26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式(新)
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法二次函数解析式是高中数学中最基本的概念，其表示的是简单的直线、抛物线或是曲线的方程。
它的复杂性使得学生更易于弄清楚，并且在数学知识的建立上也有较大的作用。
本文将介绍用待定系数法求二次函数解析式的几种方法。
首先，用待定系数法求二次函数解析式也称为求因式分解法，是一种求解二次函数解析式的有效方法。
它所给出的解析式可以使用此解析式求解函数的最大值、最小值以及极值点，有助于研究函数的拓展和深入分析。
求解二次函数解析式的待定系数法通常包括以下几个步骤：首先，将二次函数解析式以下式形式表达：ax + bx + c = 0；其次，求解ax + bx + c的系数a、b、c的解，即a、b、c的值，这样就可以得到完整的二次函数解析式；最后，根据完整的二次函数解析式，可以进行函数曲线的画法，以便对函数特征进行更深入的分析。
这种求解二次函数解析式的待定系数法还可以用来求二次不等式的解。
这些不等式的解也可以用上述的方法求出，只需将其表示成ax + bx + c 不等式的形式，并根据所给的条件来解系数a、b、c，从而得到最终的不等式解。
此外，学生也可以使用特殊的因式分解法，通过将二次函数解析式表示成ax+bx+c=f(x)形式，通过求出形式系数a、b、c来求解因式分解法。
这种方法可以用来求解多项式方程，从而得到多项式函数的解析式。
在求解二次函数时，还有一种简便而又实用的方法，即通过图表的方法，根据函数图象的特点求出函数的解析式，从而更加简单、快捷地求解二次函数。
通过以上介绍，用待定系数法求二次函数解析式的几种方法已经清楚地展示出来。
由此可见，求解二次函数解析式使用待定系数法可以得到准确、完整的解析式，从而有助于学生更好地理解函数的拓展及应用，进而深入认识数学知识，受益匪浅。
用待定系数法求二次函数的解析式教案
用待定系数法求二次函数的解析式教案用待定系数法求二次函数的解析式教案(1)年级九年级课题 26.1 用待定系数法求二次函数的解析式教学媒体多媒体教学目标知识技能会用待定系数法求二次函数解析式.过程方法根据条件恰当设二次函数解析式形式，体会二次函数解析式之间的转换.情感态度体会学习数学知识的价值，提高学生学习的兴趣.教学重点运用待定系数法求二次函数解析式.教学难点根据条件恰当设二次函数解析式形式.教学过程设计教学程序及教学内容一、情境引入已知一次函数图像上的两点的坐标，可以利用待定系数法求出它的解析式，要求二次函数的解析式，需要知道抛物线上几个点的坐标?应该怎样求出二次函数解析式?引出课题：用待定系数法求二次函数的解析式.二、探究新知1.二次函数中有几个待定系数?需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来?抛物线经过点(-1，10)，(1，4)，(2, 7)，求出这个二次函数的解析式。
得到：已知抛物线上的三点坐标，可以设函数解析式为，代入后得到一个三元一次方程，解之即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫一般式.2.二次函数中有几个待定系数?需要知道图像上几个点的坐标才能求出来?抛物线的顶点坐标为(1, 2)，点(1，-1)也在图像上，能求出它的函数解析式吗?得到：知道抛物线的顶点坐标，可以设函数解析式是先代入顶点坐标(1, 2)得到，再代入点(1，-1)即可得到的值，从而求出函数解析式，这种解析式叫顶点式.用待定系数法求二次函数的解析式教案(2)《用待定系数法求二次函数解析式》教学案例《用待定系数法求二次函数解析式》，“待定系数法”是数学思想方法中的一种重要的方法，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.学生对于“待定系数法”的学习渗透在不同的学习阶段，在初中七、八年级学生学习了正比例函数、反比例函数、一次函数时已经初步学会了用待定系数法求函数解析式;.因此这节课的学习既是前面知识的延续和深化，又为后面的学习奠定基础，起着承前启后的作用.另外，待定系数法作为解决数学实际问题的基本方法和重要手段，在其他学科中也有着广泛的应用.一.教学目标：1、理解二次函数的三种不同形式，并选择恰当的形式用待定系数法确定其解析式。
26.1.5用待定系数法求二次函数关系式
• 1、.二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是 (5，－2)，那么这个二次函数解析式是___。 • 2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0， －5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2， 那么这个二次函数的解析式_________。 • 3、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0) 与y轴交点是（0，-1），那么这个二次函数 的解析式是_______________。 • 4、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B 两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点 C的纵坐标为3，那么这个二次函数的解析式 是_______________。
2
y ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ax bx c(a 0)
∴ a b c 3 解得: 4a 2b c 0
∵此图象过点（0，4）（1，3）（ 2，6 ) a=2 c 4 b=-3
∴这个二次函数解析式为:
y 2 x 3x 4
2
c=4
例1、求二次函数解析式
(2)、已知图象的顶点（２,３），过点（3,1） 解: ∵此抛物线的顶点为（２,３）， ∴可设这个二次函数解析式为: 2 y=a(x-2) +3 (a≠0) ∵此图象过点（3,1） ∴a(3-2) +3=1 ∴a=-2 ∴这个二次函数解析式为:
例1、求二次函数解析式
(１)、已知图象过点（0，4）（1，3）（ 2，6)
( 2 )、已知图象的顶点（２,３），过点（1,1）
(３)、已知y=ax2+bx+c ，且过点（-1，0）（2，0) (1,-3)
例1、求二次函数解析式 (１)、已知图象过点（0，4）（1，3）（ 2，6 ) 解: 设这个二次函数解析式为:
用待定系数法求二次函数解析式说课稿
用待定系数法求二次函数解析式》说课稿黄勇松我说课的内容为人教版数学九年级下册26.1.5用待定系数法求二次函数解析式。
一、教材分析1、教材的地位和作用：二次函数是初中数学重要内容之一，而用待定系数法求函数解析式在前面的一次函数，反比例函数中已经多次得以运用，确定一次函数有两个独立系数，要两个独立条件，这些知识方法同学们已熟悉，本节把这些所学推向初中学段的最高点—二次函数解析式的确定。
由于前几节已经对二次函数的两种表达式进行了多方面的认识，式学习本节最直接的认知基础，通过本节的学习，进一步深化对二次函数的认识。
2、教学目标①通过对用待定系数法求二次函数解析式的探究，掌握求解析式的方法②能灵活的根据条件恰当的选择解析式，体会二次函数解析式之间的转化。
③从学习中体会数学知识的价值，从而提高学习数学知识的兴趣。
3、教学重点：用待定系数法求函数解析式。
教学难点为:根据不同的条件灵活的选择恰当的解析式从而用待定系数法求函数解析式。
二、学情分析对于九四班学生，数学基础比较薄弱，抽象思维能力和演绎推理能力依然比较缺乏，所以我在授课时注重引导、启发、和探讨，从而促进知识的掌握和思维能力的进一步发展。
三、教法分析针对我班学生的特点，本节课我采用创设问题情境，由学生观察，发现，老师启发引导，探索相结合以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下共同探索用待定系数法求二次函数解析式.三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去探索，同时鼓励学生大胆质疑，把思路方法和需要解决的问题弄清。
四、教学程序本节课的教学过程由（一）创设问题情境，引入新课（二）知识应用（三）回顾练习（四）归纳小结（五）课后作业，五个教学环节构成。
（一）创设问题情境，引入新课：1、用待定系数法求函数解析式的一般步骤：①设函数的解析式; ②列方程组求待定系数;③解待定系数④还原学 生 活 动：学生总结用待定系数法求函数解析式的一般步骤。
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式（导学案）一、学习目标：1．会用待定系数法求二次函数的解析式；2．能够根据问题的已知条件选择恰当的方法求二次函数解析式。
