2013年全国普通高等学校高考数学招生统一考试最后一卷理学生专用[北京卷]
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)-理科数学
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2013北京,理1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=().A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案:B解析:{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}.2.(2013北京,理2)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:∵(2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D.3.(2013北京,理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵φ=π,∴y=sin(2x+π)=-sin2x,∴曲线过坐标原点,故充分性成立;∵y=sin(2x+φ)过原点,∴sinφ=0,∴φ=kπ,k∈Z.故必要性不成立.故选A.4.(2013北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.1B.23C.1321D.610987答案:C解析:依次执行的循环为S=1,i=0;S=2,i=1;S=13,i=2.故选C.5.(2013北京,理5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x关于y轴对称,则f(x)=().A.e x+1B.e x-1C.e-x+1D.e-x-1答案:D解析:依题意,f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e -x ,于是f (x )相当于y=e -x 向左平移1个单位的结果,∴f (x )=e -x-1,故选D . 6.(2013北京,理6)若双曲线x 2a 2−y 2b2=1的离心率为 3,则其渐近线方程为( ).A.y=±2xB.y=± 2xC.y=±12x D.y=± 22x答案:B解析:由离心率为 可知c= ,∴b=∴渐近线方程为y=±b ax=± 2x ,故选B .7.(2013北京,理7)直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ). A.43B.2C.83D.16 23答案:C解析:由题意可知,l 的方程为y=1.如图,B 点坐标为(2,1),∴所求面积S=4-2 2x 24d x=4-2 x 312 |02=83,故选C .8.(2013北京,理8)设关于x ,y 的不等式组 2x -y +1>0,x +m <0,y -m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是( ).A. -∞,4B. -∞,1C. -∞,-23D. -∞,-53答案:C解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=12x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m ,m )在y=12x-1下方,也就是m<-12m-1,即m<-23.故选C .第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013北京,理9)在极坐标系中,点 2,π 到直线ρsin θ=2的距离等于 . 答案:1解析:在极坐标系中,点 2,π6对应直角坐标系中坐标为( 3,1),直线ρsin θ=2对应直角坐标系中的方程为y=2,所以点到直线的距离为1.10.(2013北京,理10)若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q= ;前n 项和S n = . 答案:2 2n+1-2 解析:由题意知q=a 3+a 5a 2+a 4=4020=2. 由a 2+a 4=a 2(1+q 2)=a 1q (1+q 2)=20, ∴a 1=2.∴S n =2(1-2n )1-2=2n+1-2. 11.(2013北京,理11)如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D ,若PA=3,PD ∶DB=9∶16,则PD= ,AB= .答案:954解析:设PD=9k,则DB=16k(k>0).由切割线定理可得,PA2=PD·PB,即32=9k·25k,可得k=15.∴PD=95,PB=5.在Rt△APB中,AB=PB2-P A2=4.12.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案:96解析:连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的分法有4×C41A33=96(种).13.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λ=.答案:4解析:可设a=-i+j,i,j为单位向量且i⊥j,则b=6i+2j,c=-i-3j.由c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j,∴6μ-λ=-1,λ+2μ=-3,解得λ=-2,μ=-12.∴λμ=4.14.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P 到直线CC1的距离的最小值为.答案:25解析:过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是C1H,故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1·C1H=C1D1·C1E1,∴C1H=25=255.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤.15.(2013北京,理15)(本小题共13分)在△ABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A,(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=26,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得3sin=26.所以2sin A cos A=26.故cos A=6.(2)由(1)知,cos A=63,所以sin A=1-cos2A=3.又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=13.所以sin B=1-cos2B=223.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=539.所以c=a sin Csin A=5.16.(2013北京,理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=113,且A i∩A j=⌀(i≠j).(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8.所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=213.(2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=4,P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=4,P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=513.所以X的分布列为:故X的期望EX=0×513+1×413+2×413=1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.(2013北京,理17)(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5,(1)求证:AA1⊥平面ABC;(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求BDBC1的值.解:(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC.(2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),则n·A1B=0,n·A1C1=0,即3y-4z=0,4x=0.令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B1BC1的法向量为m=(3,4,0).所以cos<n,m>=n·m|n||m|=1625.由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为1625.(3)设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且BD=λBC1,所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4).解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ.所以AD=(4λ,3-3λ,4λ).由AD·A1B=0,即9-25λ=0,解得λ=925.因为9∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,BD1=λ=9.18.(2013北京,理18)(本小题共13分)设L为曲线C:y=ln xx在点(1,0)处的切线.(1)求L的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解:(1)设f(x)=ln xx ,则f'(x)=1-ln xx2.所以f'(1)=1.所以L的方程为y=x-1.(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0,x≠1).g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=x 2-1+ln x2.当0<x<1时,x2-1<0,ln x<0,所以g'(x)<0,故g(x)单调递减; 当x>1时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增.所以,g(x)>g(1)=0(∀x>0,x≠1).所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方.19.(2013北京,理19)(本小题共14分)已知A ,B ,C 是椭圆W :x 24+y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积;(2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W :x 24+y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分. 所以可设A (1,m ),代入椭圆方程得1+m 2=1,即m=± 3. 所以菱形OABC 的面积是12|OB|·|AC|=12×2×2|m|= .(2)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m (k ≠0,m ≠0). 由 x 2+4y 2=4,y =kx +m 消y 并整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2), 则x 1+x 22=-4km 1+4k 2,y 1+y 22=k ·x 1+x 22+m=m1+4k 2. 所以AC 的中点为M -4km 1+4k 2,m1+4k 2.因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为-14k. 因为k · -14k≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.20.(2013北京,理20)(本小题共13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n+4=a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值; (2)设d 是非负整数,证明:d n =-d (n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列; (3)证明:若a 1=2,d n =1(n=1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 解:(1)d 1=d 2=1,d 3=d 4=3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列,且d ≥0, 所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤….因此A n =a n ,B n =a n+1,d n =a n -a n+1=-d (n=1,2,3,…). (必要性)因为d n =-d ≤0(n=1,2,3,…), 所以A n =B n +d n ≤B n .又因为a n ≤A n ,a n+1≥B n ,所以a n ≤a n+1. 于是,A n =a n ,B n =a n+1,因此a n+1-a n =B n -A n =-d n =d , 即{a n }是公差为d 的等差数列. (3)因为a 1=2,d 1=1, 所以A 1=a 1=2,B 1=A 1-d 1=1. 故对任意n ≥1,a n ≥B 1=1.假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项. 设m 为满足a m >2的最小正整数, 则m ≥2,并且对任意1≤k<m ,a k ≤2.又因为a 1=2,所以A m-1=2,且A m =a m >2. 于是,B m =A m -d m >2-1=1,B m-1=min{a m ,B m }≥2. 故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n ≥1,有a n ≤2,即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1,a n ≤2=a 1, 所以A n =2.故B n =A n -d n =2-1=1.因此对于任意正整数n ,存在m 满足m>n ,且a m =1,即数列{a n }有无穷多项为1.。
2013年北京高考数学理科试卷(带详解)
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-<…，则A B = （ ）A.{0}B.{1,0}-C.{0,1}D.{1,0,1}-【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合求两者交集. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】{－1,0,1} {x |－1…x ＜1}＝{－1,0}．2.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算，复平面.【考查方式】给出复数的代数形式先化简再判断该复数对应的点所在的复平面. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】∵(2－i)2＝3－4i ，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3.“πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】给出两个命题判断其之间的关系. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】∵φ＝π，∴y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立；（步骤1）∵y ＝sin(2x ＋φ)过原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z . （步骤2） 故必要性不成立．故选A. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 （ ）第4题图 JC93A.1B.23C.1321D.610987【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读题中所给的循环结构的程序框图，运行并得出所需结果. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】依次执行的循环为S ＝1，i ＝0；23S =，i ＝1；1321S =，i ＝2.故选C. 5.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A.1ex + B.1ex - C.1ex -+ D.1ex --【测量目标】指数函数的图象及其性质.【考查方式】给出函数的图像进过平移所得与另一函数图像关于轴对称求原函数的解析式. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】依题意，f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y ＝e x -，于是f (x )相当于y＝e x-向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝1ex --，故选D.6.若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为 （ ）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的离心率求解双曲线的渐近线方程. 【难易程度】容易 【参考答案】Bc ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B.7.直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ）A.43B.2C.83【测量目标】直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单几何性质.【考查方式】已知直线与抛物线的位置关系求解直线与抛物线所围面积. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】由题意可知，l 的方程为y ＝1.如图，B 点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ⎰＝4－3202|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝83，故选C.第7题图 JC1008.设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是 （ ） A.4(,)3-∞ B.1(,)3-∞C.2(,)3-∞-D.5(,)3-∞-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出一个不等式组求在其所表示的平面区域内的点所满足的方程的未知参数. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m ＜12-m －1，即23m <-.故选C.第8题图 JC101第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分．9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin 2ρθ=的距离等于_____． 【测量目标】极坐标系，点到直线的距离.【考查方式】直接求极坐标系中的点到直线的距离. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.10.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____．【测量目标】等比数列的性质及其前n 项和.【考查方式】已知等比数列中项之间的关系求解其公比与及其前n 项和. 【难易程度】中等 【参考答案】2 12n +－2【试题解析】由题意知352440220a a q a a +===+.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝12n +－2.11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =__________，AB =__________.第11题图 JC94【测量目标】切割线定理.【考查方式】给出圆与有关该圆的某些直线，运用切割线定理求解线段的长度. 【难易程度】容易 【参考答案】954【试题解析】设PD ＝9k ，则DB ＝16k (k ＞0)．由切割线定理可得，P A 2＝PD PB ， 即32＝9k 25k ，可得15k =.∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △APB 中，AB＝4.12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【测量目标】排列组合的实际应用.【考查方式】运用排列组合的相关性质求解实际问题. 【难易程度】容易 【参考答案】96(种)【试题解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．13.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (,)λμ∈R ，则λμ=__________．第13题图 JC95【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】已知平面向量之间的关系求解未知量. 【难易程度】容易 【参考答案】4【试题解析】可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j , （步骤1由c ＝λa ＋μb ＝(6μ－λ)i ＋(λ＋2μ)j ，∴6123,μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得21.2λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=.