黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《辅助角公式》专题

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黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案2016年《导数及其应用》专题(教师版)

2016年高考数学文试题分类汇编《导数及其应用》专题2016年（）月（）日班级姓名一、选择题1、（2016年山东高考）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是（A ）sin y x =（B ）ln y x =（C ）e x y =（D ）3y x =【答案】A2、（2016年四川高考）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a= (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】D3、（2016年四川高考）设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B 则则△PAB 的面积的取值范围是 (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞) 【答案】A4、（2016年全国I 卷高考）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C二、填空题1、（2016年天津高考）已知函数()(2+1),()xf x x e f x '=为()f x 的导函数，则(0)f '的值为__________.【答案】32、（2016年全国III 卷高考）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()x f x ex --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程式_____________________________. 【答案】2y x =三、解答题1、（2016年北京高考）设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围；（III ）求证：230a b -＞是().f x 有三个不同零点的必要而不充分条件.解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b '=++．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-． ()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===．由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．（III ）当24120a b ∆=-<时，()2320f x x ax b '=++>，(),x ∈-∞+∞，此时函数()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增，所以()f x 不可能有三个不同零点．当24120a b ∆=-=时，()232f x x ax b '=++只有一个零点，记作0x ．当()0,x x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x -∞上单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在区间()0,x +∞上单调递增．所以()f x 不可能有三个不同零点．综上所述，若函数()f x 有三个不同零点，则必有24120a b ∆=->．故230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要条件．当4a b ==，0c =时，230a b ->，()()232442f x x x x x x =++=+只有两个不同零点，所以230a b ->不是()f x 有三个不同零点的充分条件．因此230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．2、（2016年江苏省高考）已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. （1）设a =2,b =12. ① 求方程()f x =2的根;②若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；（2）若01,1a b <<＞，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值. 解：（1）因为12,2a b ==，所以()22x xf x -=+. ①方程()2f x =，即222xx-+=，亦即2(2)2210x x -⨯+=，所以2(21)0x-=，于是21x=，解得0x =. ②由条件知2222(2)22(22)2(())2xx x x f x f x --=+=+-=-.因为(2)()6f x mf x ≥-对于x R ∈恒成立，且()0f x >，所以2(())4()f x m f x +≤对于x R ∈恒成立.而2(())44()4()()f x f x f x f x +=+≥=，且2((0))44(0)f f +=，所以4m ≤，故实数m 的最大值为4.（2）因为函数()()2g x f x =-只有1个零点，而00(0)(0)220g f a b =-=+-=，所以0是函数()g x 的唯一零点.因为'()ln ln x xg x a a b b =+，又由01,1a b <<>知ln 0,ln 0a b <>，所以'()0g x =有唯一解0ln log ()ln b aax b=-. 令'()()h x g x =，则''22()(ln ln )(ln )(ln )xxxxh x a a b b a a b b =+=+，从而对任意x R ∈，'()0h x >，所以'()()g x h x =是(,)-∞+∞上的单调增函数，于是当0(,)x x ∈-∞，''0()()0g x g x <=；当0(,)x x ∈+∞时，''0()()0g x g x >=. 因而函数()g x 在0(,)x -∞上是单调减函数，在0(,)x +∞上是单调增函数. 下证00x =. 若00x <，则0002x x <<，于是0()(0)02xg g <=，又log 2log 2log 2(log 2)220a a a a g ab a =+->-=，且函数()g x 在以2x 和log 2a 为端点的闭区间上的图象不间断，所以在02x 和log 2a 之间存在()g x 的零点，记为1x . 因为01a <<，所以log 20a <，又02x <，所以10x <与“0是函数()g x 的唯一零点”矛盾. 若00x >，同理可得，在02x和log 2a 之间存在()g x 的非0的零点，矛盾.因此，00x =. 于是ln 1ln ab-=，故ln ln 0a b +=，所以1ab =.3、（2016年山东高考）设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1)x ，a ∈R . (Ⅰ)令g (x )=f'(x )，求g (x )的单调区间；(Ⅱ)已知f (x )在x =1处取得极大值.求实数a 的取值范围.解析：(Ⅰ)由()'ln 22,f x x ax a =-+ 可得()()ln 22,0,g x x ax a x =-+∈+∞，则()112'2ax g x a x x-=-=，当0a ≤时，()0,x ∈+∞时，()'0g x >，函数()g x 单调递增；当0a >时， 10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0g x >，函数()g x 单调递增， 1,2x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()'0g x <，函数()g x 单调递减. 所以当0a ≤时，函数()g x 单调递增区间为()0,+∞；当0a >时，函数()g x 单调递增区间为10,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)由(Ⅰ)知，()'10f =.①当0a ≤时，()'0f x <，()f x 单调递减. 所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，()f x 单调递减. 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增. 所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意. ②当102a <<时，112a >，由(Ⅰ)知()'f x 在10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，可得当当()0,1x ∈时，()'0f x <，11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，所以()f x 在(0,1)内单调递减，在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()f x 在x=1处取得极小值，不合题意.③当12a =时，即112a=时，()'f x 在(0,1)内单调递增，在 ()1,+∞内单调递减，所以当()0,x ∈+∞时，()'0f x ≤， ()f x 单调递减，不合题意. ④当12a >时，即1012a << ，当1,12x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，()f x 单调递增, 当()1,x ∈+∞时，()'0f x <，()f x 单调递减，所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意. 综上可知，实数a 的取值范围为12a >.4、（2016年四川高考）设函数f(x)=a x 2－a －lnx ，g(x)=1x －ee x ，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数。

《辅助角公式》专题(更新版)

《辅助角公式》专题2017年（）月（）日班级姓名宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

我们知道sin()6x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+=1cos 22x x - cos x xcos x x + sin π12－3cos π12cos )x x -x xsin15cos15o o +【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】问题请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b2x x ⎛⎫+⎪⎭ ＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)．使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，其中φ(a ，b )决定．辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．试一试将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2. (1)sin x ＋cos x ＝；(2)sin x －cos x ＝；(3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________；(5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________.【当堂训练】【求周期】1.求函数x x y 4sin 4cos 3+=的最小正周期。

