3.2.1 菱形的性质
菱形的性质与概念
菱形的性质与概念菱形是一个几何形状，它具有一些特殊的性质与概念。
一个菱形是一个四边形，它的四个边长相等，且相邻两边之间的夹角是直角。
下面我将详细介绍菱形的性质与概念。
首先，菱形的定义非常直观，它是一个有四条边的形状，但与其他四边形不同的是，四条边的长度相等，这意味着它的对角线也是相等的，且对角线互相平分。
换句话说，菱形的两个对角线互相垂直且相等长。
菱形有一些重要的性质和概念，其中之一是它的对称性。
菱形具有两条对称轴，这意味着对于任意一条菱形的对角线，其余两条边分别关于这条对角线对称。
这种对称性使得菱形在许多领域中有着广泛的应用，比如纺织品和装饰品设计。
另一个与菱形相关的重要概念是内角和外角。
内角是指菱形内部的角，而外角是指菱形外部的角。
对于一个菱形，它的内角是90度，因为相邻两条边之间的夹角是直角。
与内角相对应的是外角，其度数等于360度减去内角的度数。
因此，菱形的外角也是90度。
菱形还有一个重要的特点是它的四个顶点位于一个圆上。
这个圆被称为菱形的外接圆，它通过菱形的四个顶点，因此，对于任何一个菱形，我们可以找到这个唯一的外接圆。
外接圆具有一些特殊的性质，其中一个是菱形的对角线是它的直径。
也就是说，菱形的两条对角线互相垂直，并且它们的中点位于外接圆的圆心。
除了以上提到的性质和概念，菱形还有一些其他有趣的特点。
例如，菱形的面积可以通过对角线的长度和夹角的正弦值来计算。
具体计算公式为：菱形的面积等于对角线1和对角线2的乘积的一半，即面积=（对角线1×对角线2）/2。
此外，菱形还可以通过旋转正方形得到。
如果我们以正方形的一个顶点为中心，并将该顶点向外旋转45度，则可以得到一个菱形。
因此，菱形也可以被视为正方形的一个特殊形状。
总之，菱形是一个特殊的四边形，它具有许多独特的性质和概念。
它是一个有四条边的几何形状，其特点是四边相等，对角线互相垂直且相等长，内角为90度，外角为90度，顶点位于一个圆上，可以通过正弦定理计算面积，可以通过旋转正方形得到等等。
数学菱形知识点总结
数学菱形知识点总结一、菱形的定义菱形是一个四边形，它有着以下几个特点：1. 四边相等：菱形的四条边长度相等。
2. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等。
3. 相邻角相等：菱形的相邻两个角是相等的，并且相邻角的和是180度。
二、菱形的性质菱形是一种特殊的平行四边形，在平行四边形的基础上，菱形还有以下几个特殊的性质：1. 对角线垂直：菱形的对角线互相垂直。
2. 对角平分：菱形的对角线互相平分对角。
3. 对角线平分：菱形的对角线互相平分四边形的面积。
4. 对角线角度：菱形的对角线夹角为90度。
三、菱形的面积菱形的面积可以通过以下公式计算：菱形的面积=对角线1乘以对角线2除以2即S=d1*d2/2其中，d1和d2分别是菱形的两条对角线的长度。
通过这个公式，我们可以很容易地计算菱形的面积。
四、菱形的周长菱形的周长可以通过以下公式计算：菱形的周长=4乘以边长即P=4L其中，L是菱形的边长。
通过这个公式，我们可以很容易地计算菱形的周长。
五、菱形的性质应用菱形的性质在实际问题中有着广泛的应用，包括以下几个方面：1. 计算几何中的面积：当我们知道了菱形的对角线长度时，可以利用菱形的面积公式计算菱形的面积，从而解决相关问题。
2. 计算几何中的周长：当我们知道了菱形的边长时，可以利用菱形的周长公式计算菱形的周长，从而解决相关问题。
3. 利用菱形的垂直性求解问题：利用菱形对角线的垂直性质，可以解决一些与菱形相关的几何问题。
六、总结菱形是数学中一个重要的几何图形，它具有独特的性质和广泛的应用。
通过本文的介绍，读者可以更加全面地理解和掌握菱形的相关知识，从而更好地解决与菱形相关的数学问题。
希望本文对读者有所帮助，谢谢！。
《菱形》 知识清单
《菱形》知识清单一、菱形的定义在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
需要注意的是，菱形首先是平行四边形，然后在此基础上增加了“一组邻边相等”这个条件。
二、菱形的性质1、边菱形的四条边都相等。
这是菱形最基本也是最显著的特征之一。
因为菱形是平行四边形，平行四边形对边相等，再加上菱形的一组邻边相等，所以四条边都相等。
2、角菱形的对角相等，邻角互补。
这一点与平行四边形的性质相同。
3、对角线（1）菱形的对角线互相垂直且平分。
两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。
（2）菱形的对角线平分一组对角。
也就是说，两条对角线与菱形的边所形成的夹角分别相等。
4、对称性菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
同时，菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。
5、面积（1）菱形的面积可以用底乘以高来计算。
（2）由于菱形的对角线互相垂直，所以菱形的面积还可以用对角线乘积的一半来计算。
三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
这是根据菱形的定义直接得出的判定方法。
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
因为对角线互相垂直的平行四边形，其四条边都相等，满足菱形的定义。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
这是从边的角度直接判定一个四边形为菱形。
四、菱形性质与判定的应用1、在几何证明题中如果已知一个四边形是菱形，那么可以利用菱形的性质来得出边、角、对角线等方面的关系，从而解决问题。
如果要证明一个四边形是菱形，则需要根据给定的条件，选择合适的判定方法进行证明。
2、在实际生活中的应用菱形的图案和结构在建筑、艺术设计、纺织等领域都有广泛的应用。
例如，一些窗户的设计采用菱形的格子，既美观又能保证结构的稳定性；在纺织品的花纹设计中，菱形图案也经常出现。
五、与菱形相关的常见题型1、计算型题目（1）已知菱形的边长、对角线长度等，求菱形的面积、周长等。
（2）根据菱形的面积和其中一条对角线的长度，求另一条对角线的长度。
菱形的判定方式
菱形的判定方式1. 菱形的定义及性质菱形是一种特殊的四边形，它有以下几个性质： - 所有边长相等：菱形的四条边长度相等，这是菱形与其他四边形的明显区别。
- 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，且互相垂直。
- 对角线平分角度：菱形的两条对角线将菱形分成四个等角的三角形。
2. 判定一个四边形是否为菱形的方法2.1 基于边长的判定方式一个四边形的边长相等是判定其为菱形的充分条件，但不是必要条件。
因此，我们可以通过以下步骤判定一个四边形是否为菱形： 1. 测量四条边的长度。
2. 如果四条边的长度相等，则该四边形为菱形。
3. 如果四条边的长度不相等，那么它不是菱形。
2.2 基于对角线的判定方式另一种判定一个四边形是否为菱形的方法是基于对角线的长度。
以下是判定方法的步骤： 1. 测量两条对角线的长度。
2. 如果两条对角线的长度相等，则该四边形为菱形。
3. 如果两条对角线的长度不相等，那么它不是菱形。
3. 菱形的判定应用菱形的判定方法在几何学中具有重要的应用，例如在图形识别、图像处理和计算机视觉中。
以下是一些具体的应用场景：3.1 菱形图形识别在图像处理中，我们经常需要识别不同的几何形状。
菱形作为一种常见的几何形状之一，其判定方法可以用于菱形图形的识别。
通过测量图像中四边形的边长或对角线长度，我们可以判断该图形是否为菱形，从而实现菱形图形的自动识别。
3.2 菱形模式匹配菱形模式匹配是指在图像中寻找与给定菱形模式相匹配的图像区域。
通过菱形的判定方法，我们可以将图像中的四边形筛选出来，并进一步判断其是否为菱形。