（步骤2） 14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为__________.第14题图 JC96【测量目标】立体几何体中点到直线的距离.【考查方式】已知几何体中点与线之间的关系求解点到直线的距离. 【难易程度】中等【试题解析】过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1 C 1H ＝C 1D 1C 1E 1，∴C 1H=第14题图 JC97三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【测量目标】正弦定理，解三角形.【考查方式】已知三角形中的角与边运用正弦定理求解未知的角与边. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）因为a ＝3，b =B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos A ＝3（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cos A ＝3sin A 3=.（步骤2）又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B 3=.（步骤3）在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .所以c ＝sin sin a CA＝5. （步骤4）16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．第16题图 JC113（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】运用概率的相关知识提取实际问题中的关键要素构成分布列求其数学期望并解答.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)． 根据题意，P (i A )＝113，且i j A A ＝∅(i ≠j )． 设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A . 所以P (B )＝P (58A A )＝P (5A )＋P (8A )＝213.（步骤1） （Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝()()()()()3671136711413P A A A A P A P A P A P A =+++= ， P (X ＝2)＝()()()()()121213121213413P A A A A P A P A P A P A =+++=P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：2）故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（步骤3） （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．第17题图 JC98【测量目标】线面垂直，异面直线所成的角，线线垂直的判断.【考查方式】运用线面垂直的相关判定求解线面垂直与异面直线所成的角. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ， 所以1AA ⊥平面ABC . （步骤1） （Ⅱ）由(1)知1AA ⊥AC ，1AA ⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . （步骤2） 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，1A (0,0,4)，1B (0,3,4)，1C (4,0,4)．设平面11A BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,0,A B A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面11B BC 的法向量为m ＝(3,4,0)．（步骤3）所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25= n m n m .（步骤4）由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BCB --的余弦值为1625.（步骤5）第17题（Ⅱ）图 JC99（Ⅲ）设D (x ，y ，z )是直线1BC 上一点，且BD ＝λ1BC ，所以(x ，y －3，z )＝λ (4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．（步骤6） 由AD 1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段1BC 上存在点D ，使得AD ⊥1A B .此时，1925BD BC λ==.（步骤7） 18.（本小题共13分）设l 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方． 【测量目标】利用导数求直线方程，导数的几何意义.【考查方式】已知直线是另一曲线在某点处的切线，求解直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=.所以()11f '=. 所以l 的方程为y ＝x －1.（步骤1）（Ⅱ）令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．（步骤2）g (x )满足g (1)＝0，且()g x '＝1－()f x '＝221ln x x x -+.当0＜x ＜1时，2x －1＜0，ln x ＜0，所以()g x '＜0，故g (x )单调递减；当x ＞1时，2x －1＞0，ln x ＞0，所以()g x '＞0，故g (x )单调递增．所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)． （步骤3） 所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．（步骤4）19.（本小题共14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点， O 为坐标原点． （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】已知椭圆的基本量，利用椭圆的简单几何性质判定椭圆内四边形是否存在以及其面积的求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m＝±（步骤1）所以菱形OABC 的面积是12OB AC ＝12×2×2m （步骤2） （Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．（步骤3）由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得()2214k x +＋8kmx ＋24m －4＝0. 设()()1122,,,A x y C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=+=+ . 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤4） 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k 14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（步骤5）20.（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++⋅⋅⋅的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,⋅⋅⋅，是一个周期为4的数列，（即对任意n *∈N ，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：n d d =-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若12a =，1n d =(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【测量目标】数列的综合运用，数列的性质.【考查方式】给出一个数列，运用其相关性质求解未知数. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）1d ＝2d ＝1，3d ＝4d ＝3.（步骤1） （Ⅱ）(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d …0， 所以12n a a a ……剟.剟因此1,,n n n n A a B a +==，1n n n d a a +=- ＝－d (n ＝1,2,3，…)．（步骤2） (必要性)因为n d ＝－d …0(n ＝1,2,3，…)，所以n n n n A B d B =+….（步骤3） 又因为1,,n n n n a A a B +剠所以1n n a a +….于是1,n n n n A a B a +==，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=， 即{}n a 是公差为d 的等差数列．（步骤4） （Ⅲ）因为112,1a d ==，所以111112,1A a B A d ===-=. 故对任意11,1n n a B =厖.（步骤5） 假设{}n a (n …2)中存在大于2的项． 设m 为满足m a ＞2的最小正整数， 则m …2，并且对任意1…k ＜m ，2k a ….（步骤6） 又因为12a =，所以12,m A -=2m m A a =>. 于是m m m B A d =-＞2－1＝1，{}1min ,2m m m B a B -=…. 故111220m m m d A B ---=--=…，与1m d -＝1矛盾． 所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. （步骤7） 因为对任意1n …，2n a …＝1a ，所以2n A =.（步骤8） 故211n n n B A d =-=-=.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =， 即数列{}n a 有无穷多项为1. （步骤9）。
2013年北京高考理科数学试题及答案
绝密★启封前 机密★使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一测试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分，测试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．测试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B = A ．{}0 B ．{}10-，C ．{}01，D ．{}101-，， （2）在复平面内，复数()22i -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．1B ．23C ．1321 D ．610987（5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象和曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =A ．1e x +B ．1e x -C ．1e x -+D ．1e x --（6）若双曲线22221x y a b-=3A ．2y x =±B ．2y x =±C ．12y x =±D ．2y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且和y 轴垂直，则l 和C 所围成的图形的面积等于A ．43B ．2C ．83D 162（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足否是结束输出S i ≥2i =i +1S =S 2+12S +1i =0, S =1开始0022x y -=，求得m 的取值范围是A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．（10）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ．（11）如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 和圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = ．（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ． （14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为 ． 三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤（15）本小题共（13分）在ABC △中，3a =，26b =2B A ∠=∠． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值． （16）（本小题共13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．BD OabcEP D B 1B 1A 1空气质量指数日期37798615812116021740160220143572586100150200250（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列和数学期望； （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） （17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值. （18）（本小题共13分） 设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线． （Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方． （19）（本小题共14分）已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积; （Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由. （20）（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=），C 1B 1A 1A BC写出1234,,,d d d d 的值;（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d的等差数列;（Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线112y x=-上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线112y x=-上方，且(-m，m)在直线112y x=-下方，解不等式组1211212112m mm mm m⎧⎪<-⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩得m＜23-。
2013年普通高等学校招生全国统一考试 北京卷(理科)
（第4题）（第11题）（第13题）1A （第14题）2013年普通高等学校招生全国统一考试北京卷（理科数学）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1、已知集合{1,0,1}A =-，{11}B x x =-≤<，则A B = （ ）A 、{0}B 、{1,0}-C 、{0,1}D 、{1,0,1}- 2、在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3、“ϕπ=”是“曲线sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的（ ） A 、充分而不必要条件 B 、必要而不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既不充分也不必要条件 4、执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A 、1B 、23C 、1321 D 、6109875、函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线x y e =关于y 轴对称，则()f x =（ ）A 、1x e +B 、1x e -C 、1x e -+D 、1x e -- 6、若双曲线22221x ya b -=，则其渐近线方程为（ ） A 、2y x =± B 、y = C 、12y x =± D 、2y x =± 7、直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A 、43 B 、2C 、83D 、38、设关于,x y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y 满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（ ）A 、4(,)3-∞B 、1(,)3-∞C 、2(,)3-∞-D 、5(,)3-∞-第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上） 9、在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin 2ρθ=的距离等于______；10、若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =____，前n 项和n S =____； 11、如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =______，AB =______；12、将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观劵全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观劵连号，那么不同的分法种数是______；13、向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若(,)c a b R λμλμ=+∈ ，则λμ=______；14、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为______.三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分13分）在ABC ∆中，3a =，b =2B A ∠=∠. （1）求cos A 的值； （2）求c 的值.16、（本小题满分13分）如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图. 空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染. 某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； （3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17、（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形. 平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =. （1）求证：1AA ⊥平面ABC ； （2）求二面角111A BC B --的余弦值；（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A BA ⊥， 并求1BDBC 的值.18、（本小题满分13分）设L 为曲线C ：ln xy x=在点(1,0)处的切线. （1）求L 的方程；（2）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方.19、（本小题满分14分）已知,,A B C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点.（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20、（本小题满分13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.（1）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,…，是一个周期为4的数列（即对任意n N *∈，4n n a a +=），写出1234,,,d d d d 的值；（2）设d 是非负整数，证明：(1,2,3,)n d d n =-= 的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；（3）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n == ，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.空气质量指数（第16题） （第17题）1。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含答案)
一 选择题共 8 小题 目要求的一项 小题 5 第一部 共 40 选择题 共 40 在 个小题给出的四个选项中 只 一项是符合题
1.已知集合 A称{ 1 0 1} B称{x| 1≤x 1} 则 A∩B称 Ⅲ A.{0} B.{ 1 0} C.{0 1} D.{ 1,0,1} 2 2.在复 面内 复数Ⅲ2 i) 对应的点位于Ⅲ ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第 象限 D. 第四象限 3. φ称π 是 曲线 y称sinⅢ2x φ)过坐标原点的 A.充 而 必要条件 B.必要而 充 条件 C.充 必要条件 D.既 充 也 必要条件 4.执行如图所示的程序框图 输出的 分 值为 A.1 B.
