八年级数学正比例函数
19.2 正比例函数(原卷版)
【变式5-3】（2022秋•句容市期末）在正比例函数y＝（m﹣2）x中，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是．
【变式5-4】（2022春•曲阜市期末）已知正比例函数y＝（3m﹣1）x|m|（m为常数），若y随x的增大而减小，则m＝．
【变式2-7】已知正比例函数y x，下列结论：①y随x的增大而增大；②y随x的减小而减小；③当x＞0时，y＞0；④当x＞1时，y＞1．其中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式2-8】（2022秋•渠县校级期中）三个正比例函数的表达式分别为①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx，其在平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系为（ ）
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
【变式2-2】（2022秋•太原期中）下列正比例函数中，y随x的增大而增大的是（ ）
A．y＝2xB．y＝﹣2xC．y xD．y＝﹣8x
【变式2-3】（2021•湘西州模拟）下列图象中，表示正比例函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-4】在下列各图象中，表示函数y＝﹣kx（k＜0）的图象的是（ ）
A．第一、二象限B．第一、三象限
C．第一、四象限D．第二、四象限
解题技巧提炼
本题考查的是正比例函数的图象与系数的关系，根据正比例函数的性质判断k的范围是解题的关键．
【变式2-1】（2022春•古冶区期末）下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是（ ）
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
是（ ）
正比例函数的性质
正比例函数的性质正比例函数是数学中一种重要的函数类型。
它具有明确的性质和特征，被广泛地应用于各种实际问题的建模和解决。
本文将详细介绍正比例函数的定义、图像、性质以及应用等方面，以帮助读者更好地理解和运用正比例函数。
一、定义正比例函数是指函数的变化规律与自变量的取值成比例关系的函数。
具体而言，若函数y是自变量x的正比例函数，则存在一个常数k，使得对于任意实数x，y满足以下关系式：y = kx其中，k称为正比例系数，表示y与x之间的比例关系。
正比例函数的定义域为实数集合R，值域为实数集合R。
二、图像正比例函数的图像通常表现为一条通过原点的直线。
这是因为当x取0时，y也为0，即函数通过原点(0, 0)。
而且由于函数的性质，不会出现拐点或者折线等情况。
图像的斜率表示了正比例系数k的大小，斜率越大，说明变化的速度越快。
三、性质1. 方程形式简单明确：正比例函数的方程形式为y = kx，可以轻松地表示函数的关系。
2. 通过原点：正比例函数通过原点(0, 0)，这是因为当自变量取0时，因变量也为0。
3. 一一对应关系：正比例函数在定义域内具有一一对应的关系，即任意一个自变量只对应一个因变量。
4. 和自变量同向增减：当自变量x增大时，因变量y也随之增大；自变量x减小时，因变量y也减小。
5. 斜率恒定：正比例函数的斜率为常数k，这意味着函数图像是一条直线且直线的斜率恒定。
四、应用正比例函数在实际生活中有着广泛的应用。
以下列举了三个典型的应用场景。
1. 比例关系计算：正比例函数可用于处理各类比例关系问题，例如货币兑换、单位换算等。
通过确定正比例系数，可以准确地计算出不同单位之间的换算关系。
2. 科学实验分析：在科学实验中，正比例函数可以用来描述变量之间的关系。
例如温度和体积的关系、时间和距离的关系等。
根据已知的数据，通过绘制出函数图像，可以推断未知数据的变化规律。
3. 经济增长模型：在经济学中，正比例函数被广泛应用于经济增长模型的构建和分析中。
正比例函数基本概念
正比例函数是一种基本的一次函数，其定义和基本概念如下：
1. 定义：
正比例函数是形如y = kx 的数学函数，其中k 是一个非零常数（即k ≠ 0），x 是自变量，y 是因变量。
当自变量x 变化时，因变量y 会按照与x 成固定比例的方式变化。
2. 特性：
- 函数图像：正比例函数的图像是经过原点（0,0）的一条直线，斜率为k。
