2020届高三数学之函数与导数(文理通用)二次求导函数处理(二阶导数)(原卷版)
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2、而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题.若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文试以全国高考试题为例，说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。
(1)求 ；
(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ．
(三)利用二次求导求函数的单调性
例3【2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题】设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）设当 时， ，求 的取值范围．
【变式训练1】已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数），曲线
在点 处的切线与 轴平行．
（Ⅰ）求 的值；
（III）过点 作函数 图像的切线，求切线方程．
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）设 ，其中 是 的导数．
【变式训练2】【华中师大附中2017级高三上期中考试，21题】
（1）已知 ，证明：当 时， ；
（2）证明：当 时， 有最小值，记 最小值为 ，求 的值域.
四、迁移应用
1.【2017河北衡水中学一调】已知 存在 ，使得 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
8.已知三次函数 的最高次项系数为a，三个零点分别为 .
⑴若方程 有两个相等的实根，求a的值；
⑵若函数 在区间 内单调递减，求a的取值范围.
9.对于三次函数 ．
定义：（1）设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ， 则称点 为函数 的“拐点”；
定义：（2）设 为常数，若定义在 上的函数 对于定义域内的一切实数 ，都有 成立，则函数 的图象关于点 对称．
3、解决这类题的常规解题步骤为：
①求函数的定义域；
②求函数的导数 ，无法判断导函数正负；
③构造求 ，求 ；
④列出 的变化关系表；
⑤根据列表解答问题。
二、经验分享
方法
二次求导
使用情景
对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至根本解不出.
解题步骤
设 ，再求 ，求出 的解，即得到 函数 的单调性，得到函数 的最值，即可得到 的正 负情况，即可得到函数 的单调性.
三、题型ห้องสมุดไป่ตู้析
(一)利用二次求导求函数的极值或参数的范围
例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）
已知关于 的不等式 在 上恒成立，则整数 的最小值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式训练1】若不等式 对任意的 都恒成立，则整数 的最大值为（）
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围．
(二)利用二次求导证明不等式
例2.【全国卷Ⅰ第20题】已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）证明： .
【变式训练1】已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）证明：当 ，且 时， ．
【变式训练2】已知函数 ，且 ．
专题03二次求导函数处理（二阶导数）
1、考情分析
1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.
7.设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
（1）若x=0是F(x)的极值点,求a的值；
（2）当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1≥0,x2≥0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；
（3）若x≥>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．
A．3B．4
C．5D．6
【变式训练2】【2019浙江22】已知实数 ，设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数）
【变式训练3】【浙江省温州市2019—2020学年11月高三一模数学，21题】
已知实数 ，设函数 ．（ 为自然对数的底数）
2.已知函数 ，则 =（）
A. 0 B. 1 C. D.
3.已知函数 ,若 ，其中 ，则 的取值范围
4.设a∈R，函数 （ ），其中 是自然对数的底数．
（Ⅰ）判断函数 在R上的单调性；
（Ⅱ）当 时，求函数 在[1，2]上的最小值．
4.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，若对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
己知 ，请回答下列问题：
（1）求函数 的“拐点” 的坐标
（2） 检验函数 的图象是否关于“拐点” 对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数 ，使得它的“拐点”是 （不要过程）
10.已知函数 ．
（I）求函数 的单调递减区间；
（II）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
5.已知函数 ，其中ｅ是自然数的底数， 。
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 在［－１，１］上是单调增函数，求 的取值范围；
（3）当 时，求整数ｋ的所有值，使方程 在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
6.已知函数
（1）设曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值
（2）若对任意实数 恒成立，确定实数 的取值范围
（3）当 时，是否存在实数 ，使曲线C： 在点 处的切线与 轴垂直？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由
(1)求 ；
(2)证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ．
(三)利用二次求导求函数的单调性
例3【2010年高考数学全国卷Ⅱ（22）小题】设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）设当 时， ，求 的取值范围．
【变式训练1】已知函数 （ 为常数， 是自然对数的底数），曲线
在点 处的切线与 轴平行．
（Ⅰ）求 的值；
（III）过点 作函数 图像的切线，求切线方程．
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）设 ，其中 是 的导数．
【变式训练2】【华中师大附中2017级高三上期中考试，21题】
（1）已知 ，证明：当 时， ；
（2）证明：当 时， 有最小值，记 最小值为 ，求 的值域.