这样，我们就可以在图像中找到与给定菱形模式相匹配的区域。
3.3 菱形区域标定在计算机视觉中，我们经常需要标定图像中的特定区域。
菱形的判定方法可以应用于菱形区域的标定。
通过测量图像中四边形的边长或对角线长度，并判断其为菱形，我们可以准确地标定出菱形区域的位置和大小。
4. 总结菱形作为一种特殊的四边形，在几何学和图像处理中具有重要的应用。
菱形知识点总结
菱形知识点总结菱形是一种几何形状，它具有独特的性质和特征，是数学学科中重要的一个概念。
在几何学中，菱形是一种四边形，具有特定的属性和角度。
在这篇总结中，我们将深入探讨菱形的定义、性质、公式、定理以及相关的解题技巧，帮助读者更好地理解和掌握菱形的知识。
一、菱形的定义和性质1. 定义：菱形是指四边形的一种，具有以下特征：四条边相等，对角线相等，相对角相等。
2. 性质：菱形具有以下性质a. 4条边相等：菱形的四条边相等，因此四个角也相等。
b. 对角线相等：菱形的对角线相等，即对角线的长度相等。
c. 相对角相等：菱形的相对角相等，即角A=角C，角B=角D。
二、菱形的公式1. 周长：菱形的周长可以用公式计算：P=4a，其中a为菱形的边长。
2. 面积：菱形的面积可以用公式计算：A= d1*d2/2，其中d1和d2分别为菱形的两条对角线的长度。
三、菱形的相关定理1. 菱形的对角线垂直平分定理：菱形的对角线互相垂直平分。
2. 菱形的对角线平行定理：菱形的对角线互相平行。
3. 菱形的内角和定理：菱形的内角和等于360°。
四、菱形的应用1. 地理学：在地图绘制中，菱形可以代表某些地理特征或资源分布。
2. 工程学：在建筑设计和结构设计中，菱形形状常常被运用到。
3. 数学解题：在数学题目中，菱形的性质和公式常常用于解题。
五、解题技巧1. 利用菱形的对角线性质：当题目给出菱形的对角线长度时，可以利用对角线相等的性质求菱形的面积和周长。
2. 利用菱形的周长公式：当题目给出菱形的周长时，可以利用周长公式计算菱形的边长。
3. 利用菱形的内角和公式：当题目给出菱形的某些内角时，可以利用内角和等于360°的性质求其他角度。
综上所述，菱形是一个重要的几何形状，具有独特的性质和特点。
掌握菱形的定义、性质、公式、定理以及解题技巧，有助于帮助我们更好地理解和应用菱形的知识。
在日常生活和学习中，我们可以通过应用菱形的知识，解决各种实际问题，提高数学素养和解题能力。
菱形的性质及判定
菱形的性质及判定【知识梳理】1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且四边相等．②角的性质：邻角互补，对角相等．③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．判定③：四边相等的四边形是菱形．一、菱形的性质【例1】⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．【例3】如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．【例4】如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？课堂练习：1.如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（）A．2 B．C．4 D．F EDCBA2.已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ）A 、B 、16C 、D 、83. 如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO 的顶点P 的坐标是（3，4），则顶点M 、N 的坐标分别是（ ） A 、M （5，0），N （8，4） B 、M （4，0），N （8，4）C 、M （5，0），N （7，4）D 、M （4，0），N （7，4）二、填空题4. 如图，菱形ABCD 的边长是2cm ，E 是AB 的中点，且DE 丄AB ，则菱形ABCD 的面积 为5. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH 丄AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离6. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD ，若AD=6cm ，∠ABC=60°，则四边形ABCD 的面积等于二、菱形的判定【例5】如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．【例6】☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ， 求证：四边形BEDF 是菱形第4题第5题第6题ODEFCABC'DCB A E【例7】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.【例8】如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '. 求证：四边形CDC E '是菱形．【例9】如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DM EP 是菱形．PMF E DG CBA巩固练习：一．选择题1．已知菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（ ） A 、16错误！未找到引用源。
(完整版)菱形的性质及判定
菱形的性质及判断中考要求知识点 A 要求B要求Ｃ要求菱形会辨别菱形掌握菱形的观点、性质和判断，会用菱形的性质和会用菱形的知识解决有关判断解决简单问题问题知识点睛1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特别的平行四边形，它拥有平行四边形的全部性质，?还拥有自己独到的性质：① 边的性质：对边平行且四边相等．② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线相互垂直均分且每条对角线均分一组对角．④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．评论：其实只需四边形的对角线相互垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．3．菱形的判断判断① ：一组邻边相等的平行四边形是菱形．判断② ：对角线相互垂直的平行四边形是菱形．判断③ ：四边相等的四边形是菱形．重、难点要点是菱形的性质和判断定理。
菱形是在平行四边形的前提下定义的，第一她是平行四边形，但它是特别的平行四边形，特别之处就是“有一组邻边相等”，因此就增添了一些特别的性质和不一样于平行四的基础。
难点是菱形性质的灵巧应用。
因为菱形是特别的平行四边形，因此它不只拥有平行四边形的性质，同时还拥有自己独到的性质。
假如获得一个平行四边形是菱形，就能够获得很多对于边、角、对角线的条件，在实质解题中，应当应用哪些条件，如何应用这些条件，经常让很多学生惊慌失措，教师在教课过程中应赐予足够重视。