二、思考（小组交流讨论）：求正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的解析式分别需要知道几个点的坐标？求函数解析式的方法是什么？ 三、课前基本练习1．已知二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象过点（1，2），则m 的值为________________．2．已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为 ________________．3．将抛物线y ＝－(x －1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的 解析式为____________________．4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y ＝－12 x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为________________________________．四、例题分析例1 已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式．例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．例3（了解） 已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）． 求抛物线的解析式．五、归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ．3．（了解）已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标）， 设交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）六、练习1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与 y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．七、体验中考（2011 重庆江津）已知双曲线xk y =与抛物线c bx ax y ++=2交于A(2,3)、 B(m,2)、C(-3,n)三点。
用待定系数法求二次函数的解析式(新人教版)课件
设立待定系数并建立方程组
• 同样，若已知抛物线的对称轴为直线$x=h$，则可设立如 下方程组
设立待定系数并建立方程组
$-frac{b}{2a}=h$
$y=ax^2+bx+c$
解方程组求得待定系数
解方程组求得$a, b, c$的值。
解方程组的方法有多种，如代入消元法、加减消元法等。
提高解决问题能力
在学习过程中，学生将学会如何根据问题条件设立未知数 、建立方程组，从而提高解决实际问题的能力。
为后续课程做准备
本节课所介绍的待定系数法将在后续课程中得到广泛应用 ，如求解二次方程、二次曲线等，因此本节课的学习将为 后续课程打下基础。
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用待定系数法求二 次函数的解析式(新 人教版)
目录
• 引言 • 二次函数的基本概念 • 待定系数法介绍 • 用待定系数法求二次函数的解析式 • 实例分析 • 课程总结与展望
01
CATALOGUE
引言
课程背景
01
二次函数是初中数学的重要内容 ，是中考的重点和难点之一。
02
通过学习待定系数法求二次函数 的解析式，学生可以更好地理解 二次函数的性质和图像，提高解 决实际问题的能力。
实际应用举例
通过具体的例题演示如何使用待定系数法求解二次函数解析式，包括如何设立未知数、建 立方程组以及求解过程。
课程对未来的影响和意义
深化对二次函数的理解
通过本节课的学习，学生对二次函数的理解将更加深入， 能够掌握其解析式的求解方法，为后续学习打下基础。
培养数学思维能力
待定系数法是一种重要的数学思维方法，通过本节课的学 习，学生将培养出灵活运用数学思维解决问题的能力。
人教版数学九年级上册26.1.5《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿
人教版数学九年级上册26.1.5《用待定系数法求二次函数的解析式》说课稿一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第26.1.5节《用待定系数法求二次函数的解析式》是本册教材的重要内容之一。
这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象的基础上进行讲解的，旨在让学生通过待定系数法求解二次函数的解析式，从而更好地理解和掌握二次函数的知识。
本节教材主要分为两个部分，第一部分是待定系数法的引入和解释，第二部分是待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
在第一部分中，教材通过例题和练习题让学生理解待定系数法的概念和原理；在第二部分中，教材通过例题和练习题让学生掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
二. 学情分析在九年级的学生中，大部分学生已经掌握了二次函数的一般形式和图象，但是对于待定系数法的理解和应用还有待提高。
因此，在教学过程中，我需要注重引导学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，并通过例题和练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
三. 说教学目标本节课的教学目标是让学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，能够运用待定系数法求解二次函数的解析式，并能够通过练习题进行巩固和提高。
四. 说教学重难点本节课的教学重难点是待定系数法的理解和应用。
在教学过程中，我需要注重引导学生理解和掌握待定系数法的概念和原理，并通过例题和练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法和练习法相结合的教学方法。
首先，我会通过讲解和示例让学生理解和掌握待定系数法的概念和原理；然后，我会通过布置练习题让学生熟悉和掌握待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
此外，我还会利用多媒体教学手段，如PPT和动画等，来帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.引入：通过复习二次函数的一般形式和图象，引导学生思考如何求解二次函数的解析式。
2.讲解：讲解待定系数法的概念和原理，并通过示例让学生理解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
用待定系数法求二次函数表达式的三种形式
总结归纳
用待定系数法求二次函数的解析式常用二种形式：
1．已知抛物线过三点，三对有序实数对选一般式 y=ax²+bx+c．
2．已知抛物线顶点坐标及另一点，已知对称轴和最
值
x1, x2
选顶点式y=a（x-h）²+k
x1
课后练习
1.抛物线y=ax²+bx+c过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
待定系数法求二次函数表达式常见 的二种形式 ：
一般式 • 1.
：y=ax²+bx+c （a，b，c为常数，且a≠0）
• 2.顶点式：y=a（x-h）²+k
减小
当x=h时,. 最大值为k.
2019/9/24
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
8.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点Ax1 (-1，0)， 且经过直线y=2x-4与坐标轴的两交点，求这个二 次函数的表达式。
课后练习
9﹡二次函数在x=-2时，y有最小值为-3，且它的图 图象与x轴的两个交点的横坐标的积为3，求此函 数的解析式。
26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式 同步教学课件(新人教版九年级下)
的图象过点（1，0），且关于直线
图象经过点A（2，0），B（0，－6）两点.
BA、BC，求
【点拨精讲】（2分钟）
二次函数解析式的三种形式： 1、一般式 2、顶点式 3、交点式 利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设 适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单.
