D_八年级数学下册专题19.2.1正比例函数(第1课时)(测)(提升版,含解析)新人教版.doc
19.2.1 正比例函数-2020-2021学年八年级数学下册(人教版)(解析版)
19.2.1正比例函数一、单选题1．下列函数中，哪个是正比例函数 （ ）A ．5x y =-B ．1y x =C ．3y x =-D ．22y x =【答案】A【解析】根据正比例函数的定义判断即可．解：正比例函数的解析式是()0y kx k =≠，只有5x y =-符合正比例函数的解析式的特征． B. 1y x=为反比例函数，不符合题意； C. 3y x =-为一次函数，不符合题意；D. 22y x =为二次函数，不符合题意．故选：A【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟知正比例函数的定义和形式是解题关键．2．下列问题中的y 与x 成正比例关系的是（ ）A ．圆的半径为x ，面积为yB ．某地手机通话套餐的月租为10元，通话收费标准为0.1元/分钟，若某月通话的时间为x 分钟，通话的费用为y 元C ．把10本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入x 本，第二个抽屉放入y 本D ．长方形的一边长为4，另一边长为x ，面积为y【答案】D【解析】【解析】（1）根据圆的周长公式，正比例函数的定义，可得答案；（2）根据月租+通话收费=某月通话的费用，正比例函数的定义，可得答案；（3）根据两个抽屉书的数量和=10，正比例函数的定义，可得答案；（4）根据长方形面积公式，正比例函数的定义，可得答案．解：A 项，y 与x 之间的关系式为，不是正比例关系；B 项，y 与x 之间的关系式为，不是正比例关系； C 项，y 与x 之间的关系式为，不是正比例关系； D 项，y 与x 之间的关系式为，成正比例关系． 故选:D ．【点睛】本题考查了正比例函数，理解题意是解题关键，注意y =kx （k 是常数，且k ≠0）是正比例函数．3．若函数y=（2m+6）x 2+（1﹣m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ）A ．m=﹣3B ．m=1C ．m=3D ．m ＞﹣3 【答案】A 由题意可知：260m +=∴m=-3故选：A4．若某正比例函数过(2,3)-，则关于此函数的叙述不．正确的是（ ）．A ．函数值随自变量x 的增大而增大B ．函数值随自变量x 的增大而减小C ．函数图象关于原点对称D ．函数图象过二、四象限【答案】A 解：设正比例函数解析式(0)y kx k =≠，∴正比例函数过(2,3)-，∴32k -=， ∴32k =-， ∴正比例函数解析式为32y x =-， ∴302k =-<， ∴图象过二、四象限，函数值随自变量x 增大而减小，图象关于原点对称，∴四个选项中，只有A 选项中的不正确，其余三个选项中的结论都是正确的.故选A ．5．若正比例函数y ＝(1－2m)x 的图象经过点A(x 1，y 1)和点B(x 2，y 2)，当x 1＜x 2时，y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＜12D ．m ＞12【答案】D【解析】根据正比例函数的大小变化规律判断k 的符号．解：根据题意，知：y 随x 的增大而减小，则k ＜0，即1-2m ＜0，m ＞12． 故选：D ．【点睛】本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数的大小变化规律判断k 的符号：当k ＞0时，y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小．6．邮购一种图书，每册定价20元，另加书价的5%作邮资，购书x 册，需付款y （元）与x （册）的函数关系式为（ ）A ．205%y x x =+B ．20.5y x =C ．20(15%)y x =+D ．19.95y x =【答案】C【解析】根据题意可得购买一册书需要花费（20+20×5%）元，根据此关系式可得出购书x 册与需付款y （元）与x 的函数解析式．解：由题意得购买一册书需要花费(20+205%)⨯元，∴购买x 册书需花费(20205%)x +⨯元，即(20205%)20(15%)y x x =+⨯=+.故选C.【点睛】本题考查根据题意列方程的知识，要先表示出买一册书的花费，这样问题就迎刃而解了．7．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图象分别为1l ，2l ，3l ，4l ，则下列关系中正确的是（ ）A ．1234k k k k <<<B ．2143k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2134k k k k <<<【答案】B【解析】首先根据直线经过的象限判断k 的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡k 越大）判断k 的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.解：根据直线经过的象限，知20k <，10k <，40k >，30k >，根据直线越陡k 越大，知21k k >，43k k <，所以2143k k k k <<<．故选B ．【点睛】 此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡k 越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．8．如图，平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，2），以O 为圆心，OA 1的长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 1；过点B 1作B 1A 2∥y 轴交直线y ＝2x 于点A 2，以O 为圆心，OA 2长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 2；过点B 2作B 2A 3∥y 轴交直线y ＝2x 于点A 3，以点O 为圆心，OA 3长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 3；…按如此规律进行下去，点B 2021的坐标为（ ）A ．