例题精讲板块一、菱形的性质【例 1】☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分红全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和本来的菱形重合，那么旋转的角度起码是【例 2】⑴如图 2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离 AB BC16cm ，则1度．A B C1图2⑵如图，在菱形ABCD 中， A 60 ， E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点，若 EF 2 ，则菱形 ABCD的边长是 ______．AE FB DC【例 3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于 H ，交 CB的延伸线于 F ，交 AB于 P，证明： AB 与 EF 相互均分．DEHA CPBF【例 4】☆如图 1 所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD订交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为 24，则 OH 的长等于．AHB DOC图1【稳固】☆如图，已知菱形ABCD 的对角线AC8cm ，BD 4cm ，DE BC 于点E，则DE的长为【例 5】☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1 ，则菱形较短的对角线的长度为【稳固】如图 2，在菱形ABCD 中， AC 6 ， BD 8 ，则菱形的边长为（）A．5B．10C．6D．8A DBC图 2【稳固】如图 3，在菱形ABCD中， A 110， E、 F 分别是边 AB和 BC的中点， EP CD 于点 P，则FPC （）A．35B．45C．50D．55DAE PCB F图3【例 6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，而后剪下一个角，为了获得一个锐角为60 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）A．15或30 B ．30或 45 C ．45或60D．30或60【稳固】菱形 ABCD 中，E 、F 分别是 BC 、CD 的中点，且 AE BC ，AF CD ，那么EAF 等于．【稳固】如图，将一个长为10cm ，宽为 8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再翻开，获得的菱形的面积为（）A． 10cm 2 B ． 20cm 2C． 40cm2D． 80cm 2DA CB图1【例 7】☆已知菱形ABCD的两条对角线AC，BD的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例 8】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，ABC 60，?沿着菱形的对角线修筑了两条小道AC和BD ，求两条小道的长和花坛的面积．AOB DC图2【例 9】已知，菱形ABCD 中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，若AE AF EF AB ，求 C 的度数．AB DE FC板块二、菱形的判断【例 10】如图，假如要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要增添一个条件，那么你增添的条件是．A DB C【例 11】☆如图，在ABC 中， BD 均分ABC ， BD 的中垂线交AB 于点 E ，交 BC 于点 F ，求证：四边形 BEDF 是菱形AE DB FC 【稳固】已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线 AC 的垂直均分线与边AD 、 BC 分别订交于 E、 F .求证：四边形 AFCE 是菱形.A EDOBF C【例 12】如图，在梯形纸片ABCD中，AD / / BC，AD CD ，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在AD 上的点 C 处，折痕 DE 交 BC 于点 E ，连接 C E .求证：四边形 CDC E 是菱形．A C'DB EC 【例 13】☆如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EF AC于 H ，交 CB的延伸线于 F ，交 AB于 P ，证明： AB 与 EF 相互均分A E D A E DP PF B C F B C【稳固】☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AE 是 BC 边上的高，将ABE 沿 BC 方向平移，使点E 与点 C 重合，得GFC ．若 B 60 ，当 AB 与 BC 知足什么数目关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．A G DB E FC【例 14】如图，在ABC中，AB AC，M是BC的中点．分别作MD AB于D，ME AC于 E ，DF AC 于 F ， EG AB 于 G ． DF 、EG 订交于点 P ．求证：四边形DMEP 是菱形．AG P FD EB MC 【例 15】如图，ABC中，ACB 90，AD是BAC 的均分线，交 BC 于D ，CH 是 AB 边上的高，交 AD 于 F ， DE AB于 E ，求证：四边形CDEF 是菱形．CDFAH E B【稳固】☆如图， M 是矩形 ABCD 内的随意一点，将MAB 沿 AD 方向平移，使 AB 与 DC 重合，点 M 移动到点 M ' 的地点⑴画出平移后的三角形；⑵连接 MD ，MC ，MM ' ，试说明四边形MDM 'C 的对角线相互垂直，且长度分别等于AB，AD 的长；⑶当 M 在矩形内的什么地点时，在上述变换下，四边形MDM 'C 是菱形？为何？A DMM'B C三、与菱形有关的几何综合题【例 16】已知等腰△ABC中，AB AC ， AD 均分 BAC 交 BC 于 D 点，在线段 AD 上任取一点 P （ A 点除外），过 P 点作 EF∥ AB，分别交 AC 、 BC于 E 、 F 点，作 PM ∥ AC，交 AB于 M 点，连结ME.⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当 P 点在哪处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？CDE PFABM课后练习1.菱形周长为 52cm ，一条对角线长为 10cm ，则其面积为．2.如图，在菱形 ABCD 中，AB4a ，E 在BC上， BE 2a， BAD120 ，P 点在BD上，则PE PC的最小值为A DPB E C3.已知菱形的一个内角为60 ，一条对角线的长为 2 3 ，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形 ABCD中， E 、 F 分别是 BC 、 CD 上的点，且 BEAF60， BAE 18 ．求：A DFBE C5.如图，在ABC 中， AB AC ，D 是 BC 的中点，连接 AD ，在 AD 的延伸线上取一点 E ，连接 BE ，CE ．当 AE 与 AD 知足什么数目关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明原因．BADE C6.如图，ACD 、ABE 、BCF 均为直线 BC 同侧的等边三角形．已知AB AC ．⑴按序连接 A 、 D 、 F 、 E 四点所组成的图形有哪几类？直接写出组成图形的种类和相应的条件．⑵当BAC 为度时，四边形ADFE 为正方形．FEDAB C7.如图，已知BE、CF分别为ABC 中B、 C 的均分线， AM BE于M，AN CF于N，求证： MN ∥ BC．AFENMB C。
3.2.1 菱形的性质
菱形
菱形的性质
A
B
O
C
D
1.掌握菱形的概念，知道菱形与平行四边形的关系.了解 菱形既是中心对称图形又是轴对称图形. 2.理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有 关的证明和计算，会计算菱形的面积.
