高中数学回归分析_课件苏教版选修1-2

几个值都可以算出来（通过计算器计算）
∴r
x y nxHale Waihona Puke yi 1 i in
( xi2 n( x) 2 )( yi2 n( y ) 2 )
i 1 i 1
n
n
0.963
又∵ r0.05 0.707 0.963 ∴认为x与y具有线性关系
ˆ 1.345 b 又由公式（1）得 ˆ 53.191 a 则回归方程为 y ˆ 53.191 1.345x
教学目标： 1.通过对典型案例的探究，进一步了解回归的 基本思想方法及初步应用。 2.能通过公式求出回归方程。 3.能运用相关性检验判断两个变量构成的回归 方程是否有意义。 重难点： 1.回归思想的理解与运用。 2.如何求回归方程并会判断方程有无意义。
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ˆx 称为线性回归方程，对应的直线 ˆ a ˆ b y
ˆ 3.5361 2.1214x y
数学应用1：
例1：下表给出了我国从1949年到1999年的人口数据
资料，根据表中数据估计我国2004年的人口数。
年份(x)
人口数/ 百万(y)
1949 1954
1959 672
1964 705
1969 807
1974 909
1979 975
1984 1035
1989 1107
1994 1177
1999 1246
542
603
简解：作出散点图发现点在一条直线附近，可以用 y a bx
ˆ 14.453 b 来表示变量x与y关系，根据公式（1）算得 ˆ 527.591 a
ˆ 527.591 14.453x 则线性回归方程为 y
• 我们希望总误差最小，即下式值最小

i 1
通常记为
n
2 i
( yi bxi a)
i 1
n
2
而此时求出的a与b值可作为较精确的值，
ˆ ˆ与b a
n ( xi x )( yi y ) 计算公式为： i 1 b n （1 ） 2 ( xi x ) i 1 a y b x
0
对于刚才讲的例题1，可以这样检 验：
（1）提出统计假设 H 0 ：变量x, y不具有线性相关关系 （2）由0.05与 n 2 在课本93页查得 r0.05 0.602 （3）根据公式（2）计算得线性相关系数为r =0.998 （4）因为|r| =0.998>0.602，所以有95%的把握认为变量 x, y具有线性相关关系，即所求出的线性方程是有意义的
程度越弱；
对r进行显著性检验，步骤如下：
（1）提出统计假设 H 0：变量x, y不具有线性 相关关系 （2）如果以95%的把握做判断，通过课本93页的 附录1查出一个r的临界值 r0.05 （其中1-0.95=0.05称为检验水平） （3）计算样本相关系数r （4）做出统计判断： 若 r r0.05 则否定假设H ,表明有95%的 把握认为变量x, y之间具有线性相关关系； 若 r r0.05 则不拒绝假设，即没有充分理由 认为变量x, y具有线性相关关系
从而估计出2004年的人口数。
求回归方程步骤：
（1）作散点图（有样本点是否呈直线趋势来判断两个 变量是否线性相关） ˆ 和回归截距 a ˆ （2）根据公式求回归系数 b
（3）写出回归方程，根据需要进行预测估计
再解决问题（1）：检验模型
是否合理？
• 对随机抽取的n对数据 ( xi , yi )(i 1,2,3n) 样本相关系数r的计算公式为 （2）
25 20 15 10 5 0
● ● ● ● ●
●
● ●
2
4
6
8
10
从图中我们看出点呈直线趋势，即时间x与观测值y之间 有着较好的线性关系。再根据《数学》（必修3）的线 性回归的系数公式得线性回归方程为： 那么问题就解决了！
ˆ 3.5361 2.1214x y
ˆ 22.6287 令x 9, 则y
先解决问题（2）：如何求a与b的精确值？
• 设有n对数据 ( xi , yi )(i 1,2,3n) 先描出散点图（部分）如下所示： 25 ●B 20 ●D ● ● 15 ● ● 10 ● A ● 5 c
.
0 2 4 6 8 10 图中每一个点，都有一对应的随机误差
i yi (a bxi )
r
n
• 称 为 对 两 个 变 量 的 相 关 性 检 验
x y
i 1 i i 1
n
i
nx y
n
( xi2 n( x) 2 )( yi2 n( y ) 2 )
i 1
相关系数r的性质：
（1）r 1
（2）
r
越接近于1,x与y的线性相关
程度越强； （3） r 越接近于0,x与y的线性相关
此 处 为 最 小 二 乘 法 （ 见 《 数 学 》 必 修 3 ）
• 也可以化为
n xi yi nx y i 1 b n 2 2 x n ( x ) i i 1 a y b x
ˆ 为回归系数， ˆ y ˆ 为回归截距， b 为回归直线， a 为回归值。
建构数学： • 用 y a bx
表示上述两个变量x与y关系，也称为线性回归模型。 其中
是确定性函数关系， 表示随机误差 。
• 对于一个问题来说，如果用
y a bx
y a bx
这样的模型表示两个变量的关系，那么
（1）这个模型合理吗？ （2）如果模型合理，又如何求出其中的a与b的值？
数学应用2： 例2：随机抽取8对母女的身高数据，试根据这 些数据探讨y与x之间的关系。 母亲身高 154 157 158 159 160 161 162 163
x/cm
女儿身高 y/cm
155 156
159
162
161
164
165
166
简解：作出散点图发现点在一条直线附近，
2 2 x , y , x , y ∵ i i , xi yi , i 1 i 1 i 1 n n n
提醒：
在用公式（2）计算样本相关系数r时，需要根据
公式特点先求出
x , y , x , y , xi yi ,
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
回顾反思：
1.判断两个变量是否具有线性相关关系， 可以通过散点图或者进行相关性检验判 断。 2.对具有线性关系的两个变量，他们的回 归方程通过公式（1）来求出，方程到底 是否有意义还需要进行相关性检验（用 到公式（2））来判断。
学生活动：
ˆ 22.6287 令x 9, 则y
• 这个结果是否一定很准确？为什么？
• 结果不准确，而是存在一些误差，其原因有： ①所用的确定型函数不恰当②忽略了某些因素 的影响③存在观测误差
• 注：两个相互联系的变量之间的关系大体有两
种：一是确定性函数关系，另一个是非确定性 关系（如相关关系）
回归分析
问题情境：
对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次， 得到如下表所示的数据：
时刻 x/s 位置观测值 y/cm 1 5.5 2 3 4 5 6 7 8 7.5 10.0 11.7 15.7 16.1 17.0 21.1
• 问题：试估计x为9s时的位置y的值是多少？
方法是：先作出散点图，如下所示