2.求函数y x x x =+-+24432cos()cos()sin ππ的最小正周期。

小结：将三角式化为y=Asin(ϕ+ωx )+k 的形式，是求周期的主要途径。

黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《导数与公切线》专题

《导数与公切线》专题2016年（）月（）日班级姓名若函数f (x )＝12x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 ∵f (x )＝12x 2－ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝x －a ＋1x. ∵f (x )存在垂直于y 轴的切线，∴f ′(x )存在零点，即x ＋1x －a ＝0有解，∴a ＝x ＋1x≥2. 已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12C ． 1D ．4 答案 A解析由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)－12＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 等于( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2答案 D解析 ∵f ′(x )＝1x， ∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1.又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.故选D.典例 (12分)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．易错分析由于题目中没有指明点O (0,0)的位置情况，容易忽略点O 在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上这个隐含条件，进而不考虑O 点为切点的情况．规范解答解易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.[4分](2)当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .[7分] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.[10分] 综上，a ＝1或a ＝164.[12分] 已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)． ∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9.由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9.②由f ′(x )＝12得－6x 2＋6x ＋12＝12，解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11；在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10； ∴y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9，此时k ＝0.(2016·课标全国Ⅱ)16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ．16．1ln2-．。

黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《导数与切线》专题

《导数与切线》专题2016年（）月（）日班级姓名【类型一】已知切点求切线的方程（斜率）例已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.小结求曲线上某点处的切线方程，可以直接利用导数求出曲线上此点处的斜率，然后利用点斜式写出切线方程；求曲线过某点的切线方程，要先求出切点坐标.训练已知曲线y＝2x2－7，求：曲线过点P(3,9)的切线方程.训练1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A.4B.16C.8D.22.曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝2x －1 C.y ＝－2x －3D.y ＝－2x ＋23. (1)函数f (x )＝ln x －2xx 的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )A ．2x －y －4＝0B ．2x ＋y ＝0C ．x －y －3＝0D ．x ＋y ＋1＝0(2)已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．4.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值. 已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1e D ．－1e5．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a 等于( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－126．已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ B.⎝⎛⎦⎤－∞，－12 C ．[－1，＋∞) D ．(－∞，－1]7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋bx (a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______．【类型二】已知切点求切线的方程（斜率）例2 已知曲线y ＝2x 2－7，求：曲线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0?1.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )A.a ＝1，b ＝1B.a ＝－1，b ＝1C.a ＝1，b ＝－1D.a ＝－1，b ＝－12.已知曲线y ＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16.则P 点坐标为________.3.(2015·陕西)设曲线y ＝e x 在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．例3 (1)与直线2x －y ＋4＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线方程是( ) A ．2x －y ＋3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．2x －y －1＝0(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A ． x ＋y －1＝0 B ．x －y －1＝0 C ．x ＋y ＋1＝0 D ．x －y ＋1＝0答案 (1)D (2)B 训练1.(2015·课标全国Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.2.已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．43.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．。

高中数学辅助角公式教案

高中数学辅助角公式教案
一、教学目标
1. 了解辅助角的概念和性质；
2. 掌握辅助角的相关公式和求解方法；
3. 能够运用辅助角公式解决相关问题。

二、教学重点
1. 辅助角的概念和性质；
2. 辅助角公式的掌握；
3. 辅助角公式的应用。

三、教学内容
1. 辅助角的概念和性质；
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式；
3. 应用举例与练习。

四、教学过程
1. 辅助角的概念和性质
- 引导学生理解辅助角的概念和性质，解释其在三角函数计算中的作用；- 讲解辅助角的意义和使用方法，引导学生积极思考和互动。

2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式
- 介绍正弦、余弦、正切、余切辅助角公式的推导和应用；
- 指导学生掌握辅助角公式的应用方法，举例演练解题过程。

3. 应用举例与练习
- 给出一些具体的应用题目，让学生运用所学知识解题；
- 带领学生讨论解题思路和方法，及时纠正错误，加深理解。

五、教学反馈
1. 对学生的练习情况进行检查和评价；
2. 总结学生在辅助角公式运用中存在的问题，并指导学生进行巩固练习；
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高解题能力。

