意点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．22.混淆长度型与面积型几何概型致误【典例】在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．[解析]设x、y表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用0<x<1,0<y<1,0<x＋y<1，即(x，y)对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y>1－x －y ，1－x －y>x －y ，1－x －y>y －x ，所以x<12，y<12，且x ＋y>12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14. [答案] 14[易误点评] 不能正确理解题意，无法找出准确的几何度量来计算概率． [防范措施] 解决几何概型问题的易误点：(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型，导致错误．(2)利用几何概型的概率公式时，忽视验证事件是否具有等可能性，导致错误．[跟踪练习] 在等腰直角三角形ABC 中，D 为斜边AB 上任意一点，则AD 的长小于AC 的长的概率为( )A.12 B ．1－22C.22D. 2解析：依题意得知，所求的概率等于12＝22，选C. 答案：CA 组 考点能力演练1．已知点P ，Q 为圆C ：x 2＋y 2＝25上的任意两点，且|PQ |<6，若PQ 中点组成的区域为M ，在圆C 内任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.35 B.925 C.1625D.25解析：PQ 中点组成的区域M 如图阴影部分所示，那么在C 内部任取一点落在M 内的概率为25π－16π25π＝925，故选B. 答案：B2．已知正三棱锥S -ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P-ABC <12V S -ABC 的概率是( ) A.78 B.34 C.12D.14解析：当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P -ABC <12V S -ABC . 由几何概型知，所求概率为P ＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78. 答案：A3．(2016·石家庄一模)在区间[0,1]上任取两个数，则这两个数之和小于65的概率是( )A.1225B.1625C.1725D.1825解析：设这两个数分别是x ，y ，则总的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1， 确定的平面区域，所求事件包含的基本事件构成的区域是⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤1，x ＋y <65，确定的平面区域，如图所示，阴影部分的面积是1－12×⎝⎛⎭⎫452＝1725，所以这两个数之和小于65的概率是1725.答案：C4.如图，长方形的四个顶点为O (0,0)，A (4,0)，B (4,2)，C (0,2)，曲线y ＝x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中，则该电子元件落在图中阴影区域的概率是( )A.512B.12C.23D.34解析：图中阴影部分是事件A 发生的区域，其面积S 阴＝⎠⎛04x d x ＝23x 32| 40＝163，S 长方形＝4×2＝8，∴所求概率P ＝S 阴S 长方形＝1638＝23.故选C.答案：C5．在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S4的概率为( )A.14B.34C.49D.916解析：设AB 、AC 上分别有点D 、E 满足AD ＝34AB 且AE ＝34AC ，则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝34BC .∵点A 到DE 的距离等于点A到BC 的距离的34，∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的14.当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S4，∴所求概率为S △ADE S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫342＝916，故选D.答案：D6．已知线段AC ＝16 cm ，先截取AB ＝4 cm 作为长方体的高，再将线段BC 任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm 3的概率为________．解析：依题意，设长方体的长为x cm ，则相应的宽为(12－x ) cm ，由4x (12－x)>128得x 2－12x ＋32<0,4<x <8，因此所求的概率等于8－412＝13.答案：137．一只昆虫在边长分别为5,12,13的三角形区域内随机爬行，则其到三角形顶点的距离小于2的地方的概率为________．解析：本题考查几何概率的计算．如图所示，该三角形为直角三角形，其面积为12×5×12＝30，阴影部分的面积为12×π×22＝2π，所以其概率为2π30＝π15. 答案：π158．(2015·广州调研)在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足∠AMB >90°的概率为________．解析：如图，如果M 点位于以AB 为直径的半圆内部，则∠AMB >90°，否则，M 点位于半圆上及空白部分，则∠AMB ≤90°，所以∠AMB >90°的概率P ＝12×π×1222＝π8.答案：π89．若在区间[－5,5]内任取一个实数a ，求使直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝2有公共点的概率．解：若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d ＝|1－2＋a |2＝|a －1|2≤ 2，解得－1≤a ≤3.又a ∈[－5,5]，故所求概率为410＝25.10．(2016·济南调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，y )． (1)若x ∈{－1,0,1,2}，y ∈{－1,0,1}，求向量a ∥b 的概率； (2)若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a ，b 的夹角是钝角的概率． 解：(1)设“a ∥b ”为事件A ，由a ∥b ，得x ＝2y .基本事件空间为Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)}，共包含12个基本事件；其中A ＝{(0,0)，(2,1)}，包含2个基本事件．则P (A )＝212＝16，即向量a ∥b 的概率为16.(2)设“a ，b 的夹角是钝角”为事件B ，由a ，b 的夹角是钝角，可得a·b <0，即2x ＋y <0，且x ≠2y .基本事件空间为Ω＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，B ＝⎩⎨⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤x ≤2，－1≤y ≤1，2x ＋y <0，x ≠2y ，则由图可知，P (B )＝μB μΩ＝12×⎝⎛⎭⎫12＋32×23×2＝13，即向量a ，b 的夹角是钝角的概率是13.B 组 高考题型专练1．