高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质二课件北师大版选修1_1
合集下载
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线的简单性质(一)课件 北师大版选修1-1.pptx
8
题型探究
9
类型一 抛物线简单性质的应用
例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A， B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程解. 答
由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)， 焦点 F(m2 ，0).直线 l：x＝m2 ， 所以 A，B 两点坐标为(m2 ，m)，(m2 ，－m)，所以|AB|＝2|m|. 因为△OAB的面积为4，所以12·|m2 |·2|m|＝4， 所以 m＝±2 2. 所以抛物线的标准方程为 y2＝±4 2x.
10
引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点， OA⊥OB，则△AOB的面积是__4_p_2_. 答案 解析
11
反思与感悟
把握三个要点确定抛物线简单性质 (1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是明确二次项是x 还是y， 一次项的系数是正还是负. (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通 径)长为2p；离心率恒等于1.
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离. 解答 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋p2＋x2 ＋p2＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3， 所以x1＋x2＝6，所以线段AB的中点M的横坐标是3. 又准线方程是 x＝－32， 所以 M 到准线的距离等于 3＋32＝92.
23
反思与感悟
抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的 距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两 点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线 垂线段最短等.
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质课件4 北师大版选修1-1
第5课时 抛物线的简单性质
K12课件
1
1.根据图像理解抛物线的对称性、顶点坐标和离心率并展开 应用.了解“p”的意义,会求简单的抛物线方程. 2.通过与双曲线、椭圆的类比,体会探究的乐趣,激发学生的 学习热情.
K12课件
2
某公园要建造一个如图1的圆形喷水池,在
水池中央垂直于水面安装一个花形柱子
OA,O恰在水面中心,OA=0.81米,安置在柱子
线的 轴 .
K12课件
4
(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的 顶点 .
在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此这条抛物线的顶点 就是 坐标原点 .
(4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比,叫作抛物 线的 离心率 ,用e表示,按照抛物线的定义,e= 1 .
(5)通径:过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦,称
点到定点的最值问题.
(2)方法:以抛物线 y2=2px(p>0)为例,设 P(x0,y0)是 y2=2px 上
一点,则 x0 =
y
2 0
,即
P
点坐标为
2p
(
y
2 0
2p
,y0
),由两点间的距离公
式、点到直线的距离公式表示出所求距离,再用函数最值的方
法求解.
K12课件
6
1 抛物线y=x2的对称轴是( B ). A.x轴 B.y轴 C.y=x D.y=-x
问题2 (1)范围:若p>0,由方程y2=2px可知,这条抛物线上任意 一点M的坐标(x,y)满足等式.所以这条抛物线在y轴的 右 侧
;当x的值增大时,|y|也 增大 ,这说明抛物线向右上方和
右下方无限延伸,它开口 越开阔 .
K12课件
1
1.根据图像理解抛物线的对称性、顶点坐标和离心率并展开 应用.了解“p”的意义,会求简单的抛物线方程. 2.通过与双曲线、椭圆的类比,体会探究的乐趣,激发学生的 学习热情.
K12课件
2
某公园要建造一个如图1的圆形喷水池,在
水池中央垂直于水面安装一个花形柱子
OA,O恰在水面中心,OA=0.81米,安置在柱子
线的 轴 .
K12课件
4
(3)顶点:抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的 顶点 .
在方程y2=2px(p>0)中,当y=0时,x=0,因此这条抛物线的顶点 就是 坐标原点 .
(4)离心率:抛物线上的点与焦点和准线的距离的比,叫作抛物 线的 离心率 ,用e表示,按照抛物线的定义,e= 1 .
(5)通径:过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦,称
点到定点的最值问题.
(2)方法:以抛物线 y2=2px(p>0)为例,设 P(x0,y0)是 y2=2px 上
一点,则 x0 =
y
2 0
,即
P
点坐标为
2p
(
y
2 0
2p
,y0
),由两点间的距离公
式、点到直线的距离公式表示出所求距离,再用函数最值的方
法求解.
