2009第二届数学中国杯数学建模网络挑战赛赛题 (6)
2009数学建模试题与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009学年第二学期考试科目：数学模型考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业1、（13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。
（1）排列1：圆盘中心按正方形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。
（4分）解：圆盘总数：202010022⨯=排列2：圆盘中心按六角形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。
（4分）解：行数：111+=圆盘总数：20111110522-⨯+=（2）设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。
（5分）解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106（此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候，但仍需改进的时候，应该考虑这两者的综合是否可行，如果可行，则给出方案。
）2、（10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。
5分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。
5分解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克）（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以y∝I∝S设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ∝ h2再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h3（2）a, 则一个最粗略的模型为更好的模型：()y k w aγ=-3、 （10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。
（1）请写出商品价恪c 与商品重量w 的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。
（5分） （2）给出单位重量价格c与w 的关系，并解释。
-2009年全国初中数学联赛试题(含参考答案)
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1、设17-=a ，则=--+12612323a a a （ A ）A 、24B 、 25C 、1074+D 、1274+ 2、在ABC ∆中，最大角A ∠是最小角C ∠的两倍，且7=AB ，8=AC ，则=BC （ C ） A 、27 B 、10 C 、105 D 、37 3、用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程[]0322=--x x 的解的个数为（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、 44、设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ）A 、143 B 、73 C 、21 D 、74 5、如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，2=BC ，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则=∠CBE sin （ D ）A 、36 B 、32C 、31D 、10106、设n 是大于1909的正整数，使得nn --20091909为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A 、3B 、 4C 、 5D 、6 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1、已知t 是实数，若a ，b 是关于x 的一元二次方程0122=-+-t x x 的两个非负实根，则()()1122--b a的最小值是____________.答案：3-2、设D 是ABC ∆的边AB 上的一点，作BC DE //交AC 于点E ，作AC DF //交BC 于点F ，已知ADE ∆、DBF ∆的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.答案：mn 23、如果实数a ，b 满足条件122=+b a ，2212|21|a b a b a -=+++-，则____=+b a . 答案：1-4、已知a ，b 是正整数，且满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a 15152是整数，则这样的有序数对（a ，b ）共有_对。
2009国赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1．已知非零实数a ，b 满足24242a b a -++=，则a b +等于（ ）．（A ）－1 （B ）0 （C ）1 （D ）2【答】C ．解：由题设知a ≥3，所以，题设的等式为20b +=，于是32a b ==-，，从而a b +＝1．2．如图，菱形ABCD 的边长为a ，点O 是对角线AC 上的一点，且OA ＝a ，OB ＝OC ＝OD ＝1，则a 等于（ ）．（A）12 （B）12 （C ）1 （D ）2 【答】A ．解：因为△BOC ∽ △ABC ，所以BO BC AB AC=，即 11a a a =+， 所以， 210a a --=．由0a >，解得a = 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先 后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y的方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩， 只有正数解的概率为（ ）．（A ）121 （B ）92 （C ）185 （D ）3613 【答】D ．解：当20a b -=时，方程组无解．当02≠-b a 时，方程组的解为62,223.2b x a b a y a b -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-->--,0232,0226b a a b a b 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>>-,3,23,02b a b a 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<-.3,23,02b a b a 由a ，b 的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得2345612a b =⎧⎨=⎩，，，，，，，共有 5×2＝10种情况；或1456a b =⎧⎨=⎩，，，，共3种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为3613． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90B ∠=︒. 动点P 从点 B 出发，沿梯形的边由B →C →D →A 运动. 设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y . 把y 看作x 的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC 的面积为（ ）．（A ）10 （B ）16 （C ）18 （D ）32【答】B ． 解：根据图像可得BC ＝4，CD ＝5，DA ＝5，进而求得AB ＝8，故S △ABC ＝12×8×4＝16. 5．关于x ，y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x ，y ）的组数为（ ）．（A ）2组 （B ）3组 （C ）4组 （D ）无穷多组【答】C ．