求 人到达当日空气重度污染的概率 设 下 是 人停留期间空气质 优良的天数 求 下 的 列 数学期望 由图判断从哪天开始连续 天的空气质 指数方差最大？ 结论 要求证明 17. Ⅲ本小题共 14 ) 如图 在 棱柱 ABC-A1B1C1 中 AA1C1C 是边长为 4 的 方形. 面 ABC⊥ 面 AA1C1C AB称3 BC称5. 求证 AA1⊥ 面 ABC 求二面角 A1-BC1-B1 的余弦值 证明 在线段 BC1 在点 D 使得 AD⊥A1B 并求
B.2 C.
4 3
的取值范围是
A. −∞, −
4 3
B. −∞,
1 3
C. −∞, − 共 30 .
Байду номын сангаас
2 3
D. −∞, −
5 3
第二部 非选择题 共 110 二 填空题共 6 题 小题 5 9.在极坐标系中 点Ⅲ2
π )到直线 ρsinθ称2 的距离等于 6
北京高考数学理科word解析版2013
2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷带解析）一、选择题1．已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 【难度】1【考点】集合的运算 【答案】B【解析】因为1,0,1,B B B -∈∈∉所以{}1,0AB =-.2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 【难度】1【考点】复数综合运算 【答案】D【解析】因为2(2i)44134i i =--=-－， 在复平面内对应的点的坐标是()3,4-,在第四象限. 3．“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的” （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【难度】1【考点】充分条件与必要条件 【答案】A【解析】当φ=π时，y=sin(2x ＋φ)= sin(2x ＋π)=- sin2x ， 过原点，当φ=2π也满足题意，故答案为充分不必要条件. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A.1B.23C.1321D.610987 【难度】1【考点】算法和程序框图 【答案】C【解析】第一次执行循环：1122113S +==⨯+,1i =；第二次执行循环：221133221213S ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==⨯+,2i =，满足i ≥2，结束循环，输出1321S =. 5．函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e x 关于y 轴对称，则f(x)=（ ） A.1e x + B. 1e x - C. 1e x -+ D. 1e x -- 【难度】2 【考点】函数图象 【答案】D【解析】把变换过程逆过去即可.与函数y=e x 的图象关于y 轴对称的函数的解析式为xy e -=， 该函数图象向左平移一个单位长度，得f(x)的图象，即f(x) =1e x --.6．若双曲线22221x y a b-=）A.y=±2xB.y=C.12y x =±D.2y x =±【难度】2 【考点】双曲线 【答案】B【解析】双曲线的离心率为a=， 渐进性方程为b y x a =±，计算得ba=故渐进性方程为y =.7．直线l 过抛物线C: x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ ） A.43 B.2 C.83【难度】2 【考点】抛物线 【答案】C【解析】直线l 的方程为1y =，由24,1x y y ⎧=⎨=⎩得交点坐标()2,1-，()2,1，故l 与C 所围成的图形的面积为2322228881|2241212123x x dx x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 8．设关于x,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【难度】2 【考点】线性规划 【答案】C【解析】要使线性约束条件表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2， 即该平面区域和直线22x y -=有交点，而直线,x m y m=-⎧⎨=⎩的交点(),m m -在直线y x =-上移动，由,22,y x x y =-⎧⎨-=⎩得交点坐标为22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭，当23m ->即23m <-时，才会交点.二、填空题9．在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsinθ=2的距离等于 【难度】1【考点】柱坐标系与球坐标系 【答案】1【解析】极坐标中的点(2，6π)对应直角坐标系中的点)3,1，直线ρsinθ=2的普通方程为2y =， 因为)3,1到直线2y =的距离是1，所以点(2，6π)到直线ρsinθ=2的距离等于1. 10．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = . 【难度】1 【考点】等比数列【答案】2，122n +- 【解析】 公比352440220a a q a a +===+，()()3324112220a a a q q a +=+=+=，解得12a =，故该等比数列的前n 项和为()12122212n n n S +-==--.11．如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .【难度】1 【考点】圆 【答案】95，4 【解析】因为916PD DB =，故可设9,16PD a DP a ==， 由切割线定理，得22PA PD PB =⋅,即()239916a a a =+，解得15a =，故95PD =，1252555PB a ==⨯=， 又PA=3，由勾股定理，得4AB =.12．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 . 【难度】2【考点】排列和排列数 【答案】96【解析】连号的情况有1,2，2,3,3,4,4,5，共四种，比如把连号1,2，3,4,5全部分给4人，每人至少一张，则有44A 种， 故不同的分法种数是44496A =种. 13．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa ＋μb(λ，μ∈R)，则λμ= .【难度】2【考点】平面向量坐标运算 【答案】4【解析】 以向量a ，b 的交点为原点，建立直角坐标系， 则a=(-1,1)， b=(6,2)， c= (-1,-3)，由c=λa ＋μb ，得()()()1,31,16,2λμ--=-+，即61,23,λμλμ-+=-⎧⎨+=-⎩解得12,2λμ=-=-，4λμ=.14．如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .【难度】2【考点】距离 【答案】【解析】过E 作1EE ⊥11B C 于1E ， 连接11D E ，过P 作PQ ⊥11D E 于Q ， 在同一个平面EE 1D 1内，1EE ⊥E 1D 1，PQ ⊥11D E ，则1//PQ EE ，又11//EE CC ，故1//PQ CC ，点P 到直线CC 1的距离就等于点Q 到直线CC 1的距离， 当11C Q C C ⊥，距离最小，此时，1111111C D C E C Q E D ⨯===. 三、解答题15．在△ABC 中，a=3，，∠B=2∠A. (I)求cosA 的值， (II)求c 的值 【难度】3【考点】三角函数综合 【答案】(I) cos 3A = (II) sin 5sin a C c A== 【解析】 ⑴由正弦定理，sin sin a b A B=,因为a=3，，∠B=2∠A,所以3sin A ==cos A =.⑵由⑴知，cos A =，所以sin A ==. 又因为∠B=2∠A ，所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin B ==.在ABC ∆中，()sin sin sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=， 所以sin 5sin a Cc A==. 16．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望. （Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 【难度】3 【考点】概率综合 【答案】（Ⅰ）()()()()5858213P B P A A P A P A ==+=（Ⅱ）见解析（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大 【解析】设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”，()1,2,3,,13i =⋅⋅⋅，根据题意，()113i P A =，且()i j A A i j =∅≠.（Ⅰ）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B=A 5∪A 8， 所以()()()()5858213P B P A A P A P A ==+=.（Ⅱ）由题意知，X 的所有可能取的值为0,1,2， 且()()367111P X P A A A A ==()()()()36711413P A P A P A P A =+++=; ()()()()()()1212131212134213P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=; ()()()5011213P X P X P X ==-=-==, 所以X 的分布列为X 的期望为5441201213131313EX =⨯+⨯+⨯=. （Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.（Ⅰ）求证：AA 1⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC 1存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求1BDBC 的值. 【难度】3【考点】立体几何综合 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1625（Ⅲ）1925BD BC λ==【解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ， 且平面ABC平面AA 1C 1C AC =，所以1AA ⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，1AA ⊥AC, 1AA ⊥AB.由题意知3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥. 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -, 则()()()()1110,3,0,0,0,4,0,3,4,4,0,4B A B C . 设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，则1110,0.n A B n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即340,40,y z x -=⎧⎨=⎩ 令3z =，则0,4x y ==，所以()0,4,3n =. 同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0m =. 所以16cos ,25||||m n m n m n ⋅<>==⋅. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC1-B 1的余弦值为1625. zy（Ⅲ）设(),,D x y z 是直线1BC 上的一点，且1BD BC λ=. 所以()(),3,4,3,4x y z λ-=-，解得4,33,4x y z λλλ==-=，所以()4,33,4AD λλλ=-.由10AD A B ⋅=，即9250λ-=，解得925λ=. 因为[]90,125∈，所以在线段1BC 上存在点D ， 使得1AD A B ⊥，此时1925BD BC λ==. 18．设l 为曲线C ：ln x y x=在点(1，0)处的切线. (I)求l 的方程； (II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C 在直线l 的下方【难度】4【考点】导数的综合应用【答案】(I) 1y x =- (II)见解析【解析】(I)设()ln x f x x =，则()21ln 'x f x x -=， 所以()'11f =，所以l 的方程为1y x =-.(II)令()()1g x x f x =--，除切点外，曲线C 在直线l 的下方等价于0x ∀>且1x ≠，()0g x >.()g x 满足()10g =，且()()221ln '1'x x g x f x x -+=-=. 当01x <<时，210,ln 0x x -<<，所以()'0g x <，故()g x 单调递减. 当1x >时，210,ln 0x x ->>，所以()'0g x >，故()g x 单调递增. 所以，对0x ∀>且1x ≠，()()10g x g >=.所以除切点外，曲线C 在直线l 的下方.19．已知A 、B 、C 是椭圆W ：2214x y +=上的三个点，O 是坐标原点. (I)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.【难度】4【考点】圆锥曲线综合【答案】(I)11||||22||22OB AC m ⨯=⨯⨯⨯=(II) 不可能是菱形 【解析】 (I) 椭圆W ：2214x y +=的右顶点()2,0B ， 因为四边形OABC 为菱形，所以AC 和OB 互相垂直平分.所以可设()1,A m ，代入椭圆方程得2114m +=，解得m =. 所以菱形OABC的面积为11||||22||22OB AC m ⨯=⨯⨯⨯=(II)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0.. 由22,14y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得()222148440k x kmx m +++-=. 设()()1122,,,A x y C x y , 则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x m k m k ++=⨯+=+， 所以AC 的中点224(,)1414km m M k k-++. 因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k -. 因为1()14k k⨯-≠-，所以AC 和OB 不垂直. 所以四边形OABC 不是菱形，与假设矛盾.所以当B 不是W 的顶点，四边形OABC 不可能是菱形.20．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n .(1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，4n n a a +=)，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 为非负整数，证明：d n =－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1=2，d n =1(n=1,2,3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1.【难度】5【考点】数列综合【答案】(1)121d d ==，343d d ==. (2)见解析 (3)见解析【解析】充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明充要条件， 需要充分性和必要性两个方面叙述.(1)121d d ==，343d d ==.(2)充分性：因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，所以12n a a a ≤≤⋅⋅⋅≤≤⋅⋅⋅，因此1,n n n n A a B a +==，1(1,2,3)n n n d a a d n +=-=-=⋅⋅⋅.必要性：因为0(1,2,3)n d d n =-≤=⋅⋅⋅，所以n n n n A B d B =+≤. 又因为1,n n n n a A a B +≤≥，所以1n n a a +≤.于是1,n n n n A a B a +==.因此， 1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列.(3)因为a 1=2，d n =1，所以11=2A a =，111=-1B A d =，故对任意1n ≥，11n a B ≥=.假设{}n a (2)n ≥，中存在大于2的项，设m 为满足2m a >的的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1,2k k m a ≤<≤，又因为a 1=2，所以12m A -=，且2m m A a =>.于是{}1211,min ,2m m m m m m B A d B a B -=->-==≥.故111220m m m d A B ---=-≤-=，与11m d -=矛盾.所以对于任意1n ≥，都有2n a ≤，即非负整数数列{}n a 的各项只能为1或2,. 因为对任意1n ≥，12n a a ≤=，所以2n A =.故21 1.n n n B A d =-=-=因此，对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =，即数列{a n }有无穷多项为1.。