（22021，22021）B ．（22021，22020）C ．（22020，22021）D ．（22022，22021）【答案】B【解析】根据题意可以求得点B 1的坐标，点A 2的坐标，点B 2的坐标，然后即可发现坐标变化的规律，从而可以求得点B 2021的坐标．解：由题意可得，点A 1的坐标为（1，2），设点B 1的坐标为（a ，12a ）， 221()2a a +=2212+，解得，a ＝±2，∴点B 1在第一象限，∴点B 1的坐标为（2，1），同理可得，点A 2的坐标为（2，4），点B 2的坐标为（4，2），点A 3的坐标为（4，8），点B 3的坐标为（8，4），……点A n 的坐标为（2n -1，2n ），点B n 的坐标为（2n ，2n -1），∴点B 2021的坐标为（22021，22020），故选：B ．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征和求点的坐标，解答本题的关键是明确题意，发现题目中坐标的变化规律，求出相应的点的坐标．二、填空题9．若直线y=kx （k≠0）经过点（-2，6），则y 随x 的增大而 ___【答案】减小【解析】将（－2，6）代入函数解析式得6=－2k ，k =－3＜0，∴y 随着x 的增大而减小.故答案为减小.10．在一次函数y=（2﹣k ）x+1中，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围为___．【答案】k ＜2．∴在一次函数y=（2﹣k ）x+1中，y 随x 的增大而增大，∴2﹣k ＞0，解得k ＜2．故答案为：k ＜2．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系．11．正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限，则k ______． 【答案】12k <- 【解析】根据正比例函数经过象限，得到关于k 的不等式，解不等式即可求解．解：∴正比例函数()21y k x =+的图像经过第二、四象限，∴210k +<， 解得12k <-． 故答案为：12k <-【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，在正比例函数中当k>0时，图象经过第一、三象限，当k<0时，图象经过第二、四象限．12．已知y 与x 成正比例，并且x ＝－3时，y ＝6，则y 与x 的函数关系式为________．【答案】2y x =-【解析】设y=kx ,6=-3k ,解得k =-2.所以y =-2x .13．已知函数(2)5y m x =+-，当m ___________时，这个函数为一次函数．【答案】2m ≠-【解析】根据一次函数的定义即可解答．解：当20m +≠，即2m ≠-时，函数(2)5y m x =+-是一次函数， 故答案为：2m ≠-．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y ＝kx ＋b 的定义条件是：k 、b 为常数，k≠0，自变量次数为1． 14．根据下表写出y 与x 之间的函数解析式：写出y 与x 之间的函数解析式是__________，由此判定y 是x 的___________函数？【答案】y=-2x 正比例函数【解析】根据函数经过原点，设函数解析式为y=kx ，将任意一组值代入求出k 即可得到解析式，由此确定函数为正比例函数.由表格知：函数经过点（0,0），∴该函数为正比例函数，设函数解析式为y=kx ，将点（1,-2）代入，得到k=-2，∴函数解析式为y=-2x ，此函数为正比例函数，故答案为：y=-2x ，正比例.【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，判断函数是什么函数.15．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，设直线l 和八个正方形的最上面交点为A ，则直线l 的解析式是_____________.【答案】910y x = 【解析】如图，利用正方形的性质得到(0,3)B ，由于直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则5AOB S ∆=，然后根据三角形面积公式计算出AB 的长，从而可得A 点坐标．再由待定系数法求出直线l 的解析式.解：如图，经过原点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，415AOB S ∆∴=+=，而3OB =，∴1·352AB =， 103AB ∴=， A ∴点坐标为10(3，3)． 设直线l 的解析式为y kx =， ∴1033k =，解得910k =， ∴直线l 的解析式为910y x = 故答案为910y x =． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质和待定系数法求函数解析式．由割补法得5AOB S ∆=求分割点A 的位置是解题关键. 三、解答题16．正比例函数23m y mx -=的图象经过第一、三象限，求m 的值． 【答案】2【解析】根据正比例函数的定义和图象经过象限得到关于m 的方程和m 的取值范围，即可求解．解：∴函数函数23m y mx -=为正比例函数，∴231m -=，∴2m =±，又∴正比例函数的图像经过第一、三象限，∴m ＞0，∴2m =【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质，注意正比例函数是一次函数，自变量次数为1，熟知正比例函数图象与性质是解题关键．17．已知正比例函数图象上一个点A 在x 轴的下侧，y 轴的右侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度，求该正比例函数的表达式．【答案】该正比例函数的表达式为y=﹣2x ．【解析】根据已知条件得到点A 的坐标为（2，﹣4），设正比例函数的表达式为y=kx （k≠0），然后将点（2，﹣4）代入y=kx 中求解即可．∴点A 在x 轴的下侧，y 轴的右侧，距离x 轴4个单位长度，距离y 轴2个单位长度， ∴点A 的坐标为（2，﹣4）．