清华大学计算固体力学第八次课件 单元技术

2 单元性能
在其它状态下，单纯 单元也显示出刚性行为， 如梁弯曲。刚性行为是收 敛的，对于粗糙的网格表 现出很差的精度。 尽管刚性行为不像自 锁那么有害，还是不受欢 迎的，它的出现意味着必 须采用非常细划的网格才 能获得合理的精度。
2 单元性能
线性单元CPS4和C3D8的挠度值远远低于理论值，其结果不可 用。粗糙的网格使结果精度降低。即使8×24的网格，精度只有 56％。线性完全积分单元在厚度方向采用单元多少差别不大。 其原因是剪力自锁，剪力自锁使单元弯曲时太硬。
压力场的稳定性性质与LBB条件有关， L代表Ladezhvanskaya(1968)。这个 条件对于假设应力和应变场强制了 严格的约束。关于这一理论可以在 Bathe(1996)中读到。
2 单元性能
四边形最快的计算形式是不完全积分，一点积分单 元：它通常比选择减缩积分四边形单元的速度快3到4倍。 在三维中，速度提高6～8个数量级。
2 单元性能
最简单的二维单元是3节点三角形，在三维中是4节点四面 体。他们是单纯单元，单纯指在n维中是一组n+1个节点。对于 不可压缩材料，这两种单元表现很差。 在平面应变问题中，三角形单元表现为严重的自锁。注意： 体积自锁不发生在平面应力问题中，对于平面应力，可以改变 单元的厚度以适应不可压缩材料。 对于不可压缩和接近于不可压缩材料，四面体单元自锁。
2 单元性能
当应用4节点四边形和8节点六面体单元模拟弯曲构件时， 在厚度方向至少应采用4个单元。当只有1个线性减缩积分单元 时，所有的积分点都位于中性轴上，从而该模型不能承受弯曲 载荷(见表中的*号项)。
2 单元性能
4节点四边形和8节点六面体单元的不完全积分、选择减缩积分 和多场形式都被一个主要的缺陷困扰着：在压力场下，它们表现出 空间的不稳定性－LBB条件。压力常常是振荡的，在压力下的振荡 图形是已知的棋盘模式。棋盘模式有时是无害的：如Mises弹塑性 定律控制的材料，其应变率是独立于压力的，若发生弹性应变的误 差，压力振荡几乎是无害的。尽管如此，它仍然是不受欢迎的。 通过过滤或者借助粘性，可以避免棋盘模式。使用者必须意识 到这些单元出现棋盘模式的可能性。对于基于多场变分原理的绝大 多数单元，在应力中发生振荡是可能的。
升阶谱单元，属于P单元，由常规的位移协调元逐渐增加附加 自由度，以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式为基底函数。
1 引言
分片试验（patch test）
对于一个单元理论的可靠性和它的程序的正确性，重要的是试 验。分片试验可以用于检验单元是否收敛、是否避免了自锁和是否 稳定。有各种形式的分片试验，可以应用于静态和显式问题。 将展示单元的正确的秩和亏损的秩的概念。 为了说明单元技术，以4节点等参四边形单元（Q4）为例。对 于没有任何修正的可压缩材料，这种单元是收敛的。但是，对于 不可压缩和接近不可压缩的材料，这种单元自锁。
许多关于混合法的文章似乎给予这样的印象，对于单一场单 元，混合单元是具有先天优势的，但是，对于这一说法尚无令人 信服的证据。而可参考的证据是在没有约束的情况下，混合单元 的收敛速度绝不可能超过相应的单一场单元的收敛速度。因此， 应用混合单元能够实现的唯一目标是避免自锁，并改善所选择某 种类型问题的行为，诸如梁弯曲。
2 单元性能
三角形和四面体单元的位移场是线性的，位移场和速度场的 梯度是常数。四边形和六面体单元的位移场分别是双线性和三线 性的，并且应变是常数和线性项的组合；应变不是完全线性的。 所有这些单元都可以精确地复制一个线性位移场和一个常数应变 场。因此，它们满足标准分片试验。 在二维问题中，最 经常应用的低阶单元是 3节点三角形和4节点四 边形。 在三维单元中，是 4节点四面体和8节点六 面体单元。
一点积分单元也遭受压力振荡，另外在位移场中出 现不稳定性。这些不稳定性有各种名称：沙漏、梯形、 运动模式、伪零能量模式和铁丝网等。这些模式可以十 分有效地得到控制，收敛率没有降低，所以，对于许多 大型计算，带有沙漏控制的一点积分是非常有效的。
2 单元性能
沙漏模式
线性的减缩积分单元由于存在来自本身的所谓沙漏 (hourglassing)数值问题而过于柔软。 例如受弯矩 M 的减缩积分线性单元的变形，单元中虚线的长度 没有改变，它们之间的夹角也没有改变，这意味着在单元单个积 分点上的所有应力分量均为零。由于单元变形没有产生应变能， 这种弯曲的变形模式是一个零能量模式。由于单元在此模式下没 有刚度，所以单元不能抵抗这种形式的变形。在粗糙的网格中， 这种零能量模式会在网格中扩展，从而产生无意义的结果。
2 单元性能
沙漏模式
在ABAQUS中，对减缩积分单元引入少量的人工“沙漏刚度” 以限制沙漏模式的扩展。当模型中应用更多的单元时，这种“刚 度”限制沙漏模式是更有效的。这说明只要采用合理的精细网格， 线性减缩积分单元会给出可接受的结果，所产生的误差是在一个 可接受的范围内。
