第8讲 求解浅水方程的传统数值方法1_71108073
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浅水流动的特性与数 值模拟
朱德军 旧水利馆 206, 62772255 zhudejun@tsinghua.edu.cn
内容回顾
• • • • • • 数学方程的分类 模型方程 有限差分逼近和数值格式 等价方程与修正方程 数值格式稳定性分析 模型方程的典型差分格式*
2
• • • • • • •
浅水流动的特征与控制方程 浅水方程的不同形式 浅水方程的双曲特性和特征空间 浅水方程黎曼问题和溃坝问题 无干湿变化情况的解析解 有干湿变化情况的解析解 污染物质的随流运动
(2-7-2)
其中 k 为复数，并且
k k k
若将 k 写成： k 1k i 2k
其中 1k , 2 k 为实数。
k2 k 1 m v2 m k 2 m （ ） m 1 k (a ) (1) m v k 2 m1 1 1k 2 m 1 m
进行计算，画出计算10步、
20步、30步以后的解的空间分布曲线。
12
差分格式的稳定性(Stability)
▲一个微分物理问题可以形成各种不同的差分计算格式; ▲差分计算格式包含:网格划分、差分方程、初边值条件的 数值处理等，所有这些因素综合形成一个差分计算格式，对应这 一格式的解称之差分数值解； ●对于一个差分格式，当初值条件为有界时，差分计算格式 的数值解可能仍保持有界性；但也可能是无界的；有界的数值解 称格式是稳定的，而数值解变为无界，则是不稳定的；
请分别判断上述两个格式是否守恒，要求写出判断 过程。
t
18
差分格式的守恒性
如果对一个差分方程在定义域的任意有限空间内作求和运算 ，（即相当于在连续问题中对微分方程在空间域中作积分运算 ）所得的表达式仍能满足该区域上物理量的守恒关系，则称该 差分格式具有守恒性，或守恒格式
19
题4：
抖 U + 抖 t
3
课后作业讨论
题3：
u u a o 采用Lax-Wendroff 格式 一阶波动方程 t x
进行离散，形成的差分方程为：
u n 1 u n j j t
u a
n j 1
u n1 j
x
a 2 t n u 2u n u n1 0 j j 2 j 1 2x
(D u )
(D u )
crit
1
(D u )
2
(D u )
3
ì f (h ) > 0, h I ï ï m 1 ï ï f h ＃0 h , h í ( m) M ï ï f h < 0, h I ï ( M) 3 ï î
I2
o
h hM
hm
(D u )
crit
? 2
(
ghL
ghR > uR - uL
放大因子：
G 1 2s cos kx 1 1 2s 2s cos kx
1 4s G 1 1 1 4s 1 0 s 0.5
14
差分格式的保单调性 保单调格式的性质是指差分格式的计算，能保持原有函数的 单调性。保单调格式对于防止数值解在连续区出现伪振荡是非 常重要的； 保单调性质是指；若所给初值函数值 un j 的单调函数（也可 是 j 以是分段单调函数），那么由保单调格式计算得到的 un1 也一 j 定是 j 的单调函数且与 un 具有相同的单调性。 j
0 k
( 1)m v2 m k 2 m t
e
i[ k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t ]
m1
振幅 其中：
k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t
m1
具有角度量纲；
k ( x at ) ( 1) v2 m1k
误差传播方程的概念
稳定性问题也可以解释为：稳定的差分格式对误差的传播是 有界的，而不稳定的格式对误差的传播将是无界的。
13
u n 1 u n j j t
u n1 2u n u n1 j j j x 2
u 2u 1 2 ax 2 4u 1 3 2 1 2 ax 4 6u 2 M .Eq. : a 2 2 a t 4 3 a t 12 a t x 6 t 12 x 360 x x
F = 0, x
轾 h U= 犏 , 犏 hu 犏 臌
轾 hu 犏 F= 犏2 1 2 犏 + gh hu 犏 2 臌