设正比例函数的表达式为y=kx （k≠0），将点（2，﹣4）代入y=kx 中，﹣4=2k ，解得：k=﹣2，∴该正比例函数的表达式为y=﹣2x ．【点睛】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，根据已知条件得到点A 的坐标是解题关键．18．若y+1与2x 成正比例，且当3x =-时，y=1．求y 与x 的函数解析式． 【答案】213y x =-- 【解析】先根据y+1与2x 成正比例，假设函数解析式，再根据已知的一对对应值，求得系数k 即可．设12(0)y kx k +=≠，把3x =-，y=1代入解析式，得112(-3)k +=⨯， 解得13k =-， 故y 与x 的函数解析式是213y x =--． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，注意利用正比例函数的定义设出函数关系式．19．已知正比例函数()y k 2x =-．（1）若y 的值随着x 值的增大而减小，则k 的范围是什么？（2）点()23-，在它的图象上，求这个函数的表达式． （3）在()2的结论下，若x 的取值范围是2x 4-≤≤，求y 的取值范围．【答案】（1）k<2；（2）3y x 2=-；（3）-6≤y≤3 【解析】（1）根据题意可得k -2＜0，故可求解；（2）利用待定系数法即可求解；（3）分别求出x=-2,x=4的函数值，即可写出y 的取值．解：()1y 的值随着x 的值增大而减小，∴ k 20-<，解得2k <.()2将点()23-，代入函数解析式可得()32k 2-=-， 解得12k =， ∴这个函数的表达式为3y x 2=-.()3当x 2=-时，()3y 232=-⨯-=， 当x 4=时，3y 462=-⨯=-， 302-<， ∴ y 随x 的增大而减小，∴ 当2x 4-≤≤时，6y 3-≤≤．【点睛】此题主要考查待定系数法求一次函数解析式，正比例函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质． 20．已知y 2-与x 3+成正比例函数关系，且x 2=-时，y 6=．（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）求当x 3=-时，y 的值；（3）当2y 6-<≤ 时，求x 的取值范围．【答案】（1）y 4x 14=+；（2）y 2=；（3）4x 2-<≤-【解析】（1）根据y 2-与x 1+成正比例关系设出函数的解析式，再把当x 2=-时，y 6=代入函数解析式即可求出k 的值，进而求出y 与x 之间的函数解析式．（2）根据（1）中所求函数解析式，将x 3=-代入其中，求得y 值；（3）利用（1）中所求函数解析式，根据2y 6-<≤，求得x 的取值范围．解：（1）依题意得：设()y 2k x 3-=+． 将x 2=-，y 6=代入：得k 4=所以，()y 24x 3-=+，即y 4x 14=+．（2）由（1）知，y 4x 14=+，∴ 当x 3=-时，()y 43142=⨯-+=，即y 2=； （3）由（1）知，y 4x 14=+，∴ 当2y 6-<≤ 时，24x 146-<+≤，解得，4x 2-<≤-．【点睛】此题考查的是求一次函数解析式，正比例的定义，函数值，函数自变量的取值范围，掌握利用待定系数法求一次函数解析式是解决此题的关键．21．如图，已知正比例函数y=kx 的图象经过点A ，点A 在第四象限，过A 作AH∴x 轴，垂足为H ，点A 的横坐标为4，且∴AOH 的面积为6．（1）求正比例函数的解析式．（2）在x 轴上是否存在一点P ，使∴AOP 的面积为9？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣34x ；（2）存在，P 点坐标为（6，0）或（﹣6，0）． 【解析】（1）先利用三角形面积公式求出AH 得到A 点坐标，然后利用待定系数法求正比例函数解析式；（2）设P （t ，0），利用三角形面积公式得到1||392t ⋅⋅=，然后解关于t 的绝对值方程即可．（1）∴点A 的横坐标为4，且∴AOH的面积为6，∴12•4•AH=6，解得AH=3，∴A（4，﹣3），把A（4，﹣3）代入y=kx得4k=﹣3，解得k=﹣34，∴正比例函数解析式为y=﹣34 x；（2）存在．设P（t，0），∴∴AOP的面积为9，∴12•|t|•3=9，∴t=6或t=﹣6，∴P点坐标为（6，0）或（﹣6，0）．【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式．设正比例函数解析式为y=kx，然后把函数图象上一个已知点的坐标代入求出k即可得到正比例函数解析式．也考查了三角形面积公式．。
人教版初二数学下册19.2.1正比例函数第一课时
19.2.1 正比例函数(第1课时)教学目标1.理解正比例函数的解析式，熟练地求正比例函数的解析式。
2 .通过列举具体实例，弓|进正比例函数的概念，使学生感受数学源于生活，树立学生学好数学的自信心。
教学重点正确理解正比例函数的概念。
教学难点根据已知条件写出正比例函数解析式活动一：情境创设1.2011 年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km. 设列车平均速度为300km/h. 考虑以下问题：( 1)乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时(结果保留小数点后一位)？(2)京沪高铁列车的行程y (单位：km与运行时间t (单位：h)之间有何数量关系？(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h 后，是否已经过了距始发站1100 km 的南京南站？思考下列问题：1. y=300t 中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？2. 自变量与常量按什么运算符号连接起来的？3. (1)与( 2)之间有何联系？( 2)与( 3)呢？活动二：问题再现1. 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式：（1）圆的周长l 随半径r 的变化而变化．