- 方向与斜率：当k > 0 时，图像从左下方向右上方倾斜，表示随着x 增大，y 也相应增大；当k < 0 时，图像从左上方向右下方倾斜，表示随着x 增大，y 反而减小。
- 比例系数：k 称为比例系数或斜率，它反映了y 随着x 改变的增长速度或者减少速度。
3. 一次函数与正比例函数的关系：
所有一次函数都可以写成y = mx + b 的形式，其中m 是斜率，b 是截距。
如果b = 0，那么该一次函
数就简化为正比例函数的形式，即只含有斜率项没有截距项。
4. 性质：
- 在同一坐标系中，不同的正比例函数，它们的形状都是直线，但斜率不同，因此图像的位置和倾斜程度各不相同。
- 正比例函数具有线性增长或减少的特点，不涉及任何转折点或拐点。
- 当x 的值发生变化时，y 的变化与其成正比，具体比例关系由k 确定。
综上所述，正比例函数是最简单的一类函数之一，它直观地表达了两个变量之间按一定比例相互关联的关系。
初中数学知识归纳正比例函数与反比例函数
初中数学知识归纳正比例函数与反比例函数初中数学知识归纳—正比例函数与反比例函数正比例函数与反比例函数是初中数学中常见且重要的概念。
本文将对这两种函数进行归纳和总结。
一、正比例函数正比例函数指的是当自变量x的取值不同时，函数值与自变量的关系保持不变的函数。
正比例函数通常使用y=kx表示，其中k为比例常数。
1. 特征正比例函数的特征在于函数图象为经过原点的直线；而且，随着自变量的增大或减小，函数值也相应地增大或减小。
2. 例子例如，假设有一家超市销售的香蕉，单价为2元/斤。
若购买的香蕉重量为x斤，总价格为y元，则可表示为y=2x。
这个函数表达式就是一个正比例函数，其中比例常数k=2。
3. 性质正比例函数具有以下性质：（1）随着自变量的增大，函数值也随之增大；（2）随着自变量的减小，函数值也随之减小；（4）函数图象为直线；（5）不存在与x轴和y轴交点。
二、反比例函数反比例函数指的是当自变量x的取值不同时，函数值与自变量的乘积保持不变的函数。
反比例函数通常使用y=k/x表示，其中k为比例常数。
1. 特征反比例函数的特征在于函数图象为一个关于坐标轴交于原点的双曲线；而且，随着自变量的增大，函数值呈现下降趋势，反之亦然。
2. 例子例如，假设一辆汽车以60km/h的速度行驶，从A地到B地需要2小时。
如果车速不变，以相同的速度行驶，则从A地到C地需要3小时。
此时，行驶路程d与时间t的关系可以表示为d=60/t。
这个函数表达式就是一个反比例函数，其中比例常数k=60。
3. 性质反比例函数具有以下性质：（1）随着自变量的增大，函数值呈现下降趋势；（2）随着自变量的减小，函数值呈现上升趋势；（4）函数图象为一个关于坐标轴交于原点的双曲线。
三、正比例函数与反比例函数的对比1. 图形特点正比例函数图象为通过原点的直线，而反比例函数图象为一个关于坐标轴交于原点的双曲线。
2. 函数关系正比例函数的函数值随着自变量的增大或减小而相应地增大或减小；反比例函数的函数值与自变量的乘积保持不变。
人教版八年级数学下《正比例函数》知识全解
《正比例函数》知识全解课标要求理解正比例函数的概念，会区分什么样的函数是正比例函数，理解正比例函数解析式中k的意义，会画正比例函数的图像，掌握正比例函数的图像和性质。
知识结构（1）正比例函数：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数都是常量与自变量的乘积的形式。
属于下节所学内容“一次函数”的特殊情况，正比例函数是一种比较简单的反映两个变量对应规律的模型。
（2）正比例函数的图象与性质①正比例函数的图象是一条经过坐标原点的直线，所以我们也称正比例函数y=kx为直线y=kx。
两点确定一条直线，因此画正比例函数图象时，只需连接（0，0）点和（1，k）点即可。
②k的值决定了直线经过的象限、图象从左到右的变化趋势以及函数的增减性：当k＞0时，直线经过一、三象限，从左到右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线经过二、四象限，从左到右下降，y随x的增大而减小。
内容解析我们研究函数问题是从最简单的正比例函数开始的。
教材从实例出发，对正比例函数的一般形式、函数图象、以及函数随自变量的变化规律（即函数的性质）等方面进行了详细地剖析。
这也是我们今后学习其它类型函数的研究模式。
教材还力求通过对一些实际问题的探讨，使学生能尽快地进入用函数来解决问题的情境；遇到函数问题能迅速建立起对应模型，让学生明白用函数来分析问题是一种较为实用、广泛的方法。