【课堂小结】（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。13分钟
探究1
已知二次函数的图象经过点A(3,0)，B（2，3），C（0，3），求函数的关系式 和对称轴. 解：设函数解析式为
9a 3b c 0 4a 2b c 3 c 3 a 1 解之，得 b 2 c 3
总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为 利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为
，
，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x轴的两 个交点 ，可设函数的关系式为 ，把另一点坐标代入式
中，可求出解析式。
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。5分钟
1、二次函数 ，当x<-2时，y随x的增大而减小；当x>－2时， y随x的增大而增大, 则当x＝1时，y的值为 22 ； y 点拨精讲：可根据顶点公式用含m的代数式表示对称轴，从而求出m的值. 2、抛物线 3、二次函数
（3，11) ； 的顶点坐标是
的图象大致如图所示，下列判断错误的（ D B、b>0 C、c>0 D、 >0 （a>0）的对称轴是直线x=1，且经过点 A 、0 B、－1 C 、1 D 、2 ）
二次函数26.1.5至26.4共6课时
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式一、教学目标1、掌握二次函数解析式的三种形式，并会选用不同的形式，用待定系数法求二次函数的解析式。
2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性。
3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上观察出函数的一些性质二、教学重难点重点：二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质难点：利用图像观察性质三、课前准备作图工具四、教学流程：(一)自主学习（10分钟）：1．复习导入复习二次函数的性质2．目标展示(1)会用待定系数法求二次函数的解析式；(2)实际问题中求二次函数解析式．3．指导自学(1)已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为__________．(2)已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为___________．(3)将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的解析式为__________．(4)抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－12x2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为__________．（二）合作探究（16分钟）探究一:待定系数法求二次函数的解析式例1、根据下列条件求二次函数的解析式：(1)函数图像经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，-2）(2) 函数图像的顶点坐标是（2，4）且经过点（0，1）(3)函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点（1，0）和（5，0）说明：本题给出求抛物线解析式的三种解法，关键是看题目所给条件。
一般来说：任意给定抛物线上的三个点的坐标，均可设一般式去求；若给定顶点坐标（或对称轴或最值）及另一个点坐标，则可设顶点式较为简单；若给出抛物线与x轴的两个交点坐标，则用分解式较为快捷归纳用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c．2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k．3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标）探究二、实际问题中求二次函数解析式例2 已知函数y= x2 -2x -3 ,（1）把它写成kmxay++=2)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的？（2）写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；（3）求出图象与坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象的草图；(5)设图像交x轴于A、B两点，交y 轴于P点，求△APB的面积；（6）根据图象草图，说出 x取哪些值时，① y=0; ② y<0; ③ y>0.说明：（1）对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形，做到线段和坐标的互相转化；（2）利用函数图像判定函数值何时为正，何时为负，同样也要充分利用图像，要（三）即时训练（10分钟） 基础题1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．3．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与x 轴交于A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3），求二次函数的顶点坐标．4．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12mm ，BC ＝24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么△PBQ 的面积S 随出发时间t 如何变化？写出函数关系式及t 的取值范围．提高题1．已知二次函数的图像过点A （－1，0），B （3，0），C （0，3）三点，求这个二次函数解析式．2．已知二次函数的图像如图所示，下列结论： ⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a 其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个C 3个 D 4个3.布置作业：课本作业题第5、6题 （四）评点总结：（4分钟） 小结本节课你学到了什么？ 五、板书设计1. 二次函数解析式的三种形式2. 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42 的关系 六、教学反思2.2用函数观点看一元二次方程一、教学目标1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 二、教学重难点重点：从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质.难点：理解函数中a ，b ，c 以及△＝b 2－4ac 对图象的影响． 三、课前准备 作图工具 四、教学流程：(一)自主学习（10分钟）：Q P C B A1．复习导入第6课中“理一理知识点”的内容2．目标展示(1)懂得求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴、y轴的交点的方法；(2)知道二次函数中a，b，c以及△＝b2－4ac对图象的影响．3．指导自学（可结合“检查督促”）思考下列问题，能解决的问题在课学生初读课本本P27—28本上初步体现出来（用双色笔）(1)求二次函数y＝x2＋3x－4与y轴的交点坐标为____，与x轴的交点坐标__．(2)二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为__________，对称轴为__________．(3)一元二次方程x2＋3x－4＝0的根的判别式△＝_____________．(4)二次函数y＝x2＋bx过点（1，4），则b＝________________．(5)一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0），△＞0时，一元二次方程有_________，(6)△＝0时，一元二次方程有_________，△＜0时，一元二次方程________（二）合作探究（16分钟）探究一：求二次函数y＝ax2＋bx＋c与x、y轴交点例1 求y＝x2－2x－3与x轴交点坐标．例2 求抛物线y＝x2－2x－3与y轴交点坐标．探究二：探索二次函数与一元二次方程二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:①有两个交点,②有一个交点,③没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当b2-4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与 x2；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2-4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法