当应用这类单元模拟弯曲构件时，在厚度方向至少应采用4 个单元。当只有1个线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于 中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷(见表4-2中的*号项)。
1 2
多场单元是基于多场弱形式或者变分原理；即混合单元和杂交单元。 除了位移，还要考虑变量诸如应力或应变作为非独立变量，并且是位移 的独立插值，所设计的应变或者应力场能够避免体积自锁。附加的变量 事实上是Lagrange乘子，它们能够约束诸如不可压缩，以便于更有效地 解决问题。
1 引言
在某些情况下，对于梁弯曲或者其它特殊问题，需要设计 应 变或者应力场取得更好的精度。混合单元可以改善单元的能力， 仅适用于约束介质或者特殊类型的问题。当没有约束时，混合法 不能改善一个单元的一般性能。
2 单元性能
对于完全不可压缩或接近不可压缩的材料，运动是等体积的
J=1
vi DJ J Jdivv J Dt xi
0
内部节点力的完全积分可能引起单元的自锁性材料，如果分解 线性弹性应变能为静水和偏量部分，可以写为
W int 1 2 dev dev e K u i , i 2 ij ij d 2
dev ij ij hyd ij

dev ij
ij
hyd
ij
hyd kk p
1 3
局部减缩积分包含在偏斜功率上的完全积分和在膨胀功率上的 减缩积分。对于一个4节点四边形单元内力的局部减缩积分表达式为
f
int T iI
f Iint J 0N I , i 0 p0 wQ J ξ Q N I , j ξ Q dev ξ Q i ji
纯 弯 曲 时 ， σ22=0 , σ12=0，而 这里σ12 不为零，引 起伪剪应力的原因 是线性单元的边不 能弯曲，应变能引 起剪切变形，而不 是弯曲变形。 二次单元没有剪切自 锁问题，其边界会弯曲。
2 单元性能
4节点四边形和8节点六面体分别比3节点三角形和四面体更为精 确。当完全积分时，对于四边形为22积分，六面体为222积分。 对于不可压缩材料，这些单元也发生自锁，在梁弯曲中它们趋向于 刚性行为。 在这些单元中，通过减缩积分可以避免体积自锁，即每个方向 少用一个积分点，或者采用选择减缩积分，在体积项上采用一点积 分，在偏量项上采用完全积分。
1 引言
将描述某些主要的多场弱形式和他们在单元发展中的应用。 第一个多场变分原理是Hellinger-Reissner的应力和位移的二 场变分原理，因为它不容易应用于由应变控制的本构方程中， 所以没有考虑它。
在各种形式的应力、应变度量和位移三场弱形式上，它们 与Hu-Washizu变分原理有关，在弱形式中，应力、应变度量和 位移是依赖于变量的，即未知场，将给出完全的Lagrangian形 式和变分原理的扩展。
1 引言
本章首先描述了在模拟连续体中广泛应用的许多单元的特性， 仅限于那些基于二阶或者低于二阶的多项式表示的单元，因为在 非线性分析中目前很少应用高阶单元。 定义了若干术语，诸如一致性、多项式完备性和再造条件。 对于在线性问题中的各种单元，给出了收敛率。对于非线性问题， 基于结果的光滑性以检验这些结果的内涵。 忽略了升阶谱单元和P单元，它们在非线性分析中极少应用。 P单元（Polynomial），增加单元基底函数的阶次，改善计算 精度，如多项式插值函数。
计算固体力学
非线性有限元
第8章 单元技术
第8章 单元技术
1
2 3
4
5
6
7
引言 单元性能 单元性质和分片试验 Q4和体积自锁 多场弱形式和单元 多场四边形－剪切自锁 一点积分单元－沙漏
面对问题，如何选择单元？
各种单元有什么特点？
如何应用？
1 引言
发展单元技术是使单元具有更好的性能，如大规模计算和不 可压缩材料。 当应用于不可压缩材料的计算时，低阶单元趋向于体积自锁。 在体积自锁中，通过大的因数不能预测位移：相对于其它合理的 网格，一个过小量级的位移导致不寻常的结果。 尽管在线性应力分析中很少是不可压缩材料，而在非线性中， 许多材料行为是接近于不可压缩的性质。例如：橡胶、肌肉细胞 是不可压缩的；Mises弹-塑性材料的塑性行为是不可压缩的，任 何体积自锁的单元均不能很好地计算Mises材料。 在非线性有限元中，有效地处理不可压缩材料的能力是非常 重要的。然而，当应用于不可压缩或者接近于不可压缩材料时， 大多数单元具有一定的弱点。选择单元时，掌握这些弱点以及对 它们的补救措施是至关重要的。
1 引言
对于大规模计算，应用不完全积分以加快单元计算。对于三维问题， 将不完全与完全积分比较，产生了计算成本减少8阶的效果。然而，不 完全积分需要单元的稳定性。在大规模计算中它是普遍存在的。从理论 上它是有根据的并且能够结合多场的概念以获得高精度的单元。 为了消除体积自锁，可以采用两种方法： 多场单元，这里压力或者应力和应变场都可以作为非独立的变量。 减缩积分程序，这里弱形式的某些项是采用不完全积分。