解：可将原方程视为关于x 的二次方程，将其变形为22(229)0x yx y ++-=．由于该方程有整数根，则判别式∆≥0，且是完全平方数．由 2224(229)7116y y y ∆=--=-+≥0， 解得 2y ≤11616.57≈．于是 显然，只有216y =时，4∆=是完全平方数，符合要求．当4y =时，原方程为2430x x ++=，此时121,3x x =-=-；当y ＝－4时，原方程为2430x x -+=，此时341,3x x ==．所以，原方程的整数解为111,4;x y =-⎧⎨=⎩ 223,4;x y =-⎧⎨=⎩ 331,4;x y =⎧⎨=-⎩ 443,4.x y =⎧⎨=-⎩ 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km 后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km 后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．【答】3750．解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k ,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为5000k ,安装在后轮的轮胎每行驶1km 的磨损量为3000k .又设一对新轮胎交换位置前走了x km ，交换位置后走了y km .分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有,50003000,50003000kx ky k ky kx k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相加，得 ()()250003000k x y k x y k +++=， 则 237501150003000x y +==+． 7．已知线段AB 的中点为C ，以点A 为圆心，AB 的长为半径作圆，在线段AB 的延长线上取点D ，使得BD ＝AC ；再以点D 为圆心，DA 的长为半径作圆，与⊙A 分别相交于F ，G 两点，连接FG 交AB 于点H ，则AH AB的值为 ． 解：如图，延长AD 与⊙D 交于点E ，连接AF ，EF ． 由题设知13AC AD =，13AB AE =，在△FHA 和△EF A 中， 90EFA FHA ∠=∠=︒，FAH EAF ∠=∠所以 Rt △FHA ∽Rt △EF A ， AH AF AF AE=. 而AF AB =，所以AH AB 13=. 8．已知12345a a a a a ，，，，是满足条件123459a a a a a ++++=的五个不同的整数，若b 是关于x 的方程()()()()()123452009x a x a x a x a x a -----=的整数根，则b 的值为 ．【答】 10．解：因为()()()()()123452009b a b a b a b a b a -----=，且12345a a a a a ，，，，是五个不同的整数，所有12345b a b a b a b a b a -----，，，，也是五个不同的整数．又因为()()2009117741=⨯-⨯⨯-⨯，所以1234541b a b a b a b a b a -+-+-+-+-=．由123459a a a a a ++++=，可得10b =．9．如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 为ACB ∠的平分线．若AC ＝15，BC ＝20，CD ＝12，则CE 的长等于 ．【答】7． 解：如图，由勾股定理知AD ＝9，BD ＝16，所以AB ＝AD ＋BD ＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形，且90ACB ∠=︒．作EF ⊥BC ，垂足为F ．设EF ＝x ，由1452ECF ACB ∠=∠=︒，得CF ＝x ，于是BF ＝20－x ．由于EF ∥AC ，所以E F B F A C B C=， 即 201520x x -=， 解得607x =．所以7CE ==． 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．【答】2-．解：设报3的人心里想的数是x ，则报5的人心里想的数应是8x -．于是报7的人心里想的数是 12(8)4x x --=+，报9的人心里想的数是 16(4)12x x -+=-，报1的人心里想的数是 20(12)8x x --=+，报3的人心里想的数是4(8)4x x -+=--．所以4x x =--，解得2x =-．三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11．函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线1x =的右侧时k 的取值范围．解：不一定，例如，当k ＝0时，函数的图象与x 轴的交点为（0，0）和（1，0），不都在直线1x =的右侧． ………………5分设函数与x 轴的两交点的横坐标为12,x x ，则21212(21),x x k xx k+=--=，当且仅当满足如下条件12120,(1)(1)0,(1)(1)0x x x x ∆⎧⎪-+->⎨⎪-->⎩≥ ………………10分时，抛物线与x 轴的两交点都在直线1x =的右侧．由 222(21)40,210,20,k k k k k ⎧--⎪-->⎨⎪+>⎩≥解之，得 1,41,220.k k k k ⎧⎪⎪⎪<-⎨⎪<->⎪⎪⎩≤或 ………………15分 所以当2k <-时，抛物线与x 轴的两交点在直线1x =的右侧．………………20分12．在平面直角坐标系xOy 中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数2(90)4907y x =--的图象上所有“好点”的坐标．解：设2,y m =22(90)x k -=，m ，k 都是非负整数，则22770114907k m -=⨯=⨯，即 ()()7701149k m k m -+=⨯=⨯． ……………10分则有 701,49077; 1.k m k m k m km +=+=⎧⎧⎨⎨-=-=⎩⎩ 解得 1212354,2454,347;2453.k k m m ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ 所以 312412342544,444,264,2364,120409;120409;6017209;6017209.x x x x y y y y ===-=-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨====⎩⎩⎩⎩故“好点”共有4个，它们的坐标是：4441204092641204092544601720923646017209--（，），（，），（，），（，）. ………………20分13．如图，给定锐角三角形ABC ，BC CA <，AD ，BE 是它的两条高，过点C 作△ABC 的外接圆的切线l ，过点D ，E 分别作l 的垂线，垂足分别为F ，G ．试比较线段DF 和EG 的大小，并证明你的结论．解法1：结论是DF EG =．下面给出证明． ………………5分 因为FCD EAB ∠=∠，所以Rt △FCD ∽ Rt △EAB ．于是可得CD DF BE AB=⋅． 同理可得 CE EG AD AB =⋅． ………………10分 又因为tan AD BE ACB CD CE∠==，所以有BE CD AD CE ⋅=⋅DF EG =．………………20分解法2：结论是DF EG =．下面给出证明．……………… 5分连接DE ，因为90ADB AEB ∠=∠=︒，所以A ，B ，D ，E四点共圆，故 CED ABC ∠=∠． ………………10分又l 是⊙O 的过点C 的切线，所以ACG ABC ∠=∠． ………………15分 所以，CED ACG ∠=∠，于是DE ∥FG ，故DF ＝EG ．………………20分14．n 个正整数12n a a a ，，，满足如下条件：1212009n a a a =<<<= ； 且12n a a a ，，，中任意n －1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n 的最大值．解：设12n a a a ，，，中去掉i a 后剩下的n －1个数的算术平均数为正整数i b ，12i n = ，，，．即 12()1n i i a a a a b n +++-=- ．于是，对于任意的1≤i j <≤n ，都有1j ii j a a b b n --=-，从而 1()j i n a a --． ………………5分 由于 11200811n n a a b b n n --==--是正整数，故 312251n -⨯． ………………10分 由于 ()()()112211n n n n n a a a a a a a ----=-+-++-≥()()()2111(1)n n n n -+-++-=- ，所以，2(1)n -≤2008，于是n ≤45.结合312251n -⨯，所以，n ≤9． ………………15分另一方面，令123801,811,821a a a =⨯+=⨯+=⨯+，…，8871a =⨯+， 982511a =⨯+，则这9个数满足题设要求．综上所述，n 的最大值为9. ………………20分。
