[推荐学习]高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.1向量数量积的数学背景与定义课堂探究

合集下载

高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课件

高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式课件
三角函数的联系,利用向量可以解决有关三角问题.
1
2
3
【做一做3-1】 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),则△ABC为(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.无法判断
解析:由=(1,1),=(-4,2),=(3,-3),
于是 ·=1×3-1×3=0,
即 ⊥ ,
(3)向量的夹角的余弦公式:已知 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量
a,b 的夹角的余弦为 cos<a,b>=
1 1 +2 2
2
2
21 +22 1 +2
.
归纳总结 1.由向量的长度公式可以发现,引入向量的直角坐标,
建立了向量与解析几何的联系.
2.由两个向量的夹角的余弦的表达式可以发现向量的数量积与
2.向量垂直的坐标表示x1x2+y1y2=0与向量共线的坐标表示x1y2x2y1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上
鉴别,垂直是a·b=0,而共线是方向相同或相反.
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练2】 已知a=(-3,2),b=(-1,0),向量λa+b与a-2b垂直,则实
设 与的夹角为 θ,
则 cos θ=
·
||||
16
4
= 20 = 5,
4
∴矩形 ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为5.
反思用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量,然后
把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运
算即可,最后再回归到原始几何图形中进行说明.
解析:由|a|2=9+x2=25,解得x=±4.

高中数学 平面向量的数量积

高中数学  平面向量的数量积
OA= |a|cos90=0.
|a|= 6
Oe
45º A
(1)
|a|= 6
(OA)●e
|a|= 6
(2)
(3) 当q =135º时,
OA= |a|cos135= 6(
2 2
)
= 3 2 .
A (3) Oe
问题2. 非零向量 a 与 b 的数量积 a·b 在什么情
况下为正? 在什么情况下这负? 在什么情况下为零?
6448cosq 27=61,
解得
cosq
=
1 2
,
得 q =120.
8. 已知 |a|=8, |b|=10, |a+b|=16, 求 a 与 b 的夹
角q (精确到1). (可用计算器)
解:
由(|aaa|2a|+2+++b2b2)a2||=a=b1|1+6|6bb得,|2co=s1q6+,
|b
∴又((1a)+式b成)(立a .
b)
= = =
(aaa22++bbb)2,aaa(ab+bb)2b
∴(2)式成立.
例3. 已知 |a|=6, |b|=4, a 与 b 的夹角为 60, 求
(a+2b)·(a3b).
解:
(a
+
2b)(a
3b)
= = =
aa
| |
a a
|2 |2
caccooobsssqqq==|a000|,,,|b|caaaosbbqb
,
0. 0. = 0.
即两向量的夹角为锐角时, 数量积为正, 夹角为钝角时, 数量积为负, 夹角为直角时, 数量积为零.

高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修

高中数学第二章平面向量2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式课件新人教B版必修

答案:2
平面向量数量积的坐标运算
[典例] (1)(全国卷Ⅱ)向量 a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+
b)·a=
()
A.-1
B.0
C.1
D.2
(2)(广东高考)在平面直角坐标系 xOy 中,已知四边形 ABCD 是
平行四边形, AB=(1,-2), AD=(2,1),则 AD·AC = ( )
[解析] (1)由ab⊥∥cc, ⇒22xy+-44==00, ⇒xy==-2,2. ∴a=(2,1),b=(1,-2),a+b=(3,-1). ∴|a+b|= 10. (2)由题意可设 AB=λa(λ>0), ∴ AB=(2λ,3λ).又| AB|=2 13, ∴(2λ)2+(3λ)2=(2 13)2,解得 λ=2 或-2(舍去). ∴ AB=(4,6).又 A(1,-2),∴B(5,4). [答案] (1)B (2)(5,4)
[活学活用] 已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a⊥c. (1)求 b 与 c; (2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m,n 的夹角的大小. 解:(1)∵a∥b,∴3x=4×9,∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y=0,∴y=-3, ∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1). 设 m,n 的夹角为 θ,
向量的夹角和垂直问题
[典例] (1)已知 a=(3,2),b=(-1,2),(a+λb)⊥b,则实数 λ =________.
(2)已知 a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c 与 d 的夹角为π4,则实数 k 的值为________.