K12课件
6
1 抛物线y=x2的对称轴是( B ). A.x轴 B.y轴 C.y=x D.y=-x
问题2 (1)范围:若p>0,由方程y2=2px可知,这条抛物线上任意 一点M的坐标(x,y)满足等式.所以这条抛物线在y轴的 右 侧
;当x的值增大时,|y|也 增大 ,这说明抛物线向右上方和
右下方无限延伸,它开口 越开阔 .
高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质(一)(第1课时)
a＝4 2， 解得b＝4，
c＝4.
所以所求的椭圆方程为3x22 ＋1y62 ＝1 或3y22 ＋1x62 ＝1，
离心率
e＝ac＝
2 2.
当焦点在 x 轴上时，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，
顶点坐标为(－4 2，0)，(4 2，0)，(0，－4)，(0,4)；
当焦点在 y 轴上时，焦点坐标为(0，－4)，(0,4)，
[题后感悟] (1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数 法． (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准， 定参数”，一般步骤是：①求出a2，b2的值；②确定焦 点所在的坐标轴；③写出标准方程． (3)解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
2.求合适下列条件的椭圆的标准方程． (1)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂 直，且焦距为6； (2)以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过 点A(5,0)．
2a＝5×2b， 由题意，得2a52 ＋b02＝1，
解得ab＝ ＝51， ，
故所求的标准方程为2x52 ＋y2＝1；
若椭圆的焦点在 y 轴上，设其标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)，
2a＝5×2b， 由题意，得a02＋2b52 ＝1，
解得ab＝ ＝255，，
故所求的标准方程为6y225＋2x52 ＝1.
∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴ac22＝15.……………10 分 ∴e2＝15，即 e＝ 55，所以椭圆的离心率为 55.…12 分
[题后感悟] (1)求离心率e时，除用关系式a2＝b2＋c2外，还要注意e ＝的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定 义、正弦定理及余弦定理、全等三角形、类似三角形 等知识．
(完整版)北师大版高中数学课本目录
必修1 第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算3.1 交集与并集3.2 全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识2.1 函数概念2.2 函数的表示法2.3 映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究4.1 二次函数的图像4.2 二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质2.1 指数概念的扩充2.2 指数运算的性质§3指数函数3.1 指数函数的概念3.2 指数函数和的图像和性质3.3 指数函数的图像和性质§4 对数4.1 对数及其运算4.2 换底公式§5 对数函数5.1 对数函数的概念5.2 y=log2x的图像和性质5.3 对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程1.1 利用函数性质判定方程解的存在1.2 利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模2.1 实际问题的函数刻画2.2 用函数模型解决实际问题2.3 函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体 1.1 简单旋转体1.2 简单多面体§2 直观图§3 三视图3.1 简单组合体的三视图3.2 由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理4.1 空间图形基本关系的认识4.2 空间图形的公理§5 平行关系5.1 平型关系的判定5.2 平行关系的性质§6 垂直关系6.1 垂直关系的判定6.2 垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积7.1 简单几何体的侧面积7.2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程1.1 直线的倾斜角和斜率1.2 直线的方程1.3 两条直线的位置关系1.4 两条直线的交点1.5 平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程2.1 圆的标准方程2.2 圆的一般方程2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系3.1 空间直角坐标系的建立3.2 空间直角坐标系中点的坐标3.3 空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法2.1 简单随机抽样2.2 分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差4.2 标准差§5 用样本估计总体5.1 估计总体的分布5.2 估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想 1.1 算法案例分析1.2 排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计2.1 顺序结构与选择结构2.2变量与赋值2.3 循环结构§3 几种基本语句3.1 条件语句3.2 循环语句第三章概率§1 随机事件的概率 1.1 频率与概率1.2 生活中的概率§2 古典概型2.1 古典概型的特征和概率计算公式2.2 建立概率模型2.3 互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1 任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2 单位圆与周期性4.3 单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像5.1 从单位圆看正弦函数的性质5.2 