三峡大学2010考研理论力学参考答案

三 峡 大 学

2010年研究生入学考试试题参考答案

考试科目：824理论力学（二）

一、(15分)如图1 所示的三铰拱桥，由左、右两拱铰接而成。设各拱自重不计，在拱AC 上作用有载荷P 。试分别画出拱AC 和CB 的受力图。

图1

解：由于拱BC 自重不计，且只在B 、C 两处受到铰链约束，因此拱

BC 为二力构件。由于拱AC 在P 、C

S '和A N 三个力作用下平衡，根据三力平衡汇交定理，确定铰链A 处约束反力A N 的方向。拱AC 和CB 的受力，如图1a 所示。

B

C

'A

图1a

二、(25分)如图2所示，压路机的辗子重kN P 40=，半径cm r 120=。若

将此辗子拉过高cm h 16=的障碍物，在其中心O 作用一水平拉力F ，求此拉力的大小和辗子对障碍物的压力。

P

图2a 图2b 图2c

解：选辗子为研究对象。辗子在重力P 、地面只承力A N 、水平拉力

F 和障碍物的支反力B N 的作用下处于平衡，如图2b 所示。这些力汇交

于点O ，是一个平面汇交力系。当辗子刚离开地面时，0=A N ，拉力F 有最大值，这就是辗子越过障碍物的力学条件。

根据平面汇交力系平衡的几何条件，P 、B N 和F 三个力应组成一个封闭的力三角形。应用三角公式，求得：

αPtg F = （1）

α

cos P

N B =

（2） 由图中的几何关系，求得：

577.0)(2

2=---=h

r h r r tg α （3）

代入（1）、（2）式：

kN

N kN F B 1.235.11==

由作用力和反作用力关系知，辗子对障碍物的压力也等于23.1kN 。

三、(30分)梯子AB 靠在墙上，与水平面成θ角。梯子长l AB =，重量可以略去，如图3所示。已知梯子与地面、墙面间的静摩擦系数分别为1f 、

2f 。重量为P 的人沿梯子登，他在梯上的位置C 点不能过高，即距离

s AC =如超过一定限度，则梯子即将滑到。试求s 的范围。

A

x

图3a 图3b

解：设人沿梯子登已到极限位置，当max s s =时，梯子处于从静止转入滑倒的临界状态。梯子与地面的接触点A 有沿地面向右滑动的趋势，故该处摩擦力max A F 指向左方，且其大小达到最大值A N f 1。同样地，梯子与墙面的接触点B 有向下滑动的趋势，故摩擦力max B F 指向上方，且其大小达到最大值B N f 2。这时，梯子的受力图3b 所示。P 、A N 、max A F 、

B N 、max B F 各力构成平面一般力系。取坐标轴如图3b 所示，建立平衡

方程：

∑=0X ： 0m a x =-A B

F N ； （1） ∑=0Y ： 0m a x =-+P F N

B A

； （2）

∑=0A

M

：0)cos ()sin ()cos (max max =--θθθl F l N s P b B （3）

且有：

A A N f F 1max = (4)

B B N f F 2max = (5)

将（4）、（5）式代入（1）、（2）式中，消去A N 后解得：

P f f f f N B 2

111

+=

(6)

将此B N 值代入（3）式并利用关系式（5），整理后得到：

l f f f tg f s 2

121max 1)

(++=

θ (7)

因此，为保持梯子静止，s 值的范围为：

l f f f tg f s 2

121max

1)(0++≤≤θ (8)

四、(30分)凸轮在水平面上向右作减速运动，如图5所示。求杆AB 在图示位置时的加速度。设凸轮半径为R ，图示瞬时的速度和加速度分别为υ和a 。

图5a 图5b

解：以杆AB 上的点A 为动点，凸轮为动参考体，则点A 的绝对轨

迹为直线，相对轨迹为凸轮轮廓曲线。由于牵连运动为平动，点的加速度合成定理为：

r e a a a a += （1）

式中a a 为所求的加速度，已知它的方向沿直线AB ，但指向和大小尚待确定。

点A 的牵连加速度为凸轮上与动点重合的那一点的加速度，即：

a a a = （2）

点A 的相对轨迹为曲线，于是相对加速度分为两个分量：切线分量τ

r a 的大小和指向都是未知的，法向分量n

r a 的方向如图所示，大小为：

R

a r n r 2

υ=

（3）

式中的相对速度r υ可根据速度合成定理求出，它的方向如图5b 所示。大小为：

ϕ

υ

ϕυυsin sin ==

e r （4） 于是

ϕ

υ2

2

sin 1R a n r

= （5） 加速度合成定理可写成如下形式：

n

r

r e a a a a a ++=τ （6） 假设a a 和τ

r a 的指向如图所示。将上式投影到法线上，得

n r e a a a a +=ϕϕcos sin （7）

解得：

ϕ

υϕϕυϕϕ3

2

22sin )sin cos (sin 1R actg R a a a +=+= （8） 当0

90<ϕ时，0>a a ，说明假设的a a 的方向恰是真实的方向。

五、（25分）半径为r ，重为1P 的半圆柱体放在光滑的水平面上，

一重为2P 的小球从圆柱顶点无初速的滑下，如图5所示。（1）列写系统运动微分方程；（2）求小球离开圆柱体前的轨迹。

图5

解：（1）系统具有两个自由度，选θ,x 为广义坐标。研究半圆柱体与小球

A 所组成的系统。作用在系统上的外力如图（a ）所示，

y

(b)

系统动量在水平方向守恒，即0..

=∑c x m ，得出：

0..

2..1=+A x g

P x g P 而θθθθθθθcos sin ,cos ,sin 2

...

.....r r x x r x x r x x A A A +-=+=+=

θθθθθθθsin cos ,sin ,cos ..

2

...

..r r x r x r y A A A --=-==