考点2 平面向量的基本定理及坐标表示(解析版)

2010-2015年高考真题汇编 专题5 平面向量

考点2 平面向量的基本定理及坐标表示

1.（2015年全国卷17，5分）设D 为ABC ∆所在平面内一点，3BC CD =，则

（A ）14

33

AD AB AC =-

+ （B ）14

33

AD AB AC =

- （C ）4133AD AB AC =+ （D ）41

33

AD AB AC =- 【答案】A

【解析】1114

().3333

AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC =+=+

=+-=-+ 2.（2015年北京13，5分）在ABC △中，点M ，N 满足2AM MC =，BN NC =．若MN xAB y AC =+，则x =

；y =

【答案】

12，1

6

- 【解析】如图，则

()

212111

323262

MN MA AB BN AC AB BC AC AB AC AB AC AB

=++=-++=-++-=-+故11

,26

x y =

=-。

3.（2015年江苏6，5分）已知向量a =(2,1)，b =(1,-2)，若m a +n b =(9,-8)，（ m ，n ∈R ），则m-n 的值为

【答案】-3

【解析】根据向量的坐标运算可知，m=2， n=5，进而可知m-n 的值-3

4. （2014福建，5分）在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( )

A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2)

B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2)

C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)

D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3) 【答案】B

【解析】由题意知，A 选项中e 1＝0，C ，D 选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，a ＝(3,2)＝2e 1＋e 2)．

5. （2014四川，5分）平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )

A ．－2

B ．－1

C ．1

D ．2

【答案】D

【解析】 法一：由已知得c ＝(m ＋4,2m ＋2)，因为cos 〈c ，a 〉＝c ·a

|c |·|a |

，cos 〈c ，b 〉

＝

c ·b |c |·|b |，所以c ·a |c |·|a |＝c ·b

|c |·|b |

，又由已知得|b |＝2|a |，所以2c ·a ＝c ·b ，即2[(m

＋4)＋2(2m ＋2)]＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)，解得m ＝2.

法二：易知c 是以m a ，b 为邻边的平行四边形的对角线向量，因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以该平行四边形为菱形，又由已知得|b |＝2|a |，故m ＝2.

6. （2014北京，5分）已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________. 【答案】 5

【解析】∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，

∵ λa ＋b ＝0.

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪

⎧

cos θ＝－2λ

，

sin θ＝－1

λ

.

由sin 2θ＋cos 2

θ＝1得λ2

＝5，得|λ|＝ 5.

7. （2014江西，5分）已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝1

3，向量a ＝3e 1－2e 2

与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________.

【答案】22

3

【解析】因为a 2

＝(3e 1－2e 2)2

＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a |＝3，b 2

＝(3e 1－e 2)2

＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 2

1－9e 1·e 2＋2e 2

2＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223

.

8. （2014陕西，12分）在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，点P (x ，

y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上．

(1)若PA ＋PB ＋PC ＝0，求|OP |；

(2)设OP ＝m AB ＋n AC (m ，n ∈R )，用x ，y 表示m －n ，并求m －n 的最大值． 【解析】(1)法一：∵PA ＋PB ＋PC ＝0，

又PA ＋PB ＋PC ＝(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )，

∴⎩⎪⎨⎪

⎧

6－3x ＝0，6－3y ＝0，

解得x ＝2，y ＝2，

即OP ＝(2,2)，故|OP |＝2 2. 法二：∵PA ＋PB ＋PC ＝0，

则(OA －OP )＋(OB －OP )＋(OC －OP )＝0， ∴OP ＝1

3(OA ＋OB ＋OC )＝(2,2)，

∴|OP |＝2 2.

(2)由题意得AB ＝(1,2)，AC ＝(2,1)，∵OP ＝m AB ＋n AC ，

∴(x ，y )＝(m ＋2n,2m ＋n )，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝m ＋2n ，y ＝2m ＋n ，

两式相减得，m －n ＝y －x ，

令y －x ＝t ，由图知，当直线y ＝x ＋t 过点B (2,3)时，t 取得最大值1，故m －n 的最大值为1.

9．（2013浙江，5分）设△ABC ，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14

AB ，且对于边AB 上任一点

P ，恒有PB ·PC ≥0P B ·0

PC ，则( ) A ．∠ABC ＝90° B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝AC

D ．AC ＝BC

【解析】选 D 本题主要考查平面向量的运算，向量的模、数量积的概念，向量运算的几何