正弦函数的图像5.3正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像6.1正弦函数的图像6.2 正弦函数的性质§7 正切函数7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的图像与性质7.2 正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量1.1 位移、速度、和力1.2 向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法2.1 向量的加法2.2 向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量3.1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4 平面向量的坐标 4.1 平面向量的坐标表示4.2 平面向量线性运算的坐标表示4.3 向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例7.1 点到直线的距离公式7.2 向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数2.1 两角差的余弦函数2.2 两角和与差的正弦、余弦函数2.3 两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列1.1 数列的概念1.2 数列的函数特征§2 等差数列2.1 等差数列2.2 等差数列的前n项和§3 等比数列3.1 等比数列3.2 等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理1.1 正弦定理 1.2 余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系1.1 不等关系1.2 比较大小§2 一元二次不等式2.1 一元二次不等式的解法2.2 一元二次不等式的应用§3 基本不等式3.1 基本不等式3.2 基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划4.1 二元一次不等式（组）与平面区域4.2 简单线性规划4.3 简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件2.1 充分条件2.2 必要条件2.3 充要条件§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题3.3 全。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2_2抛物线的简单性质二课件北师大版选修1_1
解析
√
1 A. 2 1 C. 6
1 B. 4 1 D. 8
1 x＝1，抛物线的焦点坐标为 ，0 ， 2
线段 AB 所在的直线的方程为
1 1 则焦点到直线 AB 的距离为 1－ ＝ . 2 2
1 2 3 4 5
3.已知抛物线 C：y2＝8x的焦点为 F ，准线与 x轴的交点为K，点A在C上且
|AK|＝ 2 |AF|，则△AFK的面积为 答案
解析
A.4
B.8 √
C.16
D.32
∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，
准线为x＝－2，∴K(－2，0).
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B， 则B(－2，y0)， 又|AF|＝|AB|＝x0＋2， ∵|AK|＝ 2|AF|，
反思与感悟
直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的
方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的
情况.
跟踪训练1
设抛物线y2 ＝8x的准线与x轴交于点 Q，若过点 Q的直线l与
解析
抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是 答案 1 1 A.[ － ， ] B.[－2，2] 2 2 C.[－1，1] D.[－4，4] 准线方程为x＝－2，Q(－2，0).
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
→ → 又OA· OB＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2，0).
反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这
类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这
类问题的关键是代换和转化.
√
1 A. 2 1 C. 6
1 B. 4 1 D. 8
1 x＝1，抛物线的焦点坐标为 ，0 ， 2
线段 AB 所在的直线的方程为
1 1 则焦点到直线 AB 的距离为 1－ ＝ . 2 2
1 2 3 4 5
3.已知抛物线 C：y2＝8x的焦点为 F ，准线与 x轴的交点为K，点A在C上且
|AK|＝ 2 |AF|，则△AFK的面积为 答案
解析
A.4
B.8 √
C.16
D.32
∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，
准线为x＝－2，∴K(－2，0).
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B， 则B(－2，y0)， 又|AF|＝|AB|＝x0＋2， ∵|AK|＝ 2|AF|，
反思与感悟
直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的
方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的
情况.
跟踪训练1
设抛物线y2 ＝8x的准线与x轴交于点 Q，若过点 Q的直线l与
解析
抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是 答案 1 1 A.[ － ， ] B.[－2，2] 2 2 C.[－1，1] D.[－4，4] 准线方程为x＝－2，Q(－2，0).
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
→ → 又OA· OB＝－4，∴b2－4b＝－4，
解得b＝2，故直线过定点(2，0).
反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这
类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这
类问题的关键是代换和转化.
