圆压轴八大模型题(2)-切割线互垂.docx

圆压轴题八大模型题（二）

泸州市七中佳德学校

易建洪

引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，

往往位于许多省市中考题中的倒数第二题

的位置上， 是试卷中综合性与难度都比较大的习题。 一般都会在固定习题模型的基础上变化

与括展，本文结合近年来各省市中考题，

整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，

常用

技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。 类型 2 切割线互垂

在 Rt △ABC 中，点 E 是斜边 AB 上一点，以 EB 为直径的⊙ O 与 AC 相切于点 D ，与 BC 相交于点

F.

C

C

C

D

F

D

F

D

F

A

E

O

B

A

E

O

B

A

E O

B

图(1)

图(2)

图(3)

(1)AD=20,AE=10,求 r; (3)AC=32， AE=10，求 r. (5)DB 2=BC BE; (2)AB=40,BC=24,求 r.

(4) ∠ ABD=∠CBD.

(6)AD 2=AE AB.

【分析】 (1)在 Rt △ADO 中， (10+r) 2=r 2+202,得 r=15. (2)由 DO ∥ BC,得

DO AO ,∴ r 40

r

得： r=15.

BC AB 24 40

(3)在 Rt △ADO 中， AD=

(10

r ) 2 r 2 ， DO=r ， AO=10+r ，

由 DO ∥ BC ，

AD

AO

得， r=15.

AC AB

(4)连结 DO,DO=BO,∠ ODB=∠ OBD;由 DO ∥BC 得∠ CBD=∠ ODB,∴∠ ABD=∠ CBD. (5)由 Rt △BCD ∽ Rt △BDE 得 BD 2=BC BE.

(6)由△ ADE ∽△ ABD 得 AD 2=AE AB.

C

C

C

D

F

D

D

F

F

G

A

B

A

E

O

B

A

E

O

B

E G O

图 (4)

图(5)

图 (6)

(7)△ DCF ≌△ DGE; (10)DC=12,CF=6,

(11)DC=12,CF=6,求 CO

(8)DF 2=CF BE;

求 r 和 BF.

上任意线段的长 .

(9)AG:AC=1:2,BD=10.求 r.

【分析】

(7)由∠ EBD=∠FBD 得 DE=DF,∴ DE=DF,又∠ DFC=∠ DEG,∠C=∠DGE=90°得△ DCF ≌△ DGE.

CF

DE

,且 DE=DF,∴ DF 2

=CF BE.

(8)由△ CDF ∽△ DBE 得

BE

DF

(9)由△ ADG ∽△ ABC 得 AG:AC=DG:BC=1:2,设 DG=k,则 DC=DG=k,BC=2k,DB= 5 k=10,∴ k=2 5 ,

∴ BG=BC=2k=4 5

, 由 Rt △ DBG ∽ Rt △ EBD

得 DB 2=GB EB, ∴ 102=4

5 EB,

∴

5 5

EB=5 5 ,r=.

2

(10)∠ C=∠ CFG=∠ CDG=90°得矩形 DGFC,∴ DG=CF=6,DC=GF=GE=12,

C

2

2

2

2

2 2

.

∴在 Rt △ GEO 中， GO +EG =EO ,∴ (r-6)

+12 =r

∴r==15-6=9，由中位线定理得 BF=2GO=18.

D

F

(11)如图，在 Rt △ DCO 中， CO= 12

2

152

= 3 41 ， GO=15-6=9,

P

G

B

A

O

由 D0∥ CB 得 ,

CF

CP 6 2 3

9 41 E

,∴ PO= CO= .

GO OP 9 3 5 5

同理可得图中

CO 上其它线段的长度 .

图 a

【典例】

（2018 ·四川成都）如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90°，AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ，O 为 AB 上一点，经过点 A ， D 的⊙ O 分别交 AB ， AC 于点 E ， F ，连接 OF 交 AD 于点 G.

（1）求证： BC 是⊙ O 的切线；

（2）设 AB ＝ x ， AF ＝ y ，试用含 x,y 的代数式表示线段 AD 的长；

（ 3）若 BE ＝ 8， sinB ＝ 5

13

，求 DG 的长 .

A

O

G

【分析】（1 ）连接 OD ，由 AD 为角平分线得到一

E

F

对角相等， 再由等边对等角得到一对角相等，

等量

B C

D

代换得到内错角相等，进而得到

OD 与 AC 平行，

（图 2-1）

得到 OD 与 BC 垂直，即可得证；

（ 2）连接 DF ，由（ 1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得

到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；

（3）连接 EF ，设圆的半径为 r ，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出

r 的值，由直径

所对的圆周角为直角，得到

EF 与 BC 平行，得到 sin ∠ AEF ＝ sinB ，进而求出 DG 的长即可．

解：（ 1）证明：如图，连接 OD ，

∵AD 为 ∠ BAC 的角平分线， ∴ ∠BAD ＝ ∠ CAD ，

∵OA ＝OD ， ∴ ∠ ODA ＝ ∠ OAD ，

∴∠ ODA ＝ ∠ CAD ，∴ OD ∥ AC ，