分式总结归纳

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一对一教师辅导讲义
第一讲 分式的定义及运算
一、分式的定义：一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B
A 叫做分式，A 为分子，
B 为分母。

二、与分式有关的条件
①分式有意义：分母不为0（0B ≠
） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0
B A ）
④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ）⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩
⎨⎧><00
B A ）
⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） （一）、分式定义及有关题型
题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：y x y
x y x y x b
a b a y x x -++-+--1
,
,,21,22π，是分式的有： .
题型二：考查分式有意义的条件
【例2】当x 有何值时，下列分式有意义（1）
44+-x x （2）2
32+x x
（3）
1
22
-x （4）
3
||6--x x
（5）
x
x 11-
题型三：考查分式的值为0的条件
【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）3
1
+-x x
（2）
4
2||2
--x x （3）
6
5322
2----x x x x
题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正；（2）当x 为何值时，分式2
)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32
+-x x 为非负数.
（二）分式的基本性质及有关题型
1．分式的基本性质：
M
B M
A M
B M A B A ÷÷=
⨯⨯= 2．分式的变号法则：b a b a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数
【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x y
x 4
13132
21+- （2）
b
a b
a +-04.003.02.0
题型二：分数的系数变号
【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）y
x y
x --+-
（2）b
a a
---
题型三：化简求值题 【例3】已知：
511=+y x ，求
y xy x y xy x +++-2232的值.提示：整体代入，①xy y x 3=+，②转化出y
x 1
1+.
2
【例4】已知：21=-
x x ，求221
x
x +的值. 【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求y x 241-的值. （三）分式的运算
1．确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； ②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂.
2．确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数；②取分子、分母相同的字母因式的最低次幂. 题型一：通分
【例1】将下列各式分别通分.
（1）
c b a c a b ab c 225,
3,2--； （2）2
2
,21,1222--+--x x x x x x x ； 题型二：约分 【例2】约分：（1）
322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6
2
22---+x x x x .
题型三：分式的混合运算
【例3】计算：
（1）4
2232)()()(a
bc ab c c b a ÷-⋅-； （2）
m n m n m n m n n m ---+-+22； 题型四：化简求值题
【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]1
21()144[(4
8
122
x x x x -÷-+--的值；
（2）已知：
432z y x ==，求2
2232z y x xz
yz xy ++-+的值； 题型五：求待定字母的值 【例5】若
1
11
312-+
+=
--x N
x M x x ，试求N M ,的值.
（四）、整数指数幂与科学记数法 题型一：运用整数指数幂计算 【例1】计算：（1）313
2)()
(---⋅bc a
（2）2322
123)5()
3(z xy z
y x ---⋅
题型二：化简求值题 【例2】已知51
=+-x
x ，求（1）22-+x x 的值；（2）求44-+x x 的值.
题型三：科学记数法的计算
【例3】计算：（1）2
23
)102.8()103(--⨯⨯⨯； （2）3
22
3)102()104(--⨯÷⨯.
3
第二讲 分式方程 （一）分式方程题型分析 题型一：用常规方法解分式方程
【例1】解下列分式方程（1）
x x 311=-； （2）0132=--x x ； （3）x
x x x -+=++4535 提示易出错的几个问题：①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根；④忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程
【例2】解下列方程（1）
4441=+++x x x x ； （2）5
69108967+++++=+++++x x x x x x x x 提示：（1）换元法，设y x x =+1； （2）裂项法，6
1
167++=++x x x . 题型三：求待定字母的值 【例3】若关于x 的分式方程
3
132--=-x m
x 有增根，求m 的值. 【例4】若分式方程
12
2-=-+x a
x 的解是正数，求a 的取值范围. 【例5】若分式方程x
m
x x -=--221无解，求m 的值。

（二）分式方程的应用
一、营销类应用性问题例1 某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？
二、工程类应用性问题例2例2．在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用
三、行程中的应用性问题例3 甲、乙两地相距828km ，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h ，比普通快车早4h 到达乙地，求两车的平均速度．
四、轮船顺逆水应用问题例4 轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。