北师大版高中数学选修1-1第二章圆锥曲线与方程第2节抛物线第一课时《抛物线及其标准方程》教学课件 (
y P
l
F OK x
y2 3 x 4
转化为标准方程 数→形
巩固提升：理解方程
2. 抛物线的准线为y=2,则其标准方程是（ D ）ylKOFxP
作图 形→数
x2 2 py
数学、物理、生活
抛物线定义 （形）
标准方程 （数）
数形结合 类比 分类讨论 转化
巩固提升：理解方程
3. 抛物线的顶点在原点，焦点F在x轴上，且经过 A(1,2 2) ，
B
.
CP
A
.F
看图说话：运用概念
经过定点且与定 直线相切的圆的圆心 轨迹是什么？为什么？
l F
自主建系：推导方程
建立直角坐标系， 求出抛物线方程.
l
dP
F
思考交流：归纳方程
图
像
ly P
图
KO F
x
像
y P
l
F OK
x l
y Pl
F
O
x
K
y
K
O
F
x
P
焦 点
F( p ,四0) 种方F (程 p有, 0什) 么结F(0构, p特) 征？F(0, p )
2如何将方程2 与图像对应2 记忆？ 2
准 线
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
方
程 y2 2 px
y2 2 px
x2 2 py
x2 2 py
巩固提升：理解方程
例 (1)已知抛物线的方程为x2=12y ，求抛物线的焦点坐标和准线 方程；
(2)已知抛物线的焦点 F(2,0) ，求抛物线的标准方程.
洛阳瀛洲大桥 抛物线型拱桥
卫星天线 抛物面天线
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程课件 北师大版选修1-1.ppt
[小组合作型] 由抛物线方程求焦点坐标、准线方程
已知抛物线方程如下，分别求其焦点和准线方程． (1)y＝6x2；(2)4y2＋7x＝0；(3)029】
【精彩点拨】 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出 p. 再写出焦点坐标和准线方程．
【自主解答】 (1)将 y＝6x2 变形得 x2＝16y，故 2p＝16， ∴p＝112，抛物线开口向上． ∴焦点坐标是0，214，准线方程为 y＝－214. (2)将 4y2＋7x＝0 变形为 y2＝－74x. ∴2p＝74，p＝78，抛物线开口向左． ∴焦点为－176，0，准线方程为 x＝176.
(3)将 x＝2ay2 化为 y2＝21ax. ∴焦点坐标为81a，0，准线方程为 x＝－81a.
1．根据抛物线方程求其焦点坐标和准线方程时，一定要先化为标准形式， 找出 2p，进而求出 p 和p2的值，然后借助抛物线的开口方向即可求出焦点坐标和 准线方程．
2．一般地，不论 a 符号如何，形如 y2＝ax(a≠0)的抛物线，焦点均为 Fa4，0， 准线方程均为 x＝－a4；形如 x2＝ay(a≠0)的抛物线，焦点为 F0，a4，准线方程 为 y＝－a4，而 p(指焦点到准线的距离)总是正数．
【精彩点拨】 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系 数 p；从实际分析，一般需确定 p 值和开口方向，如不能确定，应分类讨论．
【自主解答】 (1)设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)或 x2＝2py(p＞0)，则将点 (－3,2)代入方程，得 2p＝43或 2p＝92，
故抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y. (2)①令 x＝0，由方程 x－2y－4＝0，得 y＝－2. ∴抛物线的焦点为 F(0，－2)． 设抛物线方程为 x2＝－2py(p＞0)，则由p2＝2， 得 2p＝8. ∴抛物线方程为 x2＝－8y.
2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2抛物线2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修1_1
[解析] 解法一 由题意知，点N的坐标为(0，－p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线
AB的方程为y＝kx＋p，与x2＝2py联立得
x2＝2py， y＝kx＋p，
消去y，得x2－2pkx－2p2＝0，
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p2.于是S△ABN＝S△BCN＋S△ACN＝
又直线A2P的方程为y＝x0y－0 2(x－2)， 令x＝2 2，则y＝2 x20－－22y0， 即|DF|＝(2 2－2)|x0|y－0|2|. 所以|DE|·|DF|＝(2 2＋2)|x0|y＋0|2|·(2 2－2)|x0|y－0|2|＝|x204－y204|＝4－4y20x20. (*) 又P(x0，y0)在椭圆C上，所以3x20＋4y20＝12，即4y20＝12－3x20， 代入(*)式，得|DE|·|DF|＝344－－xx2020＝3， 所以|DE|·|DF|为定值3.