用待定系数法求二次函数解析式的几种方法待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
基本原理是，通过把二次函数拆分为两个一次函数的乘积，然后根据给定的条件将未知的系数代入到两个一次函数之中，从而计算出二次函数的解析式。
首先，我们可以用待定系数法计算二次函数的标准形式的解析式。
一般来说，二次函数的标准形式是ax^2+bx+c=0，根据定理，二次函数的根为： x = [-b (b^2-4ac)] / 2a.二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x+p)(x+q),p + q = -b, pq = c.结合给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的标准形式的解析式。
其次，我们可以用待定系数法求解二次函数的非标准形式的解析式。
一般来说，非标准形式的二次函数是一般形式ax^2 + bx + c = 0类似于标准形式，我们可以将二次函数分解为两个一次函数相乘：ax^2 + bx + c = a(x + p/a )(x + q/a)。
对于任意给定的一般形式的二次方程，我们可以先将它降幂变为标准形式，然后再计算p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出 q p的值，就可以得到二次函数的非标准形式的解析式。
再次，我们还可以用待定系数法解决一些特殊情况下的二次函数。
比如说，二次函数在x=0处有极值点时，ax^2+bx+c= 0.种情况下，我们可以将二次函数分解为两个一次函数:ax^2 + bx + c = a(x + p)(x + q) + ap, q = 0。
根据给定的条件，将未知的系数代入到两个一次函数之中，即可求得p、q的值。
最后，根据互相关联的关系，计算出q p的值，就可以得到二次函数的特殊情况下的解析式。
总之，待定系数法是一种可以用来求二次函数解析式的有效方法。
它可以用来求解二次函数的标准形式和非标准形式，以及一些特殊情况下的二次函数的解析式。
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式知识点1：确定二次函数解析式（1）当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为____________．（2）当已知抛物线的顶点在y 轴上或以y 轴为对称轴，但顶点不一定经过原点时，可设抛物线的解析式为________________．（3）当已知抛物线的顶点在x 轴上，可设抛物线的表达式为________________，其中(h ，0)为抛物线与x 轴交点坐标．（4）当抛物线的顶点坐标已知，则可设抛物线的表达式为，其中(h ，k)为抛物线顶点坐标． （5）当已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可设解析式为________________，其中（1x ，0）（2x ，0）为抛物线与x 轴两交点的坐标．（6）____________________适应于任何条件下求表达式，只要所给的条件充分（一般需要三个条件），利用条件代入，列方程组，求出a 、b 、c 即可得表达式，利用此种形式的表达式求解一般计算量较大．1． 已知二次函数图象的顶点在原点O ，对称轴为y 轴、一次函数1y kx =+的图象与二次函数的图象交于点A ，且A 点坐标为（－4，4），求一次函数与二次函数的解析式．2． 已知二次函数的图象的顶点是（1，－8），且经过点（3，0），求这个二次函数的表达式．3． 已知，抛物线与x 轴交于点B （1，0），C （－3，0），且过点A （3，6），求此二次函数的表达式．4． 已知抛物线经过点（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的表达式．一、填空题1．已知抛物线2y x px q =++过点（5，0），（－5，0），则p ＋q ＝___________.2．已知22y x bx c =++，当x ＝1时，y ＝4；当x ＝－2时，y ＝－5，则b ＝______，c ＝________.3． 函数2(1)(2)y x x =-+-与x 轴的交点坐标是___________，与y 轴的交点坐标是_____________．4． 已知抛物线25y ax bx =++的顶点坐标为（－1，4），则a ＝______，b ＝________. 5．如图，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且t an ∠ACO ＝12，CO ＝BO ，AB ＝3，则这条抛物线的函数解析式是____________．二、选择题6． 二次函数26y x x =+-的图像与x 轴交点的横坐标是（ ）． A ．2和－3 B ．－2和3 C ．2和3 D ．－2和－37． 若二次函数222y ax bx a =++-（a b ，为常数）的图象如下，则a 的值为（ ）．A ．－2B．C ．1D8． 已知二次函数22(0)y ax x c a =++≠有最大值，且4ac =，则二次函数的顶点在（ ）． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9． 已知抛物线2y ax bx c =++（a > 0）与x 轴分别交于（－1，0），（5，0）两点，当自变量x ＝1 时，函数值为1y ；当x ＝3，函数值为2y ，下列结论正确的是（ ）． A ．1y ＞2y B ．1y ＝2yC ．1y ＜2yD ．不能确定10． 在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）． A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+- C ．22y x x =-++ D ．22y x x =++ 三、简答题11．已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27），求抛物线的函数表达式．12．已知抛物线的顶点在y 轴上，且经过（2，2）和（1，1）两点，求它的表达式．13．一个抛物线的顶点为（2，0），且过点（－3，5），求这个二次函数的表达式．14．已知一个二次函数的图象的顶点为（8，9），且经过点（0，1），求函数表达式．15．已知二次函数图象经过点（2，－3），对称轴是直线x ＝1，抛物线与x 轴两交点距离为4，求这个二次函数的关系式．1．（新型题）如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)与坐标轴交于点A 、B 、C 且OA ＝1，OB＝OC ＝3 ．（1）求此二次函数的解析式． （2）写出顶点坐标和对称轴方程．（3）点M 、N 在y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像上(点N 在点M 的右边)，且MN ∥x 轴，求以MN为直径且与x 轴相切的圆的半径． ∴圆的半径为12-或12+2．（课本变式题）已知抛物线2y ax bx c =++经过点（－1，0），（0，－3），（2，－3）三点．（1）求这条抛物线的关系式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．3． （综合题）如图，□ABCD 中，AB ＝4，点D 的坐标是(0，8)，以点C 为顶点的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过x 轴上的点A ，B ． （1）求点A ，B ，C 的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．4． （探究题）如图，抛物线2y x bx c =+-经过直线3y x =-与坐标轴的两个交点A ，B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线的顶点为D ． （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为抛物线上的一个动点，求使:5:4APC ACD S S =△△的点P 的坐标．经典考题回顾1． （09·安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-，14-），且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为 2． （09·淄博） 请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 ．①过点（3，1）；②当0x >时，y 随x 的增大而减小；③当自变量的值为2时，函数值小于2．3． （09·黄石）若抛物线23y ax bx =++与232y x x =-++的两交点关于原点对称，则a b 、分别为 ．4． （09·常德）已知二次函数过点A （0，－2），B （－1，0），C （5948，）． （1）求此二次函数的解析式； （2）判断点M （1，12）是否在直线AC 上？预测中考新题5．抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（ ）A ．