四、迁移应用
1.【2017河北衡水中学一调】已知 存在 ，使得 ，则 的取值范围为（）
A． B． C． D．
8.已知三次函数 的最高次项系数为a，三个零点分别为 .
⑴若方程 有两个相等的实根，求a的值；
⑵若函数 在区间 内单调递减，求a的取值范围.
9.对于三次函数 ．
定义：（1）设 是函数 的导数 的导数，若方程 有实数解 ， 则称点 为函数 的“拐点”；
定义：（2）设 为常数，若定义在 上的函数 对于定义域内的一切实数 ，都有 成立，则函数 的图象关于点 对称．
3、解决这类题的常规解题步骤为：
①求函数的定义域；
②求函数的导数 ，无法判断导函数正负；
③构造求 ，求 ；
④列出 的变化关系表；
⑤根据列表解答问题。
二、经验分享
方法
二次求导
使用情景
对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至根本解不出.
解题步骤
设 ，再求 ，求出 的解，即得到 函数 的单调性，得到函数 的最值，即可得到 的正 负情况，即可得到函数 的单调性.
三、题型ห้องสมุดไป่ตู้析
(一)利用二次求导求函数的极值或参数的范围
例1.【2020届西南名校联盟高考适应月考卷一，12】（最小整数问题-导数的单调性和恒成立的转化）
已知关于 的不等式 在 上恒成立，则整数 的最小值为（）
A.1 B.2 C.3 D.4
【变式训练1】若不等式 对任意的 都恒成立，则整数 的最大值为（）
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，若对任意的 ，均有 ，求 的取值范围．
(二)利用二次求导证明不等式
例2.【全国卷Ⅰ第20题】已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）证明： .
【变式训练1】已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值；
（Ⅱ）证明：当 ，且 时， ．
【变式训练2】已知函数 ，且 ．
专题03二次求导函数处理（二阶导数）
1、考情分析
1、在历年全国高考数学试题中，函数与导数部分是高考重点考查的内容，并且在六道解答题中必有一题是导数题。利用导数求解函数的单调性、极值和最值等问题是高考考查导数问题的主要内容和形式，并多以压轴题的形式出现.常常考查运算求解能力、概括抽象能力、推理论证能力和函数与方程、化归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想的渗透和综合运用，难度较大.
7.设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
（1）若x=0是F(x)的极值点,求a的值；
（2）当a=1时,设P(x1,f(x1)),Q(x2,g(x2))(x1≥0,x2≥0),且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；
（3）若x≥>0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．
A．3B．4
C．5D．6
【变式训练2】【2019浙江22】已知实数 ，设函数
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）对任意 均有 求 的取值范围.（e=2.71828…为自然对数的底数）
【变式训练3】【浙江省温州市2019—2020学年11月高三一模数学，21题】
已知实数 ，设函数 ．（ 为自然对数的底数）
2.已知函数 ，则 =（）
A. 0 B. 1 C. D.
3.已知函数 ,若 ，其中 ，则 的取值范围
4.设a∈R，函数 （ ），其中 是自然对数的底数．
（Ⅰ）判断函数 在R上的单调性；
（Ⅱ）当 时，求函数 在[1，2]上的最小值．
4.已知函数 ．
（Ⅰ）求函数 的单调区间；
（Ⅱ）设 ，若对任意 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
己知 ，请回答下列问题：
（1）求函数 的“拐点” 的坐标
（2） 检验函数 的图象是否关于“拐点” 对称，对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）
（3）写出一个三次函数 ，使得它的“拐点”是 （不要过程）
10.已知函数 ．
（I）求函数 的单调递减区间；
（II）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
5.已知函数 ，其中ｅ是自然数的底数， 。
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若 在［－１，１］上是单调增函数，求 的取值范围；
（3）当 时，求整数ｋ的所有值，使方程 在［ｋ，ｋ＋１］上有解。
6.已知函数
（1）设曲线 在 处的切线与直线 垂直，求 的值
（2）若对任意实数 恒成立，确定实数 的取值范围
（3）当 时，是否存在实数 ，使曲线C： 在点 处的切线与 轴垂直？若存在，求出 的值，若不存在，说明理由