探究三 抛物线中的定点、定值(最值)、焦点弦问题
— 对称问题
— 最值问题
抛物线中的定点、 定值、焦点弦问题
——
—
焦点弦问题 定值问题
—
定点问题
5．等腰直角△ABO内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则
△ABO的面积是( )
A．8p2
B．4p2
∴ 2－p22＋y20＝2＋p2＝3.解得p＝2，y0＝±2 2，∴抛物线的标准方程为y2＝4x. (2)由(1)知点M(2，±2 2)，根据两点间的距离公式有|OM|＝ 22＋±2 22＝2 3.
探究二 直线与抛物线相交问题 [典例2] 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝ 2py(p>0)相交于A，B两点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点．求△ABN面积的最 小值．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修110830396
渐近线.
(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距
离的比,所以抛物线的离心率是确定的,为1.
(4)抛物线的焦点在对称轴上,准线垂直于对称轴,焦点到准线的距离为p,它
是一个不变量,不随抛物线位置的变化而变化,焦点与准线分别在顶点的两侧,
且它们到顶点的距离相等,均为 .
2
第四页，共27页。
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解如下图所示,
若直线的斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0,
= 0,
= 0,
由 2
得 = 0,
= 2
即直线 x=0 与抛物线只有一个公共点.
若直线的斜率存在,则设直线方程为 y=kx+1,代入 y2 =2x 整理得
- 2 ,0
与 F1 重合,
1
2
3
4
2.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上,则使得(shǐ
de)△ABC的面积为2的点C的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:设点 C(t,t2 ),直线 AB 的方程是 x+y-2=0,|AB|=2 2,由于△ABC
的面积为 2,则这个三角形中 AB 边上的高
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.
由
第二十二页，共27页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
≠ 0,
≠ 0,
1
由
即
得 k= 或 k=-1.
(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距
离的比,所以抛物线的离心率是确定的,为1.
(4)抛物线的焦点在对称轴上,准线垂直于对称轴,焦点到准线的距离为p,它
是一个不变量,不随抛物线位置的变化而变化,焦点与准线分别在顶点的两侧,
且它们到顶点的距离相等,均为 .
2
第四页，共27页。
探究
(tànjiū)二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
解如下图所示,
若直线的斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线方程为 x=0,
= 0,
= 0,
由 2
得 = 0,
= 2
即直线 x=0 与抛物线只有一个公共点.
若直线的斜率存在,则设直线方程为 y=kx+1,代入 y2 =2x 整理得
- 2 ,0
与 F1 重合,
1
2
3
4
2.已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图像上,则使得(shǐ
de)△ABC的面积为2的点C的个数为(
)
A.4
B.3
C.2
D.1
解析:设点 C(t,t2 ),直线 AB 的方程是 x+y-2=0,|AB|=2 2,由于△ABC
的面积为 2,则这个三角形中 AB 边上的高
此时过(-3,2)的直线方程为y=2,满足条件.
由
第二十二页，共27页。
探究
(tànjiū)一
探究(tànjiū)
二
探究
(tànjiū)三
思维辨析
≠ 0,
≠ 0,
1
由
即
得 k= 或 k=-1.
2018年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质课件2 北师大版选修1-1
标原点，并且经过点M（２， 2 2 ），
所以设方程为： y22px(p0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2p2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y 2 4 x
课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
x2 20 y
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
y2 16 x 5
(三）、课堂练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是
.
2、一个正三角形的三个顶回顾：
前面我们已学过椭圆的简单性 质,它们都是通过标准方程的形式 研究的,现在请大家想想抛物线的 标准方程、图形、焦点及准线是 什么?