(2015·高考山东卷)在区间[0,2]上随机地取一个数x ，则事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为( )A.34B.23C.13D.14解析：由－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1得log 12 2≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤log 12 12，所以12≤x ＋12≤2，解得0≤x ≤32，故事件“－1≤log 12⎝⎛⎭⎫x ＋12≤1”发生的概率为322＝34.故选A. 答案：A2．(2015·高考福建卷)如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)，且点C 与点D 在函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，－12x ＋1，x <0的图象上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( )A.16B.14C.38D.12解析：依题意得，点C 的坐标为(1,2)，所以点D 的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD 的面积S 矩形ABCD ＝3×2＝6，阴影部分的面积S 阴影＝12×3×1＝32，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P ＝S 阴影S 矩形ABCD ＝326＝14，故选B.答案：B3．(2015·高考陕西卷)设复数z ＝(x －1)＋y i(x ，y ∈R )，若|z |≤1，则y ≥x 的概率为( ) A.34＋12π B.12＋1π C.12－1π D.14－12π解析：复数|z |≤1对应的区域是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆及其内部，图中阴影部分表示在圆内(包括边界)且满足y ≥x 的区域，该区域的面积为14π－12×1×1＝14π－12，故满足y ≥x 的概率为14π－12π×12＝14淘宝店铺：漫兮教育－12π，故选D. 答案：D4．(2014·高考湖北卷)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78解析：区域Ω1为直角△AOB 及其内部，其面积S △AOB ＝12×2×2＝2.区域Ω2是直线x ＋y ＝1和x ＋y ＝－2夹成的条形区域．由题意得所求的概率P ＝S 四边形AODC S △AOB＝2－142＝78.故选D. 答案：D。
高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第10章第6节几何概型含解析.doc
第六节几何概型［考纲传真］1 .了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义・抓基础•自主学习林•双基自主测i耳知识梳理1.几何概型的定义如杲每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型.2.几何概型的两个基本特点⑴无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个.（2）等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性.3.几何概型的概率公式构成事件力的区域长度（而积或体积）尸⑺）—试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）.学情自测1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“厂，错误的打“X”）（1）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.（）（2）从区间［1,10］内任取一个数，取到1的概率是需.（）（3）概率为0的事件一定是不可能事件.（）（4）在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形.（）［答案］（1）V （2）X⑶X⑷丁2.（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球, 若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是A B C DA [P(^l) = | , P(B) = l , P(C) = | , P(D) = l ,：・ P(A)>P(C)二 P(D)>P(B)・］3.(2016-全国卷II)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一•名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A-ioc iB ［如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯.AB长度为40 - 15 = 25 ,由几何概型的概率公式知，至少40 ・ 15 5需要等待15秒才出现绿灯的概率为-^― = | ,故选B.J40；亠I 15「A B C4.(2017-唐山检测)如图10・6・1所示，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，冇180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为0. 18 ［由题意知,f = _S = 018-T S 正=1 z S阴=0.18.]点，则此点到坐标原点的距离人于2的概率是7T1—扌［如图所示,区域。
高考数学第一轮复习 第十一篇 第3讲 几何概型课件 理 新人教A版
规律方法
与体积有关(yǒuguān)的 几何概型
很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转 化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根 据(gēnjù)问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化 解几何概型试题的关键．
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训练 3 如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，在正方体内随机 取点 M，则使四棱锥 M-ABCD 的体积小于16的概率为__12______．
规律方法
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【训练 1】(1)(2014·淄博二模)设 P 在[0,5]上随机地取值,则关于 x 的
方程 x2＋px＋1＝0 有实数根的概率为( A )．A．15 B．25 C．35 D．45
(2)如图，四边形 ABCD 为矩形，AB＝ 3，BC＝1，以 A 为圆心， 1AP为与半线径段作四BC分有之公一共个点圆的弧概D率E为 ，在__∠13_._D__A_B_．内任作射线 AP，则射线
解（1）方程有实根，则 Δ＝p2－4≥0，解得 p≥2 或 p≤－2(舍去)． 所以所求概率为 55－ －20＝35.