六、课后作业
1. 完成课堂练习题和实践题；
2. 针对学生出现的问题进行针对性的练习；
3. 鼓励学生自主学习，准备下节课分享心得。

七、教学效果评估
1. 学生掌握辅助角概念、公式和应用的情况；
2. 学生能否熟练运用辅助角公式解题；
3. 学生对辅助角公式的理解和运用能力。

以上为高中数学辅助角公式教案范本，具体教学内容和安排可根据实际情况进行调整和完善。

高三第一轮复习辅助角公式

asin α+bcos α的辅助角公式及应用【提纲挈领】主干知识归纳辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+，其中cos ϕ=、sin ϕ=.方法规律总结 1.推导公式()sin cos a b αααϕ+=+时，逆用和差角的正弦公式.公式是“死”的，推导方法是“活”的，逆用和差角的余弦公式也行.通常把这种变形叫做“化一”，即化为“一角一函数”.为解决三角函数的周期性、单调性、最值性、奇偶性等问题，常需对三角函数式进行“化一”，体现了转化与化归的思想方法和策略. 2.运用辅助角公式()sin cos a b αααϕ+=+解题，本质上是利用函数sin y x =的图象与性质.因此，还需要重视数形结合思想的运用，熟练掌握函数sin y x =的图象与性质、优先选择将sin cos a b αα+()αϕ+ 的形式；还需要重视特殊与一般思想的运用，先考察一个周期内的情形，再按周期推广.【指点迷津】【类型一】直接“化一”【例1】：s i n15c o s 15+=（）.AB【解析】：原式)⎫⎪⎭o o o o o o sin15cos45+cos15sin4522()o o o15+45=2．答案：B 【例2】：化简：3cos 2x x =( )．A3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ B6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C．6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D．3x π⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】：原式＝⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎭1πsinx -x -223. 答案：D 【例3】：化简：cos 4444x x ππ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【解析】：原式＝⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1ππππsin -x cos -x =-x+22424243⎛⎫⎪⎝⎭7π=-x 212.答案：⎛⎫⎪⎝⎭7π-x 212 【类型二】整理后“化一”【例1】：函数()cos sin f x x x =的单调递增区间为( )A ．(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．()2,244k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．(),22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】：因为()1f x =sin2x 2，由ππ-≤2x ≤22，得ππ-≤x ≤44.所以函数()f x 的单调递增区间为()⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-+k π,+k πk ∈Z 44.答案：A【例2】：函数()cos 4cos 436f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为( )A ．2πB ．πC ．2πD ．4π【解析】：因为()⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦πππππf x =cos +4x -+cos 4x -=-sin 4x -+cos 4x -26666-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ5π=4x -=4x -6412，所以函数()f x 的最小正周期为π2. 答案：C 【例3】：已知()sin sin cos 66f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1，则实数a 的值为________．【解析】：因为()ππππf x =sincosx +cos sinx +sinxcos -cosxsin +cosx +a 6666⎛⎫⎪⎝⎭π2sin x++a 6，所以2+a =1a =-1,. 答案：-1【类型三】降次后“化一” 【例1】：函数()44sin cos f x x x =- 的一条对称轴为( ) A ．4x π=- B ．4x π= C ．8x π=- D ．2x π=【解析】：因为()()()2222f x =sin x+cos xsin x -cos x =-cos2x，由()2x =k πk ∈Z ，得()k π2x =k ∈Z ，所以函数()f x 的对称轴方程为()k π2x =k ∈Z . 答案：D【例2】：函数()222cos f x x x =+取最大值时，x 的取值集合为()．A ．|,6x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ C ．|,4x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭ D ．|,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x =2sin 2x++16，由=ππ2x +62，得=πx 6，所以x 的取值集合为{}πx |x =+k π,k ∈Z6.答案：A【例3】：已知()()2sin sin cos f x x x x m =++的最小值为m 的值为________.【解析】：因为()2f x =2sinxcosx +2sin x +m =sin2x -cos2x +1+m⎛⎫⎪⎝⎭π2x -+1+m 4，所以m=-1.答案：-1【同步训练】【一级目标】基础巩固组一、选择题 1．计算cos 48cos18sin 48sin18+的结果是 ( )．A.1B.12C ．2D.2【解析】：()oo ooo o ocos48cos18+sin48sin18=cos 48-18=cos30=2．答案：D .2．计算sin164sin 224sin 254sin314+的结果是 ( ) ．A ．12-BC ．12D ．-【解析】：原式＝()1ooooo o o -sin16cos46+cos16sin46=sin 46-16=sin30=2.答案：C 3．化简：()()()()sinsin cos cos αββγαβγβ-----=( )．A ．()cosαγ- B. ()cos αγ-- C. ()cos αβ- D ．()cos αβ--【解析】：原式＝()()()()sin α-βsin β-γ-cos α-βcos β-γ()()()⎡⎤⎣⎦=-cos α-β+β-γ=-cos α-γ.答案：B 4．sin153cos15-=( )12C．2-D. 【解析】：()o oo o osin15=2sin 15-60=-2sin45=答案：D 5．若()sin cos αααβ-=-，则锐角β的值为 ( )．A ．6π B.4π C ．3π D ．12π【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πsin α-cos αα-α-β4，所以锐角β的值为π4.答案：B 二、填空题 6．函数()cos f x x x =-的零点为________．【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x -cosx =2sin x -6，由()πx -=k πk ∈Z 6，得()πx =+k πk ∈Z 6，所以函数()f x 的零点为()π+k πk ∈Z 6.答案：()π+k πk ∈Z 67．化简：1sin10-=________．【解析】：原式＝⎛⎫ ⎪⎝⎭1o o 4cos10-o o o 22cos104sin20===4o o o o o sin10cos102sin10cos10sin20.答案：4 8．函数()2cos cos f x x x x =-的对称中心为________.【解析】：因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭π1+cos2x 1f x =-=sin 2x --2226，由()π2x -=k πk ∈Z 6，得()k π2πx =+k ∈Z 12，所以函数()f x 的对称中心为(),⎛⎫⎪⎝⎭k π2π1+-k ∈Z 122.答案：(),⎛⎫⎪⎝⎭k π2π1+-k ∈Z 122 三、解答题 9．求函数()sin 2cos 2sin 236f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期和递减区间.【解析】：因为()ππππf x =sincos2x +cossin2x +cos2xcos-sin2xsin+sin2x 3366⎛⎫⎪⎝⎭π==2sin 2x+3，所以函数()f x 的最小正周期为π.由()ππ3π+2k π≤2x +≤+2k πk ∈Z 223得，()π7π+k π≤x ≤+k πk ∈Z 1212，故函数()f x 的递减区间为()⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π+k π,+k πk ∈Z 1212.10.已知函数()2sin 2cos f x x x x =+．（1）求43f π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；（3）解不等式()0f x ≥．【解析】：（1）因为()⎛⎫ ⎪⎝⎭πf x =2sin 2x++16，所以⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭4π8ππ5π5πf =2sin ++1=2sin 2π++1=2sin +1=233666. （2）设⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππt =2x+,x ∈0,62，则⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7πy =2sint+1,t ∈,66.当πt =2即πx =6时，y =3max ；当7πt =6即πx =2时，y =0min .于是，函数()f x 的值域为[0，3].（3）由()f x ≥0得，⎛⎫⎪⎝⎭12πsin 2x +6≥-，所以ππ7π-+2k π≤2x +≤+2k π,k ∈Z 666，解得ππ-+k π≤x ≤+k π,k ∈Z 62，故不等式的解集为{}ππx|-+k π≤x ≤+k π,k ∈Z 62.【二级目标】能力提升题组一、选择题 1．函数2cos 2sin 2y x x =-+的最大值为()．A ．1 B. 1- C ．4 D ．4-【解析】：因为2y =-sin x -2sinx+3，设t =sinx ，则[]2y =-t -2t+3,t ∈-1,1，所以当t =-1时，此函数有最大值4.答案：C 2．已知4coscos sinsin 665ππθθ+=，则2cos 23πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )．A ．725-B.45- C ．1825D ．35 【解析】：因为⎛⎫⎪⎝⎭π4cos θ-=65，所以 ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2cos 2θ+=2cos θ+-133 ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2=2cos +θ--126⎛⎫ ⎪⎝⎭π2=2sin θ--16⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦2π472=21-cos θ--1=21--1=-6525. 答案：A 二、填空题 3．已知13sin 5cos 9αβ+=，13cos 5sin 15αβ+=，则()sin αβ+= ________.【解析】：两式平方相加得，()169+130sin α+β+25=81+225，所以()56sin α+β=65.答案：5665三、解答题4.已知扇形的内接矩形面积()sin cos ,033f x x x x x π⎛⎫=-<< ⎪ ⎪⎝⎭，试求矩形面积的最大值.【解析】：()⋅11-cos2x 12f x =sinxcosx -x =sin2x -=sin2x 32322-66⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭111πcos2x -2x+-22666. 因为π0<x <3，所以ππ5π<2x +<666，故当=ππ2x +62即πx =6时，()⎡⎤⎣⎦1f x 1-=max 66.所以矩形面积的最大值为6.【高考链接】1.（2014年上海文14）方程sin 1x x =在区间[0,2]π上的所有解的和等于.【解析】：因为=1，所以⎛⎫ ⎪⎝⎭1πsin x+=23.又0≤x ≤2π，所以ππ7π333≤x+≤.故π5π36x +=或π13π36x+=，解得π2x =或11π6x =.故方程所有解的和等于π11π7π263+=. 答案：7π32.（2013年全国新课标I 卷理15文16）设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【解析】：因为()⋅⋅⎭f x sinx cosx 55()x -φ，其中cos φ=5，sin φ=5，所以()()f θθ-φ故()sin θ-φ=1，从而πθ-φ=+2k π,k ∈Z 2，πθ=φ++2k π,k ∈Z 2.于是⎛⎫ ⎪⎝⎭πcos θ=cos φ++2k π2＝⎛⎫⎪⎝⎭πcos φ+2＝-sin φ=-5.答案：-53.（2011年全国新课标I 卷理16）在ABC V中，60,B AC ==则2A B B C +的最大值为 .【解析】：由正弦定理：AB BC AC ====2o sinCsinAsinBsin60，得AB =2sinC,BC =2sinA ，所以AB+2BC =2sinC+4sinA .又2πC =-A 3，所以()⎛⎫⎪⎝⎭2π-A A+3AB+2BC =2sin +4sinA ϕ，其中sin φ=,cos φ=1414.故当πA+φ=2时，AB+2BC取得最大值.答案：。

黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换》专题

《函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象变换（一）》专题2016年（）月（）日班级姓名【φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响】①利用五点法作出函数y ＝sin x 的图象，通常选取的五个点依次是，，，，．②为作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在一个周期上的图象，请先完成下表，并回答相应的问题：通过上表可知，利用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象通常选取的五个点依次是： ________，______，______，________，_______.③在同一坐标系中，作出函数y ＝sin x ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象：①为了作出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在一个周期上的图象，请先完成下表，并回答相应的问题：②通过上表可知，利用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象通常选取的五个点依次是： ______，______，______，_________，_______.③在同一坐标系中，作出函数y ＝sin x ， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象：根据y ＝sin x ，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象回答下列问题：函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象可以看作由正弦曲线y ＝sin x 上所有的点向平移个单位长度得到；函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象可以看作由正弦曲线y ＝sin x 上所有的点向平移个单位长度得到．【规律提炼】一般地，函数y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象，可以看作是把y ＝sin x 图象上的各点向 (φ>0)或向 (φ<0)平移个单位而得到(可简记为左“＋”，右“－”)，这种变换称作相位变换．【ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响】①函数y ＝sin 2x 的周期为π，利用五点法作图通常选取的五个点依次是 (0,0)，______，______，________，______．②函数y ＝sin x2的周期为4π，利用五点法作图通常选取的五个点依次是(0,0)，， _ ，，．③在同一坐标系中，作出函数y ＝sin x ，y ＝sin 2x ，y ＝sin x2的图象：④根据y ＝sin x ，y ＝sin 2x ，y ＝sin x2的图象回答下列问题：函数y ＝sin 2x 的图象可以看作把正弦曲线y ＝sin x 图象上所有点的横坐标压缩到原来的__ _倍(纵坐标不变)；函数y ＝sin x2的图象可以看作把正弦曲线y ＝sin x 图象上所有点的横坐标拉伸到原来的倍(纵坐标不变)．【规律提炼】一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当时)或伸长(当时)到原来的___倍(纵坐标不变)而得到．【A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响】①在同一坐标系中，作出函数y ＝sin x ，y ＝2sin x ，y ＝12sin x 在区间[0,2π]上的图象：②根据y ＝sin x ，y ＝2sin x ，y ＝12sin x 的图象回答下列问题：函数y ＝2sin x 的图象可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)而得到，函数y ＝12sin x 的图象可以看作是把y ＝sin x 的图象上所有的点的纵坐标压缩到原来的12倍(横坐标不变)而得到．【规律提炼】一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上的所有点的坐标伸长(当A >1时)或缩短(当0<A <1时)到原来的倍(横坐标不变)而得到．【由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象？】 y ＝sin x 的图象变换成y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象一般有两个途径：途径一：先相位变换，再周期变换先将y ＝sin x 的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．途径二：先周期变换，再相位变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度，得y ＝sin(ωx ＋φ)的图象．试叙述，由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象？例1 要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象小结已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：①将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx 与y ＝A sin(ωx ＋φ)，即A 、ω及名称相同的结构．②找到ωx →ωx ＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.③明确平移的方向．训练1 要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象例2 把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是小结三角函数图象变换容易出错，尤其是既涉及平移变换又涉及伸缩变换．平移时，若x 的系数不是1，需把x 的系数先提出，提出后括号中的x 加或减的那个数才是平移的量，即x 的净增量．方向的规律是“左加右减”．伸缩时，只改变x 的系数ω，其余的量不变化，伸长时系数|ω|减小，缩短时|ω|增大．训练2 把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是例3 把函数y ＝f (x )的图象上各点向右平移π6个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，再把纵坐标缩短到原来的23倍，所得图象的解析式是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π3，求f (x )的解析式．小结 (1)本例已知变换途径及变换后的函数解析式，求变换前函数图象的解析式，宜采用逆变换的方法．(2)已知函数f (x )图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．训练3 将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12sin x 图象相同，则y ＝f (x )的函数解析式为《函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象变换（二）》专题2016年（）月（）日班级姓名【“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象】例1 利用五点法作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3在一个周期内的草图．解依次令x 2－π3取0、π2、π、3π2、2π，列出下表：小结利用“五点法”作出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在一个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步骤．请完成下面的填空.所以，描点时的五个关键点的坐标依次是_________，_____________，_____________，_________________，______________.若设T ＝2πω，则这五个关键点的横坐标依次为____，_________，_________，_________，_________.训练1 作出y ＝2.5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象．解令X ＝2x ＋π4，则x ＝12⎝⎛⎭⎫X －π4.列表：【由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象求三角函数的解析式】例如，已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键，一般地可将所给一段图象左、右扩展找离第一零点⎝⎛⎭⎫－φω，0(也叫初始点)．从左到右依次为第二、三、四、五点，分别有ωx 2＋φ＝π2，ωx 3＋φ＝π，ωx 4＋φ＝32π，ωx 5＋φ＝2π.(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法：①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x 1= (第一个零点的横坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω和φ，或由方程(组)求出． ②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象确定ω和φ. (3)A 的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A 的方程求出．例2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图象，试写出函数的表达式．训练2 如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段，求其解析式．【函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的奇偶性】关于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的奇偶性有以下结论： ① 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于原点对称 ⇔f (0)＝0⇔φ＝k π(k ∈Z)．②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于y 轴对称 ⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)．② 函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是奇函数⇔f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于原点对称 ⇔f (0)＝0⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z)．③ 函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)是偶函数⇔f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于y 轴对称 ⇔f (0)＝A 或f (0)＝－A ⇔φ＝k π(k ∈Z)．例如，(1)若函数f (x )＝5sin(2x ＋α)是偶函数，则α等于(2)若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)是奇函数，则φ等于【函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称性】关于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称性有以下结论：①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点(x 0,0)中心对称当且仅当f (x 0)＝0.②函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于直线x ＝x 0轴对称当且仅当f (x 0)＝A 或f (x 0)＝－A . 上述结论若换成函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)同样成立．③对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象，相邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中心和一条对称轴相距周期的四分之一．例如，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的对称中心是_____ ______，对称轴方程是__ ____. 一般地，函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω≠0)的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π－φω，0，k ∈Z ，对称轴方程是x ＝_______________(结果用ω，φ表示)．例2 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0中心对称，求a 的值．小结对于函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)而言，函数图象与x 轴的交点就是图象的对称中心，注意以下充要条件的应用：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)关于点(x 0,0)中心对称⇔f (x 0)＝0，换为函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)结论仍成立．训练3 已知函数f (x )＝a 2sin 2x ＋(a －2)cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，求a 的值．。