菱形的定义 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形； AB=BC
□ABCD
四边形ABCD是菱形
2
所以∠AOE=25°
答案:25°
6.（珠海·中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点， PE⊥AB于点E，PE=4 cm，则点P到BC的距离是____cm.
【解析】菱形对角线平分一组对角，且角平分线上的点 到角两边的距离相等，故点P到BC的距离是4 cm.
答案：4
7.（常德·中考）如图，已知四边形ABCD是菱形， DE⊥AB,DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF.
6 3 4
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8
C
3.等腰三角形有：
△ABC △DBC △ACD △ABD
5
A
1
2
7 8 4
D
O B
6 3
C
A
1
5
2
7
8
D
4.直角三角形有：
Rt△AOB Rt△BOC
O
6 3
4
B
C
Rt△DOA
Rt△COD
D
【证明】在△ADE和△CDF中，因为四边形ABCD是菱形， 所以∠A=∠C,AD=CD.又DE⊥AB,DF⊥BC, 所以∠AED=∠CFD=90°. 所以△ADE≌△CDF.
【解析】
菱形的特点与相关定理
菱形的特点与相关定理菱形是一种具有独特形状的四边形，它具有一些特点和相关定理。
本文将介绍菱形的特点，并探讨与菱形相关的定理。
一、菱形的特点1. 边长相等：菱形的四条边长度相等，即AB = BC = CD = DA。
2. 角度性质：菱形的相邻两边之间的夹角均为直角，即∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°。
3. 对角线相互垂直：菱形的两条对角线相互垂直，即对角线AC ⊥BD。
4. 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等，即AC = BD。
二、菱形的相关定理1. 对角线的性质对角线的性质是指菱形对角线之间的关系。
定理1：菱形的对角线平分对角线的角。
证明：设菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OB和OD。
由菱形的性质可知，∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAB = 90°。
因此，△OAB和△OCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，可推得∠OBA = ∠OCB且∠ODC = ∠ODA。
又因为∠OBA + ∠OCB = ∠OCB + ∠ODC = ∠ODC + ∠ODA = ∠ODA + ∠OBA = 180°，所以∠OBA = ∠ODA = 90°/2 = 45°。
因此，对角线AC平分∠BOD，对角线BD平分∠AOB。
证毕。
2. 边长的性质边长的性质是指菱形边长之间及与对角线之间的关系。
定理2：菱形的对角线平分边长。
证明：根据菱形的性质可知，AB = BC = CD = DA。
设菱形ABCD 的对角线AC和BD相交于点O，连接OB。
由菱形的性质可得，△OAB和△OCD都是等腰直角三角形，因此OA = OB = OC = OD。
所以，对角线AC平分边长AB和CD，对角线BD平分边长BC和DA。
证毕。
3. 同侧内角的性质同侧内角的性质是指菱形同一边上的内角之间的关系。
定理3：菱形同一边上的内角之和为180°。
《菱形》 知识清单
《菱形》知识清单一、菱形的定义在同一平面内，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
需要注意的是，菱形首先是平行四边形，然后还需要满足邻边相等这一条件。
二、菱形的性质1、边的性质菱形的四条边都相等。
这是菱形区别于一般平行四边形的重要特征之一。
因为平行四边形对边相等，而菱形在此基础上，邻边也相等，所以四条边长度均相等。
2、角的性质菱形的对角相等，邻角互补。
这与平行四边形的角的性质是一致的。
3、对角线的性质菱形的对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。
对角线互相垂直这一性质使得菱形具有很多独特的特点和应用。
比如，在计算菱形的面积时，就可以利用对角线的长度来计算。
4、对称性菱形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
同时，菱形也是轴对称图形，两条对角线所在的直线就是它的对称轴。
5、面积计算菱形的面积可以用两种方法计算：（1）底乘以高，这与计算平行四边形面积的方法相同。
（2）对角线乘积的一半。
即 S ＝ 1/2 ×对角线 1 ×对角线 2 。
三、菱形的判定1、一组邻边相等的平行四边形是菱形。
这是根据菱形的定义得出的判定方法。
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么它一定是菱形。
3、四条边都相等的四边形是菱形。
这一判定方法直接从边的长度来判断。
四、菱形性质与判定的应用1、在几何证明中的应用在证明几何问题时，如果已知图形是菱形，可以利用菱形的性质来得出相关的结论。
例如，如果知道一个四边形是菱形，就可以得出它的对角线互相垂直等结论。
2、在实际生活中的应用菱形在实际生活中有很多应用。
比如，菱形的图案经常出现在建筑装饰、纺织品设计等方面，因为其美观且具有一定的稳定性。