高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律课件新人教B版必修4

高中数学第二章平面向量2.3平面向量的数量积2.3.2向量数量积的运算律课件新人教B版必修4

解析: ∵������������ + ������������=2������������,且|������������|+|������������ |=2, ∴(������������ + ������������)· ������������ =2������������ ·������������ =-2|������������||������������ | =-2|������������|(2-|������������|)=2|������������|2-4|������������|=2(|������������|-1)2-2. ∴当|������������|=1 时,(������������ + ������������ )· ������������ 有最小值-
易错辨析
对本例变形:已知 e1,e2 是两个单位向量,且(2e1-e2)· (-3e1+2e2)=- , 求<e1,e2>.
解: 设<e1,e2>=θ,
2 2 则(2e1-e2)· (-3e1+2e2)=-6������1 +7e1· e2-2������2 =-6+7× cos θ-2=- .
将|a| =|b| =1,代入有
2 2
2
2
1 a· b= , 3
2
而(3a+b) =9|a| +6a· b+|b| 所以|3a+b|=2√3.
1 =9+6× +1=12, 3
探究一
探究二
探究三
易错辨析
求向量的模 【例2】 已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|3a-2b|=3,求|3a+b|的值. 分析:通过数量积a· b来探求已知条件|3a-2b|=3与目标式|3a+b| 之间的关系. 解:因为|a|=|b|=1,所以|a|2=|b|2=1. 又因为|3a-2b|=3,所以(3a-2b)2=9, 所以9|a|2-12a· b+4|b|2=9,

最新-2021版高中数学人教B版必修四课件:第二单元 233 向量数量积的坐标运算与度量公式 精品

最新-2021版高中数学人教B版必修四课件:第二单元 233 向量数量积的坐标运算与度量公式 精品

π A.6
√B.π4
π
π
C.3
D.2
解析 ∵|a|= 10,|b|= 5,a·b=5,
∴cos〈a,b〉=|aa|·|bb|=
5 10×
5= 22.
又∵a,b的夹角范围为[0,π],∴a 与 b 的夹角为π4.
12345
解析 答案
2.已知向量B→A=12, 23,B→C= 23,12,则∠ABC 等于
12345
解答
规律与方法
1.平面向量数量积的定义及其坐标表示,提供了数量积运算的两种不同 的途径.准确地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径,可以 优化解题过程.同时,平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形” 转化的桥梁,成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何 问题,在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式,二者不能混淆,可以对比学习、 记忆.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0,a⊥b⇔x1x2+ y1y2=0. 4.事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹 角问题却隐藏了许多陷阱与误区,常常会出现因模糊“两向量的夹角的 概念”和忽视“两向量夹角的范围”,稍不注意就会带来失误与错误.
答案
梳理
设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a·b= a1b1+a2b2 .即两个向量的数量 积等于相应坐标乘积的和.
知识点二 向量模的坐标表示及两点间距离公式
思考
若a=(a1,a2),试将向量的模|a|用坐标表示. 答案 ∵a=(a1,a2), ∴|a|2=a·a=(a1,a2)·(a1,a2) =a21+a22, ∴|a|= a21+a22.

平面向量的数量积

平面向量的数量积

平面向量的数量积可以用于判 断两条直线是否平行或垂直
平面向量的数量积可以用于计 算平面上点的坐标和轨迹
04
平面向量的数量积 与向量的模的关系
数量积与向量模的关系
数量积的定义:两个向量的模的乘积与两个向量夹角的余弦值的乘积之和 的平方根
数量积的性质:两个向量的数量积等于它们的模的乘积与它们夹角的余弦 值的乘积