（2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m （单位：g）随它的体积V （单位: cm）的变化而变化.（3）每个练习本的厚度为0.5cm, —些练习本摞在一起的总厚度h （单位: cm）随练习本的本数n的变化而变化（4）冷冻一个0° C的物体，使它每分钟下降2° C,物体的温度T（单位：°C）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化.活动三：形成概念1. 如果我们把这个常数记为k，你能用数学式子表达吗？y=kx2. 对这个常数k有何要求呢？为什么？k工03. 请你尝试给这类特殊函数下个定义：形如y=kx（k半0）的函数，叫做正比例函数,其中k 叫比例系数4. 这个函数表达式在形式上一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？形式上是一个一次单项式,单项式系数就是比例系数k 活动四：辨析概念1. 下列式子,哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是,请你指出正比例系数k 的值.22（1）y=-0.1x （2）y=2x2（3）y2=4x4) y=-4x+3 ( 5) y=2(x －x2 )+2x判定一个函数是否是正比例函数，要从化简后来判断！2. 列式表示下列问题中y与x的函数关系，并指出哪些是正比例函数.(1)正方形的边长为xcm周长为ycm..(y=4x是正比例函数)(2)某人一年内的月平均收入为x元，他这年(12个月)的总收入为y元．(y=12x 是正比例函数)(3)一个长方体的长为2cm,宽为1.5cm，高为xcm，体积为ycm3. ( y=3x 是正比例函数)活动五：判定正误下列说法正确的打“，错误的打“x”(1)若y=kx，则y是x的正比例函数()(2)若y=2x2，则y是x的正比例函数()( 3)若y=2(x-1)+2 ，则y 是x 的正比例函数( )(4)若y=2(x-1) ，则y 是x-1 的正比例函数( )活动六：理解概念1. 如果y=(k-1)x ，是y 关于x 的正比例函数，则k 满足.2. 如果y=kxk-1 ，是y 关于x 的正比例函数，则k= __________ .3. 如果y=3x+k-4，是y关于x的正比例函数，贝卩k= __________ .活动七：运用概念1. 已知正比例函数y=kx，当x=3时，y=-15,求k的值.2. 若y 关于x 成正比例函数，当x=4 时，y=-2.(1)求出y 与x 的关系式；(2)当x=6 时，求出对应的函数值y.活动八：课堂小结与作业布置你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？1. 从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积．2. 从外形特征看：(1) 一般情况下y=kx(常数k z 0);( 2)在特定条件下自变量可能不单独是x 了，要注意问题中自变量的变化.3. 从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认为正比例函数1. 下列函数是正比例函数的是( )A. y=2x+1B.y=8+2(x-4)2C.y=2x2D.y=-5 ( x+2)2. 下列问题中的y 与x 成正比例函数关系的是( )A. 圆的半径为x，面积为yB. 某地手机月租为10元，通话收费标准为0.1元/min ,若某月通话时间为xmin ，该月通话费用为y 元C. 把10 本书全部随意放入两个抽屉内，第一个抽屉放入x 本，第二个抽屉放入y 本D. 长方形的一边长为4,另一边为x，面积为y3. 若y=kx+2k-3 是y 关于x 的正比例函数，则k= _______ .4. 若y=(k-2)x 是y 关于x 的正比例函数,则k 满足的条件是__.5. 已知y关于x成正比例函数，当x=3时,y=-9，则y与x的关系式为 _________。
人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数教案
人教版数学八年级下册19.2.1《正比例函数教案一. 教材分析人教版数学八年级下册19.2.1节讲述了正比例函数的概念、性质及其在实际问题中的应用。
本节内容是学生学习函数的基础，对于培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力具有重要意义。
教材通过具体的例子引入正比例函数，使学生能够直观地理解概念，并通过大量的练习题让学生熟练掌握正比例函数的性质和运用。
二. 学情分析学生在八年级上学期已经学习了代数基础知识，对变量、常量、方程等概念有了一定的理解。
但正比例函数作为一种特殊的函数，学生可能对其概念和性质认识不足，需要通过本节课的学习来进一步掌握。
此外，学生可能对于实际问题中如何运用正比例函数解决有一定困难，需要通过实例分析和练习来提高。
三. 教学目标1.了解正比例函数的概念，掌握正比例函数的性质。
2.能够运用正比例函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.正比例函数的概念和性质。
2.正比例函数在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用讲授法、案例分析法、练习法、小组讨论法等教学方法。
通过具体的例子引入正比例函数，让学生在实际问题中感受正比例函数的应用，通过练习题让学生巩固所学知识，通过小组讨论培养学生的团队协作能力和逻辑思维能力。
六. 教学准备1.准备相关的例子和练习题，用于课堂讲解和练习。
2.准备多媒体教学设备，用于展示例子和讲解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正比例函数的概念，如“一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶1小时后，行驶的路程是多少？”让学生思考并回答，引出正比例函数的概念。
2.呈现（10分钟）讲解正比例函数的定义和性质，通过多媒体展示相关的图片和实例，让学生直观地理解正比例函数的概念。
同时，给出正比例函数的一般形式y=kx（k为常数，k≠0），并讲解其性质。