1x =B ．1x =-C ．3x =-D ．3x = 6．已知△ABC 为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点A 、C 在x 轴上，点B 坐标为（3，m ）（0m >），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P （1，0）为顶点的抛物线过点B 、D ． （1）求点A 的坐标（用m 表示）； （2）求抛物线的解析式；26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式知识要点培训知识点1：确定二次函数解析式（1）2y ax =；（2）2y ax c =+；（3）2()y a x h =-；（4）2()y a x h k =-+； （5）12()()y a x x x x =--；（6）2y ax bx c =++． 1．解：把A （－4，4）代入1y kx =+得34k =-，∴一次函数的解析式为314y x =-+； ∵二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y 轴， ∴设二次函数解析式为2y ax =， 把(44)A -，代入2y ax =得14a =， ∴二次函数解析式为214y x =． 2．解：∵抛物线的顶点为（1，－8），∴设函数表达式为2(1)8y a x =--把x ＝3，y ＝0代入，得20(31)8a =--，所以a ＝2． 所以二次函数表达式为222(1)8246y x x x =--=--．3．解：设二次函数表达式为(1)(3)y a x x =-+，把x ＝3，y ＝6代入， 得：6(31)(33)a =-+，解得：a ＝12． ∴二次函数表达式为1(1)(3)2y x x =-+． 4．解：设所求的二次函数的表达式为2y ax bx c =++，由函数图象经过（－1，10）、（1，4）、（2，7）三点，得104427a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得235a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以，所求的二次函数是2235y x x =-+．巩固双基训练1．－25 2．5 －3 3．（－1，0），（2，0） （0，4） 4．1 2 5．y ＝x 2－x －2 6．A 7．D 8． A 9．B 10．C11．设2y ax =，把x ＝3，y ＝－27代入表达式2y ax =． 得－27＝9a ，所以a ＝－3所以抛物线的解析式为23y x =-．12．设2y ax c =+，将x ＝2，y ＝2及x ＝1，y ＝1代入， 得241a c a c=+⎧⎨=+⎩，解得：13a =，23c =．所以抛物线的解析式为21233y x =+．13．设2(2)y a x =-，把x ＝－3，y ＝5代入，得25(32)a =--，所以15a =． 所以函数表达式为21(2)5y x =-． 14．设2(8)9y a x =-+，把x ＝0，y ＝1代入，得1＝64a ＋9，所以a ＝－18． 所以函数表达式为21(8)98y x =--+；15．设()1(3)y a x x =+-，把x ＝2，y ＝－3代入，得－3＝a (2＋1)(2－3)，所以a ＝1 所以函数解析式为()1(3)y x x =+- 能力拓展提高1．解：（1）依题意(10)(30)(03)A B C --，，，，，分别代入2y ax bx c =++ 1分解方程组得所求解析式为223y x x =-- （2）2223(1)4y x x x =--=--∴顶点坐标（1，－4），对称轴x ＝1（3）设圆半径为r ，当MN 在x 轴下方时，N 点坐标为(1)r r +-，把N 点代入223y x x =--得r =同理可得另一种情形r =2．解：（1）把（－1，0），（0，－3），（2，－3）代入2y ax bx c =++得03423a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线解析式为223y x x =--． （2）∵223y x x =--＝2(1)4x --，∴抛物线的开口方向向上，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－4）． 3．（1）在□ABCD 中，CD ∥AB 且CD ＝AB ＝4，∴点C 的坐标为(4，8)设抛物线的对称轴与x 轴相交于点H ，则AH ＝BH ＝2， ∴点A ，B 的坐标为A （2，0），B （6，0）． （2）由抛物线2y ax bx c =++的顶点为C （4，8），可设抛物线的解析式为2(4)8y a x =-+， 把A （2，0）代入上式，解得a ＝－2．设平移后抛物线的解析式为22(4)8y x k =--++ 把（0，8）代入上式得k ＝32∴平移后抛物线的解析式为22(4)40y x =--+．即22168y x x =-++．4．解：（1）直线3y x =-与坐标轴的交点(30)A ，，(03)B -，．则9303.b c c +-=⎧⎨-=-⎩，解得23.b c =-⎧⎨=⎩，∴此抛物线的解析式223y x x =--．（2）抛物线的顶点D （1，－4），与x 轴的另一个交点(10)C -，． 设2(23)P a a a --，， 则21423:445:422a a 1⎛⎫⎛⎫⨯⨯--⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．化简得2235a a --=． 当2235a a --=，得4a =或2a =-．∴P （4，5）或P （－2，5）．当2230a a --<时，即2220a a --+=，此方程无解． 综上所述，满足条件的点的坐标为（4，5）（－2，5）． 中考同步挑战1．2y x x =+，21133y x =-+ 2．如213152362y x y y x x =-+==-+，， 3．32－，34．（1）设二次函数的解析式为c bx ax y ++=2（0a ≠），把A （0，2-），B （1-，0），C （5948，）代入得2092558164c a b c a b c⎧⎪=-⎪=-+⎨⎪⎪=++⎩解得 a =2 ， b =0 ， c =－2， ∴222y x =-（2）设直线AC 的解析式为(0)y kx b k =+≠ ，把A （0，－2），C （5948，）代入得29584b k b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得522k b ==-， ，∴522y x =- 当x =1时，511222y =⨯-=，∴M （1，12）在直线AC 上 5．A6．（1）由(3,)B m 可知3OC =，BC m =，又△ABC 为等腰直角三角形，∴AC BC m ==，3OA m =-，所以点A 的坐标是（3,0m -）.（2）∵45ODA OAD ∠=∠=︒ ∴3OD OA m ==-，则点D 的坐标是（0,3m -）.又抛物线顶点为(1,0)P ，且过点B 、D ，所以可设抛物线的解析式为：2(1)y a x =-，得：22(31)(01)3a m a m ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩ 解得14a m =⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为221y x x =-+ ，。
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定
由于抛物线 y a ( x h) 2 k 顶点坐标是 (h，k ) ， 反之，已知顶点坐标为 (h，k ) ，则可设函数解析式为 y a ( x h) 2 k 。 【例题】已知某抛物线的顶点坐标 (3， 且过点 4) (1， ，求它的函数解析式。 8) 解：∵顶点坐标是 (3， 4) ∴可设函数解析式为 y a( x 3) 2 4 又过点 (1 8) ， 2 ∴ 8 a(1 3) 4 解得 a 1 ∴函数解析式为 y ( x 3) 2 4 即 y x 2 6 x 13
问题：此球能否投中？
1 2 解法二：前面解法相同，得y x 4 （0≤x≤8） 4 9 设篮球高度能达到篮圈中心3米高， 1 2 令y x 4 4=3， 9 解之，得x1 =1 （不合题意，舍去），x2 =7
即篮球与小明的水平距离没有达到8米，此球不能投中。
20 Q 抛物线经过点 0， 9 20 2 a0 4 4 9
20 当x 8时，y 9
此球没有达到篮圈中心距离地面3 米的高度，不能投中。
20 条件：小明球出手时离地面高 米， 9 小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米，
篮圈中心距离地面3米。
3.如图， 已知抛物线y=ax² +bx+3 （a≠0） 与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交 于点C． (1) 求抛物线的解析式；
y=-x²2x+3 （2）在（1）中抛物线 的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC的周长 最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在， 请说明理由.