3、在数学计算中的应用在计算菱形的周长、面积等问题时，需要熟练运用菱形的性质和相关公式。
五、与其他图形的关系1、菱形与平行四边形菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质。
2、菱形与矩形矩形的四个角都是直角，而菱形的角不一定是直角。
菱形形知识点总结
菱形形知识点总结菱形是一种几何形状，拥有许多有趣的性质和特点。
在这篇知识总结中，我们将深入探讨菱形的定义、特点、性质、公式和实际应用。
希望本文可以帮助读者更好地理解和应用菱形的知识。
第一部分：菱形的定义菱形是一种特殊的四边形，它有四条相等的边和四个角都是直角。
简单来说，菱形就是一个既有平行边又有垂直角的四边形。
菱形的特点使得它在几何学中具有重要的地位。
在接下来的部分中，我们将对菱形的特点进行详细介绍。
第二部分：菱形的性质菱形有许多有趣的性质，以下是其中一些重要的性质：1. 对角线相互垂直且互相平分：菱形的两条对角线相交于菱形的中心，且互相垂直且互相平分。
换句话说，对角线互相相等且相互垂直。
2. 对角相等：菱形的对角线相等，因此菱形的每对相对的角都是相等的，也就是说，菱形有四个相等的角。
3. 外接圆和内切圆：菱形有唯一的外接圆和内切圆。
外接圆的直径就是菱形的对角线，而内切圆的直径是菱形的两条对角线的中线。
4. 邻边互相垂直：菱形的相邻边互相垂直，这是因为菱形的相对角是直角。
5. 临边相等：菱形的相邻边相等，因为菱形的边长都相等。
第三部分：菱形的公式菱形有许多常用的公式，以下是一些常见的菱形公式：1. 菱形的面积：菱形的面积可以通过对角线的长度来计算，公式为：面积=对角线1×对角线2/2。
2. 菱形的周长：菱形的周长可以通过边长来计算，公式为：周长=4×边长。
3. 内切圆和外接圆的半径：菱形的外接圆半径等于对角线的一半，而内切圆半径等于对角线的四分之一。
第四部分：菱形的实际应用菱形在现实生活中有许多应用，以下是一些常见的实际应用：1. 钻石：钻石是一种菱形的宝石，它的形状和菱形非常相似。
2. 场地规划：在场地规划中，菱形的形状经常被用来设计标志性的建筑物或景观。
3. 汽车轮胎：一些汽车轮胎的花纹设计是菱形的，这种设计能够提供更好的抓地力。
4. 工程设计：在建筑和工程设计中，菱形的形状可以用来设计一些特殊的结构和部件。
菱形的性质
菱形的性质菱形是一种特殊的几何图形，具有一些独特的性质和特征。
它的形状酷似菱形的宝石，因此得名为“菱形”。
在这篇文章中，我们将探讨菱形的性质和其它相关内容。
首先，我们来看一下菱形的定义。
菱形是一个拥有四条相等长度的边的四边形，同时四个角也是相等的，并且相邻的两条边之间夹角为90度。
由于具备四个相等的边和四个相等的角度，菱形具有一些非常独特的性质。
对于菱形来说，最基本的性质之一就是它的对角线相互垂直。
对角线是连接菱形的非相邻顶点的线段，它们交于一个点，这个点称为菱形的“中心点”或“交点”。
这个性质对于解决一些菱形相关的问题十分重要。
另一个菱形的性质是对角线的长度相等。
也就是说，菱形的两条对角线的长度是相等的，这可以通过简单的几何推理得出。
这个性质在许多数学问题的解答中起到了重要的作用。
菱形的另一个有意思的性质是其内角和为360度。
这意味着菱形的四个角度加起来等于360度，与正方形和其他四边形不同。
这个性质可以通过将菱形划分成两个等边三角形并逐一计算每个三角形的内角和来证明。
此外，菱形还具有对称性。
具体来说，一条把菱形分成两个相等部分的线称为“对称线”。
菱形具有两条对称线：一条通过相邻顶点且垂直于每一条边，另一条通过对边的中点。
这个性质使得菱形在很多问题的解决中能够以更简洁和简洁的方式表达出来。
从这些性质中，我们可以看出菱形在几何学中扮演着重要的角色。
它的独特性质使得它成为许多问题的解决方案的基础。
此外，菱形的性质也可以延伸到其他领域，例如统计学、物理学和工程学等。
在日常生活中，我们也可以发现许多与菱形相关的事物和概念。
例如，车辆的标志往往以菱形为基础设计，以便在远处更容易识别。
此外，许多图案和装饰品中也使用了菱形的形状，以增加美感和吸引力。
总之，菱形是一种具有独特性质的几何图形。
它的对角线相互垂直，对角线长度相等，内角和为360度，具有对称性等特点。
这些性质使得菱形在几何学和其他领域中发挥了重要的作用。
菱形知识点总结
菱形知识点总结1. 菱形与其特性菱形是几何学中的一个基本形状，具有许多独特的特性。
菱形是一个四边形，其四边相等且对角线相等。
以下是一些关于菱形的重要特性：•四个边相等：菱形的四条边长度相等，这意味着它具有对称性。
•对角线相等：菱形的两条对角线相等，即对角线的长度相等。
•对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直，即形成90度的角。
•对角线平分角：菱形的两条对角线可以平分角，也就是说，每条对角线划分出的角度相等。
2. 菱形的公式菱形是一个多边形，有一些与其相关的重要公式和性质。
以下是几个与菱形相关的公式：•菱形的面积公式：菱形的面积可以使用以下公式计算：面积 = 对角线1长度 × 对角线2长度 × 0.5•菱形的周长公式：菱形的周长可以使用以下公式计算：周长 = 4 × 边长•菱形的对角线长度公式：已知菱形的边长时，可以使用以下公式计算对角线的长度：对角线长度 = 边长× √23. 菱形的应用场景菱形在日常生活和工程领域中有各种应用。
以下是几个常见的应用场景：•计算建筑物屋顶的面积：当屋顶形状是一个平面菱形时，可以使用菱形的面积公式来计算屋顶的面积。
这对建筑师和工程师来说是一个非常有用的计算方法。
•制作钻石和宝石：菱形被广泛用于制作钻石和宝石的形状。
这是因为菱形有一种独特而美丽的外观，非常适合制作珠宝。