投影:向量a 在向量b上的 投影长度等于 向量a的数量 积除以向量b
的长度
方向:向量a 与向量b的数 量积的正负号 表示两向量的 夹角是锐角还
是钝角
数量积的性质
非零向量的数量积为实数
向量的数量积满足交换律和分配律
向量的数量积为0的充分必要条件是两个向量垂直 向量的数量积与向量的模长和夹角有关,可以用来描述两个向量的 相似程度
05
平面向量的数量积 的运算技巧
代数法计算数量积
定义:两个向量的数量积定义为它们的对应坐标的乘积之和 性质:数量积满足交换律和分配律 坐标法:利用向量的坐标进行计算,公式为:a·b=x1x2+y1y2 几何意义:数量积表示两个向量在垂直方向上的投影长度之积
几何法计算数量积
定义:两个非零向量的夹角余弦值乘以两个向量模的乘积
数量积的运算方法
定义:两个向量的数量积定义为 它们的模长和夹角的余弦值的乘 积
几何意义:表示两个向量在垂直 方向上的投影长度
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
性质:数量积满足交换律和分配 律
计算公式:a · b = |a||b|cosθ, 其中θ为两向量的夹角
03
平面向量的数量积 的应用
在三角形中的应用
平面向量的数量积

高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.

高中数学 第二章 平面向量 2.4 平面向量的数量积 2.4.

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角互动课堂疏导引导1.向量内积的坐标运算建立正交基底{e 1,e 2},已知a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ·b =(a 1e 1+a 2e 2)(b 1e 1+b 2e 2)=a 1b 1e 12+(a 1b 2+a 2b 1)·e 1·e 2+a 2b 2e 22.因为e 1·e 1=e 2·e 2=1,e 1·e 2=e 2·e 1=0,故a ·b =a 1b 1+a 2b 2. 疑难疏引(1)两个向量的数量积等于它们对应的坐标的乘积的和,并且此式是在正交基底{e 1,e 2}下实现的.(2)引入坐标后,实现了向量的数量积和向量坐标间运算的转化.2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件,设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),如果a ⊥b ,则a 1b 1+a 2b 2=0,反之,若a 1b 1+a 2b 2=0,则a ⊥b .当a ⊥b 时,若b 1b 2≠0,则向量(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,这是因为a ⊥b ,a 1b 1+a 2b 2=0,即a 1b 1=-a 2b 2,1221b ab a =-.两向量平行的条件是相应坐标成比例,所以(a 1,a 2)与(-b 2,b 1)平行,特别地,向量k(-b 2,b 1)与向量(b 1,b 2)垂直,k 为任意实数.例如向量(3,4)与向量(-4,3)、(-8,6)、(12,-9)、…都垂直. 疑难疏引设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),a 1b 1+a 2b 2=0⇒a ⊥b 且a ⊥b ⇒a 1b 1+a 2b 2=0. 3.向量的长度、距离和夹角公式(1)已知a =(a 1,a 2),则|a |2=a 2=a 12+a 22,即|a |=2221a a +.语言描述为向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB |=212212)()(y y x x -+-. 此式可视为A 、B 两点的距离公式.(2)设向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),故cos 〈a ,b 〉=222122212211||||b b a a b a b a b a ba +++=•.特别提示:该处夹角公式是非零向量的夹角公式. 活学巧用1.设a =(4,-3),b =(2,1),若a +t b 与b 的夹角为45°,求实数t 的值. 解析:利用a ·b =|a |·|b |·cosθ建立方程,解方程即可. a +t b =(4,-3)+t(2,1)=(4+2t,t-3), (a +t b )·b =(4+2t,t-3)·(2,1)=5t+5, |a +t b |=20)1(52++t ,由(a +t b )·b =|a +t b |·|b |·cos45°得5t+5=4)1(2252++t , 即t 2+2t-3=0,∴t=-3或t=1.经检验t=-3不合题意,舍去,只取t=1.2.已知点A(2,3),若把向量OA 绕原点O 按逆时针旋转90°得向量OB ,求点B 的坐标.解析:要求点B 的坐标,可设为B(x,y),利用⊥,| |=||列方程解决之. 设点B 坐标为(x,y),因为⊥,| |=||,所以⎩⎨⎧=+=+.13,03222y x y x 解得⎩⎨⎧=-=2,3y x 或⎩⎨⎧-==2,3y x (舍去). 所以B 点坐标为(-3,2).3.已知a =(2,32-4),b =(1,1),求a 与b 的夹角θ. 解析:向量坐标已知,可利用夹角坐标公式解决. a ·b =(2,32-4)·(1,1)=2+32-4=32-2,|a |·|b |=).13(42)32(1611)432(22222-=•-=+•-+ ∴cosθ=21)13(4232=--. 又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.4.已知a +b +c =0,|a |=3,|b |=5,|c |=7,求〈a ,b 〉的值. 解析:∵a +b +c =0,∴a +b =-c .∴|a +b |=|c |.∴(a +b )2=c 2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2.∴a ·b =2152925492||||||2222222=--=--=--b a c b a c . ∴cos〈a ,b 〉=215||||=•b a b a ÷(3×5)= 21.∴〈a ,b 〉=3π.。