图形
y
l
OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
方程
y2 = 2px （p>0）
y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l
OF
x
y2 = 2px （p>0）
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
y
FO
l
x
y2 = -2px （p>0）
F
(
p 2
所以设方程为： y22px(p0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2p2 p 2
因此所求抛物线标准方程为：y 2 4 x
课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
课堂练习：
求适合下列条件的抛物线的方程： （1）顶点在原点，焦点F为（0，5）;
x2 20 y
（2）顶点在原点，关于x轴对称,并且 经过点M(5,-4).
y2 16 x 5
(三）、课堂练习：
1、已知抛物线的顶点在原点，对称
轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那
么抛物线通径长是
.
2、一个正三角形的三个顶回顾：
前面我们已学过椭圆的简单性 质,它们都是通过标准方程的形式 研究的,现在请大家想想抛物线的 标准方程、图形、焦点及准线是 什么?
图形
y
l
OF x
yl
FO x
y
F
O
x
l
y
l
O F
x
方程
y2 = 2px （p>0）
y2 = -2px （p>0） x2 = 2py （p>0）
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y
l
OF
x
y2 = 2px （p>0）
F ( p ,0) 2
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
y
FO
l
x
y2 = -2px （p>0）
F
(
p 2
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.2抛物线的简单性质课件北师大版选修1_1
• A．y2＝8x
B．y2＝－8x
• C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
• 解析： 由题意知通径长2p＝8，且焦点在x轴上， 但开口向左或右不确定，故方程为y2＝8x或y2＝－8x.
• 答案： C
2．抛物线的顶点在坐标原点，焦点是椭圆 x2＋4y2＝1 的一
个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离为( )
答案： (±4,8)
4．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为 x 轴，且与圆 x2＋y2＝4 相交的公共弦长等于 2 3，求这条抛物线的方程．
解析 ： 设所求 抛物线方 程为 y2＝ 2px(p>0)或 y2＝ － 2px(p>0)，设交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，
即 3x－y－11＝0.
又由3y2x＝－6yx－11＝0 得：9x2－72x＋121＝0，①
Δ＝722－4×9×121＝828.
直线与抛物线交于两个不同的点，
故 3x－y－11＝0 即为所求直线．
由①可得：x1＋x2＝8，x1·x2＝1921.
∴|P1P2|＝
1＋9·
82－4×1921＝2
设弦 AB 端点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴y1＋y2＝8k. 又 Q(4,1)为弦 AB 中点， ∴y1＋2 y2＝1，即 y1＋y2＝2， ∴8k＝2，∴k＝4. 所以所求直线方程是 y＝4x－15.
• 求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点 的直线方程．
【错解】 设直线方程为 y＝kx＋1， 由yy＝2＝k2xx＋，1， 得 k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 当 k＝0 时，解得 y＝1，即直线 y＝1 与抛物线只有一个公 共点．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 x＝1，抛物线的焦点坐标为 ，0 ， 2
线段 AB 所在的直线的方程为
1 1 则焦点到直线 AB 的距离为 1－ ＝ . 2 2
1 2 3 4 5
3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为 F ，准线与 x轴的交点为K，点 A在 C上且 |AK|＝ 2 |AF|，则△AFK的面积为 答案 A.4 B.8 √ C.16 D.32
解得b＝2，故直线过定点(2，0).
反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这 类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这
类问题的关键是代换和转化.
跟踪训练3
如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线
AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值. 证明
得 当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，
1 k＝ . 4
1 2 3 4 5
∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条.
2.若抛物线 y2＝2x 上有两点 A，B，且 AB 垂直于 x 轴，若|AB|＝2 2， 则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为 答案
解析
√
1 A. 2 1 C. 6
1 B. 4 1 D. 8
求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解答
反思与感悟
中点弦问题解题策略两方法
跟踪训练 2
y x 已知抛物线 C1：x ＝4y 的焦点 F 也是椭圆 C2： 2＋ 2＝ a b
2
2
2
1(a>b>0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6，过点 F 的直线 l 与 → → C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，且AC与BD同向.