2009第二届数学中国杯数学建模网络挑战赛赛题 (3)
第二届数学中国杯数学建模网络挑战赛A题：串行算法的并行化处理并行计算，是将一个计算任务分摊到多个处理器上并同时运行的计算方法。
由于单个CPU的运行速度难以显著提高，所以计算机制造商试图将多个CPU联合起来使用。
在巨型计算机上早已采用专用的多处理器设计，多台计算机通过网络互联而组成的并行工作站也在专业领域被广泛使用。
台式机和笔记本电脑现在也已广泛地采用了双核或多核CPU。
双核CPU从外部看起来是一个CPU，但是内部有两个运算核心，它们可以独立进行计算工作。
在同时处理多个任务的时候，多核处理器可以自然地将不同的任务分配给不同的核心。
但只运行一个以常规的串行代码写成的程序时，如何将计算任务拆分成多个部分并分解到多个核心上同时运行，是很困难的事情。
有时甚至需要人工来读懂原来代码的含义，并以适合并行计算的语言重写程序。
这需要耗费大量的人力物力。
最容易被并行化的计算任务称为“易并行”1的，它可以直观地立即分解成为多个独立的部分，并同时执行计算。
例如将一个数组里的所有元素求和。
我们可以先将数组分成两段，对每段各自求和，最后再把结果相加。
如果两段的大小划分得当，我们可以让双核CPU的每个核心的运算量相当，在数组规模很大时，总的运算速度比单核CPU能提高接近一倍。
但并不是所有程序都能够分解成这种效果。
在软件行业中很自然地提出这个问题：希望设计一种方法，能够将一个常规的串行程序分解成两个部分，使之能够在CPU的两个核心上并行运算，并且希望能够尽量发挥双核心的计算能力。
一般来说，如果两个核心的运算量1有时也称作“自然并行”。
1基本相当，那么总的运算效率较高2。
如果出现某个核心空闲等待的状态，双核CPU的运算力就没有被充分的利用起来。
问题：请你们建立合理有效的模型，并依据模型对现成的串行算法进行处理。
将能够使用双核心并行处理的部分分解开，并分配到两个核心上同时运行。
以期达到比单核CPU处理更快速的目的。
具体要求：假设算法是使用C语言写成的，代码里只有顺序执行、分支、循环三种结构。
数学建模2009国赛B题数据
78 外伤 2008-7-21 2008-7-22 2008-7-23 / 2008-7-29
79 白内障(双眼) 2008-7-21 2008-8-3 2008-8-4 2008-8-6 2008-8-9
86 外伤 2008-7-22 2008-7-23 2008-7-24 / 2008-7-28
87 青光眼 2008-7-22 2008-8-4 2008-8-7 / 2008-8-16
88 白内障 2008-7-22 2008-8-4 2008-8-6 / 2008-8-9
89 白内障 2008-7-22 2008-8-4 2008-8-6 / 2008-8-10
55 白内障(双眼) 2008-7-18 2008-7-31 2008-8-4 2008-8-6 2008-8-8
56 白内障(双眼) 2008-7-18 2008-7-31 2008-8-4 2008-8-6 2008-8-9
57 视网膜疾病 2008-7-18 2008-7-31 2008-8-2 / 2008-8-13
48 外伤 2008-7-18 2008-7-19 2008-7-20 / 2008-7-26
49 白内障(双眼) 2008-7-18 2008-7-30 2008-8-4 2008-8-6 2008-8-9
50 白内障 2008-7-18 2008-7-30 2008-8-4 / 2008-8-6
61 视网膜疾病 2008-7-19 2008-8-1 2008-8-3 / 2008-8-8
62 视网膜疾病 2008-7-19 2008-8-1 2008-8-3 / 2008-8-11
2009年全国高中数学联赛试题及解答
x1 + x1 x2
x2 = k − =1 0
2
0
所以 x1 ， x2 同为正根，且 x1 x2 ，不合题意，舍去．
综上可得 k 0 或 k = 4 为所求．
11
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，最 后一行仅有一个数，第一行是前100 个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是（可以 用指数表示）．
条．………14 分
11
2. （本小题 15 分）已知 p ， q (q 0) 是实数，方程 x2 − px + q = 0 有两个实根 ， ，数列an 满足 a1 = p ， a2 = p2 − q ， an = pan−1 − qan−2 (n = 3，4 ， ) (Ⅰ)求数列an 的通项公式（用 ， 表示）；
比为 的等比数列．
数列bn 的首项为： b1 = a2 − a1 = p2 − q − p = ( + )2 − − ( + ) = 2 ． ( 所以 bn = 2 n−1 = n+1 ，即 an+1 − an = n+1 n = 1，2 ， ) ．所以 an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) ． ① 当 = p2 − 4q = 0 时 ， = 0 ， a1 = p = + = 2 ， an+1 = an + n+1 (n = 1，2 ， ) 变 为
(Ⅱ)若
p
=1
，
q
=
1 4
，求 an
的前
n
项和．
2009全国数学建模竞赛命题与解题思路解析
一种比较典型的仿真优化方法是：对每一位等待 一种比较典型的仿真优化方法是： 入院病人，以该病人当日入院的公平性（以到达 入院病人，以该病人当日入院的公平性（ 先后计）与病床使用效率（分类考虑） 先后计）与病床使用效率（分类考虑）两方面综 合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排 合排序（例如求两个指标的加权和），然后按排 ）， 序结果安排当日入院病人，由此得到公平合理的 序结果安排当日入院病人， 住院方案。按此方案进行仿真， 住院方案。按此方案进行仿真，再统计各项评价 指标值，并与FCFS方案作比较，此问即告完成。 FCFS方案作比较 指标值，并与FCFS方案作比较，此问即告完成。
解题思路 3
这一类以排队论及仿真优化方法为主要解决 方法的题目， CUMCM年竞赛题目中，还 不多见。而这一类随机服务系统优化的问题， 不多见。而这一类随机服务系统优化的问题， 在现实实际中却是大量存在的，因此， 在现实实际中却是大量存在的，因此，在以 反映现实生活中的数学建模问题为己任的大 学生数学建模竞赛中，出现这一类题目， 学生数学建模竞赛中，出现这一类题目，也 是很自然的事情，MCM中如04年 中如04 是很自然的事情，MCM中如04年B题“游乐场 快速通道问题” 05年 快速通道问题”，05年B题“高速公路收费站 问题” 就是两个这类问题的实例。 问题”，就是两个这类问题的实例。
解题思路
12
第二问
本问主要考核能否给出一个相对合理的病 床安排模型，主要目标为： 床安排模型，主要目标为：提高病床有效利用 率以及提高公平度。 率以及提高公平度。 就提高病床有效利用率而言，病人术后住 就提高病床有效利用率而言， 院时间是一个不可优化的量， 院时间是一个不可优化的量，所以只能在术前 等待时间上作文章。 等待时间上作文章。经对题目所给数据的分析 可知： 可知：对白内障病人的入院时间加以限制成为 提高效率的必然选择。 提高效率的必然选择。
2009年全国大学生数学竞赛数学专业类试卷及答案
fg k (η ) = gfg k −1 (η ) + fg k −1 (η )
.............................(6分）
= g ( fg k −1 )(η ) + fg k −1 (η )
用归纳法不难证明， fg k (η ) 一定可以表示成 η , g (η ), g 2 (η )," , g k (η ) 的线性组合，且 表示式中 g k (η ) 前的系数为 λ0 .
