数学物理方程绪论

y = (C1 + C 2 x )e mx
Î
m1 = m 2 = m Î
m1 , 2 = α ± β i
y = e α x (C1 cos β x + C 2 sin β x )
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例1 一维谐振子 求解辅助方程
d u 2 + ω u( t ) = 0 2 dt
m +ω = 0
2 2
2
O
m1 , 2 = ± iω
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a 2 = −2a0 = 2
1 a 3 = − a1 = 0 2
Î
( k + 2)( k + 1)a k + 2 − ( k 2 − 4)a k = 0
ak + 2 k−2 = ak k +1
a k = 0, ( k = 3,4, L )
Î2阶切比雪夫多项式 初始条件:
y( x ) = 2 x 2 − 1
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抛射体的数学模型
⎧ x = v 0 cos α × t 参数方程 ⎪ ⎨ 1 2 y = v 0 sin α × t − gt ⎪ 2 ⎩
⎧d 2x 初始条件: = 0 ⎪ ⎪ dt 2 ⎨ 2 x=0 ⎧ d y ⎪ ⎨ = − g 2 ⎪ ⎩ dt ⎩y = 0
v0
α
伽里略模型
微分方程
x
π
0
2 2 4 1 n =− cos nπt 0 = − [( −1) − 1] → nπ nπ ( 2k − 1)π
方波可分解为奇谐波的叠加
思考与讨论:
泰勒级数与付里叶级数在使用时各有何优势与缺陷?
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一阶常微分方程分离变量法 人口增长模型I (马尔萨斯) Î Î
dy = r dx Î ln y = r x + C y y( x ) = y0 exp[r ( x − x0 )]
方程基本解
u1 ( t ) = cos ωt u2 ( t ) = sin ωt
u
2 A = C12 + C 2
通解: 特解:
u( t ) = C1 cos ωt + C 2 sin ωt
u( t ) = 2 cos ωt 初始条件: u(0) = 2
C2
ϕ
C1
u′(0) = 0
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2 2 ′ ′ ′ ⎧ π x y x y ( n ) y = 0 x ∈ (1, e ) + + 例2 求解欧拉方程 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ y x =1 = 0, y x = e = 0 t = ln x 解: 做变换 x = exp( t ) t ∈ (0,1)
⎧ dx = v 0 cos α ⎪ dt ⎪ t =0 ⎨ ⎪ dy = v 0 sin α ⎪ ⎩ dt t = 0
微分方程——包含自变量、未知函数以及未知函数 的导数组成的等式
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简谐振动的数学模型 牛顿第二定律: F = m a a—加速度;F—合外力;m—物体质量 虎克定律: F= –k u(t) F—弹力;k—弹性系数; u(t)—弹簧伸长
无阻尼强迫振动
d 2u 2 + ω u( t ) = p sin ω 0 t 2 dt
( ω = 1, ω 0 = 0.85, p = 1 )
u2 = exp(−0.05t ) sin t
( ε = 0.05 )
p u3 = (sin t + sin ω 0 t ) 2 1 − ω0
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练习题
∞
− ∑ ka k x k + 4∑ a k x k = 0
k =1 k =0
∞
k =2
∞
k [( k + 2 )( k + 1 ) Baidu Nhomakorabea − k ( k − 1 ) a − ka + 4 a ] x ∑ k+2 k k k k =2
∞
+ ( 2a 2 + 4a0 ) + (6a 3 − 3a1 ) x = 0
dy = r y, dx
y ( t 0 ) = y0
Î ·······
人口增长模型II (逻辑斯蒂) Î
dy = r dx , Î ······· y(1 − y / K )
dy = r y(1 − y / K ), dx
K y( x ) = 1 + exp(− rx − C )
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线性常系数一阶非齐次方程
绪 论
Î 微分方程与数学模型 Î 泰勒级数与付里叶级数 Î 一阶常微分方程求解 Î 二阶常微分方程求解
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塔科马海峡大桥(位于美国华盛顿 州)曾经是世界上第三长的悬索桥. 第一座大桥全长1524米,绰号舞动 的格蒂,1940年7月1日通车,四个 月后戏剧性地被微风摧毁. ——使得空气动力学和共振实验 成为建筑工程学的必修课。 重建的大桥于1950年通车, 2007年新的平行桥通车. 以后所有的桥梁,无论是整体 还是局部,都必须通过严格的 数学分析和风洞测试.
dy = r y(1 − y / K ) dx
x ∈ ( −1,1)
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参考资料
[1]华中科技大学《数学物理方程与特殊函数》 [2]曾谨言《量子力学导论》,北京大学出版社 [3]郭硕鸿《电动力学》第三版 [4]梁昆淼,数学物理方法(第三版),高教出版社 [5]郭敦仁,数学物理方法(第二版),高教出版社 [6]数学手册,(高教出版社电子版) [7] CaPo, 上帝掷骰子吗——量子物理史话(网络版) [8]Robert,历史上最伟大的10个方程,邮电出版社
= x − x 3 / 6 + x 5 / 120
− x / 7! + L
7
2m x cos x = ∑ ( −1) m ( 2m )! m =0 ∞
1 m x exp( x ) = ∑ m = 0 m!