UL UR
渠道长20 km，坝位于10 km处， 瞬时全溃 • uL=uR=0, hL=10 m, 分别计算 hR为5 m，2 m，以及为0时， 溃坝100 s后的水面线 • uL=-25 m/s，uR=25 m/s， hL=hR=10 m, 计算溃坝100 s后 的水面线 20
考虑到单调格式的定义及函数单调性的假设，上式大于等 于零，故证毕。 ●狭义单调和耗散性之间密切相关
16
FTCS格式
u n 1 u n j j t
x
2
u
n j 1
2un un1 j j
u n 1 su n1 1 2s u n su n1 j j j j
代入(2-7-2)，得到：
u ( x, t )
k
Ak0 em1
( 1)m v2 m k 2 mt
e
i[ k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t ]
m1
(2-7-3)
7
u ( x, t )
k
A em1
单调格式和狭义单调格式： 对于守恒格式
0 U i
U n1 H U nk ,U nk 1 ,U n k j j j j
0 U i
其中 j k i j k, H是以U nk ,U n k 为自变量的 2k 1 元函数 j j
如果恒有
，则称为单调格式;如果恒有
m 1
(1) v2 m k ，
m 2m
m 1
m 2 m＋1 (1) v2 m1k
（2）偶阶导数项影响解的耗散，并且对于能被4的整除的偶 阶项， 当其系数为负时，是正耗散，为正时是负耗散（解趋 于无穷）；而其余的偶阶项（即不能被4整除的偶阶项，例如 2阶、6阶、10阶等·）当系数为正时是正耗散，系数为负时 · · 是负耗散（解→∞）； （3）奇阶导数项只影响解的频散（色散）特性，不影响解的 耗散特性。
u n1 H u n1 , u n , u n1 j j j j
H un1 , un , un1 sun1 1 2s un sun1 j j j j j j
0 U i
0 U i
0 s 0.5 0 s 0.5
17
，则称为
狭义单调格式。
15
●单调格式具有保单调性质 证明：设 U n 是单调的（不失一般性，设为单调增加）， j
即
U nk U nk 1 U n1 U n U n1 U nk j j j j j j
U nk U nk 1 U nk 0 j j j
A e e m1
0 k
( 1)m v2 m k 2 m t
e
i [ k ( x a t ) ( 1) m v2 m 1k 2 m1t ]
m 1
9
ArgG 对于复数G，可以考察 G ，以及G的幅角：
G e m1
( 1)m v2 m k 2 mt
11
题1:
u 2u 2 t x u ( x ,0) 0.3 (0.5) u (0, t ) u (1, t ) 0
采用FTCS格式 ：
u n 1 u n j j t
u n1 2u n u n1 j j j x 2
0.5 分别取 s t2 x 1
考虑
U n11 U n1 U n k 1 U n k 1 U n k U n k j j j j j j
Hale Waihona Puke Baidu
H n H n H n n n ( ) U j k ( ) U j k 1 ( ) U n k 0 j U j k U j k 1 U j k
推导上述差分方程的修正方程。
4
u u x 2 3u ax3 4u M .E : a a 1 c2 x3 8 c 1 c2 x4 t x 6
修正方程式(标准形式);
u u nu a vn t x n 2 x n
ArgG kat (1)m v2 m1k 2 m1t
m 1
G
的含义；是相邻
t
时间间隔内解的振幅的改变；
ArgG 的含义是相邻 t 时间间隔内解的相位差的改变。
10
（1）方程（2－7－1）的解既有耗散，也有频散，其耗散及 频散特性与下面两个无穷级数的和有密切的关系：
ik x k ( t t )
A e u x, t A e
0 ik x k t t k 0 ik x k t k
对于线性问题，可以对∑的每一个分量(即分立波)进行分析：
G
A e
0 k
ik x k t t ik x k t
t
ìh £ h ï * L ï í ï h* > hR ï î