3.操练（10分钟）让学生进行一些有关正比例函数的练习题，巩固所学知识。
八年级数学下册 第十九章 一次函数 19.2 一次函数 19.2.1 正比例函数(第1课时)教案 新
19.2一次函数19.2.1正比例函数第1课时【教学目标】知识与技能:1.理解正比例函数的概念.2.能判断两个变量是否构成正比例关系.3.能根据所给条件写出简单的正比例函数解析式.过程与方法:通过现实生活中的具体事例引入正比例函数,提高学生运用数学知识解决实际问题的能力.情感态度与价值观:培养学生认真、细心、严谨的学习态度和学习习惯,同时渗透热爱大自然和生活的教育.【重点难点】重点:理解正比例函数的概念.能根据所给条件写出简单的正比例函数解析式.难点:理解正比例函数的概念.能根据所给条件写出简单的正比例函数解析式.【教学过程】一、创设情境,导入新课:京沪高速铁路全长1 318 km.设列车平均速度为300 km/h.考虑以下问题:(1)乘京沪高速列车,从始发站北京南站到终点站海虹桥站,约需要多少小时(结果保留小数点后一位)?(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系?(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站1 100 km的南京站?解:(1)1 318÷300≈4.4(h)(2)y=300t(0≤t≤4.4)(3)y=300×2.5=750(km), 这时列车尚未到达距始发站1 100 km的南京站.类似于y=300t这种形式的函数在现实生活中还有很多,这种函数叫正比例函数.什么是正比例函数,这一节课我们就来研究这一问题.二、探究归纳活动1:正比例函数1.问题:下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗?如果是,请写出函数解析式.(1)每支钢笔售价8元,则钢笔售价y(元)与钢笔数量x之间的关系式.(2)落在水中的石子,荡起层层涟漪,圆形的水纹周长l与半径r的关系式.(3)长为16,宽为b的长方形的面积S与b的关系式.答案:(1)y=8x.(2)l=2πr.(3)s=16b.2.思考:上面三个问题列出的解析式中,解析式的右边中的常量与自变量都具有什么特点?答案:解析式的右边都是常量与自变量的积的形式.3.归纳:正比例函数:一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫做比例系数.活动2:例题讲解【例1】当k为何值时,y=(k2+2k)是正比例函数.分析:由正比例函数的定义可得k2-3=1,且k2+2k≠0,求解即可.解:根据题意得k2-3=1①,k2+2k≠0②.由①得k=±2.当k=-2时,k2+2k=0,y不是正比例函数;当k=2时,k2+2k=8,即y=8x是正比例函数,∴当k=2时,函数y=(k2+2k)是正比例函数.总结:正比例函数满足的条件1.符合y=kx(k是常数)的形式.2.比例系数k不为0.3.自变量x的指数为1.【例2】写出下列各题中y与x之间的关系式,并判断y是否为x的正比例函数?(1)汽车以60 km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(时)之间的关系.(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系.(3)一棵树现在高50 cm,每个月长高2 cm,x月后这棵树的高度为y(cm).分析:分析题意,确定函数关系,写出自变量的取值范围,体会实际问题中的正比例函数模型.解:(1)行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系为:y=60x(x≥0),是x的正比例函数.(2)圆的面积y(cm2)与它的半径x(cm)之间的关系为:y=πx2(x>0),不是正比例函数.(3)x月后这棵树的高度y(cm)与x月之间的关系为:y=50+2x(x≥0),不是正比例函数.总结:在实际问题中列正比例函数解析式的方法1.认真审题,找出等量关系,用字母表示问题中的变量.2.根据等量关系,列出函数关系式.3.根据实际问题的实际意义,写出自变量的取值范围.三、交流反思这节课我们学习了正比例函数概念及列出实际问题中的正比例函数的解析式.可从以下五个方面认识正比例函数:1.从语言描述看:函数关系式是常量与自变量的乘积.2.从外形特征看:(1)一般情况下y=kx(常数k≠0).(2)在特定条件下自变量可能不单独是x了,要注意问题中自变量的变化.3.从结果形式看:函数表达式要化简后才能确认为正比例函数.4.从函数关系看:比例系数k一确定,正比例函数就确定;必须知道两个变量x,y的一对对应值即可确定k.5.从方程角度看:如果三个量x,y,k中已知其中两个量,则一定可以求出第三个量.四、检测反馈1.下列函数中,正比例函数是()A.y=2x2B.y=C.y=2x+1D.y=2x2.下列问题中,两个变量成正比例的是()A.正方形的面积与它的边长B.一条边长确定的长方形,其周长与另一边长C.买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量D.从甲地到乙地,所用的时间和速度3.若函数y=(2m+1)x2+(1-2m)x(m为常数)是正比例函数,则m的值为()A.m>B.m=C.m<D.m=-4.如果每盒圆珠笔有12支,售价18元,那么圆珠笔的销售额y(元)与圆珠笔的销售支数x之间的函数关系式是()A.y=xB.y=xC.y=12xD.y=x5.已知y-1与x+1成正比例,且当x=-2时,y=-1.则当x=-1时,y=________.6.在某加油站,加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升6.98元,总价从0元开始随着加油量的变化而变化,则总价y(元)与加油量x(升)的函数关系式是__________________.7.已知y=(m+1)x2-|m|+n+4,当m,n取何值时,y是x的正比例函数?8.已知y与(x-1)成正比例,当x=4时,y=-12.(1)写出y与x之间的函数关系式.(2)当x=-2时,求函数值y.(3)当y=20时,求自变量x的值.9.已知:y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成正比例,当x=1时,y=6,当x=3时,y=8,求y关于x的解析式.五、布置作业教科书第87页练习第1,2题六、板书设计19.2.1正比例函数第1课时一、正比例函数概念二、列正比例函数的解析式三、例题讲解四、板演练习七、教学反思本节课学习了正比例函数概念与列正比例函数的解析式,教师通过引导学生观察实例中列出的正比例函数解析式,分析得出形如y=kx(常量k≠0)的函数,叫做正比例函数,其中k叫比例系数.让学生注意:这个函数解析式在形式上是一个单项式,单项式系数就是比例系数k;比例系数k不为0;自变量x的指数为1;判定一个函数是否是正比例函数,需要化简后再判断!让学生通过练习巩固概念.教师通过列正比例函数的解析式的实例引导学生分析总结得出:在实际问题中列正比例函数解析式的方法:(1)认真审题,找出等量关系,用字母表示问题中的变量.(2)根据等量关系,列出函数关系式.(3)根据实际问题的实际意义,写出自变量的取值范围.。