（2）因为在∠DAB 内任作射线 AP，
则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线 AP”，
所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是∠DAB，
当射线 AP 与线段 BC 有公共点时，射线 AP 落在∠CAB 内，
解析 不等式组表示的平面区域如图 所示(阴影部分)， 其面积为12×32×13＋12×32×1＝32， 则所求概率为2×22 ＝38.
答案 B
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与体积(tǐjī)有关的几何概
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2020版高考数学一轮复习-第6讲几何概型教案(理)(含解析)新人教A版
第6讲几何概型基础知识整合1．几何概型(1)几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的□01长度(面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．(2)几何概型的两个基本特点2．几何概型的概率公式P(A)＝□04构成事件A的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积.几种常见的几何概型(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关．(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．(3)与体积有关的几何概型，可借助空间几何体的体积公式解答问题．1．(2019·大连模拟)在长为6 m 的木棒上任取一点P ，使点P 到木棒两端点的距离都大于2 m 的概率是( )A.14B.13C.12D.23 答案 B解析 将木棒三等分，当P 位于中间一段时，到两端A ，B 的距离都大于2 m ，∴P ＝26＝13.2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )A.14B.π8C.12D.π4 答案 B解析 不妨设正方形ABCD 的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，S 正方形＝4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝12S 圆＝π2，所以由几何概型知所求概率P ＝S 黑S 正方形＝π24＝π8.故选B.3．(2019·衡水中学调研)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内有一个内切球O ，则在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A.π4 B.π8 C.π6 D.π12答案 C解析 设正方体棱长为a ，则正方体的体积为a 3，内切球的体积为4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫a 23＝16πa 3，故M 在球O 内的概率为16πa 3a 3＝π6.4．某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过3分钟的概率是________．答案 35解析 本题可以看成向区间[0,5] 内均匀投点，设A ＝{某乘客候车时间不超过3分钟}，则P (A )＝区间[2，5]的长度区间[0，5]的长度＝35.5．在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.答案 3解析 由题意知m >0，当0<m <2时，－m ≤x ≤m ，此时所求概率为m －－m 4－－2＝56，解得m ＝52(舍去)；当2≤m <4时，所求概率为m －－24－－2＝56，解得m ＝3；当m ≥4时，概率为1，不符合题意，故m ＝3.6．(2019·保定调研)在区间[－1,1]内随机取两个实数x ，y ，则满足y ≥x －1的概率是________．答案 78解析 点(x ，y )分布在如图所示的正方形区域内，画出x －y －1≤0表示的区域(图中阴影部分)，可知所求的概率为1－124＝78.核心考向突破考向一 与长度有关的几何概型例1 (1)(2019·上海模拟)在区间[－1,1]上随机取一个数k ，则直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点的概率为( )A.29B.36C.13D.33 答案 D解析 圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0,0)，圆心到直线y ＝k (x －2)的距离为|2k |k 2＋1.要使直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，则需|2k |k 2＋1<1，解得－33<k <33，所以在区间[－1,1]上随机取一个数k ，使直线y ＝k (x －2)与圆x 2＋y 2＝1有两个交点的概率P ＝33－⎝ ⎛⎭⎪⎫－331－－1＝33.故选D.(2)(2017·江苏高考)记函数f (x )＝6＋x －x 2的定义域为D .在区间[－4,5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是________．答案 59解析 由6＋x －x 2≥0，解得－2≤x ≤3，∴D ＝[－2,3]．如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D 的长度为5，∴P ＝59.触类旁通求解与长度有关的几何概型应注意的问题(1)求解几何概型问题，解题的突破口为弄清是长度之比、面积之比还是体积之比． 2求与长度有关的几何概型的概率的方法，是把题中所表示的几何模型转化为线段的长度，然后求解，应特别注意准确表示所确定的线段的长度.即时训练 1.