平面向量的数量积

平面向量的数量积

平面向量的数量积平面向量的数量积,也叫点积或内积,是向量运算中的一种重要操作。

它与向量的夹角以及向量的长度有着密切的关系。

在本文中,我们将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方法以及一些应用。

一、概念平面向量的数量积是指将两个向量的对应分量相乘,并将所得乘积相加而得到的数值。

设有两个平面向量A和A,它们的数量积记作A·A,计算公式为:A·A = AAAA + AAAA其中,AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量,AA和AA分别是向量A在A轴和A轴上的分量。

二、计算方法要计算平面向量的数量积,需要先求出两个向量在A轴和A轴上的分量,然后按照数量积的计算公式进行计算。

假设有两个向量A = (A, A)和A = (A, A),它们的数量积为A·A,计算步骤如下:1. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA,分别为A和A;2. 计算A和A在A轴上的分量AA和AA,分别为A和A;3. 将AA和AA、AA和AA进行相乘得到AA和AA;4. 将AA和AA相加,得到平面向量的数量积A·A。

三、性质平面向量的数量积具有以下性质:1. 交换律:A·A = A·A2. 数乘结合律:(AA)·A = A(A·A) = A·(AA)3. 分配律:(A + A)·A = A·A + A·A其中,A为任意实数,A、A和A为任意向量。

四、夹角与数量积的关系两个非零向量A和A的数量积A·A与它们夹角A的余弦函数之间存在着如下关系:A·A = ‖A‖‖A‖cosA其中,‖A‖和‖A‖分别为向量A和A的长度。

五、应用平面向量的数量积在几何和物理学中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用:1. 判断两个向量是否垂直:如果两个向量的数量积为零,即A·A = 0,那么它们是垂直的。

2. 计算向量的模:根据数量积的性质,向量的模可以通过向量与自身的数量积来计算。

高二数学平面向量的数量积知识点复习

高二数学平面向量的数量积知识点复习

高二数学平面向量的数量积知识点复习
学习数学需要讲究方法和技巧,更要学会对知识点进行归纳整理。

下面是店铺为大家整理的高二数学平面向量的数量积知识点,希望对大家有所帮助!
高二数学平面向量的数量积知识点总结
1.平面向量的数量积
平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cos θ叫做a和b的数量积(或内积),记作a·b.即a·b=|a||b|cos θ,规定0·a=0.
2.向量数量积的运算律
(1)a·b=b·a
(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)
(3)(a+b)·c=a·c+b·c
[探究] 根据数量积的运算律,判断下列结论是否成立.
(1)a·b=a·c,则b=c吗?
(2)(a·b)c=a(b·c)吗?
提示:(1)不一定,a=0时不成立,
另外a≠0时,a·b=a·c.由数量积概念可知b与c不能确定;
(2)(a·b)c=a(b·c)不一定相等.
(a·b)c是c方向上的向量,而a(b·c)是a方向上的向量,当a与c 不共线时它们必不相等.。

高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.

高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的数量积 2.3.

2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
课前导引
情景导入
已知△ABC 中,a =5,b =8,∠C=60°,求·.
对此题,有位同学求解如下:
解析:如下图,∵||=a=5,||=b=8,∠C=60°,
∴BC ·CA =|BC ||CA |cosC=5×8cos60°=20.请问:这位同学的解答是否正确?如果不正确,错在何处?
思路分析:不正确.原因在于没能正确理解向量夹角的定义.由于向量BC 与向量CA 的起点不同,因此,∠C 并不是它们的夹角,而正确的应是∠C 的补角为120°,所求数量积为-20. 知识预览
1.已知两个非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y
2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.
2.若a =(x,y ),则|a |2=x 2+y 2
,|a |=22y x +. 如果表示向量a 的有向线段的起点和终点坐标分别是(x 1,y 1),(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=212212)()(y y x x -+-.
3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇒x 1x 2+y 1y 2=0.
4.设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ
是a 与b 的夹角,则cos θ=
222221212121||||y x y x y y x x b a b a +++=∙.。