t
ìh > h ï * L ï í ï h* £ hR ï î
o t
ìh £ h ï * L ï í ï h* £ hR ï î
x
o t
x
ìh > h ï * L ï í ï h* > hR ï î
o
x
o
x
21
f(h) I1 I2 I3
题2：Burger方程，u u u 0
t x
其守恒形式是：
1 ( u 2 ) u 2 0 t x
n 1
格式1（由守恒形式出发）： u j
un j
t [( u n ) 2 (u n1 ) 2 ] j j 2x
格式2（由非守恒形式出发）：u nj1 u nj x u nj (u nj u nj1 )
0 u x , o u x Ak e ikx
设初值条件为： 其中：
k
2
, 称为波数, 表示波长；
Ak0、eikx分别反映波数为k的分波振幅和波形。
6
0 得到解的一般形式为：u x , t Ak e ik ( x
kt)
m m1
2 m1
t k
x
a m1 ( 1)m1 v2 m1k 2 m t
波速
8
当 t t t 时，解可以写成：
u ( x, t t )
引入放大因子G；G是复数
G u x, t t
k
0 Ak e
意义：严格的含义下，差分方程和修正方程描述了同一个物 理问题（尽管该物理问题可能只是虚拟的），因此通过对修 正方程各种性质的讨论将得到差分方程的基本性质 ★ 修正方程式的应用; ◆分析格式的耗散和频散特性 ◆提高格式精度、改善性能，创立新格式
5
微分方程解的耗散或频散特性
u u nu 考查方程：t a x v n n (2-7-1)解的性质 x n 2
)
22
h*是下面关于h的方程的解
f (h ) = fL (h, hL ) + fR (h, hR ) + D u = 0,
ì 2 gh - 2 gh , ï ï L ï ï fL (h, hL ) = ï í ï (h - h ) g (h + hL ), ï L ï 2hhL ï ï î ì 2 gh - 2 gh , ï ï R ï ï fR (h, hR ) = ï í g (h + hR ) ï (h - h ) , ï R ï 2hhR ï ï î h
朱德军 旧水利馆 206, 62772255 zhudejun@tsinghua.edu.cn
内容回顾
• • • • • • 数学方程的分类 模型方程 有限差分逼近和数值格式 等价方程与修正方程 数值格式稳定性分析 模型方程的典型差分格式*
2
• • • • • • •
浅水流动的特征与控制方程 浅水方程的不同形式 浅水方程的双曲特性和特征空间 浅水方程黎曼问题和溃坝问题 无干湿变化情况的解析解 有干湿变化情况的解析解 污染物质的随流运动
(2-7-2)
其中 k 为复数，并且
k k k
若将 k 写成： k 1k i 2k
其中 1k , 2 k 为实数。
k2 k 1 m v2 m k 2 m （ ） m 1 k (a ) (1) m v k 2 m1 1 1k 2 m 1 m
进行计算，画出计算10步、
20步、30步以后的解的空间分布曲线。
12
差分格式的稳定性(Stability)
▲一个微分物理问题可以形成各种不同的差分计算格式; ▲差分计算格式包含:网格划分、差分方程、初边值条件的 数值处理等，所有这些因素综合形成一个差分计算格式，对应这 一格式的解称之差分数值解； ●对于一个差分格式，当初值条件为有界时，差分计算格式 的数值解可能仍保持有界性；但也可能是无界的；有界的数值解 称格式是稳定的，而数值解变为无界，则是不稳定的；
请分别判断上述两个格式是否守恒，要求写出判断 过程。
t
18
差分格式的守恒性
如果对一个差分方程在定义域的任意有限空间内作求和运算 ，（即相当于在连续问题中对微分方程在空间域中作积分运算 ）所得的表达式仍能满足该区域上物理量的守恒关系，则称该 差分格式具有守恒性，或守恒格式
19
题4：
抖 U + 抖 t
3
课后作业讨论
题3：
u u a o 采用Lax-Wendroff 格式 一阶波动方程 t x
进行离散，形成的差分方程为：
u n 1 u n j j t
u a
n j 1
u n1 j
x
a 2 t n u 2u n u n1 0 j j 2 j 1 2x