(2019·河南濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A.215 B.715 C.35 D.1115答案 D解析 ∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ≥0，∴m ≤－4或m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－－6]＋9－09－－6＝1115.故选D.2．(2019·湖北武汉调研)在长为16 cm的线段MN上任取一点P，以MP，NP的长为邻边的长作一矩形，则该矩形的面积大于60 cm2的概率为( )A.14B.12C.13D.34答案 A解析设MP＝x cm,0<x<16，则NP＝(16－x) cm，由x(16－x)>60，得6<x<10，所以所求概率为P＝416＝14.故选A.考向二与面积有关的几何概型角度1 与平面图形面积有关的问题例2 (2018·全国卷Ⅰ)右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )A ．p 1＝p 2B ．p 1＝p 3C ．p 2＝p 3D ．p 1＝p 2＋p 3答案 A解析 不妨取AB ＝AC ＝2，则BC ＝22，所以区域Ⅰ的面积为S △ABC ＝2；区域Ⅲ的面积为π－2；区域Ⅱ的面积为π－(π－2)＝2，所以根据几何概型的概率公式，易得p 1＝p 2.故选A.角度2 与线性规划交汇的问题例3 (2019·湖北联考)在区间[0,4]上随机取两个实数x ，y ，使得x ＋2y ≤8的概率为( )A.14B.316C.619D.34 答案 D解析 如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，0≤y ≤4表示的平面区域为正方形OBCD 及其内部，x ＋2y ≤8(x ，y ∈[0,4])表示的平面区域为图中阴影部分，所以所求概率P ＝4×4－12×4×24×4＝34.故选D.角度3 与定积分交汇的问题 例4 (2019·甘肃武威阶段考试)如图所示的阴影区域由x 轴、直线x ＝1及曲线y ＝e x－1围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在非阴影区域的概率是( )A.1eB.1e －1C ．1－1eD ．1－1e －1答案 B解析 由题意，阴影部分的面积为⎠⎛01(e x－1)d x ＝(e x－x )|10＝e －2，∵矩形区域OABC 的面积为e －1，∴该点落在阴影区域的概率是e －2 e －1，故该点落在非阴影区域的概率为1e －1.触类旁通求解与面积有关的几何概型的关键点求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解．即时训练 3.(2019·四川成都模拟)《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：已知直角三角形的两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径为多少步．现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )A.3π10 B.3π20 C ．1－3π10 D ．1－3π20答案 D解析 直角三角形的斜边长为82＋152＝17，设内切圆的半径为r ，则8－r ＋15－r ＝17，解得r ＝3. ∴内切圆的面积为πr 2＝9π， ∴豆子落在内切圆外的概率P ＝1－9π12×8×15＝1－3π20.4．(2019·四川宜宾模拟)向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为________．答案 18解析 由题意可知阴影部分的面积为2⎠⎛01x 3d x ＝2×14x 4⎪⎪⎪1＝12，所以所求概率为P ＝122×2＝18. 5．(2019·福建三明模拟)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2－y 2b 2＝1表示离心率小于5的双曲线的概率为________． 答案 78解析 ∵双曲线的离心率小于5，∴1<e<5，∴1<c a<5，∴1<1＋b 2a 2<5，∴0<b 2a2<4，得b <2a (a >0，b >0)．它对应的平面区域如图中阴影部分所示，根据几何概型概率公式，得所求概率为P ＝12×3＋4×24×2＝78. 考向三 与体积有关的几何概型例5 (1)(2019·厦门模拟)在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( )A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6答案 B解析 正方体的体积为2×2×2＝8，以O 为球心，1为半径且在正方体内部的半球的体积为12×43πr 3＝12×43π×13＝2π3，则点P 到点O 的距离大于1的概率为1－2π38＝1－π12.故选B.(2)有一个底面半径为1，高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机抽取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．答案 23解析 圆柱的体积V 柱＝πR 2h ＝2π，半球的体积V 半球＝12×43πR 3＝2π3.∴圆柱内一点P到点O 的距离小于等于1的概率为13.∴点P 到点O 的距离大于1的概率为1－13＝23.触类旁通与体积有关的几何概型求法的关键点对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求．即时训练 6.已知正三棱锥S －ABC 的底面边长为4，高为3，则在正三棱锥内任取一点P ，则点P 满足V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC 的概率是________．答案 78解析 设三棱锥P －ABC 的高为h .由V 三棱锥P －ABC <12V 三棱锥S －ABC ，得13S △ABC ·h <12·13S △ABC ·3，解得h <32，即点P 在三棱锥的中截面以下的空间．∴点P 满足V三棱锥P －ABC<12V 三棱锥S －ABC的概率是P ＝1－13·14S △ABC ·3213S △ABC ·3＝78. 