……………………………（4 分)
下面证明， Wm 在 f 下也是不变的.事实上，由 f (η ) = λ0η ，知
fg (η ) = gf (η ) + f (η ) = λ0 g (η ) + λ0η …………（5 分)
第 3 页（ 共 6 页）
fg 2 (η ) = gfg (η ) + fg (η ) = g (λ0 g (η ) + λ0η ) + (λ0 g (η ) + λ0η ) = λ0 g 2 (η ) + 2λ0 g (η ) + λ0η
a12 " a1n ⎞ ⎟ a22 " a2 n ⎟ ，若 AF = FA ，证明： " " "⎟ ⎟ an 2 " ann ⎟ ⎠
评阅人
− an ⎞ ⎟ 0 # 0 −an −1 ⎟ 1 # 0 − an − 2 ⎟ . ⎟ # # # # ⎟ 0 # 1 −a1 ⎟ ⎠ 0 # 0
⎛ a11 ⎜ a （1）假设 A = ⎜ 21 ⎜" ⎜ ⎜a ⎝ n1
（2） 不一定. 令 f n ( x) = x 2 +
…………………………… （6 分)
2005-2009全国大学生数学数学建模竞赛参考答案
2003-2009全国大学生数学建模竞赛试题及参考答案2010-7-192005A题: 长江水质的评价和预测 (2)2005 A题评阅要点 (4)2005B题： DVD在线租赁 (6)2005 B题评阅要点 (8)2006A题:出版社的资源配置 (10)2006A题评阅要点 (10)2006B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (13)2006 B题评阅要点 (14)2007A题：中国人口增长预测 (17)2007 A题评阅要点 (18)2007 B题：乘公交，看奥运 (21)2007 B题评阅要点 (22)2008A题数码相机定位 (24)2008 A题评阅要点 (27)2008B题高等教育学费标准探讨 (27)2008B题评阅要点 (29)2009 A题制动器试验台的控制方法分析 (30)2009 A题评阅要点 (32)2009B题眼科病床的合理安排 (35)2009 B题评阅要点 (36)2005A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。
专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。
”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。
为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。
2009年建模竞赛题目
2009年数学建模竞赛试题每个参赛队只需在A题与B题中任选一题做即可，每队最多由三个人组成。
A题：优秀毕业生评选问题现在每个学校为了鼓励广大学生在校期间勤奋学习、刻苦钻研，促进大学生德、智、体、美等方面全面发展都会在大学的第八个学期开展校级优秀毕业生的评比活动。
在以往评比过程中除了要求学生具备如(1)具有坚定的政治方向，热爱社会主义祖国，拥护中国共产党的领导，坚持四项基本原则，能模范遵守国家的法律法规和《高等学校学生行为准则》。
(2)努力学习马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”重要思想，能够树立正确的世界观、人生观和价值观。
(3)学习目的明确，学习态度端正，学习成绩优良等基本条件后，然后在综合学生在校期间获三好学生、获过奖学金、优秀学生干部、参加学科竞赛、学生科研等情况，最后由学生管理部门评出校级优秀毕业生。
但这评选过程多少存在一些不合理的现象。
现请你利用数学建模的方法，针对我校情况考虑以下几个问题：(1)建立一种科学合理的评选优秀毕业生的数学模型，根据模型建立一个完整的评选方案；(2)根据你们建立评选模型和评选方案，对附件1的提供的数据进行评选，评出10名校级优秀毕业生；(3)针对目前高等教育大众化的背景下，提出了一种“合格+特长”的评价理念，请你针对这种理念下的建立评选优秀毕业生的数学模型，并根据附件1提供的数据评出10名优秀毕业生。
(4)根据你们建模分析的结果，给学校有关部门写一份报告，提出你们自己评选优秀毕业生的具体建议。
B题：旅游路线选择问题某单位要组织外出旅游。
出游时间定在5月下旬的某个周末（周六、日2天），按惯例由单位补助经费为每人500元。
经与旅游公司联系协商，旅游公司提供了三条线路（见附件一）。
三条线路的报价均在500元上下，超出500元的部分自费，未超的部分将以提供更好的住宿条件等形式补足。
1．单从行程安排看，有人认为，线路一比较合理，线路二和线路三就比较差。
你们是否同意他的看法？2．有员工从行程角度考虑，选择了线路一；有员工从价格角度考虑，也选择了线路一；有员工由于以前去过黄山，选择了线路二；有员工从景色等角度考虑，选择了线路三。
2009年数学建模考题2
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目C题卫星和飞船的跟踪测控卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。
测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。
在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如下图所示：图片来源/jrzg/2008-09/24/content_1104882.htm请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1. 在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？2.如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。
考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？3. 收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围。
2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
1．考虑最简单圆形轨道和一般的椭圆轨道假设卫星测控站分布在与卫星轨道共面的地球表面，且卫星的运行轨道为圆。
利用几何关系给出全部覆盖需要的测控站点数与卫星高度的关系。
如卫星高度100 200 300 343 400 500观测站数24 16 12 12 11 10当卫星的运行轨道为椭圆，卫星运行轨道的一个焦点在地球中心，利用几何关系给出每个测控站的覆盖范围。
然后利用数值方法对测控站点进行优化，给出一些具体结果（数量和位置）。
历年全国大学生高等数学竞赛真题及答案(2009-2011非数学类).
0
n
n1
0
n0
n0
n1
即
f (t)dt f (n) 1 f (t)dt ，
0
0
n0
又
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n0
n0
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1
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0
0
0
1
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0
0
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27
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V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0，
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0 1
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0 1u
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2009第二届数学中国杯数学建模网络挑战赛赛题 (8)
Recommended composition of influenza virus vaccines for use in the 2008–2009 influenza seasonThis recommendation relates to the composition of vaccines for the forthcoming influenza season in the northern hemisphere (November 2008 to April 2009). A recommendation will be made in September 2008 relating to vaccines that will be used for the influenza season in the southern hemisphere (May to October 2009). For countries in equatorial regions epidemiological considerations will influence which recommendation (February or September) individual National Authorities consider more appropriate. Influenza activity, September 2007–January 2008Between September 2007 and January 2008, influenza activity was reported in Africa, the Americas, Asia, Europe and Oceania. In general, activity was low compared with the same period in recent years1. In the southern hemisphere, mild influenza activity continued in September and declined in October. In the northern hemisphere, influenza activity began in Asia and North America in November and increased in December-January, while in Europe, activity began in December and increased in January.Influenza A(H1N1) viruses predominated in most parts of the northern hemisphere and were associated with outbreaks in some countries. Influenza A(H3N2) was sporadic in many countries and outbreaks were reported in the United States. Influenza B viruses circulated at low levels in most countries throughout the period while outbreaks were reported in China, Hungary and the United States of America.The extent and type of seasonal influenza activity worldwide are summarized in Table 1 hereafter.Table 1 Extent and type of seasonal influenza activity worldwide, September 2007 - January 20082007 2008 Country, area orterritory September October November December January AfricaAlgeria *H1 *H1 *H1, *H3Côte d'Ivoire *A *AEgypt *B *H1, *B *H1, *B *H1, *BFrance, Réunion *H1*H3Ghana *H1 *H1 *H1,Kenya *H3, *BMadagascar *H1 *H1, *B *H1, *B **H1 **H1, *B Mauritius *H1Morocco *H1, *BSenegal *H1 *H1South Africa **H1, *H3, **B *H1, *B *B *ATunisia *H3 *H3, *B **H3, **BUganda *H3, *B *BAmericaArgentina *H3 *H3, *B *BBrazil **H3, *B *A, *B *B *BCanada *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B **H1, *H3, *B ***H1, *H3, *B*A*BChile *H1 *A *H1 *A,1http://www.who.int/wer/2007/wer8241/en/index.htmlCosta Rica *AEl Salvador *H1, *H3France, FrenchGuiana*H1, *H3 France, Guadeloupe ***A France, Martinique **H1, *B Guatemala *H3 *H3Honduras *H1, *H3 *H3Mauritius *H1Mexico *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B **H1, *A **APanama *A, *B *A, *BPeru *A, *B *A, *B *A, *B *A, *BUnited States of America *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B **H1, *H3, *B***H1, **H3,*B****H1,****H3, ***BUruguay *A *BAsiaCambodia *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B *H3, *B *H1, *BChina *H3, **B *H3, **B **H3, **B **H3, ***BChina (Province ofTaiwan)*H1, *H3, *B **H1, **H3 *H1China, Hong KongSAR*H1, *H3, **B *H1, *H3, **B *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B **H1, *H3, **B India *B *H3 Indonesia *H3,*B *H1,*B *B *H1Iran (IslamicRepublic of)*H1 *H1, *B *H1, *B **H1, *B *H1, *BJapan *H1, *H3 **H1, *H3, *B ***H1, *H3, *B ***H1, *H3,*B**H1, *H3, *BMalaysia *B **H1, **H3, *B **H1, **H3, *B *BMongolia *H1 *B *BNepal *H1, *BPhilippines **H1, *H3, *B **H1, *H3 *H1, *B *H1, *BQatar *H1 *H1Republic of Korea *H1, *B *H1, *H3, *B **H1, *H3, *BSingapore *B *H3, *B *H3, *BSri Lanka *A, *B *A, *B *A *BThailand *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B *H1, *H3, **BViet Nam *H3, *B *H3, *B *H3, *B *H3, *B *H3, *B EuropeAustria *H1, *A,*B ***H1, *A, *B Belarus *A, *B *A,*B ***H1, *B Belgium *H3 *H1, *B *H1, *H3, *B ****H1, *A, *B Bulgaria *H3 *H1Croatia *H1 ***H1, *B Czech Republic *H1 **H1, *A ***H1, *A, *B Denmark *B *H1, *B **H1, *B Finland *H1, *B ***H1, *H3, *B France *H1 *H1, *B *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B ***H1, *H3, *BGermany *B *H1, *B *H1, *B **H1, *H3, *B Greece *H1 **H1, *A, *B Hungary *H1, *B ***H1, ***B Iceland *H1, *A, *BIsrael *B **H1 , **B, **AItaly *H1 *H1, *B **H1, *A, *B Latvia *H1 *H1, *B **H1, *A, *B Luxembourg *H1, *B ****H1, *B Montenegro ****H1 Netherlands *H1Norway *B *H1, *A, *B *H1, *A, *B **H1, *A, *B Poland *A, *B *A, *B Portugal *H1 *H1, *B ***H1, *B Romania ***H1 Russian Federation *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B **H1, *H3, *B Serbia *H1 *H1Slovakia *H1 *H1 *H1Slovenia *H1, *A *H1, *A ****H1, *A, *BSpain *H1, *H3, *B *H1, *H3, *B ***H1, *H3,*B***H1, *H3,**BSweden *B *H1, *A, *B *H1, *A, *B *H1, *A, *B *H1, *H3, *BSwitzerland *H1, *H3, *B *H1, *A, *B ****H1, *H3, *BTurkey *B *H1, *B **H1, *B United Kingdom ofGreat Britain andNorthern Ireland*H1 *H1, *B *H1, *B *H1, *H3, *B ***H1, *H3, *B Ukraine *H3OceaniaAustralia *H1, **H3, *BNew Zealand H1, *H3, **BUnited States ofAmerica, Guam*H1Antarctica *BData in table 1 were provided by the Global Influenza Surveillance Network* = Sporadic activity A = Influenza A (not subtyped)** = Local activity B = Influenza B*** = Regional outbreaks H1 = Influenza A(H1N1)****= Widespread outbreaks H3 = Influenza A(H3N2)Influenza A(H5N1)Between September 2007 and 13 February 2008, 33 human cases of influenza A(H5N1) were confirmed in China, Egypt, Indonesia, Myanmar, Pakistan and Viet Nam. Many of these cases were associated with outbreaks of highly pathogenic avian influenza A(H5N1) in poultry. Since December 2003, a total of 360human cases have been confirmed from 14 countries2. The WHO influenza pandemic preparedness level remains unchanged at Phase 33. So far, there has been no evidence of sustained human-to-human transmission.Antigenic characteristics of recent isolatesInfluenza A(H1N1) virusesIn haemagglutination-inhibition (HI) tests with postinfection ferret sera, the majority of influenza A(H1N1) viruses was closely related to the vaccine strain A/Solomon Islands/3/2006. However, an increasing proportion of viruses was antigenically distinguishable from the vaccine strain and more closely related toA/Brisbane/59/2007 (Table 2).Table 2 Results of haemagglutination-inhibition tests of influenza A(H1N1) viruses with postinfection ferret seraAntigens – A/Solomon Islands/3/2006 A/Brisbane/59/2007 A/South Dakota/6/2007160A/Solomon Islands/3/2006 640 320A/Brisbane/59/2007 320 640 640640 640320Dakota/6/2007A/SouthRecent isolates –320A/Florida/10/2007 640160ND320A/Paris/658/2007640ND160640A/Cambodia/371/2007ND160320A/Hiroshima/96/2007320640160A/NewJersey/22/2007320A/Thailand/711/200780 320320A/Lyon/1362/2007 80 320320A/Colorado/35/2007 80 32080 320NDA/Hiroshima/102/2007NDA/Paris/577/2007* 80 320NDA/Norway/1735/2007*80 64040 640NDA/Madagascar/2293/2007* Oseltamivir resistantInfluenza A(H3N2) virusesIn HI tests with postinfection ferret sera, some influenza A(H3N2) viruses were antigenically similar to the northern hemisphere vaccine viruses A/Wisconsin/67/2005 and A/Hiroshima/52/2005. However, the majority was closely related to the more recently recommended vaccine virus, A/Brisbane/10/20074.2http://www.who.int/csr/disease/avian_influenza/country/cases_table_2008_02_12/en/index.html3http://www.who.int/csr/disease/avian_influenza/phase/en/index.html4http://www.who.int/wer/2007/wer8240/en/index.htmlInfluenza B virusesInfluenza B viruses of both the B/Victoria/2/87 and the B/Yamagata/16/88 lineages continued to circulate. The B/Yamagata/16/88 lineage viruses predominated among recent isolates although the proportion ofB/Victoria/2/87 viruses has recently increased in China Hong Kong Special Administrative Region.In HI tests with postinfection ferret