(D u )
(D u )
crit
1
(D u )
2
(D u )
3
ì f (h ) > 0, h I ï ï m 1 ï ï f h ＃0 h , h í ( m) M ï ï f h < 0, h I ï ( M) 3 ï î
I2
o
h hM
hm
(D u )
crit
? 2
(
ghL
ghR > uR - uL
放大因子：
G 1 2s cos kx 1 1 2s 2s cos kx
1 4s G 1 1 1 4s 1 0 s 0.5
14
差分格式的保单调性 保单调格式的性质是指差分格式的计算，能保持原有函数的 单调性。保单调格式对于防止数值解在连续区出现伪振荡是非 常重要的； 保单调性质是指；若所给初值函数值 un j 的单调函数（也可 是 j 以是分段单调函数），那么由保单调格式计算得到的 un1 也一 j 定是 j 的单调函数且与 un 具有相同的单调性。 j
0 k
( 1)m v2 m k 2 m t
e
i[ k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t ]
m1
振幅 其中：
k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t
m1
具有角度量纲；
k ( x at ) ( 1) v2 m1k
误差传播方程的概念
稳定性问题也可以解释为：稳定的差分格式对误差的传播是 有界的，而不稳定的格式对误差的传播将是无界的。
13
u n 1 u n j j t
u n1 2u n u n1 j j j x 2
u 2u 1 2 ax 2 4u 1 3 2 1 2 ax 4 6u 2 M .Eq. : a 2 2 a t 4 3 a t 12 a t x 6 t 12 x 360 x x
F = 0, x
轾 h U= 犏 , 犏 hu 犏 臌
轾 hu 犏 F= 犏2 1 2 犏 + gh hu 犏 2 臌
UL UR
渠道长20 km，坝位于10 km处， 瞬时全溃 • uL=uR=0, hL=10 m, 分别计算 hR为5 m，2 m，以及为0时， 溃坝100 s后的水面线 • uL=-25 m/s，uR=25 m/s， hL=hR=10 m, 计算溃坝100 s后 的水面线 20
考虑到单调格式的定义及函数单调性的假设，上式大于等 于零，故证毕。 ●狭义单调和耗散性之间密切相关
16
FTCS格式
u n 1 u n j j t
x
2
u
n j 1
2un un1 j j
u n 1 su n1 1 2s u n su n1 j j j j
代入(2-7-2)，得到：
u ( x, t )
k
Ak0 em1
( 1)m v2 m k 2 mt
e
i[ k ( x at ) ( 1)m v2 m1k 2 m1t ]
m1
(2-7-3)
7
u ( x, t )
k
A em1
单调格式和狭义单调格式： 对于守恒格式
0 U i
U n1 H U nk ,U nk 1 ,U n k j j j j
0 U i
其中 j k i j k, H是以U nk ,U n k 为自变量的 2k 1 元函数 j j
如果恒有
，则称为单调格式;如果恒有
m 1
(1) v2 m k ，
m 2m
m 1
m 2 m＋1 (1) v2 m1k
（2）偶阶导数项影响解的耗散，并且对于能被4的整除的偶 阶项， 当其系数为负时，是正耗散，为正时是负耗散（解趋 于无穷）；而其余的偶阶项（即不能被4整除的偶阶项，例如 2阶、6阶、10阶等·）当系数为正时是正耗散，系数为负时 · · 是负耗散（解→∞）； （3）奇阶导数项只影响解的频散（色散）特性，不影响解的 耗散特性。
u n1 H u n1 , u n , u n1 j j j j
H un1 , un , un1 sun1 1 2s un sun1 j j j j j j
0 U i
0 U i
0 s 0.5 0 s 0.5
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，则称为
狭义单调格式。
15
●单调格式具有保单调性质 证明：设 U n 是单调的（不失一般性，设为单调增加）， j