2.一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式Word 文档
九年级数学 26.1 用待定系数法求二次函数的解析式 （2）
主备 数学组 执笔 田咏梅 课型 新授课 使用者 审核 课时 1 使用时间
教学目标 .1、能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式（A.BC 层完成） 教学重点 能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式 教学难点 教学方法 能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式 分层教学 教学过程 一、知识链接（约 2 分钟） （A.B.C 层完成） 用待定系数法求二次函数的解析式通常有三种方法： ① 已知的点不具有特殊性设一般式__________代入得方 程（组） 。 ②已知的点是抛物线的顶点设顶点式_____________代入得方 程（组） 。 ③ 已知的点是抛物线与 x 轴的两个交点设交点式（也叫两根 式）___________代入得方程（组） 。 二、自主学习（约 15 分钟） （A.B.C 层完成） 1.已知二次函数的图像过点 （1， 与 0） （2， ,则 b=___ ,c= _____ . 5） 2.已知抛物线过三点(-1,-1),(0,-2),(1,1),则它对应的二次函数关系 式 为 ________ 它 的 开 口 ____, 对 称 轴 为 _______, 顶 点 坐 标 为 _______,这个函数有最_____值,这个值是________. 3． 已知二次函数 k____时，此二次函 数以 y 轴为对称轴,其函数关系式为______ 4、二次函数的图像如图所示,求 a,b,c 的值和该二次函数的关系 式. 疑惑：
随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10 至 12 月每件配件的原材料价格 y2（元）与月份 x（10≤x≤12，且 x 取整数）之间存在如图所示的变化趋势： （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或 二次函数的有关知识，直接写出 y1 与 x 之间的函数关系式，根 据如图所示的变化趋势，直接写出 y2 与 x 之间满足的一次函数 关系式； （2）若去年该配件每件的售价为 1000 元，生产每件配件的人 力成本为 50 元，其它成本 30 元，该配件在 1 至 9 月的销售量 p1（万件）与月份 x 满足函数关系式 p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且 x 取整数）10 至 12 月的销售量 p2(万件)与月份 x 满足函数关系 式 p2=-0.1x+2.9（10≤x≤12，且 x 取整数）.求去年哪个月销售 该配件的利润最大,并求出这个最大利润；
g26.1.5_用待定系数法求二次函数的解析式(新)
· ·C
点C(2，5)，求其解析式。 分析：设抛物线的解析式为
交点式： a( x 3)( x 1) ， y 再根据C点坐标求出a的值。
A · · · B· · · · o 1 2 x -3 –2 –1 · · -3 · ·
充分利用条件 合理选用以上三式 y 例4 已知抛物线的顶点为 A(-1，-4)，又知它与x 轴 的两个交点B、C间的距离 为4，求其解析式。 分析：先求出B、C两点 的坐标，然后选用顶点
2
y 例2 已知抛物线的顶点为 D(-1，-4)，又经过点 C(2，5)，求其解析式。
5 · · · · ·
C ·
分析：设抛物线的解析式为 顶点式：y a( x 1) 2 4 ， 再根据C点坐标求出a的值。
· · ·o B· · x -3 –2 –1 1 2 ·
A·
· -3 ·
-4
交点式： y a( x x1 )( x x2 ) y 例3 已知抛物线与x轴的两个交 点为A(-3，0)、B(1，0)，又经过
C
5 · · · · ·
· · ·o B· · x -3 –2 –1 1 2 · ·
A
· -3 ·
-4
式或交点式求解。
（南通市）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C 三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析 式，写出顶点坐标。 y 2 A 4 -3 B 5 C x
如图，在直角坐标系中，以点 A( 3, 0) 为圆心，以 2 3 为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、 E． 1 2 若抛物线 y x bx c 经过C、B两点，求抛 3 物线的解析式，并判断点D是否在该抛物线上． y E B D OA C
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、
（2,7）三点，求这个函数的解析式 解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
a-b+c=10 由条件得： a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程组得： a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5
已知抛物线上任意三点时， 通常设为一般式
1 a (1) 2 4 (1) c, 入 y ax 4 x c 得 9 a 32 4 3 c. 解得 a 1, c 6.
2
y
－1 O A －1
3
x
∴二次函数的表达式为． x y
2
4x 6
（2）对称轴为直线x＝2 ；顶点坐标为（2，-10）． 2 2 （3）将（m，m）代入 y x 4 x 6 ，得m m 4m 6 ， m1 1 不合题意，舍去－9 解得 m1 1, m2 6 ，∵m＞0，∴ 图13 ∴ m=6 ∵点P与点Q关于对称轴 x＝2 对称，∴点Q到x轴的距离为6．
2 练习：如图，已知二次函数 y ax 4x c 的图像经过点A和 点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两 点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离． 解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代
练习： 已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3 时有最大值4，求出对应的二次函数解析式；
y=-7(x-3)2+4 也就y=-7x2+42x-59
用待定系数法求二次函数的解析式(二)(最新编写)
26.1.5用待定系数法求二次函数的解析式（2）教学目标:1.体验二次函数的函数关系式的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，提高学生用数学的意识。
2.经历二次函数的建模过程，并用待定系数法求二次函数的解析式。
培养应用数学知识解决实际问题的能力。
3.让学生体验数学在现实生活中的应用价值，提高学生对学习数学的兴趣。
教学重难点:建立平面直角坐标系的，并由已知二次函数图象上的点，求出二次函数的解析式。
教具准备：多媒体课件教学方法：探究式教学过程：一、引入新课1、二次函数的解析式有哪几种表达式？一般式：2(,,,0)y a x h k a h k a为常数为常数顶点式：2()(,,,0) y ax bx c a b c a强调：特别地，当顶点是原点时，函数解析式为：2(,0)为常数y ax a a2、上节课我们学习了求二次函数解析式，那么求函数关系式关键是什么？（确定上述解析式中的待定系数）3、导入新课：今天我们继续来学习求二次函数的解析式。
（板书课题）二、讲解新知1、出示例题如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型（曲线AOB）的薄壳屋顶。
它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m。
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
2、让学生建立适当的直角坐标系方案一方案二方案三3、让学生选择适当合适的形式，运用待定系数法求出关系式。
4、师生交流方案一：抛物线的顶点在原点，所以可以设它的函数关系式为：2(0)y ax a因为y轴垂直平分AB，并交AB于点C，所以CB=2（m）,又CO=0.8 m，所以点B的坐标为（2，-0.8）因为点B在抛物线上，将它的坐标代入2y ax得：-0.8=22a ,解得a=-0.2因此，所求函数关系式为2y x0.2方案二：按此建立直角坐标系，则A 点坐标为（0，0），B 点坐标为（4，0），OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=BC ，AC=2 m ，O 点坐标为（2，0.8）。
怎样用待定系数法求二次函数的解析式【重点!知识讲解与巩固练习】