解析
∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，
准线为x＝－2，∴K(－2，0).
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B，
则B(－2，y0)， 又|AF|＝|AB|＝x0＋2， ∵|AK|＝ 2|AF|，
2 即8x0＝(x0＋2)2， ∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得 y2 ＝ ( x ＋ 2) ， 0 0 1 1 |y0|＝ ×4×4＝8. 解得A(2，±4). ∴△AFK 的面积为2|KF|· 2
第二章
§2
抛物线
2.2 抛物线的简单性质(二)
学习目标
1.掌握抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点
直线与抛物线的位置关系
思考1
直线与抛物线有哪几种位置关系？ 答案
三种：相离、相切、相交.
思考2
若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？ 答案 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交
当堂训练
1.过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有 答案 A.4条 C.2条 B.3条 D.1条
解析
√
当斜率不存在时，过P(0，1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公共点.
当斜率存在时，设直线为y＝kx＋1.
2 y 2x2＋(2k－1)x＋1＝0， ＝x， 得 k 当k＝0时，符合题意； 由 y＝kx＋1，
反思与感悟
直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的 方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的
情况.
跟踪训练1
设抛物线y2 ＝8x的准线与x轴交于点 Q，若过点 Q的直线l与
解析
抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是 答案 1 1 A.[ － ， ] B.[－2，2] 2 2 C.[－1，1] D.[－4，4] 准线方程为x＝－2，Q(－2，0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
→ → 因为OA· OBБайду номын сангаасx1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
→ → 又OA· OB＝－4，∴b2－4b＝－4，
y＝kx＋2， 设l：y＝k(x＋2)， 由 2 得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. y ＝8x，
当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)；
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0<k≤1，综上，k的取值范围是[－1，1].
类型二
弦长与中点弦问题
例2
已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，
→ → 所以OA· OB＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
→ → (2)如果OA· OB＝－4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点. 解答
设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0.
不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 一 个公共点；当Δ<0时，直
线与抛物线 没有 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 平行或重合 ，
此时直线与抛物线有 一 个公共点.
题型探究
类型一
直线与抛物线的位置关系
例1
已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l
与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？ 解答
时，也只有一个交点.
梳理
直线与抛物线的位置关系与公共点个数.
位置关系
相交 相切 相离
公共点个数
有两个或一个公共点 有且只有一个公共点 无公共点
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋
2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 两 个
(1)求C2的方程； 解答
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率. 解答
类型三 例3 两点.
抛物线中的定点(定值)问题
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B
→ → (1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求OA· OB的值； 解答
由题意知，抛物线的焦点为(1，0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
线段 AB 所在的直线的方程为
1 1 则焦点到直线 AB 的距离为 1－ ＝ . 2 2
1 2 3 4 5
3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为 F ，准线与 x轴的交点为K，点 A在 C上且 |AK|＝ 2 |AF|，则△AFK的面积为 答案 A.4 B.8 √ C.16 D.32
解得b＝2，故直线过定点(2，0).
反思与感悟
在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这 类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这
类问题的关键是代换和转化.
跟踪训练3
如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线
AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值. 证明
得 当k≠0时，令Δ＝(2k－1)2－4k2＝0，
1 k＝ . 4
1 2 3 4 5
∴与抛物线只有一个交点的直线共有3条.
2.若抛物线 y2＝2x 上有两点 A，B，且 AB 垂直于 x 轴，若|AB|＝2 2， 则抛物线的焦点到直线 AB 的距离为 答案
解析
√
1 A. 2 1 C. 6
1 B. 4 1 D. 8
求这条弦所在的直线方程及|P1P2|. 解答
反思与感悟
中点弦问题解题策略两方法
跟踪训练 2
y x 已知抛物线 C1：x ＝4y 的焦点 F 也是椭圆 C2： 2＋ 2＝ a b
2
2
2
1(a>b>0)的一个焦点，C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6，过点 F 的直线 l 与 → → C1 相交于 A，B 两点，与 C2 相交于 C，D 两点，且AC与BD同向.