重点难点本节的重点是：（1）知道正比例函数的一般形式；（2）会简单、正确地画出正比例函数的图象；（3）熟练掌握正比例函数的性质。
难点是：熟练掌握正比例函数的性质。
教法引导从一些实际问题入手，让学生进一步体会函数用途的广泛性。
通过让学生动手画正比例函数的图象，总结正比例函数图象特点及性质.学法建议学习时要积极动手动脑，通过自己动手画图象，总结出正比例函数的有关知识；另外加强小组间的交流，只有生生之间不断交流、探讨，才能发现问题、解决问题。
人教版八年级数学上册正比例函数的图像和性质
4、正比例函数y=kx在实际应用中、自变量、函数值受实际 条件的制约。
练习题
1，下列函数中，正比例函数是（ )
A. y=-8x
B. y=-8x+1
C. y=8x² +1
D. y=-8/x
2， 已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二，
四象限，那么( )
A,k>0
B,k<0
C k>2
D,k<-2
3， 函数y=(m-3)x³¯™是正比例函数，m为何值？
4.直线y=kx经过点（1，-4），那么k=___ 这条直线在第___象限内，直线上的点的纵坐标随 横坐标的增大而___。已知点A(a,1),B(-2,b)在这条
2
y
·
o1
y= 12x
小结：两图像都是经过原点的直线函数y=2x的图 像从左向右上升，经过第一，三象限；函数y=-2x 的图像从左向右下降，经过第二，四象限。
正比例函数性质：
对于正比例函数y=kx 1、图象都经过原点； 2、当k>0时，它的图象经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大； 3、当k<0时，它的图象经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减少；
2.4
2.自变量x的取值范围0≤x≤35
1.8
3.蜡烛点燃35分钟后可燃烧完。
1.2
0.6
0 12
x
3 45 6
本章总结
1、正比例函数y=kx的图象是经过（0，0）（1，k）的一条直线， 我们把正比例函数y=kx的图象叫做直线y=kx；
2、正比例函数y=kx的图象的画法；
3、正比例函数的性质：
正比例 函数
正比例函数简介：正比例函数是数学中常见的一类函数，它们的图像是一条通过原点的直线。
本文将介绍正比例函数的定义、特点以及相关示例，以帮助读者更好地理解和应用正比例函数。
定义正比例函数是指一种函数关系，其中两个变量的比例保持不变。
设x和y是两个变量，若存在常数k使得对于任意的x，有y=kx成立，则称y是x的正比例函数。
k被称为比例系数。
通常用符号y ∝ x表示两者成比例的关系。
特点1.直线关系：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。
这是因为当x为0时，y=k×0=0，因此原点(0,0)必然在图像上。
2.比例系数：比例系数k决定了直线的斜率。
斜率为正值时表示正相关关系，斜率为负值时则表示负相关关系。
斜率的绝对值越大，变化越快，反之则变化越慢。
3.例外情况：当比例系数k为0时，该函数不再成立。
因为此时代表变量无法通过相等的乘法关系相互联系。
示例以下是几个正比例函数的示例:示例1：函数表达式：y = 2xx | -2 | 0 | 3 | 5 |y | -4 | 0 | 6 | 10 |这个函数描述了一个正相关关系，且比例系数k为2。
当x增加1个单位时，y也增加2个单位。
以原点(0,0)为起点，连接所有的点就得到了一条通过原点的直线。
示例2：函数表达式：y = 0.5xx | -4 | 0 | 2 | 6 |y | -2 | 0 | 1 | 3 |这个函数仍然描述了一个正相关关系，但比例系数k为0.5。
即当x增加1个单位时，y增加0.5个单位。
通过连接所有的点，我们得到一条斜率较小的直线。
示例3：函数表达式：y = -3xx | -3 | 0 | 2 | 5 |y | 9 | 0 | -6 | -15 |这个例子展示了一个负相关关系，当x增加1个单位时，y减少3个单位。
我们可以通过连接所有的点得到一条斜率为负的直线。
应用正比例函数在实际生活中有许多应用。
例如：1.比例尺：地图上的比例尺可以用正比例函数来表示，其中地图上的距离与实际距离之间存在着直接成比例的关系。
正比例函数知识点总结初中
正比例函数知识点总结初中一、正比例函数的概念正比例函数是指函数的导数也是一个常数的函数，它的图象是一条通过原点的直线。
正比例函数的一般形式可以表示为y=kx，其中k是一个常数，称为比例系数。