考向四 与角度有关的几何概型例6 (1)如图所示，在圆心角为90°的扇形中，以圆心O 为起点作射线OC ，则使得∠AOC 和∠BOC 都不小于15°的概率为( )A.14B.13C.12D.23答案 D解析 依题意可知∠AOC ∈[15°，75°]，∠BOC ∈[15°，75°]，故OC 活动区域为与OA ，OB 构成的角均为15°的扇形区域，可求得该扇形圆心角为(90°－30°)＝60°.P (A )＝OC 活动区域的圆心角度数∠AOB 的度数＝60°90°＝23. (2)(2019·鞍山模拟)过等腰Rt△ABC 的直角顶点C 在∠ACB 内部随机作一条射线，设射线与AB 相交于点D ，求AD <AC 的概率．解 在AB 上取一点E ，使AE ＝AC ，连接CE (如图)，则当射线CD 落在∠ACE 内部时，AD <AC .易知∠ACE ＝67.5°，∴AD <AC 的概率P ＝67.5°90°＝0.75.触类旁通与角度有关的几何概型的求解方法(1)若试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率公式为P (A )＝构成事件A 的区域角度试验的全部结果所构成区域的角度. 2解决此类问题时注意事件的全部结果构成的区域及所求事件的所有结果构成的区域，然后再利用公式计算.即时训练 7.如图所示，在△ABC 中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，求BM<1的概率．解 因为∠B ＝60°，∠C ＝45°，所以∠BAC ＝75°，在Rt △ABD 中，AD ＝3，∠B ＝60°，所以BD ＝AD tan60°＝1，∠BAD ＝30°. 记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式，得P (N )＝30°75°＝25.。
高考数学一轮复习 106几何概型课件 新人教A版
听 课 记 录 (1)如图，可设 AM ＝1， AN ＝1，根据题意只 要点B在优弧MAN上，劣弧AB的长度就小于1，由于点B在圆周上 的任意性，故这个概率是优弧MAN的长度与圆的周长之比，即这 个概率是23.
(2)在点C处任意选择一个方向继续直线游下去，可在360°区 域内活动，再游不超过10米就能够回到河岸AB，只能在60°区域 内活动，故所求的概率为P＝36600°°＝16.故选D.
基础自评
1．已知x是[－4,4]上的一个随机数，则使x满足x2＋x－2＜0 的概率为( )
1
3
A.2
B.8
5 C.8
D．0
解析 x2＋x－2＜0⇒－2＜x＜1，由几何概型的计算公式可 知选B.
答案 B
2．有一杯2 L的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从水中 取0.1 L水，则小杯水中含有这个细菌的概率为( )
1.理解几何概型的几何意义，掌握长度、面积、体积型几何概型 的解决方法． 2.注重知识间的横向联系，如与函数方程、线性规划等问题的联 系.
D 读教材·抓基础
回扣教材 扫除盲点
课本导读
1．几何概型 如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积) 成比例，而与A的形状和位置无关，则称这样的概率模型为几何 概型．
疑点清源 1．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认 识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握 “测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方 法．
2．两种常见几何概型 (1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时． (2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一 般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事 件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．
高考数学一轮复习 106 几何概型课件 理 新人教A版
• 最新考纲展示 • 1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． 2.
了解几何概型的意义．
• 一、几何概型
• 1．定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区 长域度的(面__积_或__体__积__)___________成比例，则称这样的概率模型 为几何概率模型，简称几何概型．
• 4．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取 出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概 率为( )
• A．0.008
B．0.004
• C．0.002
D．0.005
解析：大肠杆菌在 400 毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无
限个，属于几何概型．设取出 2 毫升水样有大肠杆菌为事件 A，则事件 A
• 一、几何概型的概念
• 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”)
• (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．( )
• (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等 的．( )
• (3)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何 区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会 相等．( )
与长度、角度有关的几何概型(自主探究) 例 1 (1)在集合 A＝{m|关于 x 的方程 x2＋mx＋34m＋1＝0 无实根}中 随机地取一元素 m，恰使式子 lg m 有意义的概率为________． (2)在区间[－2,4]上随机地取一个数 x，若 x 满足|x|≤m 的概率为56， 则 m＝________.