高三C专题(辅助角公式3星)

专题：妙用辅助角公式 ★★★【教案中有一定比重的2星题目，备选题中皆3星的题目，供大家选用。

题目的选择主要从辅助角公式用于解决问题的不同角度出发，分别为用于解决三角函数的定义域、单调区间、最小正周期、奇偶性、最值、对称性等。

】教学目标掌握辅助角公式。

【解读：辅助角公式常用于求最值、单调区间、周期、判断奇偶性等。

】知识梳理3 min.1．辅助角公式：22sin cos sin()a b a b αααϕ+=++，其中，ϕ (通常取02ϕπ≤<)由22cos a a bϕ=+，22sin b a bϕ=+确定,称上述公式为辅助角公式，角ϕ为辅助角． 2．运用公式时注意的问题：在运用公式时，因为常常只记住ϕ的取值由tan =baϕ确定，所以当tan ϕ为正时ϕ就可能出现在一、三象限，而为负时可能出现在第二、四象限，这给求解某闭区间上的取值范围、取最值时x 的集合等问题时造成了困惑。

要解决此类困惑还是得从公式的推导过程来看，因为tan =ba ϕ是由22cos a a bϕ=+，22sin b a bϕ=+得到，所以实际上a 与b 的取值确定了ϕ为第几象限角，很容易发现当(,)a b 点落在第几象限时，ϕ为第几象限角。

典例精讲35 min.例1. （★★）求函数x x y cos 3sin +=的定义域。

【分析：要使函数有意义，只需根式内为非负数即可。

】解：sin 3cos 2sin 03x x x π⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭Q ， 223k x k ππππ∴≤+≤+,k Z∈, 即见证奇迹的时刻到了！222,33k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故原函数的定义域为22,2,33k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦。

【注：在求原函数定义域时应把函数解析式尽量化简后求定义域，在化简的过程中要注意等价性。

】例2. （★★）求函数2cos 2sinxx y +=的单调递增区间【分析：利用辅助公式化为单一函数，再用复合函数求单调区间的方法求之。

高三数学辅助角公式

2.3辅助角公式及其应用————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————1、能逆用βα+S ，βα-S ，βα+C ，βα-C 化简三角函数式，并总结出“辅助角”公式。

2、会利用“辅助角”公式化简三角函数式。

3、掌握形如函数x b x a x f cos sin )(+=)0(≠ab 的图像与性质。

重点：1、“辅助角”公式的推导及其应用。

2、函数x b x a x f cos sin )(+=图像与性质。

难点：“辅助角”公式的推导及xb x a y cos sin +=图像与性质。

一、阅读教材P148“三角函数的叠加及其应用”部分【复习导入】1、两角和与差的余弦公式公式特征：同名积异号连，余余正正，余在前。

2、两角和与差的正弦公式公式特征：异名积同号连，正余余正，正两边。

3、两角和与差的正切公式公式特征：子同母异符号连，楼上隔开两正间（谐“切”），楼下一人积两间（谐“切”）。

思考：正用和、差角公式，可以把βα±的三角函数转化为α，β的三角函数，从而可由α，β的三角函数值求得βα±的三角函数；如果逆用公式，是不是可以将三角函数式化简？问题1：如何将下列三角函数式化简？（1）=+x x sin 30cos cos 30sin 00；（2）=-x x cos 45cos sin 45sin 00；（3）=-x x cos 23sin 21或；（4）=+x x cos sin 3或；（5）=-x x cos sin 或。

问题2：如何将x b x a cos sin +)0(≠ab 化简？分析：x b x a cos sin +)cos sin (222222x ba b x ba ab a ++++=由于1)()(222222=+++b a b ba a ，所以，引入辅助角ϕ，使得22cos ba a +=ϕ，22sin ba b +=ϕ，所以，x b x a cos sin +)cos sin sin (cos 22x x b a ϕϕ++=)sin(22ϕ++=x b a （其中ab=ϕtan ）。