平面向量的数量积

平面向量的数量积

平面向量的数量积在解析几何中,平面向量的数量积是一种常见且重要的运算。

通过求取两个向量的数量积,我们可以得到向量的夹角以及向量的投影等有用信息。

本文将详细介绍平面向量的数量积的概念、计算方式以及其在几何学和物理学中的应用。

一、概念平面向量是具有方向和大小的箭头,一般用有序数对(a, b)表示,其中a表示该向量在x轴上的投影,b表示该向量在y轴上的投影。

为了方便计算,我们可以使用向量与坐标轴形成的三角形,其中向量的起点位于原点,以及向量的终点位于坐标轴上。

平面向量的数量积又称为点积或内积,通常用符号"·"表示。

对于平面向量u和v,它们的数量积定义为u·v = |u||v|cosθ,其中|u|和|v|分别表示向量u和v的模长,θ表示u和v之间的夹角。

二、计算方式计算平面向量的数量积可以使用以下公式:u·v = a₁a₂ + b₁b₂,其中u=(a₁, b₁)、v=(a₂, b₂)。

根据该公式,我们可以很容易地计算出两个向量的数量积。

另外,数量积也可以写成向量形式:u·v =|u||v|cosθ,其中u、v分别表示向量u和v,θ表示夹角。

三、性质平面向量的数量积具有以下几个重要的性质:1. 交换律:u·v = v·u2. 分配律:k(u+v) = ku + kv,其中k为任意实数3. 数量积与夹角的关系:u·v = 0,当且仅当两个向量垂直,即夹角为90度4. 数量积与模长的关系:u·v = |u||v|cosθ5. 数量积为零的性质:若u·v = 0,则u和v线性无关四、应用平面向量的数量积在几何学和物理学中有着广泛的应用,其中包括以下几个方面:1. 判断向量垂直:通过计算两个向量的数量积,若结果为0,则可以判断这两个向量垂直。

2. 计算夹角:通过计算两个向量的数量积,利用cosθ = u·v / (|u||v|),我们可以求得两个向量的夹角。

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4

向量的数量积
定义
已知两个非零向量 a 与 b,我们把数量_|a_||_b_|c_o_s__θ叫作 a 与 b 的 数量积,记作_a_·_b_,即 a·b=_|a_||_b_|c_o_s__θ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角.零 向量与任一向量的数量积为__0__.
几何意义
|a|cos θ(|b|cos θ)叫做向量 a 在 b 方向上(b 在 a 方向上)的 __投__影__.a·b 的几何意义:数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方 向上的投影|b|cos θ 的_乘__积___
为________,b 在 a 方向上的投影为________.
【解析】 (1)设B→A=a,B→C=b,则 a·b=12,|a|=|b|=1.D→E=12 A→C=12(b-a),D→F=32D→E=34(b-a),A→F=A→D+D→F=-12a+34(b-a) =-54a+34b,A→F·B→C=-54a·b+34b2=-58+34=18.答Leabharlann :(1)π3 (2)见解析性质
(1)a⊥b⇔___a_·_b___=0; (2)当 a 与 b 同向时,a·b=_|a_|_|b_|;当 a 与 b 反向时,a·b=__-__|a_||_b_|_; (3)a·a=|a|2 或|a|= a·a= a2;
a·b (4)cos θ=__|_a_|·_|b_|__; (5)|a·b|≤|a||b|
考试标准
课标要点
学考要求 高考要求
平面向量数量积的概念及其物理意义
b
b
平面向量投影的概念
a
a
平面向量数量积的性质及运算律
b
b
知识导图
学法指导 1.本节的重点是平面向量数量积的概念、向量的模及夹角的表 示,难点是平面向量数量积运算律的理解及平面向量数量积的应 用. 2.向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系,学习时注意 对比,明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立.