• 答案：C
• 二、几何概型的概率 • 3．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打
“×”) • (1)在一个正方形区域内任取一点的概率是零．( )
高考数学一轮复习 11.5 几何概型考点及自测 理 新人教A版.pdf
第5讲 几何概型 【2014年高考会这样考】 考查与长度或面积有关的几何概型，也可与二元一次不等式组所表示的平面区域相结合一起考查． 考点梳理 几何概型 (1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型． (2)特点：无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； 等可能性：每个结果的发生具有等可能性． (3)公式： P(A)＝. 【助学·微博】 一个判定标准 试验结果无限且等可能． 两种类型 (1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时． (2)面型几何概型：当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决． 考点自测 1．(2013·漳州一模)在区间[20,80]内随机任取一实数a，则实数a属于区间[50,75]的概率是( )． A. B. C. D. 解析 由几何概型概率计算公式可知 P＝＝＝. 答案 C 2．一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是( )． A. B. C. D. 解析 以时间的长短进行度量，故P＝＝. 答案 B 3．(2012·北京)设不等式组表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )． A. B. C. D. 解析 如图所示，正方形OABC及其内部为不等式组表示的区域D，且区域D的面积为4，而阴影部分表示的是区域D内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是.故选D. 答案 D 4．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为( )． A. B. C. D. 解析 阴影部分的面积为 (－x)dx＝＝. 故所求的概率P＝＝， 故选C. 答案 C 5.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为________． 解析 由几何概型知，＝，故S阴＝×22＝. 答案 考向一 与长度(角度)有关的几何概型 【例1】(1)已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为________． (2)如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝1，以A为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE，在DAB内任作射线AP，则射线AP与线段BC有公共点的概率为________． [审题视点] 解题的关键是确定构成事件的区域．(1)测度是“长度”；(2)测度是“角度”． 解析 (1)由题意可知，三角形的边长的和为5＋12＋13＝30，而蚂蚁要在离三个顶点的距离都大于1的地方爬行，则它爬行的区域长度为3＋10＋11＝24，根据几何概型的概率计算公式可得所求概率为＝. (2)因为在DAB内任作射线AP，则等可能基本事件为“DAB内作射线AP”，所以它的所有等可能事件所在的区域H是DAB，当射线AP与线段BC有公共点时，射线AP落在CAB内，区域h为CAB，所以射线AP与线段BC有公共点的概率为＝＝. 答案 (1) (2) 当涉及射线的转动，扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的度量手段． 【训练1】 (1)有一根长为1米的细绳子，随机从中间将细绳剪断，则使两截的长度都大于米的概率为________． (2)如图，在ABC中，B＝60°，C＝45°，高AD＝，在BAC内作射线AM交BC于点M，求BM<1的概率________． 解析 (1)所求概率 P＝＝. (2)B＝60°，C＝45°，BAC＝75°， 在RtADB中，AD＝，B＝60°， BD＝＝1，BAD＝30°. 记事件N为“在BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得BAM0，即a>b.在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝2－有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)． 由几何概型公式可得P(A)＝＝.故选B. 答案 B 二、填空题(每小题5分，共10分) 3．(2013·武汉一模)有一个底面圆的半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________． 解析 确定点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为，以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积为V＝2××π×13＝π，圆柱的体积为V＝Sh＝3π，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为V＝1－＝. 答案 4．(2012·烟台二模)已知正三棱锥S－ABC的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P，使得VP－ABC<VS－ABC的概率是________． 解析 三棱锥P－ABC与三棱锥S－ABC的底面相同，VP－ABC<VS－ABC就是三棱锥P－ABC的高小于三棱锥S－ABC的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC的面积为S，三棱锥S－ABC的高为h，则所求概率为：P＝＝. 答案 三、解答题(共25分) 5．(12分)(2013·深圳调研)设函数f(x)＝x2＋bx＋c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”发生的概率． (1)若随机数b，c{1,2,3,4}； (2)已知随机函数Rand( )产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b＝4 由f(x)＝x2＋bx＋c知，事件A“f(1)≤5且f(0)≤3”，即 (1)因为随机数b，c{1,2,3,4}，所以共等可能地产生16个数对(b，c)，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)． 事件A：包含了其中6个数对(b，c)， 即：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)． 所以P(A)＝＝，即事件A发生的概率为. (2)由题意，b，c均是区间[0,4]中的随机数，点(b，c)均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中(如图)，其面积S(Ω)＝16. 事件A：所对应的区域为如图所示的梯形(阴影部分)， 其面积为S(A)＝×(1＋4)×3＝. 所以P(A)＝＝＝， 即事件A发生的概率为. 6．(13分)甲、乙两艘船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率． 解 甲比乙早到4小时内乙需等待，甲比乙晚到2小时内甲需等待． 以y和x分别表示甲、乙两船到达泊位的时间，则有一艘船停靠泊位时需等待一段时间的充要条件为－2≤x－y≤4，在如图所示的平面直角坐标系内，(x，y)的所有可能结果是边长为24的正方形，而事件A“有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间”的可能结果由阴影部分表示． 由几何概型公式，得P(A)＝＝. 故有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率是.。