抽象函数单调性、奇偶性、周期性和对称性典例分析[1]

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性

一、典例分析

1.求函数值

例1.设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，),()2(x f x f -=+当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.7(f 等于（ ）

（A ）0.5; （B ）-0.5; （C ）1.5; （D ）-1.5.

例2．已知)(x f 是定义在实数集上的函数，且[])(1)(1)2(x f x f x f +=-+，,32)1(+=f 求)1989(f 的值.(1989)f =

。 2、比较函数值大小

例3.若))((R x x f ∈是以2为周期的偶函数，当[]1,0∈x 时，,)(19981x

x f =试比较)1998(f 、)17101(f 、)15104(f 的大小.

3、求函数解析式

例 4.设)(x f 是定义在区间),(+∞-∞上且以2为周期的函数，对Z k ∈，用k I 表示区间),12,12(+-k k 已知当0I x ∈时，.)(2x x f =求)(x f 在k I 上的解析式.

例5．设)(x f 是定义在),(+∞-∞上以2为周期的周期函数，且)(x f 是偶函数，在区间[]3,2上，.

4)3(2)(2+--=x x f 求[]2,1∈x 时，)(x f 的解析式.

4、判断函数奇偶性

例6.已知)(x f 的周期为4，且等式)2()2(x f x f -=+对任意R x ∈均成立，判断函数)(x f 的奇偶性.

5、确定函数图象与x 轴交点的个数

例7.设函数)(x f 对任意实数x 满足)2()2(x f x f -=+，=+)7(x f ,0)0()7(=-f x f 且判断函数)(x f 图象在

区间[]30,30-上与x 轴至少有多少个交点.

6、在数列中的应用

例8.在数列{}n a 中，)2(11,3111≥-+==

--n a a a a n n n ，求数列的通项公式，并计算.1997951a a a a ++++

7、在二项式中的应用

例9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？

8、复数中的应用

例10.（上海市1994年高考题）设)(2

321是虚数单位i i z +-

=，则满足等式,z z n =且大于1的正整数n 中最小的是()

（A ） 3 ； （B ）4 ； （C ）6 ； （D ）7.

9、解“立几”题

例11.ABCD —1111D C B A 是单位长方体，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111 →→D A AA 黑蚁爬行的路线是.1 →→BB AB 它们都遵循如下规则：所爬行的第2+i 段所在

直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中)N i ∈.设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是()

（A ）1； （B ）2；（C ）3 ； （D ）0.

例题与应用

例1：f(x) 是R 上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x ∈[0，2]时f(x)=x ，求f(2007) 的值

例2：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。

例3：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)=－2x+1，则当[]6,4∈x 时求f(x)的解析式

例4：已知f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(x+999)=)

(1x f -

，f(999+x)=f(999－x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.

例5：已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当[]0,2-∈x 时，f(x)是减函数，求证当[]6,4∈x 时f(x)为增函数

例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a ∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a 的值.

例7：已知f(x)是定义在R 上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0，

求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？

例8、 函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象之间（ ）

A ．关于直线x ＝5对称

B ．关于直线x ＝1对称

C ．关于点（5，0）对称

D ．关于点（1，0）对称

例9、 设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。

例10、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x ，则f(7.5)等于（ ）

例11、 设f(x)是定义在R 上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）

A ．偶函数，又是周期函数

B ．偶函数，但不是周期函数

C ．奇函数，又是周期函数

D ．奇函数，但不是周期函数

二、巩固练习

1、函数y ＝f(x)是定义在实数集R 上的函数，那么y ＝－f(x ＋4)与y ＝f(6－x)的图象（ ）。

A ．关于直线x ＝5对称

B ．关于直线x ＝1对称

C ．关于点（5，0）对称

D ．关于点（1，0）对称

2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x ，则f(7.5)=（ ）。

A ．0.5

B ．－0.5

C ．1.5

D ．－1.5

3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）。

A ．偶函数，又是周期函数

B ．偶函数，但不是周期函数

C ．奇函数，又是周期函数

D ．奇函数，但不是周期函数

4、f(x)是定义在R 上的偶函数，图象关于x ＝1对称，证明f(x)是周期函数。

5、在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，

求100x =

抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论