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解（提高）责编:康红梅【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)；(2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)．2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】 类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线经过A ，B ，C 三点，当时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为（）.由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为（0，2），（4，0），（5，-3）.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得抛物线的解析式为该抛物线的顶点坐标为.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围.2.（2016•丹阳市校级模拟）形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣5）的抛物线的关系式为．【思路点拨】形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，因此可设顶点式为y=﹣2（x﹣h）2+k，其中（h，k）为顶点坐标．将顶点坐标（0，﹣5）代入求出抛物线的关系式．【答案】y=﹣2x2﹣5．【解析】解：∵形状与抛物线y=2x2﹣3x+1的图象形状相同，但开口方向不同，设抛物线的关系式为y=﹣2（x﹣h）2+k，将顶点坐标是（0，﹣5）代入，y=﹣2（x﹣0）2﹣5，即y=﹣2x2﹣5．∴抛物线的关系式为y=﹣2x2﹣5．【总结升华】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．3. 已知抛物线的顶点坐标为（－1，4），与轴两交点间的距离为6，求此抛物线的函数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（－1，4），所以对称轴为，又因为抛物线与轴两交点的距离为6，所以两交点的横坐标分别为：，， 则两交点的坐标为（，0）、（2，0）；求函数的函数关系式可有两种方法： 解法(1)：设抛物线的函数关系式为顶点式：(a ≠0)，把（2，0）代入得， 所以抛物线的函数关系式为；解法(2)：设抛物线的函数关系式为两点式：(4)y a x =+（x-2）(a ≠0)，把（－1，4）代入得， 所以抛物线的函数关系式为：4(4)9y x =-+（x-2）； 【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】【变式】（2014•永嘉县校级模拟）已知抛物线经过点（1，0），（﹣5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式 ．【答案】y=﹣x 2﹣2x+ .提示：设抛物线的解析式为y=a （x+2）2+，将点（1，0）代入，得a （1+2）2+=0，解得a=﹣，即y=﹣（x+2）2+，∴所求二次函数解析式为y=﹣x2﹣2x+．类型二、用待定系数法解题4.（2015春•石家庄校级期中）已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据，（1）求二次函数的解析式；（2）设此二次函数的顶点为P，求△ABP的面积．【答案与解析】解：（1）由二次函数图象知，函数与x轴交于两点（﹣1，0），（3，0），设其解析式为：y=a（x+1）（x﹣3），又∵函数与y轴交于点（0，2），代入解析式得，a×（﹣3）=2，∴a=﹣，∴二次函数的解析式为：，即；（2）由函数图象知，函数的对称轴为：x=1，当x=1时，y=﹣×2×（﹣2）=，∴△ABP 的面积S===．【总结升华】此题主要考查二次函数图象的性质，对称轴及顶点坐标，另外巧妙设函数的解析式，从而来减少计算量.【答案与解析】(1)把A(2，0)，B(0，-6)代入212y x bx c =-++ 得220,6,b c c -++=⎧⎨=-⎩ 解得4,6.b c =⎧⎨=-⎩∴ 这个二次函数的解析式为21462y x x =-+-． (2)∵ 该抛物线的对称轴为直线44122x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， ∴ 点C 的坐标为(4，0)，∴ AC ＝OC-OA ＝4-2＝2．∴ 1126622ABC S AC OB ==⨯⨯=g g △． 【总结升华】求△ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解．(1)将A 、B 两点坐标分别代入解析式求出b ，c 的值．(2)先求出点C 的坐标再求出△ABC 的面积．举一反三：【高清课程名称：待定系数法求二次函数的解析式高清ID 号： 356565 关联的位置名称（播放点名称）：例3-例4】【变式】已知二次函数图象的顶点是(12)-，，且过点302⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数m ，点2()M m m -，都不在这个二次函数的图象上.【答案】（1）23212+--=x x y ；（2）证明：若点2()M m m -，在此二次函数的图象上，则221(1)22m m -=-++．得2230m m -+=．△=41280-=-<，该方程无实根．所以原结论成立．待定系数法求二次函数的解析式—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 对于任何的实数t ，抛物线 y=x 2 + (2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 ( )A. (l, 3)B.（-l, 0)C.（-1, 3)D. (1, 0)2．如图所示为抛物线2y ax bx c =++的图象，A 、B 、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA ＝OC ＝1，则下列关系中正确的是（ ）A ．1a b +=-B ．1a b -=-C ．2b a <D ．0ac <3．（2016•东平县二模）如果抛物线y=x 2﹣6x+c ﹣2的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（ ）A ．8B ．14C ．8或14D ．﹣8或﹣144．老师出示了小黑板上题后．小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a ＝1，小颖说： 抛物线被x 轴截得的线段长为2，你认为四个人的说法中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2015•高淳县一模）已知二次函数y=a （x ﹣h ）2+k （a ＞0）的图象过点A （0，1）、B （8，2），则h 的值可以是（ ）已知抛物线23y ax bx =++ 与x 轴交于(1，0)，试添加一个条件，使它的对称轴为直线x ＝2．A ．3B ． 4C ． 5D ． 66．如图所示，正方形ABCD 的边长为1，E 、F 、G 、H 分别为各边上的点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ，设小正方形EFGH 的面积为S ，AE 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是( )二、填空题7．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为_ _______．8．已知二次函数对称轴为x ＝2，且在x 轴上截得的线段长为6，与y 轴交点为(0，-2)，则此二次函数的解析式为 ．9．（2016•长宁区一模）已知二次函数y=ax 2+bx ，阅读下面表格信息，由此可知y 与x 的函数关系式是 ．x﹣1 1 y 0 2•河南一模）二次函数的图象如图所示，则其解析式为 ．11．如图所示，已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与x 轴的另一个交点为C ，则AC 长为________．第11题 第12题12．在如图所示的直角坐标系中，已知点A （1，0），B （0，-2），将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ．（1）点C 的坐标为 ；（2）若抛物线2122y x ax =-++经过点C ，则抛物线的解析式为 ． 三、解答题13．已知2y ax bx c =++(a ≠0)经过A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点P 到AB 的距离为2，求此抛物线的解析式．14．（2015•大庆模拟）如图，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P ，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足S △PAB =8，并求出此时P 点的坐标．15．已知，如图所示，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A(1，0)，B(3，0)，与y 轴相交于点C(0，3)．(1)求抛物线的函数关系式； (2)若点7,2D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线2y ax bx c =++上的一点，请求出m 的值，并求出此时△ABD 的面积．【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】把y=x2 + (2-t) x + t化为y=x2+2x+(1-x)t, 因为对于任何的实数t，抛物线y=x2 + (2-t) x + t总经过一个固定的点，所以与t的值无关，即1-x=0，x=1,代入y=x2+2x+(1-x)t,得y=3,过定点（1,3），故选A.2.【答案】B；【解析】由图知A(-1，0)，C(0，1)代入2y ax bx c=++中得0,1,a b cc-+=⎧⎨=⎩∴a-b＝-1．3.【答案】C.【解析】根据题意=±3，解得c=8或14．故选C．4.【答案】C；【解析】小颖说的不对，其他人说的对．