sera, many viruses of the B/Victoria/2/87 lineage were closely related to the northern hemisphere vaccine virus B/Malaysia/2506/2004 but an increase in antigenic heterogeneity was observed. The majority of the B/Yamagata/16/88 lineage viruses were closely related to B/Florida/4/2006,B/Brisbane/3/2007 and B/Sendai/114/2007 viruses.Resistance to influenza antiviral drugsM2 inhibitorsResistance to amantadine and rimantadine remained high among influenza A(H3N2) viruses globally, notably among viruses genetically closely related to A/Brisbane/10/2007. The proportion of resistant influenzaA(H1N1) viruses was variable from country to country. Resistance in both subtypes was still predominantly associated with a serine to asparagine change in residue 31 of the M2 ion channel protein. Neuraminidase inhibitorsResistance to the neuraminidase inhibitor oseltamivir was detected in A(H1N1) viruses in several countries in different regions of the world. The proportion of oseltamivir resistant viruses varied from 0% to 64% in individual countries. These resistant A(H1N1) viruses retained sensitivity to zanamivir, amantadine and rimantadine. Updates are available at http://www.who.int/csr/disease/influenza/h1n1_table/en/index.html. Oseltamivir resistance was rarely detected among A(H3N2) and B viruses.Studies with inactivated influenza virus vaccinesAntibodies to haemagglutinin (HA) were measured by HI tests in panels of sera from adults who had received trivalent inactivated vaccines containing the antigens of A/Solomon Islands/3/2006 (H1N1),B/Malaysia/2506/2004 and either A/Hiroshima/52/2005 or A/Wisconsin/67/2005 (H3N2), administered in doses of 15 μg of each HA. Cross-reactions of postimmunization antibody to recent isolates were examined in 4 panels of sera, 3 of which were selected for the presence of postimmunization antibody to the vaccine viruses. In addition, a fifth panel of sera from vaccinated paediatric subjects was tested.Vaccines containing influenza A/Solomon Islands/3/2006 (H1N1) antigen stimulated HA antibodies at titres ≥40 to the vaccine virus in the sera of 98% of children, 93% of adults and 84% of elderly people. When the sera were tested against recent isolates, the corresponding proportions were lower: 49% of children, 59% of adults and 51% of elderly people. Furthermore, the average postimmunization geometric mean HI titres were lower to recent isolates than to the vaccine virus (reductions: children 73%; adults 80%; the elderly 67%). Vaccines containing influenza A/Wisconsin/67/2005 (H3N2)-like antigens stimulated HA antibodies at titres ≥40 to the vaccine virus in the sera of 92% of children, 91% of adults and 88% of elderly people. When the sera were tested against recent isolates, the corresponding proportions were lower: 23% of children, 41% of adults and 41% of elderly people. Furthermore, the average postimmunization geometric mean HI titres were lower to recent isolates than to the vaccine virus (reductions: children 80%; adults 75%; the elderly 71%).Immunization with vaccines containing influenza B/Malaysia/2506/2004 antigen stimulated HA antibodies at titres ≥40 to the vaccine virus in the sera of 75% of children, 80% of adults and 63% of elderly people. When the sera were tested against recent B/Malaysia/2506/2004-like isolates (B/Victoria/2/87 lineage), the corresponding proportions were similar: 73% of children; 74% of adults; 62% of elderly people. When sera were tested against recent B/Florida/4/2006-like isolates (B/Yamagata/16/88 lineage), the corresponding proportions were lower: 10% of children; 61% of adults; 43% of elderly people. The average postimmunization geometric mean HI titres to recent B/Malaysia/2506/2004-like isolates were similar to those of the vaccine virus, but the average postimmunization geometric mean HI titres were lower to recentB/Florida/4/2006-like isolates than to the vaccines virus (reductions: children 84%; adults 48%; elderly 53%). Recommended composition of influenza virus vaccines for use in the 2008–2009 influenza seasonDuring the period October 2007 to January 2008, influenza A(H1N1), A(H3N2) and B viruses circulated in many parts of the world.Outbreaks caused by influenza A(H1N1) viruses were reported in many countries. While some isolates were antigenically similar to the vaccine virus, A/Solomon Islands/3/2006, the majority of recent isolates were distinguishable from the vaccine virus and antigenically similar to A/Brisbane/59/2007. Current vaccines containing A/Solomon Islands/3/2006 antigens stimulated HA antibodies that were lower in titre and frequency to recent isolates than to the vaccine virus.Influenza A(H3N2) viruses were associated with outbreaks in the United States of America. While some isolates were antigenically similar to the northern hemisphere vaccine virus, A/Wisconsin/67/2005, the majority of recent isolates were antigenically similar to A/Brisbane/10/2007. Vaccines containingA/Wisconsin/67/2005 or A/Hiroshima/52/2005 antigens stimulated HA antibodies that were lower in titre and frequency to recent isolates than to the vaccine virus.Influenza B outbreaks were reported in several countries. Viruses of both B/Victoria/2/87 andB/Yamagata/16/88 lineages were reported in many countries but B/Yamagata/16/88 lineage viruses predominated. For the B/Victoria/2/87 lineage viruses, the majority of recent isolates were antigenically similar to B/Malaysia/2506/2004. Most of the recent B/Yamagata/16/88 lineage viruses were antigenically similar to B/Florida/4/2006. Northern hemisphere vaccines containing B/Malaysia/2506/2004 antigen stimulated HA antibodies that were similar in titre to recently isolated B/Malaysia/2506/2004-like viruses,but were lower in titre to recently isolated B/Yamagata/16/88 lineage viruses.It is recommended that vaccines for use in the 2008-2009 influenza season (northern hemisphere winter) contain the following:— an A/Brisbane/59/2007 (H1N1)-like virus;— an A/Brisbane/10/2007 (H3N2)-like virus;*— a B/Florida/4/2006-like virus.