八年级数学下册19.2.1正比例函数第1课时正比例函数的概念导学案
第十九章 函数.（千克）成 比例， V （单位：cm 3）的变h （单位：cm ）随练习T （单位：℃）随冷冻时间. k 叫做比例π ;(6).y x y ==例3：已知某种小汽车的耗油量是每100km 耗油15 L ．所使用的汽油为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y （元）与行程 x （km ）之间的函数关系式，并指出y 是x 的什么函数；（2）计算该汽车行驶220 km 所需油费是多少？1.(1)若y=(m-2)x 是正比例函数，则m= ；(2)若y=(m-1)x+m 2-1是正比例函数，则m= . 2.已知y 与x 成正比例，当x 等于3时，y 等于-1.则当x=6时，y 的值为.1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（ ） A.圆的面积S 与它的半径rB.行驶速度不变时，行驶路程s 与时间tC.正方形的面积S 与边长aD.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w 与工作时间t 2. 下列说法正确的打“√”，错误的打“×”. （1）若y=kx ，则y 是x 的正比例函数（ ） （2）若y=2x 2，则y 是x 的正比例函数（ ） （3）若y=2(x-1)+2，则y 是x 的正比例函数（ ）（4）若y=(2+k 2)x ，则y 是x 的正比例函数（ ）3.填空（1）如果y=(k-1)x ，是y 关于x 的正比例函数，则k 满足_______.（2）如果y=kx k-1，是y 关于x 的正比例函数，则k=____. （3）如果y=3x+k-4，是y 关于x 的正比例函数，则k=_____. （4）若23(2)my m x -=-是关于x 的正比例函数，m=_____.4.已知y-3与x 成正比例，并且x=4时，y=7，求y 与x 之间的函数关系式.5.有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷每小时的小麦收割机来收割. （1）求收割的面积y （单位：公顷）与收割时间x （单位：时）之间的函数关系式； （2）求收割完这块麦田需用的时间.。
八年级数学下册 19.2.1 正比例函数(第1课时)教案 新人教版(2021学年)
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19.２。
1 正比例函数(第１课时)【教材分析】【教学流程】以上就是本文的全部内容，可以编辑修改。
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初中数学八年级下册 19.2.1 正比例函数课件 (1)
本放在一起的总厚度h（单位cm）随这些练
习本的本数n的变h化=而0变.5化n ；
（4）冷冻一个0℃物体，使它每分下降2℃， 物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单 位：分）的变化而变化。
T=-2t
(1) C=4x
（2）L=2πr
（3）h=0.5n （4）T= -2t 这些函数形式上有什么共同点？自 变量的这些指函数数有都什是么常特数点与？自变量的乘
象限内,
经过点(0, )与点(1, ),y随x的增大
而2、正比例函. 数y=(k+1)x的图像中y随x
的增大而增大，则k的取值范围
是3.正比例函数y=（m－1。）x的图象经过
一、三象限，则m的取值范围是（ ）
正比例函数y= kx (k≠0) 的图象是 经过原点(0,0)和点(1,k)的一条直线。
解析式
-1
-2
-3 -4
y=
3 2
x
-5
当k＞0时直线y=kx经过一,三象限，
x增大时,y的值也增大； y随x的增大而增大
当k＜0时,直线y=kx经过二,四象限，
x增大时,y的值反而减小。y随x的增大而减小
y y = 2x
y=
2 3
x
y
4
4
2
2
0 12 x
-6 -3 0
x
随堂练习
1.函数y=－7x的图象在第
k
(k＜0)
01
x
01
x
k
思考
通过以上学习，画正比例函数图象
有无简便的办法？
y y= kx (k＞0) y= kx y
k
(k＜0)
最新人教版数学八年级下册19.2 一次函数第1课时 正比例函数 课件
得3k＝－2.解得k＝－ .
∴该正比例函数的解析式为
y＝－ x.
(2)存在.
设P(t,0).
∵△AOP的面积为5,
∴
· ·2＝5.
解得t＝5或t＝－5.
∴点P的坐标为(5,0)或(－5,0).
C组
9.数学课上，老师要求同学们画函数y＝|x|的图象，小红联
想绝对值的性质得出y＝x(x≥0)或y＝－x(x≤0)，于是她很
快作出了该函数的图象(如图).请回答：
(1)小红所作的图对吗?如果不对，请你画出正确的函数图象；
(2)根据上述的作图方法，
请画出函数y＝－3|x|的图象.
解:(1)不对.
(＞),
y＝|x|＝x
－( ≤ ),
函数图象如图1所示.
解得k＝－4.
∴k＝－4时,该函数图象经过点(2,2).
【变式3】已知正比例函数y＝(2m＋4)x.
(1)m为何值时，该函数图象经过第一、三象限?
(2)m为何值时，y随x的增大而减小?
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数图象上?