2013年高考真题——理科数学(北京卷)解析版
2013年高考真题——理科数学(北京卷)解析版2013北京高考理科数学试题及答案解析第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。
每小题5分，共40分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为A.1B.23 C.1321D.610987值范围是A.4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分. 9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa＋μb(λ，μ∈R)，则λ=μ14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演2013年普通高等学校招生统一考试算步骤或证明过程15. (本小题共13分)在△ABC中，a=3，b6，∠B=2∠A.(I)求cos A的值，(II)求c的值16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率 （Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望。
2013北京高考真题数学理(解析)
第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的 一项． 0 1} ， B {x | 1 x 1} ，则 A B （ 1. 已知集合 A {1，， ） 0} A． {0} B． {1， 0 1} 1} C． {0 ， D． {1，， 2. 在复平面内，复数 (2 i) 2 对应的点位于（ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ）
14. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， E 为 BC 的中点，点 P 在 线段 D1 E 上．点 P 到直线 CC1 的距离的最小值为 ． 三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15. （本小题共 13 分） 在 ABC 中， a 3 ， b 2 6 ， B 2A ． （I）求 cos A 的值； （II）求 c 的值．
A1 B1
C1 A B C
18. （本小题共 13 分） 设 l 为曲线 C： y
ln x 0) 处的切线． 在点 (1 ， x
（I）求 l 的方程； 0) 之外，曲线 C 在直线 l 的下方． （II）证明：除切点 (1，
19. （本小题共 14 分）
x2 y 2 1 上的三个点， O 是坐标原点． 4 （I）当点 B 是 W 的右顶点，且四边形 OABC 为菱形时，求此菱形的面积； （II）当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形 OABC 是否可能为菱形，并说明理由．
B， C 是椭圆 W : 已知 A ，
20. （本小题共 13 分） 已知 {an } 是由非负整数组成的无穷数列．该数列前 n 项的最大值记为 An ，第 n 项之后各项 an 1 , an 2 , 的最小值记为 Bn ， d n An Bn ． （I） 若 {an } 为 2 ， ……， 是一个周期为 4 的数列 （即对任意 n N* ，an 4 an ） ， 1 ，4 ，3 ，2 ， 1 ，4 ，3 ， 写出 d1 ， d 2 ， d 3 ， d 4 的值； （II）设 d 为非负整数，证明： d n d (n 1 , 2,3 , ) 的充分必要条件为 {an } 为公差为 d 的等差数列； （III）证明：若 a1 2, d n 1(n 1,2,3, ) ，则 {an } 的项只能是 1 或者 2 ，且有无穷多项为 1 ．
2013年高考北京理科数学试题及答案(word解析版)(K12教育文档)
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2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷)数学(理科）第一部分(选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分,共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1)【2013年北京,理1，5分】已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B =（ ） （A ）{0} （B){}10-， （C ）{}01，（D){}101-，， 【答案】B【解析】1,0,11{11,}{|}{}0x x --≤<-＝，故选B ．(2)【2013年北京，理2，5分】在复平面内，复数()22i -对应的点位于（ ）（A)第一象限 （B ）第二象限 （C)第三象限 （D)第四象限【答案】D【解析】2()2i 34i --＝，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D ． （3）【2013年北京，理3,5分】“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点"的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C)充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵ϕπ=,∴sin 2sin2()y x x π=+=-，∴曲线过坐标原点，故充分性成立;∵(sin 2)y x ϕ=+过原点，∴sin 0ϕ=，∴k ϕπ=，k ∈Z ．故必要性不成立,故选A ．（4）【2013年北京，理4，5分】执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（ )（A ）1 (B)23（C ）1321（D ）610987【答案】C【解析】依次执行的循环为1S =，i 0=;23S =，i 1=；1321S =，i 2=，故选C ． （5)【2013年北京，理5,5分】函数()f x 的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线e xy =关于y 轴对称，则()f x =（ ） (A ）1e x + （B)1e x - (C)1e x -+ （D ）1e x -- 【答案】D【解析】依题意，()f x 向右平移1个单位之后得到的函数应为x y e -=，于是()f x 相当于x y e -=向左平移1个单位的结果，∴()1x f x e --=，故选D ．(6）【2013年北京，理6,5分】若双曲线22221x y a b-=的离心率为( ）（A ）2y x =± （B)y = （C ）12y x =± （D ）y =【答案】Bc =，∴b =．∴渐近线方程为by x a=±=，故选B ．（7）【2013年北京，理7，5分】直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（ )（A ）43（B)2 (C ）83 （【答案】C【解析】由题意可知，l 的方程为1y =．如图，B 点坐标为()2,1，∴所求面积232200842424123x x S dx ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰，故选C ． （8）【2013年北京，理8,5分】设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满足0022x y -=,求得m 的取值范围是（ ）（A ）43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， （B ）13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，（C)23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， (D ）53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 【答案】C【解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含112y x =-上的点，只需要可行域的边界点()m m -，在112y x =-下方，也就是112m m <--,即23m <-，故选C ．第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分．（9)【2013年北京，理9,5分】在极坐标系中，点π26⎛⎫⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的距离等于 ．【答案】1【解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为)，直线2sin ρθ=对应直角坐标系中的方程为2y =，所以点到直线的距离为1．（10）【2013年北京，理10，5分】若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ．【答案】2；122n +-【解析】由题意知352440220a a q a a +===+．由222421())10(12a a a q a q q +=+=+=，∴12a =．∴12122212n n n S +(-)==--．（11)【2013年北京，理11，5分】如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB与圆O 相交于D ，若3PA =,:9:16PD DB =，则PD =________；AB =______． 【答案】95，4【解析】设9PD k =，则0()16DB k k =>．由切割线定理可得，2·PA PD PB =，即23925k k =⋅,可得15k =．∴95PD =，5PB =．在Rt APB ∆中，AB=4AB ==．（12）【2013年北京,理12，5分】将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 【答案】96【解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有1343496C A ⨯= (种)． （13）【2013年北京，理13,5分】向量a ，b ,c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ=_______． 【答案】4【解析】可设=-+a i j ,i ,j 为单位向量且⊥i j ，则62=+b i j ，3=--c i j ．由()()62λμμλλμ=+=-++c a b i j ，∴6123μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得212λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩,∴4λμ=．(14）【2013年北京，理14，5分】如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上,点P 到直线1CC 的距离的最小值为________．【解析】过E 点作1EE 垂直底面1111A B C D ，交11B C 于点1E ,连接11D E ，过P 点作PH 垂直于底面1111A B C D ,交11D E 于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是1C H ，故当1C H 垂直于11D E 时，P 点到直线1CC 距离最小，此时,在111Rt D C E ∆中,111C H D E ⊥，1111111··D E C H C D C E =,∴1C H =． 三、解答题：共6题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）【2013年北京,理15，13分】在ABC △中，3a =，b =,2B A ∠=∠．（1)求cos A 的值； （2)求c 的值． 解:（1）因为3a =，b =2B A ∠=∠，所以在ABC ∆中，由正弦定理得3sin A =．所以2sin cos sin A A A =．故cos A ． (2)由（1）知，cos A=3所以sin A ==．又因为2B A ∠=∠,所以2cos 2cos 131B A =-=．n s i B ．在ABC ∆中，sin sin sin cos cos sin ()C A B A B A B =+=+sin 5sin a Cc A==． （16)【2013年北京,理16，13分】下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市,并停留2天．1A 空气质量指数（1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；(3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 解：设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”1,2)13(i =⋯，，．根据题意，()113i P A =，且()ij A A i j =∅≠．（1）设B 为事件“此人到达当日空气重度污染"，则58B A A =．()()()58582()13P B P A A P A P A ==+=． （2）由题意可知，X 所有可能取值为0，1,2,且0115()()()123P X P X P X ==-=-==； ()()()()36711367114()()113P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=; ()()()()1212131212134()()132P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=．所以X 的分布列为:故X 的期望501213131313EX =⨯+⨯+⨯=．（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．（17）【2013年北京，理17,14分】如图，在三棱柱111ABC A B C -中,11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =． (1)求证：1AA ⊥平面ABC ；（2）求证二面角111A BC B --的余弦值．（3）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值． 解：(1)因为11AA C C 为正方形,所以1AA AC ⊥．因为平面ABC ⊥平面11AA C C ,且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ，所以1AA ⊥平面ABC ． (2）由（1）知1AA AC ⊥,1AA AB ⊥．由题知3AB =，5BC =，4AC =，所以AB AC ⊥．如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -,则()0,3,0B ，()10,0,4A ，()10,3,4B ，()14,0,4C ．设平面11A BC 的法向量为()x y z =n ，，，则11100A B AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即34040y z x -=⎧⎨=⎩． 令3z =,则0x =，4y =，所以()0,4,3=n ．同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0=m ．所以cos 〈n ，m 〉=16cos ,||||25⋅=n m n mn m ．由题知二面角111A BC B --为锐角， 所以二面角111A BC B --的余弦值为1625．（3）设()D x y z ，，是直线1BC 上一点，且1BD BC λ=，所以343,4()()x y z λ-=-，，，．解得4x λ=,33y λ=-，4z λ=．所以4()334AD λλλ=-，，．由10AD A B ⋅=，即9250λ-=，C 1B 1A 1ABC解得925λ=．因为[]9250,1∈,所以在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥．此时，1925BD BC λ==． （18）【2013年北京，理18，13分】设l 为曲线ln :xC y x=在点()1,0处的切线．（1)求l 的方程；（2)证明:除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方． 解：（1)设()ln x f x x =，则()21ln xf x x-'=．所以()11f '=．所以L 的方程为1y x =-． （2）令()()1g x x f x =--，则除切点之外，曲线C 在直线L 的下方等价于()()001g x x x >>≠∀，．()g x 满足()10g =，且()()22ln 11x x x xg f x'=-+'-=．当01x <<时，210x -<，ln 0x <，所以()0g x '<,故()g x 单调递减;当1x >时，210x ->，ln 0x >，所以()0g x '>，故()g x 单调递增． 所以，()()1001()g x g x x ∀>=>≠，．所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方．