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积1课件新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2.4平面向量的数量积1课件新人教A版必修4





思维辨析
2.做一做:若|a|=3,|b|=6,a·b=9 3,则向量 a 与 b 的夹角等

.
解析由于
cos
θ=|������������|·|������������|
=
93 3×6
=
23,所以 θ=30°,故向量 a 与 b 的
夹角等于 30°.
答案30°




思维辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
(7)(a·b)·c=a·(b·c). ( ) (8)两向量数量积的符号是由两向量夹角的余弦值决定的. ( )
答案(1)× (2)× (3)× (4)× (5) (6)× (7)× (8)
探究一
探究二
探究三
求平面向量的数量积
角度1 数量积的简单计算
【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为120°,求:
提示由物理知识容易得到W=|F||s|cos α,决定功的大小的量有力、 位移及其夹角,其中力、位移是矢量,功是标量.




思维辨析
2.填空:(1)两个非零向量的数量积.
已知条件 定义 记法
向量 a,b 是非零向量,它们的夹角为 θ a 与 b 的数量积(或内积)是数量|a||b|cos θ a·b=|a||b|cos θ
向上的投影等于
.
(2)若a·b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等于
.
解析(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影等于
|a|cos θ=3×cos 120°=-32;
(2)向量
b

高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第1课时教学课件新人教A版必修4

高中数学第二章平面向量2-4平面向量的数量积第1课时教学课件新人教A版必修4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)cos θ=|aa|·|bb|不仅可以用来直接计算两向量 a,b 的夹角, 也可用来求直线的夹角(向量的夹角与向量所在直线的夹角有 区别),还可利用夹角的取值情况建立方程或不等式,用于求参 数的值或范围.
平面向量数量积的基本运算
已知|a|=3,|b|=6,当:①a∥b,② a⊥b,③a与b的夹角是60°时,分别求a·b. 思路点拨:解答本题可充分利用a·b=|a||b|cos θ, 只要确定好夹角θ的值即可解决.
解:①当 a∥b 时,若 a 与 b 同向,则它们的夹角 θ=0°, ∴a·b=|a|·|b|cos 0°=3×6×1=18; 若 a 与 b 反向,则它们的夹角 θ=180°, ∴a·b=|a||b|cos 180°=3×6×(-1)=-18; ②当 a⊥b 时,它们的夹角 θ=90°, ∴a·b=0; ③当 a 与 b 的夹角是 60°时,有 a·b=|a||b|·cos 60°=3×6×12 =9.
3.向量数量积的性质 设向量 a 与 b 都是非零向量,它们的夹角为 θ. (1)a⊥b⇔_a_·_b_=__0.
(2)当 a∥b 时,a·b=__|-a__|__||ba__||__|b__|,__当,a当,ab,同b向反时向,时. (3)a·a=|a|2 或__|a_|_=___a_·a___.
1.已知|a|=4,|b|=5,且向量a与b的夹角为 60°,求(2a+3b)·(3a-2b).
解 : (2a + 3b)·(3a - 2b) = 6a2 + 5a·b - 6b2 = 6×42 +
5×4×5×12-6×52=-4.
与向量的模有关的问题
已知向量a与b的夹角为120°,且|a| =4,|b|=2,求:(1)|a+b|;(2)|3a-4b|.
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2.3.1 向量数量积的物理背景与定义
课堂探究
探究一 与数量积有关命题的判断
两向量方向相同时,夹角为0(或0°);而反向时,夹角为π(或180°);两向量垂直时,夹角为2
(或90°),因此当两向量共线时,夹角为0或π,反过来,若两向量的夹角为0或π,则两向量共线.
【例1】 已知a ,b ,c 是三个非零向量,则下列命题中正确命题的个数为( ) ①|a ·b |=|a |·|b |⇔a ∥b ;
②a ,b 反向⇔a ·b =-|a |·|b |;
③a ⊥b ⇔|a +b |=|a -b |;
④|a |=|b |⇔|a ·c |=|b ·c |.
A .1个
B .2个
C .3个
D .4个
解析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中因为a ·b =|a |·|b |·cos θ,所以由|a ·b |=|a |·|b |及a ,b 为非零向量可得|cos θ|=1,所以θ=0或π,所以a ∥b ,且以上各步均可逆,故命题①是真命题;②中若a ,b 反向,则a ,b 的夹角为π,所以a ·b =|a |·|b |cos π=-|a |·|b |,且以上各步均可逆,故命题②是真命题;③中当a ⊥b 时,将向量a ,b 的起点确定在同一点,以向量a ,b 为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a +b |=|a -b |.反过来,若|a +b |=|a -b |,则以a ,b 为邻边的四边形为矩形,所以有a ⊥b ,因此命题③是真命题;④中当|a |=|b |但a 与c 的夹角和b 与c 的夹角不等时,就有|a ·c |≠|b ·c |,反过来由|a ·c |=|b ·c |也推不出|a |=|b |.故命题④是假命题.
答案:C
探究二 求向量的正射影或数量积
向量的数量积和正射影都是一个实数,它可正、可负,也可为零,其符号取决于两向量之间的夹角.因此在正确理解正射影及数量积定义的同时,找准两个向量之间的夹角是关键,确定两个向量的夹角时,一定要注意“共起点”这一前提条件.
【例2】 如图所示,在▱ABCD 中,|AB |=4,|AD |=3,∠DAB =60°,求:
(1)AD ·BC ;(2)AB ·CD ;(3)AB ·DA ;(4)AB 在CB 方向上的正射影.
解:(1)因为AD∥BC,且方向相同,
所以AD与BC的夹角是0°,
所以AD·BC=|AD||BC|cos 0°=3×3×1=9.
(2)因为AB∥CD,且方向相反,
所以AB与CD的夹角是180°,
所以AB·CD=|AB||CD|cos 180°=4×4×(-1)=-16.(3)因为AB与AD的夹角为60°,
所以AB与DA的夹角为120°,
所以AB·DA=|AB||DA|cos 120°=4×3×
1
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
=-6.
(4)因为AB与AD的夹角为60°,而CB与AD方向相反,所以AB与CB的夹角为
120°,所以AB在CB方向上的正射影为|AB|cos 120°=4×
1
2
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
=-2.
反思两向量夹角的范围是[0°,180°],当两向量平行时,夹角可能为0°(同向时)或180°(反向时).若AB与AD的夹角为θ,则AB与DA的夹角是180°-θ.
探究三向量数量积的性质
求向量的夹角应用数量积的变形公式cos θ=a b
a b

