三峡大学2010考研理论力学参考答案
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三 峡 大 学
2010年研究生入学考试试题参考答案
考试科目:824理论力学(二)
一、(15分)如图1 所示的三铰拱桥,由左、右两拱铰接而成。设各拱自重不计,在拱AC 上作用有载荷P 。试分别画出拱AC 和CB 的受力图。
图1
解:由于拱BC 自重不计,且只在B 、C 两处受到铰链约束,因此拱
BC 为二力构件。由于拱AC 在P 、C
S '和A N 三个力作用下平衡,根据三力平衡汇交定理,确定铰链A 处约束反力A N 的方向。拱AC 和CB 的受力,如图1a 所示。
B
C
'A
图1a
二、(25分)如图2所示,压路机的辗子重kN P 40=,半径cm r 120=。若
将此辗子拉过高cm h 16=的障碍物,在其中心O 作用一水平拉力F ,求此拉力的大小和辗子对障碍物的压力。
P
图2a 图2b 图2c
解:选辗子为研究对象。辗子在重力P 、地面只承力A N 、水平拉力
F 和障碍物的支反力B N 的作用下处于平衡,如图2b 所示。这些力汇交
于点O ,是一个平面汇交力系。当辗子刚离开地面时,0=A N ,拉力F 有最大值,这就是辗子越过障碍物的力学条件。
根据平面汇交力系平衡的几何条件,P 、B N 和F 三个力应组成一个封闭的力三角形。应用三角公式,求得:
αPtg F = (1)
α
cos P
N B =
(2) 由图中的几何关系,求得:
577.0)(2
2=---=h
r h r r tg α (3)
代入(1)、(2)式:
kN
N kN F B 1.235.11==
由作用力和反作用力关系知,辗子对障碍物的压力也等于23.1kN 。
三、(30分)梯子AB 靠在墙上,与水平面成θ角。梯子长l AB =,重量可以略去,如图3所示。已知梯子与地面、墙面间的静摩擦系数分别为1f 、
2f 。重量为P 的人沿梯子登,他在梯上的位置C 点不能过高,即距离
s AC =如超过一定限度,则梯子即将滑到。试求s 的范围。
A
x
图3a 图3b
解:设人沿梯子登已到极限位置,当max s s =时,梯子处于从静止转入滑倒的临界状态。梯子与地面的接触点A 有沿地面向右滑动的趋势,故该处摩擦力max A F 指向左方,且其大小达到最大值A N f 1。同样地,梯子与墙面的接触点B 有向下滑动的趋势,故摩擦力max B F 指向上方,且其大小达到最大值B N f 2。这时,梯子的受力图3b 所示。P 、A N 、max A F 、
B N 、max B F 各力构成平面一般力系。取坐标轴如图3b 所示,建立平衡
方程:
∑=0X : 0m a x =-A B
F N ; (1) ∑=0Y : 0m a x =-+P F N
B A
; (2)
∑=0A
M
:0)cos ()sin ()cos (max max =--θθθl F l N s P b B (3)
且有:
A A N f F 1max = (4)
B B N f F 2max = (5)
将(4)、(5)式代入(1)、(2)式中,消去A N 后解得:
P f f f f N B 2
111
+=
(6)
将此B N 值代入(3)式并利用关系式(5),整理后得到:
l f f f tg f s 2
121max 1)
(++=
θ (7)
因此,为保持梯子静止,s 值的范围为:
l f f f tg f s 2
121max
1)(0++≤≤θ (8)
四、(30分)凸轮在水平面上向右作减速运动,如图5所示。求杆AB 在图示位置时的加速度。设凸轮半径为R ,图示瞬时的速度和加速度分别为υ和a 。
图5a 图5b
解:以杆AB 上的点A 为动点,凸轮为动参考体,则点A 的绝对轨
迹为直线,相对轨迹为凸轮轮廓曲线。由于牵连运动为平动,点的加速度合成定理为:
r e a a a a += (1)
式中a a 为所求的加速度,已知它的方向沿直线AB ,但指向和大小尚待确定。
点A 的牵连加速度为凸轮上与动点重合的那一点的加速度,即:
a a a = (2)
点A 的相对轨迹为曲线,于是相对加速度分为两个分量:切线分量τ
r a 的大小和指向都是未知的,法向分量n
r a 的方向如图所示,大小为:
R
a r n r 2
υ=
(3)
式中的相对速度r υ可根据速度合成定理求出,它的方向如图5b 所示。大小为:
ϕ
υ
ϕυυsin sin ==
e r (4) 于是
ϕ
υ2
2
sin 1R a n r
= (5) 加速度合成定理可写成如下形式:
n
r
r e a a a a a ++=τ (6) 假设a a 和τ
r a 的指向如图所示。将上式投影到法线上,得
n r e a a a a +=ϕϕcos sin (7)
解得:
ϕ
υϕϕυϕϕ3
2
22sin )sin cos (sin 1R actg R a a a +=+= (8) 当0
90<ϕ时,0>a a ,说明假设的a a 的方向恰是真实的方向。
五、(25分)半径为r ,重为1P 的半圆柱体放在光滑的水平面上,
一重为2P 的小球从圆柱顶点无初速的滑下,如图5所示。(1)列写系统运动微分方程;(2)求小球离开圆柱体前的轨迹。
图5
解:(1)系统具有两个自由度,选θ,x 为广义坐标。研究半圆柱体与小球
A 所组成的系统。作用在系统上的外力如图(a )所示,
y
(b)
系统动量在水平方向守恒,即0..
=∑c x m ,得出:
0..
2..1=+A x g
P x g P 而θθθθθθθcos sin ,cos ,sin 2
...
.....r r x x r x x r x x A A A +-=+=+=
θθθθθθθsin cos ,sin ,cos ..
2
...
..r r x r x r y A A A --=-==