•几何学教育：菱形是几何学中的基本形状之一，它常常被用于教育和学习几何学。
通过学习菱形的特性和公式，学生可以更好地理解和应用几何学的概念。
4. 菱形的实例以下是一些常见的菱形实例：*************************这个图案是一个典型的菱形，由星号组成。
可以通过在编程语言中使用循环来创建这样的图案。
5. 总结菱形是一个常见的几何形状，具有许多独特的特性和应用。
了解菱形的特性和相关公式对于解决几何学问题和应用菱形的实际场景非常重要。
通过学习菱形，我们可以更好地理解和应用几何学的概念，同时也能欣赏到菱形的美丽和独特之处。
带你认识菱形
带你认识菱形菱形是一种几何形状，具有特殊的美学和数学特征。
在这篇文章中，我们将带你认识菱形的定义、特点、性质和应用领域。
通过这份简洁而全面的介绍，希望能够增加你对菱形的了解。
一、菱形的定义和特点菱形是由四条边相等的线段组成的四边形，它与正方形很相似，但它的对角线不相等。
菱形的特点包括：1. 四条边相等：菱形的四条边长度相等，这使得它在外观上具有平衡和对称的美感。
2. 相对角相等：菱形的对角线相交于90度，且对角线的长度不相等，但是它们所包含的角度却相等。
这种特性使得菱形具有独特的形状和几何属性。
3. 对边平行：菱形的两对相对边是平行的，这意味着菱形的每一边都有一个平行于它的边。
二、菱形的性质和公式除了上述的基本特点外，菱形还有一些重要的性质和公式。
这些性质和公式可以帮助我们更好地理解和计算菱形的各种属性。
以下是其中几个常用的公式：1. 菱形的对角线长度公式：设菱形的对角线长度分别为d1和d2，则菱形的面积可以通过公式S=（d1*d2）/2来计算。
2. 菱形的周长公式：设菱形的边长为a，则菱形的周长可以通过公式C=4*a来计算。
3. 菱形的内角和公式：菱形的内角和为360度。
三、菱形的应用领域菱形在现实生活中有各种各样的应用。
下面我们将介绍一些常见的应用领域：1. 宝石和珠宝设计：菱形形状的宝石，如钻石，是世界上最受欢迎的珠宝之一。
其独特的形状使得钻石在婚戒和其他首饰中非常受欢迎。
2. 路标和标志：菱形形状的路标和标志在道路、机场和其他场所的导航中起着重要的作用。
它们的明显形状和明亮颜色使得它们在远处也能够被人们轻松地辨认。
3. 科学研究：在科学研究中，菱形形状的结构常常出现在晶体学和几何学中。
菱形的对称性和平衡特点使得它在研究和实验中具有重要的角色。
4. 装饰和设计：菱形形状在室内装饰和设计领域中被广泛应用。
它们可以出现在地板瓷砖、墙纸、织物和饰品等各种装饰元素中，为空间增添美感和平衡。
总结：菱形作为一种特殊的几何形状，拥有独特的美学和数学特征。
菱形知识要点归纳
菱形知识要点归纳菱形是一种几何形状，它具有特殊的性质和特征。
在学习和应用菱形时，有一些重要的知识点需要归纳总结。
以下是关于菱形知识的一些要点：1.定义和性质：-菱形是一个有四个相等边，而且四个角都是直角的四边形。
菱形也叫正方形，因为它的四边相等，而且每个内角都是90度。
-菱形的对角线相互垂直且相等长。
-菱形是一个轴对称图形，它的中心对称轴可以通过连接相对顶点的线段找到。
2.计算菱形的面积和周长：-菱形的面积可以通过一条对角线的长度乘以另一条对角线的长度再除以2来计算。
-菱形的周长可以通过菱形的四条边的长度之和来计算。
3.菱形的分类：-菱形可以根据角度分类。
等边菱形的四个角都是直角，而非等边菱形的四个角不一定是直角。
-菱形也可以根据边长分类。
等边菱形的四条边都相等，而非等边菱形的四条边长度各不相同。
4.菱形的性质：-菱形的内角和为360度。
-菱形的对角线相互垂直且相等长，可以互相平分。
-菱形的对角线分割菱形为四个三角形，这四个三角形两两相等。
5.菱形的应用：-菱形广泛应用于建筑设计和装饰中。
由于它的对称性和美观性，设计师常常选择使用菱形元素来增加建筑物的视觉吸引力。
-菱形还可以用于珠宝设计。
一些宝石和珠宝首饰的形状是菱形，给人一种高贵和优雅的感觉。
-菱形还可以在数学和几何学中用于解决问题和推导其他几何形状的性质。
6.菱形的相关概念：-菱形的特殊情况是正方形。
正方形是一种具有四个相等边和四个直角的菱形。
它是最简单的菱形，也是最常见的菱形。
-菱形也与平行四边形有关。
平行四边形是一种具有相对边相等且对角线不相等的四边形。
平行四边形可以看作是由两个相等的菱形组成。
综上所述，菱形是一种有着特殊性质和特征的几何形状。
了解菱形的定义、性质、计算方法和应用场景对于学习和应用菱形具有重要意义。
通过归纳总结菱形的关键概念和知识点，能够更好地理解和应用这一几何形状。
菱形性质知识点总结
菱形性质知识点总结一、菱形的定义和基本性质菱形是一个四边形，有四条边，四个顶点，且所有的边相等长。
另外，菱形的对角线相互垂直且相等长，这使得菱形具有很多特殊的性质。
首先，菱形的对角线相等长。
设菱形的对角线分别为AC和BD，那么有AC=BD。
这是菱形独有的性质，也是菱形的基本特征之一。
其次，菱形的对角线相互垂直。
设菱形的对角线分别为AC和BD，那么有AC⊥BD。
这也是菱形的一个基本性质，同时也是菱形的特征之一。
第三，菱形的角是直角。
由于菱形的对角线相互垂直，所以菱形的角也是直角。
这是菱形独有的性质，也是菱形的一个重要特征。
以上就是菱形的基本定义和基本性质，这些性质为我们研究菱形提供了基础。
二、菱形的周长和面积菱形的周长是其四条边的长度之和。
由于菱形的四条边相等长，所以菱形的周长等于4倍边长。
设菱形的边长为a，那么菱形的周长为4a。
菱形的面积可以用不同的方法求解，下面我们分别介绍两种方法。
方法一：菱形的面积可以用对角线长度来表示。
设菱形的对角线分别为AC和BD，那么菱形的面积可以表示为S=1/2×AC×BD。
方法二：菱形的面积也可以用边长来表示。