(1)m＞－2
(2)m＜－2
(3)m＝－
A组
1.正比例函数y＝kx(k＞0)的图象大致是( D )
2.函数y＝(m＋1)
A.±1
B.1
是正比例函数，则m的值为( B )
C.－1
D.不存在
3.y＝ x，下列结论正确的是(
D )
A.函数图象必经过点(1，2)
B.函数图象必经过第二、四象限
C.不论x取何值，总有y＞0
D.y随x的增大而增大
八年级数学下册 专题19.2.1 正比例函数(第1课时)(讲)(基础版,含解析) 新人教版
第19章 一次函数19.2.1 正比例函数【教学目标】1.理解正比例函数的概念及其图象的特征2.能够画出正比例函数的图象3.能够判断两个变量是否能够构成正比例函数关系4、能够利用正比例函数解决简单的数学问题【教法指导】 本节课主要学习了正比例函数的图象和性质，会画正比例函数的图象；能根据正比例函数的图象和表达式 y =kx （k ≠0）理解k ＞0和k ＜0时，函数的图象特征与增减性；通过观察图象、归纳总结概括出正比例函数性质的活动，发展数学感知、数学表征、数学概括能力，体会数形结合的思想，发展几何直观．【教学过程】 ☆创设情境☆思考：下列问题中变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是请写出函数解析式。
有哪些共同特征？（1）圆的周长L 随半径r 大小变化而变化；2πl r =(2)铁的密度为7.8g/cm ,铁块的质量m(单位g)随它的体积V(单位cm )变化而变化;V m 8.7=(3)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本撂在一起的总厚度h(单位cm)随这些练习本的本数n 的变化而变化;n h 5.0=(4)冷冻一个0℃物体,使它每分下降2℃,物体的温度T(单位: ℃)随冷冻时间t(单位:分)的变化而变化。
t T 2-=☆合作交流☆观察：在2πl r =、V m 8.7=、n h 5.0=、t T 2-=中，（1）以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？（2）认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？探究：1.如果我们把这个常数记为k ，你能用数学式子表达吗？y=kx2.对这个常数k 有何要求呢？为什么？k ≠03.请你尝试给这类特殊函数下个定义：形如 y=kx(k ≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k 叫比例系数4.这个函数表达式在形式上一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？形式上是一个一次单项式，单项式系数就是比例系数k画出正比例函数 y=x 、y =2x 的图象.画正比例函数y=-x 和y=-2x 的图象.总结性质1.正比例函数的图象都是经过___原点____的直线，那么你画正比例函数有什么简便方法？为什么？你一般选取哪些点画它的图象呢？选两点坐标就可以，一般选（0,0）和（1，k ）2.在画函数图象时，使函数图象位置发生变化的量是x 、y 、k 中的哪个量？k3.这个量是如何影响正比例函数函数值的变化？又是如何影响正比例函数图象的呢？请你分情况具体说一说.（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大，直线经过一、三象限，从左到右是上升的；（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小，直线经过二、四象限，从左到右是下降的.4.为什么k>0时，图象会经过一、三象限？而k<0时，图象却经过二、四象限？（1）当k>0时，x 为正数，y 也是正数，故在第一象限；x=0,y=0,故经过原点；x 为负数，y 也是负数，故在第三象限；所以，k>0时，图象经过一、三象限．（2）反之，k<0时，图象经过二、四象限．5.当正比例函数图象经过一、三象限时，你能获得哪些信息？经过二、四象限呢？（1）当图象经过一、三象限时，k>0，y 随x 的增大而增大，图象从左到右是上升的．（2）当图象经过二、四象限时，k<0，y 随x 的增大而减小，图象从左到右是下降的．6.你还发现哪些性质？（1）当图象经过一、三象限时，直线与x 轴正方向的夹角越大，k 值就越大;（2）当图象经过二、四象限时，直线与x 轴负方向的夹角越大，k 值就越小.☆尝试应用☆下列式子，哪些表示y 是x 的正比例函数？如果是，请你指出正比例系数k 的值．（1）y=-0.1x （2）2x y （3）y=2x ² （4）y ²=4x（5）y=-4x+3 （6）y=2(x －1）+2【答案】见解析☆成果展示☆（1）如果y=1k kx ，是y 关于x 的正比例函数，则k=__________，y 随x 的增大而_______（2）.如果y=3x+k-4，是y 关于x 的正比例函数，则k=_________，图象经过第___________象限【答案】（1）2，增大；（2）4，一、三【解析】（1）由题意，可得k-1=1，解得k=2，所以y 随x 的增大而增大；（2）由题意，可得k-4=0，解得k=4，图象经过第一、三象限.☆名师点睛☆你如何理解正比例函数的意义？能从哪几个方面去认识正比例函数？（1）.从语言描述看：函数关系式是常量与自变量的乘积．（2）.从外形特征看：一般情况下y=kx(常数k ≠0)；在特定条件下自变量可能不单独是x 了，要注意问题中自变量的变化.（3）.从结果形式看：函数表达式要化简后才能确认为正比例函数（4）从函数关系看：比例系数k 一确定，正比例函数就确定；必须知道两个变量x 、y 的一对对应值即可确定k ．（5）.从方程角度看：如果三个量x 、y 、k 中已知其中两个量，则一定可以求出第三个量．2.从数看：若正比例函数y=kx(k ≠0)，k 对函数值得变化又有何影响呢？对函数图象有何影响呢？（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大，直线经过一、三象限，从左到右是上升的；（2）当k<0时，y 随x 的增大而减小，直线经过二、四象限，从左到右是下降的.3.