,一般要求两个整体a·b,|a||b|,
不方便求出时,可寻求两者之间的关系,转化条件解方程组,利用向量的几何意义简捷直观地得出.
【例3】已知a,b是两个非零向量.
(1)若|a|=3,|b|=4,|a·b|=6,求a与b的夹角;
(2)若|a|=|b|=|a-b|,求a与a+b的夹角.
分析:利用向量数量积的公式或向量的几何意义求解.
解:(1)因为a·b=|a||b|cos〈a,b〉,
所以|a·b|=||a||b|cos〈a,b〉|
=|a||b||cos〈a,b〉|=6.
又|a|=3,|b|=4,
所以|cos〈a,b〉|=
6
a b

6
34


1
2

所以cos〈a,b〉=±1
2

因为〈a ,b 〉∈[0,π],所以a 与b 的夹角为3
π或23π. (2)如图所示,在平面内取一点O ,作OA =a ,OB =b ,以OA ,OB 为邻边作平行四边形OACB ,使|OA |=|OB |,所以四边形OACB 为菱形,OC 平分∠AOB ,这时OC =a +b ,BA =a -b ,由于|a |=|b |=|a -b |,即|OA |=|OB |=|AB |,
所以∠AOC =6π,即a 与a +b 的夹角为6
π.
探究四 易错辨析
易错点:因未分清夹角而致误
【例4】 已知平面上三点A ,B ,C 满足|AB |=6,|BC |=8,|CA |=10,则AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB 的值等于( )
A .100
B .96
C .-100
D .-96
错解:由题意知AB ⊥BC ,AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =0+8×10×45+6×10×35
=100.选A . 错因分析:向量的夹角理解错误.
正解:由题意,可得连接A ,B ,C 三点可构成直角三角形,且B =90°.
所以AB ·BC +BC ·CA +CA ·AB =0+CA ·(AB +BC )=CA ·AC =-|CA |2
=-100.。

相关文档
最新文档