设菱形的边长为a，那么菱形的面积可以表示为S=1/2×d1×d2，其中d1和d2分别为菱形的两条对角线长度。
这两种方法都可以用来求解菱形的面积，根据题目的要求和给定的条件选择合适的方法进行计算。
通过上述内容，我们了解了菱形的周长和面积的计算方法，这对我们在解决数学问题时非常有用。
三、菱形的性质及应用菱形作为一种特殊的四边形，在几何学中具有很多重要的性质和应用。
1.菱形的内角性质菱形的内角性质是菱形重要的性质之一。
由于菱形的对角线相等长，所以菱形的内角也是相等的。
这为我们解决一些几何问题提供了便利。
2.菱形的对称性菱形具有对称性，即菱形沿对角线对称。
这一性质在解决一些几何问题和证明中经常会用到。
3.菱形的面积性质菱形的面积计算方法灵活多样，我们可以根据具体问题和给定条件选择合适的方法进行计算，这为解决实际问题提供了方便。
菱形的数学概念
菱形的数学概念菱形是一个几何概念，它是一个四边形，有两条对角线相等的特点。
在数学中，菱形有很多重要的性质和应用。
接下来我将详细介绍菱形的定义、性质和一些相关的数学应用。
首先，让我们来看看菱形的定义。
菱形是一个四边形，它的四条边的长度相等，且相邻两边之间的夹角是90度。
此外，菱形的两条对角线相等，且平分了彼此的角度。
在一个平面内，菱形可以通过顶点的坐标来确定。
接下来，我们来讨论一些菱形的性质。
首先是菱形的对角线性质。
菱形的两条对角线相等，这意味着菱形可以通过角度和对角线来确定。
另外，菱形的对角线平分了彼此的角度，这意味着菱形的对角线是对称的。
通过这些性质，我们可以推导出菱形的所有边和角度的大小。
除了对角线的性质外，菱形还有许多其他的性质。
其中一个是菱形的内角和为360度。
由于菱形的所有边和角度都是相等的，所以菱形的内角和可以通过如下公式计算：360度= 4 * 90度。
另一个有用的性质是菱形的中心对称。
这意味着如果我们以菱形的中心为原点，通过对称性，可以将菱形上的任意一点映射到对称位置上。
这对于解决一些几何问题和证明几何定理是非常有用的。
除了这些基本性质外，菱形在几何中还有一些重要的应用。
一个典型的例子是菱形的判定问题。
给定四个点的坐标，我们可以通过计算距离和角度来判断它们是否构成一个菱形。
通过应用数学知识和计算技巧，我们可以解决这个问题并得出结论。
另一个重要的应用是菱形的面积计算。
由于菱形有两条相等的对角线，我们可以通过对角线的长度和夹角来计算菱形的面积。
菱形的面积公式可以表示为：面积= 对角线1 * 对角线2 / 2。
此外，菱形还是其他几何概念的基础，如平行四边形和正方形。
通过理解和掌握菱形的性质和应用，我们可以更好地理解和解决这些几何概念。
综上所述，菱形是一个重要的数学概念，在几何中具有许多重要的性质和应用。
通过菱形的定义和性质，我们可以计算菱形的边长、角度和面积，解决判定问题，并应用于其他几何概念中。
证明是菱形的判定定理
证明是菱形的判定定理一、引言在几何学中，菱形是指具有四个相等边长的四边形。
判定一个四边形是否为菱形，一种常用的方法是通过其性质进行证明。
本文将介绍证明一个四边形为菱形的判定定理，并详细阐述其证明过程。
二、几何性质的重要定理在证明一个四边形为菱形的判定定理之前，我们需要了解几个几何性质的重要定理。
2.1、菱形的性质菱形是具有四个相等边长的四边形，因此具有以下性质： - 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直。
- 对角线平分角度：菱形的两条对角线会将其内部的角度平分。
- 对角线相等：菱形的两条对角线相等。
2.2、三角形的性质在判定一个四边形是否为菱形时，我们需要用到三角形的定理，其中有两个较为重要的定理： - 等腰三角形的性质：等腰三角形是指具有两个相等边长的三角形，其中包含以下性质： - 底角相等：等腰三角形的两个底角相等。
- 顶角平分底角：等腰三角形的顶角等于底角的平分角度。
•直角三角形的性质：直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形，其中包含以下性质：–勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
三、证明四边形是菱形的判定定理根据菱形的性质，我们可以得出判定四边形为菱形的定理如下：定理：一个四边形是菱形的充分必要条件是其对边相等并且对角线互相垂直。
证明如下：3.1、充分性证明假设一个四边形ABCD，其中对边AD和BC相等，并且对角线AC和BD互相垂直。
我们需要证明该四边形为菱形，即证明其四条边相等。
根据对边相等的性质，我们可以得知AD=BC。
同时，根据对角线互相垂直的性质，我们可以得知∠ACD和∠BDA互相垂直。
根据三角形性质中等腰三角形的性质，我们可以得知∠ACD=∠BCD，同时∠BDA=∠BDC。
因此，∠ACD=∠BDA。
由于四边形内角和为360度，我们可以得知∠ADB=360°-(∠ACD+∠BDA)=360°-(∠ACD+∠BCD)=∠ADC+∠BCD。
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观察
那么下列图案(或物体)中包含的平行四边 形有什么特点？
它们的邻边也相等.
探究
一组邻边相等的平行四 边形叫做菱形 如图：四边形ABCD是菱形
A
B C D
平行四边形
一组邻边相等
菱形
动脑筋
A
那么菱形具有哪些性质 呢？我们如何进行探究 呢？
B C
D
探究
从定义可知菱形是平行四边形，那么它具有 哪些一般的性质呢？ 菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称 中心O； 菱形的对边相等， 对角相等， 对角线互相平分.