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《2.8函数与方程》专题2016年（）月（）日班级姓名1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．()(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.()(3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点．()(5)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．()1．(教材改编)函数f (x )＝e x ＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋13．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)4．(2015·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．55．函数f (x )＝ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．题型一函数零点的确定命题点1 函数零点所在的区间例1 已知函数f (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)命题点2 函数零点个数的判断例2 (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．(2)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是( ) A ．多于4 B ．4 C ．3D ．2命题点3 求函数的零点例3 已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A ．{1,3} B ．{－3，－1,1,3} C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}思维升华 (1)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法．(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．(1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)(2)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3题型二函数零点的应用例4 若关于x 的方程22x ＋2x a ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围．思维升华对于“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域来解决，解的个数可化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝a 交点的个数．(1)函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(0,3) C ． (0,2) D ．(0,1)题型三二次函数的零点问题例5已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．若关于x的方程x2＋ax－4＝0在区间[2,4]上有实数根，则实数a的取值范围是()A．(－3，＋∞) B．[－3,0]C．(0，＋∞) D．[0,3]3．忽视定义域导致零点个数错误典例定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 016x＋log2 016x，则在R上函数f(x)的零点个数为_______________________________________．易错分析得出当x>0时的零点个数后，容易忽略条件：定义在R上的奇函数，导致漏掉x<0时和x＝0时的情况．x.作出函数y＝解析当x>0时，由f(x)＝2 016x＋log2 016x＝0得2 016x＝－log2 016x＝log12016x的图象，可知它们只有一个交点，所以当x>0时函数只有一个零2 016x与函数y＝log12016点．由于函数为奇函数，所以当x<0时，也有一个零点．又当x＝0时y＝0，所以共有三个零点．答案 3温馨提醒(1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定．(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础，要给予充分重视．[方法与技巧]1．函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理；(2)数形结合：函数y ＝f (x )－g (x )的零点，就是函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图象交点的横坐标． (3)解方程．2．二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图象列不等式(组)． 3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法. [失误与防范]1．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．2．判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确．A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1．函数f (x )＝2x ＋ln 1x －1的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(1,2)与(2,3)2．已知三个函数f (x )＝2x ＋x ，g (x )＝x －2，h (x )＝log 2x ＋x 的零点依次为a ，b ，c ，则( ) A ．a 1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．04．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ＋a ，x ≤0，2x －1，x >0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，0) C ．(－1,0)D ．[－1,0)6．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的取值范围为________． 7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________________．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．9．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)． (1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a 0，则使方程x ＋f (x )＝m 有解的实数m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－∞，－2]C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，1]∪[2，＋∞)12．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________.13．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ≥0，kx ＋1， x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是________．14．(2015·湖南)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 15．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是________．。

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《2.6对数与对数函数》专题2016年（）月（）日班级姓名1．对数的概念如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log a M N ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n ＝n mlog a M (m ，n ∈R ，且m ≠0)． (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N ＝__N __(a >0且a ≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a N log a b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质4.指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )．( )(3)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )(5)函数y ＝ln 1＋x 1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (6)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限．( )1．(2015·湖南)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( )A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数2．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a 0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B ．(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫34，1 5．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( ) A.10B ．10C ．20D ．100 (2)lg 5＋lg 20的值是________．思维升华在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________. (2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)思维升华应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12)C ．(12，1) D ．(0,1)∪(1，＋∞)命题点3 和对数函数有关的复合函数例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．思维升华在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A ．a >c >bB ．b >c >aC ．c >b >aD ． c >a >b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)2．比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >a (3)已知a ＝52log 3.4，b ＝54log 3.6，c ＝(15)3log 0.3，则( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小．(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较．(3)化为同底的指数式．温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1．对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且00；当a >1且01时，log a b <0.2．对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论．3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定．[失误与防范]1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．A 组专项基础训练(时间：35分钟)1． (log 29)·(log 34)等于( )A.14B.12C ．2D ．4 2．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e 12-，则 ( )A ．x <y <zB ．z <x <yC ．z <y <xD ．y <z <x3．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( )A ．d ＝acB ．a ＝cdC ．c ＝adD ．d ＝a ＋c4．设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．(0, 1) C ．(－∞，0) D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)5．定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( ) A ．1 B.45 C ．－1 D ．－456．(2015·安徽)lg 52＋2lg 2－⎝⎛⎭⎫12－1＝________.7．设函数f (x )满足f (x )＝1＋f (12)log 2x ，则f (2)＝____________________________. 8．(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________________________________．9．已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2.(1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值． B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r <qC ．q ＝r >pD ．p ＝r ＞q 12．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2) D ．f (2)<f (12)<f (13) 13．若函数f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在区间(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是__________．14．已知函数f (x )＝ln x 1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a 0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．。

黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案

《2.5指数与指数函数》专题2016年（）月（）日班级姓名1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是am n＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s ＝a r ＋s ，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r ，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a .( )(2)分数指数幂a m n可以理解为mn个a 相乘．( )(3)(－1)24＝(－1)12＝－1.( )(4)函数y ＝a －x 是R 上的增函数．( ) (5)函数y ＝21＋x a (a >1)的值域是(0，＋∞)．( )(6)函数y ＝2x －1是指数函数．( )1．函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的图象一定过定点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(1,0)D ．(0,0)2．函数f (x )＝a x －1a (a >0，a ≠1)的图象可能是( )3．计算：3×31.5×612＋lg 14－lg 25＝________.4．若函数y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是________________． 5．函数y ＝8－23－x (x ≥0)的值域是____________．题型一指数幂的运算例1 化简：(1)a 3b 23ab 2(a 14b 12)4a13-b13(a >0，b >0)；(2)()21103227()0.0022).8--－－＋－＋.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． (1)[(0.06415)－2.5]23－3338－π0＝__________________________________. (2)(14)12-·(4ab －1)3(0.1)－1·(a 3·b －3)12＝________.题型二指数函数的图象及应用例2 (1)函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0 B ．a >1，b >0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．思维升华 (1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． (1)在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象之间的关系是( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称(2)已知函数f (x )＝|2x －1|，a f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2题型三指数函数的图象和性质命题点1 比较指数式的大小例3 (1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535， c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是________．命题点2 解简单的指数方程或不等式例4 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质例5 设函数f (x )＝ka x －a －x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)>0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)>0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．思维升华指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论． (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)若函数f (x )＝1＋3x ＋a ·9x ，其定义域为(－∞，1]，则a 的取值范围是( ) A ．a ＝－49B ．a ≥－49C ．a ≤－49D ．－49≤a <0(2)由题意得1＋3x ＋a ·9x ≥0的解集为(－∞，1]，即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13x 2＋⎝⎛⎭⎫13x ＋a ≥0的解集为(－∞，1]．令t ＝⎝⎛⎭⎫13x ，则t ≥13，即方程t 2＋t ＋a ≥0的解集为⎣⎡⎭⎫13，＋∞，所以⎝⎛⎭⎫132＋13＋a ＝0，a ＝－49.4．换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用典例 (1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x＋1在区间[－3,2]上的值域是________． (2)函数f (x )＝22112－＋＋x x ⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为_______________．思维点拨 (1)求函数值域，可利用换元法，设t ＝⎝⎛⎭⎫12x，将原函数的值域转化为关于t 的二次函数的值域．(2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求．温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化．[方法与技巧]1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． [失误与防范]1．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 2．复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．3．对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．A 组专项基础训练 (时间：30分钟)1．函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <1，f (x －2)，x ≥1，则f (log 27)的值为( )A.72B.74C.78D.7163．已知a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．b >a >cD ．a >b >c4．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]5．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，126．计算：⎝⎛⎭⎫3213-×⎝⎛⎭⎫－760＋814×42－ ⎝⎛⎭⎫－2323＝________.7．已知正数a 满足a 2－2a －3＝0，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．8．已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．9．已知函数f (x )＝24313－＋ax x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值．10．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的关系是( )A ．f (－4)>f (1)B ．f (－4)＝f (1)C ．f (－4)<f (1)D ．不能确定12．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则在直角坐标系中函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫1a |x ＋b |的图象为( )13．关于x 的方程⎝⎛⎭⎫32x ＝2＋3a5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________．14．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 15．已知定义在实数集R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求函数f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)判断f (x )在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f (x )＝λ在(－1,1)上有实数解？。

黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《三角函数求定义域、值域》专题

《三角函数求定义域、值域》专题2016年（）月（）日班级姓名 1、函数的定义域是（）A 、.B 、.C 、D 、.解答：由题意可得sinx ﹣≥0⇒sinx≥ 又x ∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B ．2、函数的定义域为（）A 、B 、C 、D 、解答：由题意得 tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴，故选D ．3、函数f （x ）的定义域为[﹣，]，则f （sinx ）的定义域为（）A 、[﹣，]B 、[，] C 、[2kπ+，2kπ+]（k ∈Z ）D 、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k ∈Z ）分析：由题意知，求出x 的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f （x ）的定义域为为[﹣，]， ∴，解答（k ∈Z ）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k ∈Z ）故选D ．4．函数y ＝cos(x ＋π6)，x ∈[0，π2]的值域是( )A ．(－32，12] B ．[－12，32] C ．[12，32] D ．[－32，－12]答案 B解析 x ∈[0，π2]，x ＋π6∈[π6，23π]，∴y ∈[－12，32]．5、函数值域是（）A、B、C、D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B6、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、B、C、D、解答：∵函数，∴当sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z} 故选A．7、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．8、函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，]上的值域为（）A、[﹣，2]B、[﹣，2）C、[﹣，]D、（﹣，]解答：∵x∈[﹣，] ∴cosx∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2则y∈[﹣，2] 故选A。

黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《函数零点》专题

《函数零点》专题
2016年（）月（）日班级姓名不求难题都做，先求中低档题不错。

函数y ＝f (x )有零点⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴 ⇔方程f (x )＝0 ．高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题； ③结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题。

【A 组】
1.方程||0a x x -
=（0a >）的零点有个.
2.求函数1()3f x x x =+
-的零点有个.
3.方程22
3x x -+=的实数解的个数为 .
4.设函数2(0)()2
(0)x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则()()g x f x x =-的零点有个.
5.(2009山东)若函数f(x)=a x
-x-a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
【B 组】
32f x －
－34
xln－x，x
的奇偶性；
的单调区间；
的方程kf(x)＝1恰有
【解析】
(1)方法一：令f(x)＝0，得2－x＝lg(x＋1)，作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象(如图2－16－1)，可知有一个交点．∴函数f(x)的零点有且只有一个．
方法二：
3、【解析】函数f (x )的定义域为f ′(x )＝2＋－11－x ＝1－2x 1－x
(x ＜令f ′(x )＝0, 得x ＝12
. 当x ＜12时， f ′(x )＞0；当12
＜x ＜
⎩⎪⎨
⎪⎧ f ＝2f －＝2f ＝4m f ＝6m
化简，得－56。

黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案《函数的奇偶性》专题

《函数的奇偶性》专题2014年（）月（）日班级姓名逃避只会带来更大的阴影。

注意：若可以作出函数图象的，直接观察图象是否关于y 轴对称或者关于原点对称。

【类型一】分段函数奇偶性1.判断函数的奇偶性：2211(0)2()11(0)2x x g x x x ⎧+>⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩解：当x ＞0时，－x ＜0，于是2211()()1(1)()22g x x x g x -=---=-+=-当x ＜0时，－x ＞0，于是222111()()11(1)()222g x x x x g x -=-+=+=---=- 综上可知， ()g x 是奇函数．2.证明(1)(0)()0(0)(1)(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩，是偶函数.3.)(x f 为R 上的偶函数，且当)0,(-∞∈x 时，)1()(-=x x x f ，则当),0(+∞∈x 时，=)(x f【思路点拨】由题目可获取以下主要信息：①函数f (x )是R 上的偶函数；②x >0时f (x )的解析式已知．解答本题可将x <0的解析式转化到x >0上求解．变式：若f (x )是奇函数呢？此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内． ②要利用已知区间的解析式进行代入．③利用f(x)的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )．1.若函数()f x 在R 上是奇函数，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则(2)f -与(3)f -的大小关系是2.若函数()f x 在R 上是偶函数，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则(a f =，()2b f π=，3()2c f =的大小关系是3.若函数()y f x =是定义在R 的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，则函数值0y <的取值范围是4.若函数()f x 在R 上是奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-，则(1)f =5.若函数()f x 是定义在R 的偶函数，且当(,0)x ∈-∞时，()(1)f x x x =-，则当(0,)x ∈+∞时，()f x =6.若函数()f x 在R 上是奇函数，当0x >时，()(2)f x x x =-，则0x <时，()f x = 【类型二】已知函数的奇偶性求参数值：例3、已知函数2()(2)(1)3f x m x m x =-+-+是偶函数，求实数m 的值．练习：1.如果二次函数2(0)y ax bx c a =++≠是偶函数，则b = ．2．已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则a= ,b=【类型三】构造奇偶函数求值例4、已知函数53()8f x x ax bx =++-，若(2)10f -=，求(2)f 的值。