(19)【2013年北京,理19，14分】已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点．(1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解：(1）椭圆2214x W y +=：右顶点B 的坐标为()2,0．因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设()1A m ，，代入椭圆方程得2114m +=，即m =．所以菱形OABC的面积是1·22212OB AC m =⨯⨯（2)假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为0)0(y kx m k m =+≠≠，．由2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩,消y 并整理得222()148440k x kmx m +++-=． 设11()A x y ，,22()C x y ，，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k ++=⋅+=+． 所以AC 的中点为224,1414km m M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为14k-． 因为114k k ⎛⎫⋅-≠- ⎪⎝⎭，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形,与假设矛盾． 所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形．（20）【2013年北京，理20，13分】已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（1)若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对任意*n ∈N ，4n n a a +=),写出1234,,,d d d d 的 值;（2）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列；（3)证明:若12a =,()11,2,3,n d n ==,则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．解：（1)121d d ==，343d d ==．（2）（充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且0d ≥，所以12n a a a ≤≤⋯≤≤⋯．因此n n A a =,1n n B a +=，11,2,3()n n n d a a d n +=-=-=⋯，． （必要性）因为(01,2,3)n d d n =-≤=⋯，，所以n n n n A B d B =+≤．又因为n n a A ≤，1n n a B +≥，所以1n n a a +≤．于是，n n A a =，1n n B a +=,因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列． （3)因为12a =，11d =，所以112A a ==，1111B A d =-=．故对任意1n ≥，11n a B ≥=．假设{}()2n a n ≥中存在大于2的项．设m 为满足2m a >的最小正整数，则2m ≥，并且对任意1k m ≤<，2k a ≤．又因为12a =,所以12m A -=，且2m m A a =>．于是,211m m m B A d =->-=， 1{}2m m m B min a B -=≥，．故111220m m m d A B ---=-≤-=,与11m d -=矛盾．所以对于任意1n ≥，有2n a ≤，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2． 因为对任意1n ≥，12n a a ≤=，所以2n A =．故211n n n B A d =-=-=．因此对于任意正整数n ，存在m 满足m n >，且1m a =,即数列{}n a 有无穷多项为1．。
2013年高考数学真题-北京卷(理)答案
数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（2﹣i）2＝4﹣4i+i2＝3﹣4i，复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3．【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ＝π时，曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ＝π时，曲线y＝sin（2x+φ）＝﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ＝0，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π．故“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．4．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i＝0+1＝1；判断1≥2不成立，执行，i＝1+1＝2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．5．【分析】首先求出与函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y＝e﹣（x+1）＝e﹣x﹣1．即f（x）＝e﹣x﹣1．故选：D．【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．6．【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c＝a，又a2+b2＝c2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．7．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y＝1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为＝（x﹣）＝．故选：C．【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．8．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选：C．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ＝2化为直角坐标方程为y＝2，（，1），到y＝2的距离1，即为点到直线ρsinθ＝2的距离1，故答案为：1．【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想．10．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a及q，再利用等比数1列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+a 4＝a 2（1+q 2）＝20①a 3+a 5＝a 3（1+q 2）＝40②∴①②两个式子相除，可得到＝＝2即等比数列的公比q ＝2，将q ＝2带入①中可求出a 2＝4则a 1＝＝＝2∴数列{a n }时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{a n }的前n 项和为：S n ＝＝＝2n +1﹣2．故答案为：2，2n +1﹣2．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式是解题的关键．11．【分析】由PD ：DB ＝9：16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x ．利用切割线定理可得PA 2＝PD •PB ，即可求出x ，进而得到PD ，PB ．AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，利用切线的性质可得AB ⊥PA ．再利用勾股定理即可得出AB ．【解答】解：由PD ：DB ＝9：16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x ．∵PA 为圆O 的切线，∴PA 2＝PD •PB ，∴32＝9x •（9x +16x ），化为，∴．∴PD ＝9x ＝，PB ＝25x ＝5．∵AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，∴AB ⊥PA ．∴＝＝4．故答案分别为，4．【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．12．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×＝96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得＝（﹣1，1），＝（6，2），＝（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣因此，＝＝4故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．14．【分析】如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1，利用线面平行的判定即可得到C 1C ∥平面D 1EF ，进而得到异面直线D 1E 与C 1C 的距离．【解答】解：如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1，∴CC 1∥EF ，又EF ⊂平面D 1EF ，CC 1⊄平面D 1EF ，∴CC 1∥平面D 1EF ．∴直线C 1C 上任一点到平面D 1EF 的距离是两条异面直线D 1E 与CC 1的距离．过点C 1作C 1M ⊥D 1F ，∵平面D 1EF ⊥平面A 1B 1C 1D 1．∴C 1M ⊥平面D 1EF ．过点M 作MP ∥EF 交D 1E 于点P ，则MP ∥C 1C ．取C 1N ＝MP ，连接PN ，则四边形MPNC 1是矩形．可得NP ⊥平面D 1EF ，在Rt△D 1C 1F 中，C 1M •D 1F ＝D 1C 1•C 1F ，得＝．∴点P 到直线CC 1的距离的最小值为．故答案为【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cos A 的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c 的值，再进行检验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC 中，a ＝3，，∠B ＝2∠A ，利用正弦定理可得，即＝．解得cos A ＝．（Ⅱ）由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ，即9＝+c 2﹣2×2×c ×，即c 2﹣8c +15＝0．解方程求得c ＝5，或c ＝3．当c ＝3时，此时a ＝c ＝3，根据∠B ＝2∠A ，可得B ＝90°，A ＝C ＝45°，△ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2＝b 2，故舍去．当c ＝5时，求得cos B ＝＝，cos A ＝＝，∴cos2A ＝2cos 2A ﹣1＝＝cos B ，∴B ＝2A ，满足条件．综上，c ＝5．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c ＝3舍去，这是解题的易错点，属于中档题．16．【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X 所有可能取值为0，1，2，得出P （X ＝0），P （X ＝1），p （x ＝2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A i 表示事件“此人于5月i 日到达该地”（i ＝1，2， (13)依据题意P （A i ）＝，A i ∩A j ＝∅（i ≠j ）（Ⅰ）设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P （B ）＝…（3分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2P （X ＝0）＝，P （X ＝1）＝，P （X ＝2）＝…（6分）∴X 的分布列为X 012P…（8分）∴X 的数学期望为E （X ）＝…（11分）（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13分）【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．17．【分析】（I ）利用AA 1C 1C 是正方形，可得AA 1⊥AC ，再利用面面垂直的性质即可证明；（II ）利用勾股定理的逆定理可得AB ⊥AC ．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III ）设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE ⊥BC 于E ，可得D ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I ）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC ．又∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，∴AA 1⊥平面ABC ．（II ）解：由AC ＝4，BC ＝5，AB ＝3．∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ．建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），∴，，．设平面A 1BC 1的法向量为，平面B 1BC 1的法向量为＝（x 2，y 2，z 2）．则，令y 1＝4，解得x 1＝0，z 1＝3，∴．，令x 2＝3，解得y 2＝4，z 2＝0，∴．＝＝＝．∴二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为．（III ）设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE ⊥BC 于E ，可得D ，∴＝，＝（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t ＝．∴．【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1∴l 的方程为y ＝x ﹣1证明：（Ⅱ）令f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0）曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ＞0，则f ′（x ）＝2x ﹣1﹣＝∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）＝0∴x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，即＜x ﹣1x ∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即＜x ﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．19．【分析】（I ）根据B 的坐标为（2，0）且AC 是OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出A 、C 两点的坐标，从而得到线段AC 的长等于．再结合OB 的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC 的面积；（II ）若四边形OABC 为菱形，根据|OA |＝|OC |与椭圆的方程联解，算出A 、C 的横坐标满足＝r 2﹣1，从而得到A 、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【解答】解：（I ）∵四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为x ＝1设A （1，t ），得，解之得t ＝（舍负）∴A 的坐标为（1，），同理可得C 的坐标为（1，﹣）因此，|AC |＝，可得菱形OABC 的面积为S ＝|AC |•|BO |＝；（II ）∵四边形OABC 为菱形，∴|OA |＝|OC |，设|OA |＝|OC |＝r （r ＞1），得A 、C 两点是圆x 2+y 2＝r2与椭圆的公共点，解之得＝r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2，可得A 、C 两点的横坐标满足x 1＝x 2＝•，或x 1＝•且x 2＝﹣•，①当x 1＝x 2＝•时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0）；②若x 1＝•且x 2＝﹣•，则x 1+x 2＝0，可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O 为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）根据条件以及d n ＝A n ﹣B n 的定义，直接求得d 1，d 2，d 3，d 4的值．