即
U nk U nk 1 U n1 U n U n1 U nk j j j j j j
U nk U nk 1 U nk 0 j j j
A e e m1
0 k
( 1)m v2 m k 2 m t
e
i [ k ( x a t ) ( 1) m v2 m 1k 2 m1t ]
m 1
9
ArgG 对于复数G，可以考察 G ，以及G的幅角：
G e m1
( 1)m v2 m k 2 mt
11
题1:
u 2u 2 t x u ( x ,0) 0.3 (0.5) u (0, t ) u (1, t ) 0
采用FTCS格式 ：
u n 1 u n j j t
u n1 2u n u n1 j j j x 2
0.5 分别取 s t2 x 1
考虑
U n11 U n1 U n k 1 U n k 1 U n k U n k j j j j j j
Hale Waihona Puke Baidu
H n H n H n n n ( ) U j k ( ) U j k 1 ( ) U n k 0 j U j k U j k 1 U j k
推导上述差分方程的修正方程。
4
u u x 2 3u ax3 4u M .E : a a 1 c2 x3 8 c 1 c2 x4 t x 6
修正方程式(标准形式);
u u nu a vn t x n 2 x n
ArgG kat (1)m v2 m1k 2 m1t
m 1
G
的含义；是相邻
t
时间间隔内解的振幅的改变；
ArgG 的含义是相邻 t 时间间隔内解的相位差的改变。
10
（1）方程（2－7－1）的解既有耗散，也有频散，其耗散及 频散特性与下面两个无穷级数的和有密切的关系：
ik x k ( t t )
A e u x, t A e
0 ik x k t t k 0 ik x k t k
对于线性问题，可以对∑的每一个分量(即分立波)进行分析：
G
A e
0 k
ik x k t t ik x k t
t
ìh £ h ï * L ï í ï h* > hR ï î
t
ìh > h ï * L ï í ï h* £ hR ï î
o t
ìh £ h ï * L ï í ï h* £ hR ï î
x
o t
x
ìh > h ï * L ï í ï h* > hR ï î
o
x
o
x
21
f(h) I1 I2 I3
题2：Burger方程，u u u 0
t x
其守恒形式是：
1 ( u 2 ) u 2 0 t x
n 1
格式1（由守恒形式出发）： u j
un j
t [( u n ) 2 (u n1 ) 2 ] j j 2x
格式2（由非守恒形式出发）：u nj1 u nj x u nj (u nj u nj1 )
0 u x , o u x Ak e ikx
设初值条件为： 其中：
k
2
, 称为波数, 表示波长；
Ak0、eikx分别反映波数为k的分波振幅和波形。
6
0 得到解的一般形式为：u x , t Ak e ik ( x
kt)
m m1
2 m1
t k
x
a m1 ( 1)m1 v2 m1k 2 m t
波速
8
当 t t t 时，解可以写成：
u ( x, t t )
引入放大因子G；G是复数
G u x, t t
k
0 Ak e
意义：严格的含义下，差分方程和修正方程描述了同一个物 理问题（尽管该物理问题可能只是虚拟的），因此通过对修 正方程各种性质的讨论将得到差分方程的基本性质 ★ 修正方程式的应用; ◆分析格式的耗散和频散特性 ◆提高格式精度、改善性能，创立新格式
5
微分方程解的耗散或频散特性
u u nu 考查方程：t a x v n n (2-7-1)解的性质 x n 2
)
22
h*是下面关于h的方程的解
f (h ) = fL (h, hL ) + fR (h, hR ) + D u = 0,
ì 2 gh - 2 gh , ï ï L ï ï fL (h, hL ) = ï í ï (h - h ) g (h + hL ), ï L ï 2hhL ï ï î ì 2 gh - 2 gh , ï ï R ï ï fR (h, hR ) = ï í g (h + hR ) ï (h - h ) , ï R ï 2hhR ï ï î h