5.【答案】A；【解析】把A（0，1）、B（8，2）分别代入y=a（x﹣h）2+k（a＞0）得，②﹣①得64a﹣16ah=1，解得a=＞0，所以h＜4．故选A．6.【答案】B；【解析】∵AB＝BC＝CD＝DA＝1，AE＝BF＝CG＝DH＝x，∴ AH ＝DG ＝CF ＝BE ＝1-x ．∴ 1(1)2AEH BEF CFG DHG S S S S x x ====-△△△△，∴ 2114(1)2212S x x x x =-⨯-=-+，又0≤x ≤1，其图象应为开口向上，自变量从0到1之间的抛物线部分，故选B ．二、填空题7．【答案】2y x x =+或21133y x x =-+；【解析】抛物线经过点(1，0)或(-1，0)．8．【答案】 228255y x x =--；【解析】由对称轴x ＝2和抛物线在x 轴上截得的线段长为6，可知抛物线与x 轴的两个交点为(-1，0)，(5，0)，然后设交点式易求解．∵ 抛物线的对称轴为x ＝2，且在x 轴上截得线段长为6，∴ 抛物线与x 轴两交点为(-1，0)，(5，0)．设二次函数解析式为y ＝a(x+1)(x-5) (a ≠0)．将点(0，2)代入上式得-2＝a(0+1)(0-5)，∴ 25a =．因此二次函数解析式为2(1)(5)5y x x =+-．即228255y x x =--．9.【答案】y=x 2+x ．【解析】把x=﹣1，y=0和x=1，y=2代入y=ax 2+bx 得，解得a=1，b=1，所以y 与x 的函数关系式为y=x 2+x ．10．【答案】 y=﹣x 2+2x+3；【解析】由图象可知，抛物线对称轴是直线x=1，与y 轴交于（0，3），与x 轴交于（﹣1，0）设解析式为y=ax 2+bx+c ，，解得．故答案为：y=﹣x 2+2x+3．11．【答案】3；【解析】由2y x bx c =++经过点(-1，0)，(1，-2)可得10,12,b c b c -+=⎧⎨++=-⎩ ∴ 1,2,b c =-⎧⎨=-⎩ ∴ 22y x x =--． 其对称轴为12x =，由对称性可求C 点坐标为（2，0），∴ 2(1)3AC =--=.12．【答案】（1）(3，-1)；（2）211222y x x =-++.【解析】(1)过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，在△ACD 和△BAO 中，由已知有∠CAD+∠BAO ＝90°，而∠ABO+∠BAO ＝90°，∴ ∠CAD ＝∠ABO ，又∵ ∠CDA ＝∠AOB ＝90°，且由已知有CA ＝AB ，∴ △ACD ≌△BAO ，∴ CD ＝OA ＝1，AD ＝BO ＝2，∴ 点C 的坐标为(3，-1)；(2)∵ 抛物线2122y x ax =-++，经过点C(3，-1)，∴ 2113322a -=-⨯++，解得12a =，∴ 抛物线的解析式为211222y x x =-++.三、解答题13.【答案与解析】∵ A(-3，2)，B(1，2)的纵坐标相同，∴ 抛物线对称轴为x ＝-1．又∵ 顶点P 到AB 距离为2，∴ P(-l ，0)或P(-1，4)．故可设抛物线解析式为2(1)y a x =+(a ≠0)或2(1)4y a x =++(a ≠0)．将B(1，2)分别代人上式得12a =或12a =-．∴ 21(1)2y x =+或21(1)42y x =-++．14.【答案与解析】解：（1）∵抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，∴方程x 2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，∴﹣1+3=﹣b，﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．（3）设P的纵坐标为|y P|，∵S△PAB=8，∴AB•|y P|=8，∵AB=3+1=4，∴|y P|=4，∴y P=±4，把y P=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1±2，把y P=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，解得，x=1，∴点P在该抛物线上滑动到（1+2，4）或（1﹣2，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．15.【答案与解析】（1）由已知得0,930,3,a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解之1,4,3.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴ 243y x x =-+． （2）∵ 7,2D m ⎛⎫ ⎪⎝⎭是抛物线243y x x =-+上的点，∴ 54m =， ∴ 1552244ABD S =⨯⨯=△．。
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用待定系数法求二次函数的解析式
已知抛物线与x轴交于 （－1， ）， 轴交于A（－ ），B（ ） 例2 已知抛物线与 轴交于 （－ ，0）， （1,0） 并经过点M（ ），求抛物线的解析式. ），求抛物线的解析式 并经过点 （0,1），求抛物线的解析式 解：设所求的二次函数的解析式为y=ax2+bx+c 设所求的二次函数的解析式为 a-b+c=0 a+b+c=0 c=1 解得 a=-1, b=0, c=1 故所求的抛物线解析式为 y=－x2+1
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c， 设抛物线的解析式为 ＋ 根据题意可知 抛物线经过(0， ， ， 和 ， 三点 抛物线经过 ，0)，(20，16)和(40，0)三点 可得方程组 评价 通过利用给定的条件
列出a、 、 的三元 列出 、b、c的三元 一次方程组，求出a、 一次方程组，求出 、 b、c的值，从而确定 的值， 、 的值 函数的解析式． 函数的解析式． 过程较繁杂， 过程较繁杂，
26.1.5 用待定系数法求二次函数的解析式
回顾： 回顾：用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（ ， ） ），求 已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求 ， ）， 这个一次函数的解析式。 这个一次函数的解析式。 设这个一次函数的解析式为y=kx+b, 解：设这个一次函数的解析式为 因为一次函数经过点（ ， ） 因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， ， ）， k+b=3 所以 -2k+b=-12 解得 k=3，b=-6 一次函数的解析式为y=3x-6. 一次函数的解析式为
课 堂
练 习
1、一个二次函数，当自变量x = 0时，函数值y = −1， 1 当x = −2与 时，y = 0.求这个二次函数的解析式。 2 2、一个二次函数的图象经过（0， 0），（ − 1， 1 − ）， （， 1 9）三点，求这个二次函数的解析式。
应 用
有一个抛物线形的立交桥拱， 例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m 跨度为40m 16m， 40m． 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 如图所示) 求抛物线的解析式． 里(如图所示)，求抛物线的解析式．
应 用Байду номын сангаас
有一个抛物线形的立交桥拱， 例3 有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大 高度为16m 跨度为40m 16m， 40m． 高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系 如图所示) 求抛物线的解析式． 里(如图所示)，求抛物线的解析式． 解：设抛物线为 设抛物线为y=a(x-20)2＋16
y
通常选择一般式。 通常选择一般式。 已知图象的顶点坐标和图像上任意一点， 已知图象的顶点坐标和图像上任意一点， 通常选择顶点式。 x 通常选择顶点式。
o
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式， 恰当地选用一种函数表达式，
根据题意可知 在抛物线上， ∵ 点(0，0)在抛物线上， ， 在抛物线上 评价
通过利用条件中的顶 点和过原点选用顶点 式求解， 式求解， 方法比较灵活
∴ 所求抛物线解析式为
课 堂
小 结
求二次函数解析式的一般方法： 求二次函数解析式的一般方法： 已知图象上三点或三对的对应值， 已知图象上三点或三对的对应值，
用待定系数法求二次函数的解析式
已知一个二次函数的图象过点（－ （－1， ）、 例1 已知一个二次函数的图象过点（－ ，10）、 ）、（2， ）三点，求这个函数的解析式. （1，4）、（ ，7）三点，求这个函数的解析式 ， ）、（ 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c 解： 设所求的二次函数为 a-b+c=10 由已知得： 由已知得： a+b+c=4 4a+2b+c=7 解方程得： 解方程得：a=2, b=-3, c=5 因此：所求二次函数是： 因此：所求二次函数是： y=2x2-3x+5
用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数y=ax2+bx+c的解析式，关键是 的解析式， 求二次函数 的解析式 求出待定系数a 的值。 求出待定系数 ，b，c的值。 的值 由已知条件（ 由已知条件（如二次函数图像上三个点的 坐标）列出关于a 的方程组， 坐标）列出关于 ，b，c的方程组，并求出 的方程组 a，b，c，就可以写出二次函数的解析式。 就可以写出二次函数的解析式。