解析
∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F(2，0)，
准线为x＝－2，∴K(－2，0).
设A(x0，y0)，过A点向准线作垂线AB，垂足为B，
则B(－2，y0)， 又|AF|＝|AB|＝x0＋2， ∵|AK|＝ 2|AF|，
2 即8x0＝(x0＋2)2， ∴由|BK|2＝|AK|2－|AB|2，得 y2 ＝ ( x ＋ 2) ， 0 0 1 1 |y0|＝ ×4×4＝8. 解得A(2，±4). ∴△AFK 的面积为2|KF|· 2
第二章
§2
抛物线
2.2 抛物线的简单性质(二)
学习目标
1.掌握抛物线的几何特性. 2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题.
内容索引
问题导学
题型探究 当堂训练
问题导学
知识点
直线与抛物线的位置关系
思考1
直线与抛物线有哪几种位置关系？ 答案
三种：相离、相切、相交.
思考2
若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？ 答案 不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交
当堂训练
1.过点P(0，1)与抛物线y2＝x有且只有一个交点的直线有 答案 A.4条 C.2条 B.3条 D.1条
解析
√
当斜率不存在时，过P(0，1)的直线是y轴，与抛物线y2＝x只有一个公共点.
当斜率存在时，设直线为y＝kx＋1.
2 y 2x2＋(2k－1)x＋1＝0， ＝x， 得 k 当k＝0时，符合题意； 由 y＝kx＋1，
反思与感悟
直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程与抛物线方程联立得到的 方程组解的个数.注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的
情况.
跟踪训练1
设抛物线y2 ＝8x的准线与x轴交于点 Q，若过点 Q的直线l与
解析
抛物线有公共点，则直线l斜率的取值范围是 答案 1 1 A.[ － ， ] B.[－2，2] 2 2 C.[－1，1] D.[－4，4] 准线方程为x＝－2，Q(－2，0).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.
→ → 因为OA· OBБайду номын сангаасx1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2
＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，
→ → 又OA· OB＝－4，∴b2－4b＝－4，
y＝kx＋2， 设l：y＝k(x＋2)， 由 2 得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0. y ＝8x，
当k＝0时，x＝0，即交点为(0，0)；
当k≠0时，由Δ≥0，得－1≤k<0或0<k≤1，综上，k的取值范围是[－1，1].
类型二
弦长与中点弦问题
例2
已知抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，
→ → 所以OA· OB＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2
＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.
→ → (2)如果OA· OB＝－4，证明直线 l 必过一定点，并求出该定点. 解答
设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4b＝0.
不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有 一 个公共点；当Δ<0时，直
线与抛物线 没有 公共点.当k＝0时，直线与抛物线的对称轴 平行或重合 ，
此时直线与抛物线有 一 个公共点.
题型探究
类型一
直线与抛物线的位置关系
例1
已知直线l：y＝k(x＋1)与抛物线C：y2＝4x，问：k为何值时，直线l
与抛物线C有两个交点，一个交点，无交点？ 解答
时，也只有一个交点.
梳理
直线与抛物线的位置关系与公共点个数.
位置关系
相交 相切 相离
公共点个数
有两个或一个公共点 有且只有一个公共点 无公共点
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程k2x2＋
2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 两 个
(1)求C2的方程； 解答
(2)若|AC|＝|BD|，求直线l的斜率. 解答
类型三 例3 两点.
抛物线中的定点(定值)问题
在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B
→ → (1)如果直线 l 过抛物线的焦点，求OA· OB的值； 解答
由题意知，抛物线的焦点为(1，0)， 设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x，得y2－4ty－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.