三元函数的泰勒定理

陕西省自学考试数学教育专业本科毕业论文
三元函数的泰勒定理
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三元函数的泰勒定理 【内容摘要】
泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用和意义。

一元函数的泰勒公式和二元函数的泰勒公式在一些近似计算中使得精确度更加精确，且能估计出误差多项式，而且泰勒展式的阶数越高精确度就越高。

微分是用一次函数来逼近一般函数，若一次逼近精度不够，就要用高次多项式来逼近一般函数，泰勒公式就是用高次多项式来逼近一般函数的一种方法。

本文将继此介绍并证明三原函数的泰勒公式。

以三元函数的高阶微分、三元凸函数、三元函数的中值定理为工具，去推出并证明三元函数的泰勒公式，并且在此基础上给出三元函数的麦克劳林公式。

在理解泰勒公式的基本形式和内容的基础上通过例题验证本文所涉及的公式及定理。

【关键词】三元函数 泰勒公式 高阶微分公式 凸区域 麦克劳林公式中值定理
【英文内容摘要】 【英文关键词】 正文内容
在叙述有关定理公式之前，先介绍 1、 凸区域的概念：
若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为区域为凸区域。

2、三元函数【注①】的泰勒定理：
若函数(),,u
f
x y z =在()
00,00,p y x z 点的某凸区域【注②】()0,U P δ内
有直到1n +阶连续偏导数，则对()0
,U P δ
内任一点()
,
,
h k l
y
x
z
+++存在相应的()0,1θ∈使得：
()0
,
,
f
h k l y
x
z
+++=
()
()
()
0,
0,
0,
0,
2
0,
0,
11!12!f
h k l f x y z h k l f
x y z y y x x
z
z
y x
z
⎫
∂∂∂⎛+
++⎪
∂∂∂⎝⎭
⎫
∂∂∂⎛+
++⎪
∂∂∂⎝⎭
()3
0,
0,
13!h k l f
x y z y x z
⎫∂∂∂⎛++++⎪
∂∂∂⎝⎭ ()
()()
()
0,
0,
10
1!1
,
,
1!n
n h k l f
n x y z h k l f
h k l
n x
y z y x
z
y
x
z
θθθ+⎫∂∂∂⎛+++⎪
∂∂∂⎝⎭
⎫∂
∂
∂⎛++++++⎪
+∂∂∂⎝⎭①
① 式称为三元函数(),,u
f
x y z =在0P 点的n 阶泰勒公式，
其中记号()0
0,
0,
n
h k l f
x
y z y x
z ⎫
∂∂∂⎛++⎪
∂∂∂⎝⎭理解为算子
()t h
k
l
h k l x
y
z x y z φ⎛⎫
∂∂∂
∂∂∂'=++=++ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭ 连续n 次作用到函数
()0
0,
0,
f
y x
z 得()φθ'=
()
()
0,
0,0
0,0,1
1
n
n
n
n i
i i
j
n i j
j
n i
i
j
n i j
n
i j h k l f
x
y z f c x y z
y x
z
y x
z
c h k l
------==⎫∂
∂
∂⎛
++⎪
∂∂∂⎝⎭∂=
∂∂∂∑∑
在证明三元函数的泰勒定理之前，先给出三元函数的中值定理及其证明
定理：
设三元函数若函数(),,u f x y z =在凸开区域()0
,U P δ3
R ⊂上连续，在U 内任意两点
()()(),,,,,,01P a b c Q a h b k c l U θθ+++∈〈〈存在某使得 ()(),,,,f a h b k c l f a b c +++-=
()()(),,,,,,x y z f a h b k c l h f a h b k c l l f a h b k c l l
θθθθθθθθθ+++++++++++，
证明：作函数
()()
,,t f a th b tk c tl φ=+++
它是定义在[]0,1上的一元函数，由定理中的条件可知
()[]()()0,10,101t φθ
θ〈〈在上连续，在内可微。

于是根据一元函数的拉格朗日中值定理，
存在使得
()()()10φφφθ'-= 由复合函数导法则， ()φθ'=
()()(),,,,,,x y z f a h b k c l h f a h b k c l l f a h b k c l l
θθθθθθθθθ+++++++++++
由于U 为凸区域，所以(),,U a h b k c l θθθ+++∈故由以上两式即可得到定理的结论
泰勒公式的证明：
作函数
()()0
,,t f th tk tl y x z φ=+++
它是定义在[]0,1上的一元函数，由定理中的条件可知
()[]()0,10,1t φ在上连续，在内可微
，即该一元函数()[]0,1t φ在上满
足一元函数的泰勒定理【注③】的条件，于是有，
()()()
()
()
()
()
()
()
()()
1000010,
1!
2!
3!
!
1!01n n n n φφφφ
φ
θφφθ+''''''=+
+
+
++
+
+〈〈 ②
应用复合函数求导法则，可求得()t φ的各阶导数：
()()
,
,
t h
k
l
x
y
z
h k l f
th tk tl
x y z y
x
z
φ∂∂∂'=++∂∂∂⎛⎫
∂∂∂=+++++ ⎪∂∂∂⎝⎭
()()
2
2
2
2
,
,
t h
k
l
x
y
z
h k l f
th tk tl
x
y z y
x
z
φ∂
∂∂''=++∂∂∂⎛⎫∂∂∂=+++++ ⎪∂∂∂⎝⎭
【注释】
【注①】三元函数：设点集3
D R ⊂，三元函数f 是一种对应规则，使得
对3
D R ⊂中每个点(),,P x y z ，有唯一实数（记作(),,f x y z 或()f p ）与之对应，称点D 集为f 的定义域，并称集合()(){},,,,f x y z x y z D R ∈⊂为f 值域，且三元函数可表示为
3
:f D R
R ⊂→3
:f D R
R
⊂→
【注②】凸区域：若区域D 上任意两点的连线都含于D ，则称D 为区域
为凸区域。

华东师范大学数学系主编高等教育出版社2001年6月第三版数学分析下册
【注③】。