#* A/Brisbane/10/2007 is a current southern hemisphere vaccine virus# B/Florida/4/2006 and B/Brisbane/3/2007 (a B/Florida/4/2006-like virus) are current southern hemisphere vaccine virusesAs in previous years, national control authorities should approve the specific vaccine viruses used in each country. National public health authorities are responsible for making recommendations regarding the use of the vaccine. WHO has published recommendations on the prevention of influenza5. Most of the population is 5http://www.who.int/docstore/wer/pdf/2002/wer7728.pdflikely to have been infected with influenza A(H1N1), influenza A(H3N2) and influenza B viruses. As a consequence, 1 dose of inactivated influenza vaccine should be immunogenic for individuals of all ages except young children. Previously unimmunized children should receive 2 doses of inactivated vaccine, with an interval of at least 4 weeks between doses.Vaccine viruses (including reassortants) and reagents for use in the laboratory standardization of inactivated vaccine may be obtained from: Immunobiology Section, Therapeutic Goods Administration Laboratories, P.O. Box 100, Woden ACT, 2606 Australia (fax: +61 2 6232 8564, web site: .au ); Division of Virology, National Institute for Biological Standards and Control, Blanche Lane, South Mimms, Potters Bar, Hertfordshire, EN6 3QG England (fax: +44 1707 641050, e-mail: enquiries@, web site: /flu_site/index.html ); or Division of Product Quality, Center for Biologics Evaluation and Research, Food and Drug Administration, 1401 Rockville Pike, Rockville, MD 20892, United States (fax: +1 301 480 9748).Requests for reference strains for antigenic analysis should be addressed to the WHO Collaborating Centre for Reference and Research on Influenza, 45 Poplar Road, Parkville, Victoria 3052, Australia (fax: +61 3 9389 1881, web site: ); the WHO Collaborating Centre for Reference and Research on Influenza, National Institute of Infectious Diseases, Gakuen 4-7-1, Musashi-Murayama, Tokyo 208-0011, Japan (fax: +81 42 561 0812 or +81 42 565 2498, web site: http://www.nih.go.jp/niid/index.html); the WHO Collaborating Center for Surveillance, Epidemiology and Control of Influenza, Centers for Disease Control and Prevention, 1600 Clifton Road, Mail Stop G16, Atlanta, GA 30333, United States (fax: +1 404 639 0080, web site: /flu/); or the WHO Collaborating Centre for Reference and Research on Influenza, National Institute for Medical Research, The Ridgeway, Mill Hill, London NW7 1AA, England (fax: +44 208 906 4477), web site: /wic/ .Updated epidemiological information is available on WHO’s web site at http://www.who.int/influenza .。
2009年全国大学生数学建模竞赛选手选拔试题与答案
2009年全国大学生数学建模竞赛选拔试题时量：180分钟满分：200分系别：专业：学号：姓名：一、数学模型部分(共90分)1、简述数学建模论文的基本结构。
答：应该主要包含论文标题，摘要，问题重述，问题分析，模型建立，模型求解，模型验证，模型分析与改进，模型评价，参考文献等内容。
2、简述数学建模论文摘要的要求及其应包含的主要内容。
答：摘要要用独立的一页来写，字数为300字左右。
应该主要包含建模的思想，建模的方法，建立的模型，模型的求解，模型的改进，模型的评价，以及主要创新点和亮点。
3、试建立桌子在四条腿脚呈长方形时的数学模型，以说明桌子能否在地面上放稳的问题。
4、请把1~9共9个数字填入3乘以3的正方形格子，使3个行中每个行的数字总和为15，3个列中每个列的数字总和也15，两条对角线数字总和也15。
(1)中间格的数字应该为多少？并证明之。
(2) 用推理或建立模型方法求出其它数字(说明求解过程)，最终结果请填入右图。
解:(1) 把第2行,第2列,两对角线所有数字相加,1,2,3,4,5,6,7,8,9数字各出现1次,而中间数字记为x 多出现了3次,列出方程1543)987654321(⨯=+++++++++x 解方程得 x=5, 中间格x 22为5(2) 数字1不能填对角,否则相应一个对角为9而1对应行,列总和为14,而14=6+8仅有一种排法 由对称性有右图填法 ( 2分) 把余下数分3个一组,按总和为15分为第一组(3,4,8)预放入第1行,第2组(2,6,7) 预放入第3行 ( 2分) 调整次序不难得出右图最终结果 (2)别一法:利用上图列出方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=++=++610141515k c n b m a k n m c b a 解空间是1维, 取k 为自由变量(k=2,3,4,,6,7,8),取k=2时其它变量全为整数。
5、 设一个鞋店平均每天卖出鞋100双，批发一次差旅费为每次200元，每双鞋每存储一天的费用为0.01元。
2009国际数学建模竞赛试题
2009国际数学建模竞赛试题题目A:设计一个环形交通枢纽在城市和社区都有大小不等的环形交通枢纽，——从多车道的大型交通枢纽（比如，巴黎凯旋门枢纽和曼谷的胜利纪念碑枢纽）到只有一条或两条车道的微型交通枢纽。
有的枢纽在进入枢纽的道路上安装有停车标志或某种交通标示牌；有的枢纽在其内部设置标示牌；有的枢纽在进入枢纽的道路上设置信号灯（车辆如遇红灯，禁止右行）。
也可以设计其他样式的车流规划。
本题目的要求：设计一个车辆流动的模型来显示车辆在进入交通枢纽、在枢纽中和离开交通枢纽的最佳方案。
清晰表述模型中各种交通信号灯的变化以及各种影响交通信号灯变化的因素。
请就某一具体交通枢纽，书写一份长度不超过2页、双倍行距的技术摘要，来说明交通设计工程师是如何使用该模型来作出控制车流的最佳方案。
即，总结一下各种控制车流方案中可能出现的各种情况。
如果设置信号灯的话，请说明决定每盏信号灯呈绿色的时长的方案（这个方案可能依据不同时段和其他什么因素而变化）。
用具体的交通枢纽案例来说明你设计的模型是如何发挥作用的。
2009 Contest ProblemsMCM PROBLEMS PROBLEMA: Designing a Traffic Circle Many cities and communities have traffic circles —from large ones with many lanes in the circle (such as at the Arc de Triomphe in Paris and the Victory Monument in Bangkok) to small ones with one or two la nes in the circle. Some of these traffic circles position a stop sign or a yiel d sign on every incoming road that gives priority to traffic already in the cir cle; some position a yield sign in the circle at each incoming road to give pri ority to incoming traffic; and some position a traffic light on each incoming r oad (with no right turn allowed on a red light). Other designs may also be poss ible. The goal of this problem is to use a model to determine how best to contr ol traffic flow in, around, and out of a circle. State clearly the objective(s) you use in your model for making the optimal choice as well as the factors tha t affect this choice. Include a Technical Summary of not more than two double-s paced pages that explains to a Traffic Engineer how to use your model to help c hoose the appropriate flow-control method for any specific traffic circle. That is, summarize the conditions under which each type of traffic-control method s hould be used. When traffic lights are recommended, explain a method for determ ining how many seconds each light should remain green (which may vary accordingto the time of day and other factors). Illustrate how your model works with sp ecific examples.B 能源与手机问题这个问题涉及手机革命的能源使用问题。