从形看：若正比例函数y=kx(k ≠0)的图象经过一、三象限，那么你可以得出什么信息？反之，若经过二、四象限呢？（1）当图象经过一、三象限时，k>0，y 随x 的增大而增大，图象从左到右是上升的．（2）当图象经过二、四象限时，k<0，y 随x 的增大而减小，图象从左到右是下降的．☆课堂提高☆1．若函数y=是正比例函数，则常数m 的值是（ ）A ．﹣B ．±C ．士3D ．﹣3【答案】根据正比例函数y=kx 的定义条件是：k 为常数且k≠0，自变量次数为1，可得答案．【解析】由正比例函数的定义可得：m 2﹣8=1，且3﹣m≠0．解得m=﹣3．故选：D．2.如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③y=cx，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】B．【解析】∵y=ax，y=bx，y=cx的图象都在第一三象限，∴a＞0，b＞0，c＞0，∵直线越陡，则|k|越大，∴c＞b＞a，故选：B．3.设正比例函数y=mx的图象经过点A（m，4），且y的值随x值的增大而减小，则m=（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】B4.已知正比例函数y=（m﹣1）x的图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2，那么m 的取值范围是（）A．m＜1 B．m＞1 C．m＜2 D．m＞0【答案】A．【解析】根据题意，知：y随x的增大而减小，则m﹣1＜0，即m＜1．故选A．5．已知正比例函数y=（m﹣1）x的函数图象有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，有y1＞y2．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，画出该函数图象．【答案】（1）m＜1；（2）y=﹣x．（2）∵m＜1，∴m取最大整数0，所以解析式为y=﹣x，图象如图所示：。
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第 19章一次函数
19.2.1正比例函数
（时间： 25 分，满分60 分）
班级姓名得分
1．（ 5 分） y 与 x 成正比，当x=2 时， y=8，那么当A． 4 B ．﹣4C ．3 D ．﹣3
【答案】 A．
【解析】
设 y=kx ，当 x=2 时， y=8，
则 8=2k，
解得， k=4．
∴函数解析式为y=4x ，
把 y=16 代入可得： 16=4x ，
解得： x=4，
故选： A．
2．（ 5 分）下列问题中，两个变量成正比例关系的是（A．等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高y=16 时， x 为（
）
）
B．等边三角形的面积与它的边长
C．长方形的长确定，它的周长与宽
D．长方形的长确定，它的面积与宽
【答案】 D．
3．（ 5 分）已知函数y （）m 1 x m2 3 是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）
A.2
B.-2
C. ±2
1 D.
2
【答案】 B.
【解析】
∵函数 y （）m 1 x m23是正比例函数，且图象在第二、四象限内，
2
∴m-3=1 ，m+1＜ 0，
解得： m=±2，
则 m的值是 -2.
故选 B.
4．如图，点 A 的坐标为（ -2 ， 0），点 B 在直线 y=x 上运动，当线段AB最短时，点 B 的坐标为（）
A.（2
，﹣
2 2 2
【答案】 D．）B.（﹣
2
，﹣
2
2 2
） C. （0，0） D.（-1 ，-1 ）
5．（ 5 分）已知正比例函数y=（5m﹣3） x，如果 y 随着 x 的增大而减小，那么m的取值范围为．【答案】 m＜
【解析】当5m﹣3＜ 0 时， y 随着 x 的增大而减小，
解得 m＜．
故答案为m＜．
6．（ 5 分）若点P（ 1， n）， Q（ 3，n+6）在正比例函数y=kx 的图象上，则k=．
【答案】 3．
【解析】解：将点P（ 1，n）， Q（3， n+6）代入 y=kx 得：
解得： k=3，
故答案为： 3．
7．（ 5 分）如图，△ OPQ 是边长为 2 的等边三角形，若正比例函数的图象过点P，则它的解析式是．
【答案】 y=x．
【解析】过点 P 作 PD⊥x轴于点 D，
∵△ OPQ是边长为 2 的等边三角形，
∴OD= OQ= ×2=1，
在Rt△OPD中，
∵OP=2， OD=1，
∴PD= = =，
∴P（ 1，），
y=kx （k≠0），
设直线 OP的解析式
为
∴=k，
∴直线 OP的解析式为y=x．
故答案为： y=x．
8．（ 10 分）已知 y﹣4与 x+3 成正比例，当x=2 时， y=19；求 y 关于 x 的函数解析式．【答案】 y=3x+13．
【解析】∵ y﹣4与 x+3 成正比例，
∴y﹣4=k（ x+3），
把 x=2 时， y=19 代入得， 19﹣4=k（ 2+3），解得 k=3，
∴y关于 x 的函数关系式为 y﹣4=3（ x+3），即 y=3x+13．
9.（ 15 分）已知正比例函数 y=kx 图象经过点（ 3，﹣ 6），求：
（ 1）求这个函数解析式．
（ 2）画出这个函数图象．
（ 3）判断点 A（4，﹣ 2）、点 B（﹣ 1.5 ， 3）是否在这个函数图象上．
（ 4）图象上的两点 C（ x1， y1）、 D（ x2， y2），如果 x1＞ x2，比较 y1、 y2的大小．
【答案】（ 1）y=﹣2x；
（2）见解析；
（3）点 A 不在函数图象上，点 B 在函数图象上；
（4） y1＜ y2．
【解答】（ 1）将点（ 3，﹣ 6）代入 y=kx 得，﹣ 6=3k，
解得， k=﹣2，
函数解析式为y=﹣2x；
（2）如图：函数过（ 0， 0），（ 1，﹣ 2）．
（3）将点 A（ 4 ，﹣ 2）、点 B（﹣ 1.5 ， 3）分别代入解析式得，﹣ 2≠﹣ 2×4；3=﹣2×（﹣ 1.5 ）；故点 A 不在函数图象上，点 B 在函数图象上．
（ 4）由于 k=﹣2＜ 0，故 y 随 x 的增大而减小，可得y1＜y2．。