（Ⅱ）设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ，从而证得d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，（n ＝1，2，3，4…）．若d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，（n ＝1，2，3，4…）．可得{a n }是一个不减的数列，求得d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，即a n +1﹣a n ＝d ，即{a n }是公差为d 的等差数列，命题得证．（Ⅲ）若a 1＝2，d n ＝1（n ＝1，2，3，…），则{a n }的项不能等于零，再用反证法得到{a n }的项不能超过2，从而证得命题．【解答】解：（Ⅰ）若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d 1＝A 1﹣B 1＝2﹣1＝1，d 2＝A 2﹣B 2＝2﹣1＝1，d 3＝A 3﹣B 3＝4﹣1＝3，d 4＝A 4﹣B 4＝4﹣1＝3．（Ⅱ）充分性：设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ，∴A n ＝a n ＝a 1+（n ﹣1）d ，B n ＝a n +1＝a 1+nd ，∴d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，（n ＝1，2，3，4…）．必要性：若d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，（n ＝1，2，3，4…）．假设a k 是第一个使a k ﹣a k ﹣1＜0的项，则d k ＝A k ﹣B k ＝a k ﹣1﹣B k ≥a k ﹣1﹣a k ＞0，这与d n ＝﹣d ≤0相矛盾，故{a n }是一个不减的数列．∴d n ＝A n ﹣B n ＝a n ﹣a n +1＝﹣d ，即a n +1﹣a n ＝d ，故{a n }是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若a 1＝2，d n ＝1（n ＝1，2，3，…），首先，{a n }的项不能等于零，否则d 1＝2﹣0＝2，矛盾．而且还能得到{a n }的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n }的项中，有超过2的，设a m 是第一个大于2的项，由于{a n }的项中一定有1，否则与d 1＝1矛盾．当n ≥m 时，a n ≥2，否则与d m ＝1矛盾．因此，存在最大的i 在2到m ﹣1之间，使a i ＝1，此时，d i ＝A i ﹣B i ＝2﹣B i ≤2﹣2＝0，矛盾．综上，{a n }的项不能超过2，故{a n }的项只能是1或者2．下面用反证法证明{a n }的项中，有无穷多项为1．若a k 是最后一个1，则a k 是后边的各项的最小值都等于2，故d k ＝A k ﹣B k ＝2﹣2＝0，矛盾，故{a n }的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题．。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(北京卷)理
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2013北京,理1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=().A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案:B解析:{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}.2.(2013北京,理2)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:∵(2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D.3.(2013北京,理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵φ=π,∴y=sin(2x+π)=-sin2x,∴曲线过坐标原点,故充分性成立;∵y=sin(2x+φ)过原点,∴sinφ=0,∴φ=kπ,k∈Z.故必要性不成立.故选A.4.(2013北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.1B.23C.1321D.610987答案:C解析:依次执行的循环为S=1,i=0;S=23,i=1;S=1321,i=2.故选C .5.(2013北京,理5)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f (x )=( ). A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1答案:D解析:依题意,f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e -x ,于是f (x )相当于y=e -x 向左平移1个单位的结果,∴f (x )=e -x-1,故选D . 6.(2013北京,理6)若双曲线x 22−y 2b 2=1的离心率为√3,则其渐近线方程为( ).A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12x D.y=±√22x答案:B解析:由离心率为√3,可知c=√3a ,∴b=√2a.∴渐近线方程为y=±b ax=±√2x ,故选B .7.(2013北京,理7)直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ). A.43B.2C.83D.16√23答案:C解析:由题意可知,l 的方程为y=1.如图,B 点坐标为(2,1),∴所求面积S=4-2∫ 20x 24d x=4-2(x 312)|02=83,故选C .8.(2013北京,理8)设关于x ,y 的不等式组{2x -y +1>0,x +m <0,y -m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是( ). A.(-∞,43) B.(-∞,13) C.(-∞,-23)D.(-∞,-53)答案:C解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=12x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m ,m )在y=12x-1下方,也就是m<-12m-1,即m<-23.故选C .第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013北京,理9)在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsin θ=2的距离等于 .答案:1解析:在极坐标系中,点(2,π6)对应直角坐标系中坐标为(√3,1),直线ρsin θ=2对应直角坐标系中的方程为y=2,所以点到直线的距离为1.10.(2013北京,理10)若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q= ;前n 项和S n = . 答案:2 2n+1-2解析:由题意知q=a 3+a 5a 2+a 4=4020=2.由a 2+a 4=a 2(1+q 2)=a 1q (1+q 2)=20, ∴a 1=2.∴S n =2(1-2n )1-2=2n+1-2. 11.(2013北京,理11)如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D ,若PA=3,PD ∶DB=9∶16,则PD= ,AB= .答案:95 4解析:设PD=9k ,则DB=16k (k>0).由切割线定理可得,PA 2=PD ·PB , 即32=9k ·25k ,可得k=15.∴PD=95,PB=5.在Rt△APB中,AB=√PB2-PA2=4.12.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案:96解析:连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的分法有4×C41A33=96(种).13.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=.答案:4解析:可设a=-i+j,i,j为单位向量且i⊥j,则b=6i+2j,c=-i-3j.由c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j,∴{6μ-λ=-1,λ+2μ=-3,解得{λ=-2,μ=-12.∴λμ=4.14.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P 到直线CC1的距离的最小值为.答案:2√55解析:过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是C1H,故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1·C1H=C1D1·C1E1,∴C1H=2√5=2√55.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤.15.(2013北京,理15)(本小题共13分)在△ABC中,a=3,b=2√6,∠B=2∠A,(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=2√6,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得3sinA =2√6sin2A.所以2sinAcosAsinA =2√63.故cos A=√63.(2)由(1)知,cos A=√63,所以sin A=√1-cos2A=√33.又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=13.所以sin B=√1-cos2B=2√23.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=5√39.所以c=asinCsinA=5.16.(2013北京,理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=113,且A i∩A j=⌀(i≠j).(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A 5∪A 8. 所以P (B )=P (A 5∪A 8)=P (A 5)+P (A 8)=213. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P (X=1)=P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11)=P (A 3)+P (A 6)+P (A 7)+P (A 11)=413, P (X=2)=P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 12)+P (A 13)=413, P (X=0)=1-P (X=1)-P (X=2)=513. 所以X 的分布列为:故X 的期望EX=0×513+1×413+2×413=1213. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.(2013北京,理17)(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5, (1)求证:AA 1⊥平面ABC ; (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值.解:(1)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4).设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3y -4z =0,4x =0.令z=3,则x=0,y=4,所以n =(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的法向量为m =(3,4,0). 所以cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=1625. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角, 所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(x ,y-3,z )=λ(4,-3,4). 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ,3-3λ,4λ).由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即9-25λ=0,解得λ=925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B. 此时,BD BC 1=λ=925.18.(2013北京,理18)(本小题共13分)设L 为曲线C :y=lnxx在点(1,0)处的切线. (1)求L 的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解:(1)设f (x )=lnx x,则f'(x )=1-lnxx 2. 所以f'(1)=1.所以L 的方程为y=x-1.(2)令g (x )=x-1-f (x ),则除切点之外,曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x>0,x ≠1). g (x )满足g (1)=0,且g'(x )=1-f'(x )=x 2-1+lnxx 2.当0<x<1时,x 2-1<0,ln x<0,所以g'(x )<0,故g (x )单调递减; 当x>1时,x 2-1>0,ln x>0,所以g'(x )>0,故g (x )单调递增. 所以,g (x )>g (1)=0(∀x>0,x ≠1).所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方.19.(2013北京,理19)(本小题共14分)已知A ,B ,C 是椭圆W :x 24+y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W :x 24+y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设A (1,m ),代入椭圆方程得14+m 2=1,即m=±√32. 所以菱形OABC 的面积是12|OB|·|AC|=12×2×2|m|=√3. (2)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m (k ≠0,m ≠0). 由{x 2+4y 2=4,y =kx +m 消y 并整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2), 则x 1+x 22=-4km 1+4k 2,y 1+y 22=k ·x 1+x 22+m=m1+4k 2. 所以AC 的中点为M (-4km 1+4k2,m 1+4k 2).因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为-14k. 因为k ·(-14k)≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.20.(2013北京,理20)(本小题共13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n+4=a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值; (2)设d 是非负整数,证明:d n =-d (n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列; (3)证明:若a 1=2,d n =1(n=1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 解:(1)d 1=d 2=1,d 3=d 4=3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列,且d ≥0, 所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤….因此A n =a n ,B n =a n+1,d n =a n -a n+1=-d (n=1,2,3,…). (必要性)因为d n =-d ≤0(n=1,2,3,…), 所以A n =B n +d n ≤B n .又因为a n ≤A n ,a n+1≥B n ,所以a n ≤a n+1. 于是,A n =a n ,B n =a n+1, 因此a n+1-a n =B n -A n =-d n =d , 即{a n }是公差为d 的等差数列. (3)因为a 1=2,d 1=1, 所以A 1=a 1=2,B 1=A 1-d 1=1. 故对任意n ≥1,a n ≥B 1=1. 假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项. 设m 为满足a m >2的最小正整数, 则m ≥2,并且对任意1≤k<m ,a k ≤2.又因为a1=2,所以A m-1=2,且A m=a m>2.于是,B m=A m-d m>2-1=1,B m-1=min{a m,B m}≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n≥1,有a n≤2,即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1,a n≤2=a1,所以A n=2.故B n=A n-d n=2-1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且a m=1,即数列{a n}有无穷多项为1.。