全国初中数学联赛试题及答案(2009年).doc
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.设1a =，则32312612a a a +--= （ A ）A.24.B. 25.C. 10.D. 12.2．在△ABC 中，最大角∠A 是最小角∠C 的两倍，且AB ＝7，AC ＝8，则BC ＝ （ C ）A. B. 10.C.D.3．用[]x 表示不大于x 的最大整数，则方程22[]30x x --=的解的个数为 （ C ） A.1. B. 2. C. 3. D. 4.4．设正方形ABCD 的中心为点O ，在以五个点A 、B 、C 、D 、O 为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ B ） A.314. B. 37. C. 12. D. 47.5．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE ＝ （ D ）B. 23. C. 13.D. .6．设n 是大于1909的正整数，使得19092009n n--为完全平方数的n 的个数是 （ B ）A.3.B. 4.C. 5.D. 6.二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1．已知t 是实数，若,a b 是关于x 的一元二次方程2210x x t -+-=的两个非负实根，则22(1)(1)a b --的最小值是_____3-_______.2． 设D 是△ABC 的边AB 上的一点，作DE//BC 交AC 于点E ，作DF//AC 交BC 于点F ，已知△ADE 、△DBF 的面积分别为m 和n ，则四边形DECF 的面积为______.3．如果实数,a b 满足条件221a b +=，22|12|21a b a b a -+++=-，则a b +=__1-____.4．已知,a b是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对(,)a b 共有___7__对. DC第二试 （A ）一．（本题满分20分）已知二次函数2(0)y x bx c c =++<的图象与x 轴的交点分别为A 、B ，与y 轴的交点为C.设△ABC 的外接圆的圆心为点P.（1）证明：⊙P 与y 轴的另一个交点为定点.（2）如果AB 恰好为⊙P 的直径且2ABC S △＝，求b 和c 的值.解 （1）易求得点C 的坐标为(0,)c ，设1A(,0)x ，2B(,0)x ，则12x x b +=-，12x x c =.设⊙P 与y 轴的另一个交点为D ，由于AB 、CD 是⊙P 的两条相交弦，它们的交点为点O ，所以O A ×OB ＝O C×OD ，则121x x c OA OB OD OC c c⨯====.因为0c <，所以点C 在y 轴的负半轴上，从而点D 在y 轴的正半轴上，所以点D 为定点，它的坐标为(0,1). （2）因为AB ⊥C D ，如果AB 恰好为⊙P 的直径，则C 、D 关于点O 对称，所以点C 的坐标为(0,1)-， 即1c =-.又12AB x x =-===1122ABC S AB OC =⋅==△，解得b =±.二．（本题满分25分）设CD 是直角三角形ABC 的斜边AD 上的高，1I 、2I 分别是△ADC 、△BDC 的内心，AC ＝3，BC ＝4，求1I 2I .解 作1I E ⊥AB 于E ，2I F ⊥AB 于F.在直角三角形ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，AB =5=.又C D ⊥AB ，由射影定理可得2AC 9A D =AB 5=，故16BD =AB AD 5-=，12CD =5=. 因为1I E 为直角三角形ACD 的内切圆的半径，所以1I E ＝13(AD CD AC)25+-=. 连接D 1I 、D 2I ，则D 1I 、D 2I 分别是∠ADC 和∠BDC 的平分线，所以∠1I DC ＝∠1I DA ＝∠2I DC ＝∠2I DB＝45°，故∠1I D 2I ＝90°，所以1I D ⊥2I D，1113I E 5DI sin ADI sin 455===∠︒.同理，可求得24I F 5=，2D I =所以1I 2I=.C三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 证法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc -+----++++=，即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=..证法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=..第二试 （B ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同.二． （本题满分25分） 已知△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB 边上的高线CH 与△ABC 的两条内角平分线 AM 、BN 分别交于P 、Q 两点.PM 、QN 的中点分别为E 、F.求证：EF ∥AB.解 因为BN 是∠ABC 的平分线，所以ABN CBN ∠=∠. 又因为C H ⊥AB ，所以CQN BQH 90ABN 90CBN CNB ∠=∠=︒-∠=︒-∠=∠，因此CQ NC =.又F 是QN 的中点，所以C F ⊥QN ，所以CFB 90CHB ∠=︒=∠，因此C 、F 、H 、B 四点共圆. 又FBH =FBC ∠∠，所以FC ＝FH ，故点F 在CH 的中垂线上. 同理可证，点E 在CH 的中垂线上.因此E F ⊥CH.又AB ⊥CH ，所以EF ∥AB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（A ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知,,a b c 为正数，满足如下两个条件：32a b c ++= ①14b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++= ②. 解法1 将①②两式相乘，得()()8b c a c a b a b ca b c bc ca ab+-+-+-++++=， 即222222()()()8b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+-++=， 即222222()()()440b c a c a b a b c bc ca ab +-+-+--+-+=， 即222222()()()0b c a c a b a b c bc ca ab----+-++=， 即()()()()()()0b c a b c a c a b c a b a b c a b c bc ca ab-+---+--+++-++=，即()[()()()]0b c a a b c a b c a b c a b c abc-+----++++=，NB即222()[2]0b c a ab a b c abc -+--+=，即22()[()]0b c a c a b abc -+--=，即()()()0b c a c a b c a b abc-++--+=，所以0b c a -+=或0c a b +-=或0c a b -+=，即b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.解法2 结合①式，由②式可得32232232214a b c bc ca ab ---++=， 变形，得222110242()4a b c abc -++= ③又由①式得2()1024a b c ++=，即22210242()a b c ab bc ca ++=-++， 代入③式，得110242[10242()]4ab bc ca abc --++=，即16()4096abc ab bc ca =++-. 3(16)(16)(16)16()256()16a b c abc ab bc ca a b c ---=-+++++-3409625632160=-+⨯-=，所以16a =或16b =或16c =.结合①式可得b a c +=或c a b +=或c b a +=.90°.。
2009年 第二届“数学中国杯”
第二届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第二届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们允许数学中国网站()公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。
我们的参赛报名号为：参赛队员(签名) ：队员1：队员2：队员3：参赛队教练员(签名)：参赛队伍组别：大学组第二届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛号码：（请各个参赛队提前填写好）：1164竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2009年第二届“数学中国杯”数学建模网络挑战赛题目串行算法的并行化处理关键词串行算法并行化合理分配摘要：本文针对串行算法并行化建立了相应的数学模型。
根据对算法之间各部分的特点和依赖关系的分析，总结了对顺序结构、单循环结构和多重循环结构的并行化的方法。
在处理复杂的多重循环时，为了简化依赖关系进行了幺模变化，使得多重循环的某一重循环或多重循环可以并行化运算。
然后对并行化分解的程序块运用了集合的方法进行优化分配，以期达到双核任务的尽可能均衡分配。
参赛队号1164 所选题目 A 参赛密码（由组委会填写）1 问题的提出并行计算，是将一个计算任务分摊到多个处理器上并同时运行的计算方法。
由于单个CPU 的运行速度难以显著提高，所以台式机和笔记本电脑现在也已广泛地采用了双核或多核CPU 。
双核CPU 内部有两个运算核心，它们可以独立进行计算工作。
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第二届数学中国杯数学建模网络挑战赛
D题(中学组专用)：大奖评奖方法的讨论
在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150篇参赛论文中选择4篇论文作为特等奖论文。
评审小组由10名评委组成，包括一名小组组长（出题人），4名专业评委（专门从事与题目相关问题研究的评委），5名普通评委（从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审）。
组委会原先制定的评审步骤如下：
1、首先由普通评委阅读所有150篇论文，筛选出20篇作为候选论文。
2、然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4篇作为推荐的论文。
3、接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的4篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。
4、在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文（从20篇候选论文中除去已经入选的论文）重复2∼4步的评审工作。
如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。
如果有超过4篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。
问题1：请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。
问题2：假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。
组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。
1。