当x增大时，y也随之增大，且它们之间的比值始终保持不变，这就是正比例函数的特点。
二、正比例函数的性质1. 正比例函数的图象是一条通过原点的直线，且斜率为k。
2. 正比例函数的导数恒为常数k。
3. 正比例函数与y轴平行，可以用y=kx表示。
4. 正比例函数的比例系数k决定了函数图象在坐标系中的倾斜程度和方向。
三、正比例函数的图象和性质分析1. 当k大于0时，正比例函数的图象向右上方倾斜；当k小于0时，图象向左下方倾斜。
2. 当k=0时，正比例函数的图象平行于x轴，函数的图象将是一条通过原点的水平直线。
3. 正比例函数的图象不会有拐点，因为它是一条直线。
四、正比例函数的应用1. 在现实生活中，许多问题可以用正比例函数来描述，比如速度和时间的关系、商品价格和数量的关系等。
2. 在数学学习中，正比例函数的性质可以帮助我们快速理解和求解一些数学问题。
3. 正比例函数也是其他函数的基础，通过研究与比例函数相似的函数，可以更好地理解其他类型的函数。
五、正比例函数的解题技巧1. 当给出一个问题时，首先要明确问题中涉及到的变量和它们之间的关系。
2. 根据问题中的已知条件，列出正比例函数的表达式，并通过图象或计算找出比例系数k。
3. 利用正比例函数的性质，解决问题。
4. 在实际问题中，要注意对函数图象的正确理解，避免出现计算错误。
六、常见错误及解决方法1. 误解正比例函数图象的性质，导致问题解法错误。
解决方法：加强对正比例函数图象特点的理解，多进行实例分析和练习。
2. 对正比例函数的比例系数k概念理解不清，导致计算错误。
解决方法：通过具体的实例及练习，加强对比例系数k的理解，掌握计算方法。
3. 在问题中容易混淆正比例函数和其他函数，导致问题解决错误。
正比例函数及性质
解决实际问题
正比例函数在解决实际问题中也 有广泛应用，例如速度、加速度 等物理量可以用正比例函数表示。
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与反比例函数的区别
反比例函数的一般形式为 $y = frac{k}{x}$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和反比例函数在 图像上都是直线，但它们的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而反比例函数的斜率为 $-k$。此外， 正比例函数的图像过原点，而反比例函数的图像不过原点。
一次函数的一般形式为 $y = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。正比例函数是特殊的一次函数，其形式为 $y = kx$，其中 $k$ 是常数且 $k neq 0$。正比例函数和一次函数在图像上都是直线，但正比例函数的图像过原点，而一次函数的图 像不过原点。
正比例函数和一次函数的斜率不同。正比例函数的斜率为 $k$，而一次函数的斜率为 $a$。斜率决定了函数的增减性，因此正比 例函数和一次函数的增减性也可能不同。
截距
截距定义
正比例函数的图像是一条通过原点的直线，因此没有固定 的截距。但当我们在坐标轴上标出与直线交点的数值时， 这个数值即为该正比例函数的截距。
截距的计算
对于正比例函数$y=kx$，当$x=0$时，$y=0$，因此其 截距为0。
截距的影响
正比例函数的截距不影响函数的增减性，但会影响函数与 坐标轴的交点位置。
正比例函数和二次函数的开口方向也不同。正比例函数的图 像总是向上或向下开口，而二次函数的开口方向取决于 $a$ 的值。当 $a > 0$ 时，抛物线向上开口；当 $a < 0$ 时，抛 物线向下开口。
正比例函数的性质和应用
正比例函数的性质和应用正比例函数是数学中常见并且有重要意义的一类函数，它描述了两个变量之间的线性关系。
在这篇文章中，我们将探讨正比例函数的性质以及其在现实生活中的应用。
一、正比例函数的定义和性质正比例函数的定义很简单：如果两个变量的比例始终保持不变，那么它们之间存在正比例关系。
数学表示为y=kx，其中k为比例常数，x 和y分别为两个变量。
正比例函数的图像是一条直线，通过原点。
正比例函数具有以下性质：1. 与x轴和y轴平行：因为正比例函数过原点，所以它与x轴和y轴平行。
2. 比例常数k的意义：比例常数k表示y和x之间的单位比例关系。
当k>0时，y随着x的增加而增加；当k<0时，y随着x的增加而减少。
3. 值域和定义域：正比例函数的定义域可以是整个实数集，而值域取决于k的符号。