∞
LL
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付里叶级数: 设 f(x) 在区间 [−π , π ] 连续
a0 f ( x ) = + ∑ [a n cos nx + bn sin nx ] 2 n =1
y = C1 cos( nπ ln x ) + C 2 sin( nπ ln x )
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2 2 ′ ′ ′ ⎧ ( 1 x ) y x y 2 y = 0 x ∈ ( −1,1) − − + 例3 切比雪夫方程 ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ y x = 0 = −1, y′ x = 0 = 0
解: 设解为幂级数
y(0) = −1, y′(0) = 0
切比雪夫方程(n=2) :
(1 − x 2 ) y′′ − xy′ + n 2 y = 0
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谐振动 d 2 u + ω 2 u( t ) = 0
dt 2
周期
T = 2π / ω
u1 = sin t
(ω =1)
小阻尼振动
d 2u du 2 + 2 ε + ω u( t ) = 0 2 dt dt
uxx 或
utt 或
∂ 2u ∂x 2
(曲率 ？)
∂ u ∂t 2
2
( 加速度 )
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泰勒级数: 设 f(x) 在点 x = 0 处任意阶可微
f ( x) = ∑ Cn x
n= 0
∞
∞
n
1 ( n) Cn = f ( 0) n!
( n = 0,1, L)
2 m +1 x sin x = ∑ ( −1) m ( 2m + 1)! m =0
1. 求函数的傅里叶展开式 2. 用分离变量法求解方程 3. 用幂级数法求解方程
2 2 ′ ′ ′ ⎧ ( 1 x ) y x y 3 y=0 − − + ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ y x = 0 = 0, y′ x = 0 = −3
⎧π + x , − π ≤ x < 0 f ( x) = ⎨ ⎩π − x , 0 ≤ x ≤ π
y′ + py = f ( x )
求解公式 y( x ) = exp(− px )[ ∫ exp( px ) f ( x )dx + C ] Î
y( x ) = C exp(− px ) + exp(− px )∫ exp( px ) f ( x )dx
思考与讨论:
1. 函数 exp( px ) 在求解非齐次方程过程中扮演 什么角色 ? 2. 令 E ( x , s ) = exp[ p( s − x )] 解释下面公式
O
d u Î m 2 = − ku( t ) dt 2 d u 2 2 ( ω = k/m ) + ω u( t ) = 0 Î 2 dt d 2u du 一般形式 + p( t ) + q( t )u( t ) = f ( t ) 2 dt dt
m a = –k u(t)
2
u
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单摆的数学模型 角位移 θ
dy dy dt 1 dy = = dx dt dx x dt
1 dy 1 d dy 1 d 2 y dy d2y ( )= 2 ( 2 − ) =− 2 + 2 dx x dt x dx dt x dx dt
代入微分方程,得
d2y 2 + ( n π ) y=0 2 dt
y = C1 cos nπt + C 2 sin nπt
∞
y = ∑ ak x k
k =0 ∞
∞
y′ = ∑ ka k x k −1
k =1
∞
y′′ = ∑ k ( k − 1)a k x k − 2= ∑ ( k + 2)( k + 1)a k + 2 x k
k =2 k =0
代入微分方程,得
∞ k =0
k k ( k + 2 )( k + 1 ) a x − k ( k − 1 ) a x ∑ ∑ k+2 k
t =0
= θ 0 角速度
dθ dt
=0
t =0
θ
L
dθ = − a sin θ 2 dt
2
( a = g /L )
d 2θ L 2 = − g sin θ dt
如何解出角位移？
思考与讨论:
1. 单摆和钟摆是相同的物理现象吗? 2. 二阶微分方程的建立与哪些物理定律有关?
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二元函数: u = u(x, t )
t
0 1
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奇延拓
f ( t ) = ∑ bn sin nπt
n =1
∞
⎧ − f ( − t ), t ∈ [−1, 0) F (t ) = ⎨ t ∈ [0, 1] ⎩ f ( t ),
1 −1
1
(x = π t)
bn =
π∫
2
π
0
F ( ) sin nxdx = 2∫ f ( t ) sin nπtdt
y( x ) = E ( x ,0) y0 + ∫ E ( x , s ) f ( s )ds
0 x
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二阶常系数齐次线性常微分方程
y′′ + py′ + qy = 0
辅助方程 两相异实根 两相等实根 两共轭复根
m 2 + pm + q = 0
m1 ≠ m 2
Î
y = C 1 e m1 x + C 2 e m 2 x
一阶导数:
ux 或
∂u ∂x
ut
或
∂u ∂t
u( x + ∆x , t ) − u( x , t ) u x ( x , t ) = lim ∆x → 0 ∆x u( x , t + ∆t ) − u( x , t ) ut ( x , t ) = lim ∆t → 0 ∆t
(切线斜率) (速度)
二阶导数:
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1 π ⎧ a n = ∫ f ( x ) cos nxdx ⎪ ⎪ π −π ⎨ ⎪b = 1 π f ( x ) sin nxdx n ⎪ π ∫−π ⎩
∞
设 f(t) 在区间[ 0 , 1 ]上连续 ⎧1 ， t ∈ [0 , 1] f (t ) = ⎨ ⎩0 , t ∉ [0 , 1]
f ( t)