2013北京高考理科数学试题及答案word
2013年一般高等学校招生全国统一考试数 学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回．第一局部（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合{}101A =-，，，{}|11B x x =-<≤，则A B = A ．{}0 B ．{}10-， C ．{}01，D ．{}101-，， （2）在复平面内，复数()22i -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（3）“πϕ=”是“曲线()sin 2y x ϕ=+过坐标原点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 （4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．1B ．23C ．1321D ．610987 （5）函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =A ．1e x +B ．1e x -C ．1e x -+D ．1e x --（6）若双曲线22221x y a b-=A ．2y x =± B．y = C ．12y x =± D．y = （7）直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于A ．43B ．2C ．83 D（8）设关于x ，y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩，，表示的平面区域内存在点()00P x y ，，满意0022x y -=，求得m 的取值范围是A ．43⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，B ．13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，C ．23⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，D ．53⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 第二局部（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．（9）在极坐标系中，点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线sin 2ρθ=的间隔 等于 ． （10）若等比数列{}n a 满意2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = ．（11）如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = ．（12）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全局部给4人，每人至少1张，假如分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．（13）向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若()c a b λμλμ=+∈R ，，则λμ= ． （14）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的间隔 的最小值为 ．三、解答题共6小题，共50分．解容许写出文字说明，演算步骤（15）本小题共（13分）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求c 的值．（16）（本小题共13分） 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指1数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．空气质量指数日期（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图推断从哪天开场连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）（17）（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA C C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AA C C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求证二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BD BC 的值.（18）（本小题共13分）设l 为曲线ln :xC y x =在点()1,0处的切线．（Ⅰ）求l 的方程； C 1B 1A 1A B C（Ⅱ）证明：除切点()1,0之外，曲线C 在直线l 的下方．（19）（本小题共14分）已知,,A B C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点. （Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积;（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，推断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.（20）（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,n n a a ++的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列（即对随意*n ∈N ，4n n a a +=），写出1234,,,d d d d 的值;（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3n d d n =-=的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列; （Ⅲ）证明：若12a =，()11,2,3,n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.要使可行域存在，必有m<－2m+1，要求可行域内包含直线112y x=-上的点，只要边界点(－m，1－2m)在直线112y x=-上方，且(-m，m)在直线112y x=-下方，解不等式组1211212112m mm mm m⎧⎪<-⎪⎪->--⎨⎪⎪<--⎪⎩得m＜23-。
2013年高考理数真题试卷(北京卷)及解析
2013年高考理数真题试卷（北京卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A.{0}B.{﹣1，0}C.{0，1}D.{﹣1，0，1}2.“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.若双曲线x2a2−y2b2=1的离心率为√3，则其渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12xD.y=±√22x4.设关于x，y的不等式组{2x−y+1＞0x+m＜0y−m＞0表示的平面区域内存在点P（x， y），满足x﹣2y=2，求得m的取值范围是（）A.(−∞,43)B.(−∞,13)C.(−∞,−23)D.(−∞,−53)第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）答案第2页，总12页……装…………○…………订………○…………线……※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题……装…………○…………订………○…………线……5.在极坐标系中，点（2， π6 ）到直线ρsinθ=2的距离等于 ．6.若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，则公比q= ；前n 项和S n = ．7.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA=3，PD ：DB=9：16，则PD= ， AB= ．8.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 ．9.向量 a →， b →， c → 在正方形网格中的位置如图所示，若 c →=λa →+μb →（λ，μ∈R），则 λμ = ．10.如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 ．三、解答题（题型注释）11.在△ABC 中，a=3，b=2 √6 ，∠B=2∠A．（1）求cosA 的值； （2）求c 的值．12.如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天…………○…………订…………○…………线…………○…：___________班级：___________考号：___________…………○…………订…………○…………线…………○…（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明） 13.如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5．（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；（2）求证二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值；（3）证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD⊥A 1B ，并求 BDBC 1的值．14.设l 为曲线C ：y=lnxx在点（1，0）处的切线． （1）求l 的方程；（2）证明：除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方． 15.已知A ，B ，C 是椭圆W ： x 24+y 2=1 上的三个点，O 是坐标原点．（1）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（2）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．16.已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ， 第n 项之后各项a n+1 ， a n+2…的最小值记为B n ， d n =A n ﹣B n ． （1）若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N * ， a n+4=a n ），写出d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4的值；（2）设d 是非负整数，证明：d n =﹣d （n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；（3）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．答案第4页，总12页…………线……………线…参数答案1.B【解析】1.解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}， ∴A∩B={﹣1，0}． 故选B【考点精析】认真审题，首先需要了解集合的交集运算(交集的性质：（1）A∩B A ，A∩B B ，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A;（2）若A∩B=A，则AB ，反之也成立)．2.A【解析】2.解：φ=π时，曲线y=sin （2x+φ）=﹣sin2x ，过坐标原点． 但是，曲线y=sin （2x+φ）过坐标原点，即O （0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π． 故“φ=π”是“曲线y=sin （2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件． 故选A ． 3.B【解析】3.解：由双曲线的离心率 √3 ，可知c= √3 a ， 又a 2+b 2=c 2 ， 所以b= √2 a ，所以双曲线的渐近线方程为：y= ±ba x =± √2 x ．故选B ． 4.C【解析】4.解：先根据约束条件 {2x −y +1＞0x +m ＜0y −m ＞0画出可行域，要使可行域存在，必有m ＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y= 12 x ﹣1上的点，只要边界点（﹣m ，1﹣2m ）在直线y= 12 x ﹣1的上方，且（﹣m ，m ）在直线y= 12 x ﹣1的下方，故得不等式组 {m ＜−2m +11−2m ＞−12−1m ＜−12m −1，解之得：m ＜﹣ 23 ．…外…………○…………装………○…………订………○…………线…………○…学校:___________姓名_________班级：___________考号：_______…内…………○…………装………○…………订………○…………线…………○…故选C ．5.1【解析】5.解：在极坐标系中，点 (2,π6) 化为直角坐标为（ √3 ，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（ √3 ，1），到y=2的距离1，即为点 (2,π6) 到直线ρsinθ=2的距离1，所以答案是：1．【考点精析】关于本题考查的点到直线的距离公式，需要了解点到直线的距离为：才能得出正确答案．6.2；2n+1﹣2【解析】6.解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+a 4=20，a 3+a 5=40，∴ {a 1q +a 1q 3=20a 1q 2+a 1q 4=40，解得 {a 1=2q =2 ．∴ S n =a (q n −1)1q−1= 2×(2n −1)2−1 =2n+1﹣2．所以答案是：2，2n+1﹣2．【考点精析】本题主要考查了等比数列的通项公式（及其变式）和等比数列的前n 项和公式的相关知识点，需要掌握通项公式：；前项和公式：才能正确解答此题．7.95；4【解析】7.解：由PD ：DB=9：16，可设PD=9x ，DB=16x ． 2答案第6页，总12页外…………○…………装…………○…………订※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内内…………○…………装…………○…………订∴32=9x•（9x+16x ），化为 x 2=125 ，∴ x =15．∴PD=9x= 95 ，PB=25x=5．∵AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，∴AB⊥PA． ∴ AB =√PB 2−PA 2 = √52−32=4． 故答案分别为 95 ，4．8.96【解析】8.解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4× A 44=96种．所以答案是：96． 9.4【解析】9.解：以向量 a →、 b →的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系 可得 a →=（﹣1，1）， b →=（6，2）， c →=（﹣1，﹣3） ∵ c →=λa →+μb (λ,μ∈R)→ ∴ {−1=−λ+6μ−3=λ+2μ，解之得λ=﹣2且μ=﹣ 12因此， λμ = −2−12=4 所以答案是：4【考点精析】通过灵活运用平面向量的基本定理及其意义，掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使即可以解答此题．10.2√55【解析】10.解：如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1 ， ∴CC 1∥EF，又EF ⊂平面D 1EF ，CC 1⊄平面D 1EF ，………订…………○…………线…………○…___________考号：___________………订…………○…………线…………○…∴CC 1∥平面D 1EF ．∴直线C 1C 上任一点到平面D 1EF 的距离是两条异面直线D 1E 与CC 1的距离． 过点C 1作C 1M⊥D 1F ，∵平面D 1EF⊥平面A 1B 1C 1D 1 ． ∴C 1M⊥平面D 1EF ．过点M 作MP∥EF 交D 1E 于点P ，则MP∥C 1C ． 取C 1N=MP ，连接PN ，则四边形MPNC 1是矩形． 可得NP⊥平面D 1EF ，在Rt△D 1C 1F 中，C 1M•D 1F=D 1C 1•C 1F ，得 C 1M =√22+11=2√55． ∴点P 到直线CC 1的距离的最小值为 2√55． 所以答案是2√5511.