C
F
E
D
小结与复习
1. 菱形的定义是什么呢？
2. 菱形有哪些性质呢？
3. 我们是如何探究菱形的性质呢?
结
束
单位：北京市东直门中学 姓名：杨革华
又由于点O是线段AC的中点，
因此直线DO(也就是直线DB) 是线段AC的垂直平分线.
把菱形ABCD沿直线DB折叠，则 点A与点C重合.
图3-44
从而线段AD与CD重合，线段AB与CB重合. 于是菱形ABCD在直线DB 两旁的部分互相重合， 所以菱形ABCD是轴对称图形， 直线DB是它的一条对称轴. 从而∠ADB=∠CDB， ∠ABD=∠CBD. 从而∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA.
图3-44
动脑筋
菱形是特殊的平行 四边形，还具有哪些特 殊性质呢？
从定义可知: 菱形的四条边都相等.
图3-44
动脑筋
还有其它特殊性质吗？
图3-44
动脑筋
如图3-44，四边形ABCD是菱形，对角线 的交点O. 你能猜测菱形ABCD是轴对称图形吗？ 这个猜测对吗？
图3-44
由于DA=DC，
因此点D在线段AC的垂直平分线上.
图3-44
同理，直线AC也是菱形ABCD的一条对称轴.
因此,菱形的性质还有: 菱形是轴对称图形,两条对角 线所在直线都是它的对称轴. 菱形的对角线互相垂直,并且每 一条对角线平分一组对角.
图3-44
动脑筋
如图3-44，菱形ABCD被它的两条对角线 分成四个直角三角形，它们全等吗？ 你能利用“菱形的两条对角线所在的直线 都是它的对称轴”判断它们全等吗？ 四个直角三角形全等.
D O C
A
B
例2 如图3-45，菱形ABCD的两条对角线AC， BD的长度分别为4cm，3cm，求菱形ABCD 的面积和周长.
图3-45
解 菱形ABCD的面积为 S 1 4 3 6 (cm2). 2 在直角三角形中 OA 1 AC 1 4 2 , 2 2 OB 1 BD 1 3 1.5 2 2 AB2 = OA2+OB2=22+1.52=6.25， 从而 AB = 2.5(cm). 因此，菱形ABCD的周长为 4×2.5=10(cm).
1 AC BD = 2
图3-44
结论
边:四条边都相等;对边平行;
角:对角相等;
菱 形 的 性 质 对角线:互相平分,互相垂直, 每条对角线平分一组对角; 既是中心对称图形,又是轴对称图形.
菱形的面积公式=底×高 =对角线乘积的一半
例1 填一填：
3cm 1. 已知菱形的周长是12cm，那么它的边长______. 2. 如图：菱形ABCD中∠BAD＝60°， 60° 则∠ABD=_______. 3. 菱形的两条对角线长分别为 6cm和8cm，则菱形的边长是_______. 5cm
∵四边形ABCD是菱形∴∠BCA=∠DCA ，
∵BC=2CF，CD=2CE，
G ∴CE=CF ∵CM=CM， F ∴△CEM≌△CFM.（SAS） B M
2
A
1∴ME=Βιβλιοθήκη F.CED
∵AB∥CD，∴∠2=∠G，∠GBF=∠BCD.
G
B M
2
A
1
∵CF=BF,
∴△CDF≌△BGF. （AAS） ∴DF=GF . ∵∠1=∠2, ∠G=∠2 , ∴∠1=∠G. ∴AM=GM=MF+GF=DF+ME.
B
（2）求证：AM=DF+ME.
F M
2
1
A
C
E
D
（1）∵四边形ABCD是菱形 ,
∴CB=CD，AB∥CD ， ∴∠1=∠ACD .
∵∠1=∠2 , ∴∠2=∠ACD.
B
1
∴MC=MD.
∵ME⊥CD ，
F M
2
A
∴CD=2CE=2.
C
∴BC=CD=2.
E
D
证明:(2) 延长DF交AB的延长线于点G，
图3-45
练习
1. 菱形ABCD的两条对角线的交点为O. 已 知 AB=5cm，OB=3cm. 求菱形ABCD的两条 对角线的长度以及它的面积. 答：两条对角线的长分别为6cm， 8cm，面积为24cm2.
2. 如图3-46，四边形ABCD是菱形，边长为2cm， ∠BAD=60°，求菱形ABCD的两条对角线的长 度以及它的面积. 答：两条对角线的长 分别为2cm和 2 3 cm， 面积为 2 3 cm2 .
本课内容 3.2
菱
形
——3.2.1 菱形的性质
动脑筋
我们已经学习了平行四边形的相关知识, 下面我们来复习回顾一下几个概念. 1. 平行四边形的定义是什么？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
动脑筋
2. 平行四边形有哪些性质呢? 边:两组对边分别平行,两组对边分别相等. 角:两组对角分别相等.
对角线:两条对角线互相平分.
图3-44
如果菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长 度已知，那么菱形ABCD的面积S等于多少？ 你能说出上述面积公式成立的道理吗？
S 1 AC BD. 2
图3-44
做一做
因为菱形ABCD的对角线AC⊥BD 所以∠AOD=∠COD=∠COB=∠AOB=90° 因为AC，BD是菱形ABCD的对角线 所以AO=CO，DO=BO 所以S菱形ABCD =S△AOB+ S△AOC + S△DOB + S△AOD
图3-46
中考 试题
例1（2012浙江省嘉兴市 ）如图,已知菱形ABCD 的对角线相交于点O,延长AB至点E,使BE=AB, 连结CE. (1)求证:BD=EC; (2)若∠E=50°,求∠BAO的大小.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， 又∵BE=AB， ∴四边形BECD是平行四边形， ∴BD=EC.
解：（2）∵四边形BECD是平行四边形, ∴BD∥CE, ∴∠ABO＝∠E＝50°. ∵在菱形ABCD中， AC⊥BD,
∴∠BAO＝90°-∠ABO＝40°.
中考 试题
例2 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边 BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M 作ME⊥CD于点E，∠1=∠2.
（1）若CE=1，求BC的长；