黑龙江省鸡西市第十九中学2017届高考数学一轮复习学案：《2.7函数的图象》专题2

《2.7函数的图象》专题2016年（ )月（）日班级姓名1．描点法作图方法步骤:（1）确定函数的定义域；（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）;(4）描点连线，画出函数的图象． 2．图象变换（1）平移变换（2）对称变换①y ＝f （x )错误!y ＝－f (x ）； ②y ＝f （x ）错误!y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )错误!y ＝－f (－x ）;④y ＝a x (a 〉0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x （a >0且a ≠1）． ⑤y ＝f （x )错误!y ＝|f （x )|。

⑥y ＝f (x ）错误!y ＝f （｜x |）．（3）伸缩变换①y＝f(x）错误!y＝f（ax）．②y＝f（x)错误!y＝af(x）．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）当x∈（0,＋∞)时，函数y＝|f（x）｜与y＝f(｜x|)的图象相同．（×)(2）函数y＝af（x)与y＝f(ax）(a>0且a≠1)的图象相同．( ×)（3）函数y＝f（x）与y＝－f（x)的图象关于原点对称．( ×) (4）若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f(1－x）,则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称．( √)（5）将函数y＝f(－x）的图象向右平移1个单位得到函数y＝f（－x－1）的图象．（×）1．函数f(x）＝2x－4sin x，x∈错误!的图象大致是( ）答案D解析因为函数f（x）是奇函数，所以排除A、B.f′（x）＝2－4cos x错误!，令f′(x）＝2－4cos x＝0错误!，得x＝±错误!，所以选D。

2．函数f（x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x 关于y轴对称，则f(x）的解析式为( ）A．f（x）＝e x＋1B．f(x)＝e x－1C．f（x）＝e－x＋1D．f（x)＝e－x－1答案D解析与y＝e x图象关于y轴对称的函数为y＝e－x。

黑龙江省鸡西市第十九中学高中数学必修五1、2应用举例3 教案

鸡西市第十九中学教案2017年4月12日课题：§1.2应用举例（3）模式与方法启发式教学目的够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题重点能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题教学内容师生活动及时间分配Ⅰ.课题导入提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。

然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。

Ⅱ.讲授新课例1、如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75 的教师引导学生复习并提问通过巧妙的设疑，顺利地引导新课\设计变式，同时通过多媒方向航行67.5 n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32︒的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1︒,距离精确到0.01n mile)例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高。

体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。

引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正例3、某巡逻艇在A处发现北偏东45︒相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75︒的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？引导学生思考并解答评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解Ⅲ.课堂练习课本第18页练习Ⅳ.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

辅助角公式导学案

3.2.2《简单的三角恒等变换》导学案编写人：fangzhou7702 审核：高一数学组时间：2012-02-10班级组名：姓名【学习目标】A 级目标：通过三角恒等变形，把形如x b x a y cos sin +=的函数转化为()0)sin(>+=A x A y ϕ的函数；B 级目标：灵活利用公式，处理三角函数式化简及解决函数的最值、周期、单调性等问题。

【重点难点】重点：将形如x b x a y cos sin +=的函数转化为()0)sin(>+=A x A y ϕ的函数。

难点：辅助角ϕ的确定；利用辅角公式解决函数的最值、周期、单调性等问题。

【学习过程】一、课题引入复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的正弦公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-探究1：∵ ααπαπαπαcos 21sin 236sin cos 6cos sin )6sin(+=+=+ ∴ =+ααcos 21sin 23 （其中=23 ；=21 。

）将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为形如()()0sin >+A A ϕα的形式=-ααcos 22sin 22 =+ααsin 21cos 23=-ααcos sin 3二、自主探究得出结论辅助角公式推导：探究2：将形如x b x a cos sin +的三角形式转化为()0)sin(>+A x A ϕ的形式x b x a cos sin += =()ϕα++sin 22b a其中辅助角ϕ由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2222cos sin b a a b a b ϕϕ 确定。

三．合作交流，解决问题问题1.已知函数()x b x a x f cos sin +=，当24=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，且()x f 的最大值为10时，求a 、b 的值。

问题2.化简.10tan 3150sin ）（︒+︒ 解：）（原式︒︒+︒=10cos 10sin 3150sin ︒︒+︒⋅︒=10cos )10sin 2310cos 21(250sin ︒︒︒+︒︒⋅︒=10cos 10sin 30cos 10cos 30sin 50sin 2 ︒︒⋅︒=10cos 40sin 40cos 2 110cos 10cos 10cos 80sin =︒︒=︒︒=.四．突破疑难问题3．已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=（1）求)(x f 的最小正周期，（2）当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值及取得最小值时x 的集合．点评：本题是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数 ()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．问题4（选讲）．求函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4cos 12sin 231ππx x x f 的单调区间。

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《辅助角公式》专题
2014年（）月（）日班级姓名宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

1.已知α是锐角，若sin α＝35，则2cos ⎝⎛⎭⎫α－π4=________. 我们知道sin()6
x π+= 那么sin cos cos sin 66x x ππ+=
2. 1
cos 2x x
cos x x
cos x x +
sin π12－3cos π12
cos )x x -
x x
sin15cos15o o + (两种方法)
【辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)】
问题请写出把a sin x ＋b cos x 化成A sin(ωx ＋φ)形式的过程．
a sin x ＋
b cos x ＝a 2＋b
2x x ⎛⎫⎪⎭
＝a 2＋b 2(sin x ＋cos x ) (想想正弦、余弦的定义) ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)
(其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b
2)．使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝
a a 2＋
b 2，sin φ＝b a 2＋b 2，其中φ
(a ，b )决定．
辅助角公式在研究三角函数的性质中有着重要的应用．试一试将下列各式化成A sin(ωx ＋φ)的形式，其中A >0，ω>0，|φ|<π2
. (1)sin x ＋cos x ＝；(2)sin x －cos x ＝_________ ____；
(3)3sin x ＋cos x ＝_____________；(4)3sin x －cos x ＝_____________；
(5)sin x ＋3cos x ＝_____________；(6)sin x －3cos x ＝_____________.
【当堂训练】
1．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭
⎫x －π3的最大值是
2．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦
⎤0，π2的最小值为
3．函数f (x )＝2sin x 2sin ⎝⎛⎭
⎫π3－x 2的最大值等于
4．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．。