（1）解：由条件在△ABC 中，a=3， b =2√6 ，∠B=2∠A， 利用正弦定理可得 a sinA =b sinB ，即 3sinA =2√6sin2A = 2√62sinAcosA ． 解得cosA= √63 ．（2）解：由余弦定理可得 a 2=b 2+c 2﹣2bc•cosA，即 9= (2√6)2+c 2﹣2×2 √6×c× √63 ， 即 c 2﹣8c+15=0．解方程求得 c=5，或 c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得 B=90°，A=C=45°， △ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2=b 2，故舍去． 当c=5时，求得cosB= a 2+c 2−b 22ac = 13 ，cosA= b 2+c 2−a 22bc = √63 ，∴cos2A=2cos 2A ﹣1= 13 =cosB ，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．【解析】11.（1）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA 的值．（2）由条件利用余弦定理，解方程求得c 的值，再进行检验，从而得出结论．【考点精析】认真审题，首先需要了解正弦定理的定义(正弦定理:答案第8页，总12页…………○线…………○)，还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键．12.（1）解：设A i 表示事件“此人于5月i 日到达该地”（i=1，2，…，13） 依据题意P （A i ）= 113 ，A i ∩A j =∅（i≠j）设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P （B ）= 613（2）解：X 的所有可能取值为0，1，2 P （X=0）= 513 ，P （X=1）= 413 ，P （X=2）= 413 ∴X 的数学期望为E （X ）= 1213（3）解：从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大【解析】12.（1）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（2）由题意可知X 所有可能取值为0，1，2，得出P （X=0），P （X=1），p （x=2）及分布列与数学期望；（3）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【考点精析】通过灵活运用极差、方差与标准差，掌握标准差和方差越大，数据的离散程度越大；标准差和方程为0时，样本各数据全相等，数据没有离散性；方差与原始数据单位不同，解决实际问题时，多采用标准差即可以解答此题． 13.（1）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC∩平面AA 1C 1C=AC ， ∴AA 1⊥平面ABC ．（2）解：由AC=4，BC=5，AB=3． ∴AC 2+AB 2=BC 2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），∴ BC 1→=(4,−3,4) ， BA 1→=(0,−3,4) ， BB 1→=(0,0,4) ．设平面A 1BC 1的法向量为 n 1→=(x 1,y 1,z 1) ，平面B 1BC 1的法向量为 n 2→=（x 2，y 2，z 2）．………○…………装…………○学校:___________姓名：___________班………○…………装…………○则 {n 1→⋅BC 1→=4x 1−3y 1+4z 1=0n 1→⋅BA 1→=−3y 1+4z 1=0，令y 1=4，解得x 1=0，z 1=3，∴ n 1→=(0,4,3) ．{n 2→⋅BC 1→=4x 2−3y 2+4z 2=0n 2→⋅BA 1→=4z 2=0，令x 2=3，解得y 2=4，z 2=0，∴ n 2→=(3,4,0) ．cos〈n 1→⋅n 2→〉 = n 1→⋅n 2→|n 1→|⋅|n 2→|= √25⋅√25 = 1625 ．∴二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为 1625 ．（3）证明：设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE⊥BC 于E ，可得D (t,34(4−t),t) ，∴ AD → = (t,34(4−t),t) ， A 1B →=（0，3，﹣4），∵ AD →⊥A 1B → ，∴ AD →⋅A 1B →=0 ， ∴ 0+94(4−t)−4t =0 ，解得t= 3625 ．∴ BD BC 1=DE CC 1=925 ．【解析】13.（1）利用AA 1C 1C 是正方形，可得AA 1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（2）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（3）设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE⊥BC 于E ，可得D (t,34(4−t),t) ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与答案第10页，总12页相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题． 14.（1）解：∵ y =lnx x∴ y ′=1−lnxx 2∴l 的斜率k=y′|x=1=1 ∴l 的方程为y=x ﹣1（2）证明：令f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0）曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）=x （x ﹣1）﹣lnx ＞0，则f′（x ）=2x ﹣1﹣ 1x =(2x+1)(x−1)x∴f（x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）=0 ∴x∈（0，1）时，f （x ）＞0，即 lnxx＜x ﹣1 x∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即lnxx＜x ﹣1 即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方【解析】14.（1）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（2）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论． 15.（1）解：∵四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0） ∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为x=1 设A （1，t ），得 124+t 2=1 ，解之得t= √32 （舍负）∴A 的坐标为（1， √32 ），同理可得C 的坐标为（1，﹣ √32 ） 因此，|AC|= √3 ，可得菱形OABC 的面积为S= 12 |AC|•|B0|= √3 ；（2）解：∵四边形OABC 为菱形，∴|OA|=|OC|， 设|OA|=|OC|=r （r ＞1），得A 、C 两点是圆x 2+y 2=r 2 与椭圆W: x 24+y 2=1 的公共点，解之得 3x 24 =r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2，可得A 、C 两点的横坐标满足 x 1=x 2=2√33• √r 2−1 ，或x 1=2√33• √r 2−1 且x 2=﹣2√33• √r 2−1 ，①当x 1=x 2= 2√33• √r 2−1 时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0）；②若x 1=2√33• √2−1 且x 2=﹣ 2√33• √2−1 ，则x 1+x 2=0，第11页，总12页…………线……………………线…………可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【解析】15.（1）根据B 的坐标为（2，0）且AC 是OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出A 、C 两点的坐标，从而得到线段AC 的长等于 √3 ．再结合OB 的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC 的面积；（2）若四边形OABC 为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A 、C的横坐标满足 3x 24 =r 2﹣1，从而得到A 、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形． 16.（1）解：若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d 1=A 1﹣B 1=2﹣1=1，d 2=A 2﹣B 2=2﹣1=1，d 3=A 3﹣B 3=4﹣1=3，d 4=A 4﹣B 4=4﹣1=3．（2）证明：充分性：设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ， ∴A n =a n =a 1+（n ﹣1）d ，B n =a n+1=a 1+nd ，∴d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．必要性：若 d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．假设a k 是第一个使a k ﹣a k ﹣1＜0的项， 则d k =A k ﹣B k =a k ﹣1﹣B k ≥a k ﹣1﹣a k ＞0，这与d n =﹣d≤0相矛盾，故{a n }是一个不减的数列． ∴d n =A n ﹣B n =a n ﹣a n+1=﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，故{a n }是公差为d 的等差数列．（3）证明：若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），首先，{a n }的项不能等于零，否则d 1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n }的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n }的项中，有超过2的，设a m 是第一个大于2的项，由于{a n }的项中一定有1，否则与d 1=1矛盾．当n≥m 时，a n ≥2，否则与d m =1矛盾．因此，存在最大的i 在2到m ﹣1之间，使a i =1，此时，d i =A i ﹣B i =2﹣B i ≤2﹣2=0，矛盾． 综上，{a n }的项不能超过2，故{a n }的项只能是1或者2． 下面用反证法证明{a n }的项中，有无穷多项为1．若a k 是最后一个1，则a k 是后边的各项的最小值都等于2，故d k =A k ﹣B k =2﹣2=0，矛盾， 故{a n }的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．答案第12页，总12页………○…………线………※※题※※………○…………线………【解析】16.（1）根据条件以及d n =A n ﹣B n 的定义，直接求得d 1 ， d 2 ， d 3 ， d 4的值．（2）设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，从而证得d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．若d n =A n ﹣B n =﹣d ，（n=1，2，3，4…）．可得{a n }是一个不减的数列，求得d n =A n ﹣B n =﹣d ，即 a n+1﹣a n =d ，即{a n }是公差为d 的等差数列，命题得证．（3）若a 1=2，d n =1（n=1，2，3，…），则{a n }的项不能等于零，再用反证法得到{a n }的项不能超过2，从而证得命题．【考点精析】关于本题考查的等差关系的确定和等比关系的确定，需要了解如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N ）那么这个数列就叫做等差数列；等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n 项和法进行判断才能得出正确答案．。
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（北京卷）2013年高考数学普通高等学校招生全国统一考试最后一卷
理（学生版）
本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分
一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.
1.设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于
A ．{|2}x x >
B ．{}20<<x x
C ．{}21<<x x
D ．{|01}x x <<
4.已知x ，y 满足不等式组0,0,,
2 4.
x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是
A ．[6,15] B.[7,15] C.[6,8] D.[7,8]
5.已知a 是实数，i 1i
a +-是纯虚数，则a 等于 A ．1- B ． 1 C
D
．
6.如图，
的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是
A
．． 1 D ．2
7.平面直角坐标系xOy 中，已知A(1,0)，B （0,1），点C 在第二象限内，
56
AOC π∠=，且|OC|=2，若OC OA OB λμ=+，则λ，μ的值是（ ） A
1 B ． 1
C ．-1
D
．，1
8.设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，则
21a a 等于 A.1 B. 2 C. 3 D. 4
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题:共6小题
9.在ABC ∆
中，若2,60,a B b =∠=︒=
，则BC 边上的高等于 ．
10.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为_______（[]x 表示不超过x 的最大整数）
11.将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是___________
12.以y x =±为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为______.
13.在261(3)x x
+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)
14.给出定义：若11< +22
m x m -≤ (其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}=x m .在此基础上给出下列关于函数()={}f x x x -的四个命题：
①=()y f x 的定义域是R ，值域是11(,]22
-； ②点(,0)k 是=()y f x 的图像的对称中心，其中k Z ∈；
③函数=()y f x 的最小正周期为；
④ 函数=()y f x 在13(,]22
-上是增函数． 则上述命题中真命题的序号是 ．
（I ）从出租天数为3天的汽车（仅限A,B 两种车型）中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；
（Ⅱ）根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；
（Ⅲ）如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A ，B 两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由.
17.在长方体1111ABCD-A B C D 中，12AA =AD=，点E 在棱CD 上，且13CE=CD ． （Ⅰ）求证：1AD 平面11A B D ；
（Ⅱ）在棱1AA 上是否存在点P ，使DP ∥平面1B AE ？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由；
（Ⅲ）若二面角11A-B E-A AB 的长．
19.设函数()()()12,03
123-+=>-=b bx x g a ax x x f . (I)若曲线()x f y =与曲线()x g y =在它们的交点()c ,1处具有公共切线,求b a ,的值; (II)当b a 21-=时,若函数()()x g x f +在区间()0,2-内恰有两个零点,求a 的取值范围; (III)当121=-=b a 时,求函数()()x g x f +在区间[]3,+t t 上的最大值
20.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(0)，0)的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.
21.已知各项均为正数的数列n n S n a 项和为的前}{，
（1）求证：数列}{n a 是等差数列；
（2n 项和为T n ,求T n 。