当k>0时，值域为正实数集；当k<0时，值域为负实数集。
4. 与图像的斜率有关：正比例函数的斜率等于比例常数k。
当k>0时，斜率为正；当k<0时，斜率为负；当k=0时，斜率为零，即函数为常值函数。
二、正比例函数的应用正比例函数作为一种简单而常见的数学关系，在现实生活中有着广泛的应用。
1. 经济学中的应用：正比例函数经常用于描述供应和需求之间的关系。
例如，当商品的价格上涨，需求量往往下降，这可以用正比例函数来表示。
同样地，当商品的价格下降，需求量则往往上升。
2. 物理学中的应用：正比例函数在物理学中也是常见的。
例如，牛顿第二定律F=ma中的力和加速度的关系就是一个正比例函数。
力与质量和加速度之间存在着简单的线性关系，比例常数就是质量。
3. 工程学中的应用：正比例函数可以用于描述许多工程问题。
例如，电阻和电流之间的关系就是正比例的，电流是电压和电阻的商。
4. 金融学中的应用：正比例函数也有在金融学领域的应用。
例如，利息和本金之间的关系可以用正比例函数来表示。
利息是本金和利率的乘积。
总结：正比例函数是数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的线性关系。
什么是正比例函数
什么是正比例函数正比例函数是数学中的一种特殊类型的函数，也是初中数学中的重要内容之一。
本文将以通俗易懂的语言介绍正比例函数的定义、性质、图像和应用等方面的知识。
一、正比例函数的定义正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。
它的定义可以表示为：如果一个函数y=kx，其中x和y分别是自变量和函数值，而k是一个常数，那么这个函数就是正比例函数。
其中，k称为比例系数或比例常数。
二、正比例函数的性质1. 零点性质：当自变量为0时，正比例函数的函数值为0。
2. 单调性质：当自变量的值增大时，函数值也随之增大；反之，自变量的值减小时，函数值也随之减小。
3. 比例关系：自变量和函数值之间存在着一种恒定的比例关系，当自变量的值成倍增加或成倍减少时，函数值也相应地成倍增加或成倍减少。
三、正比例函数的图像正比例函数的图像通常是通过原点的直线，其斜率就是比例常数k。
当k>0时，函数图像为上斜直线；当k<0时，函数图像为下斜直线；当k=0时，函数图像为水平直线y=0。
四、正比例函数的应用正比例函数在现实生活中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个正比例函数，它关系到实际距离和地图上的比例。
2. 聚会费用分摊：当朋友们一起聚会时，费用可以根据每个人的消费金额成比例分摊。
3. 速度和时间关系：在汽车行驶过程中，速度和时间之间存在着一种正比例关系，即速度等于行驶距离除以行驶时间。
综上所述，正比例函数是指当自变量的值改变时，函数值也按相同比例发生变化的函数。
它具有零点性质、单调性质和比例关系等性质。
其图像为直线，斜率为比例系数k。
正比例函数在现实生活中有着广泛的应用，比如比例尺、费用分摊和速度与时间关系等。
通过学习正比例函数，可以帮助我们更好地理解数学知识，并将其应用于实际问题中。
初中数学知识归纳正比例函数的概念和性质
初中数学知识归纳正比例函数的概念和性质正比例函数是初中数学中重要的概念之一。
在学习正比例函数的过程中，我们需要了解它的定义、性质以及相关的应用。
本文将对正比例函数的概念和性质进行归纳，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、正比例函数的定义正比例函数是指两个变量之间的关系是成正比的函数。
具体地说，设变量x和y成正比，通常表示为y=kx，其中k是比例系数。
在正比例函数中，两个变量的比值始终保持不变。
二、正比例函数的性质1. 变量之间的比值恒定：正比例函数中，变量y与变量x的比值为常数k。
无论x的取值如何变化，y与x的比值始终保持不变。
2. 图像通过原点：正比例函数的图像必定经过坐标原点(0,0)，这是因为当x为0时，根据函数公式y=kx，可以得到y=0。
这也符合正比例性质，即当x变为0时，y也会变为0。
3. 图像为一条直线：正比例函数的图像是一条直线，且直线的斜率为比例系数k。
这是因为正比例函数可以表示为y=kx，其一阶导数为常数k，因此函数图像为直线。
4. 图像延伸性：正比例函数可以根据比例系数的正负值得到不同的图像。
当k>0时，函数图像从原点向右上方延伸；当k<0时，函数图像从原点向右下方延伸。
5. 当k=1时的特殊情况：当比例系数k=1时，正比例函数变为一次函数y=x。
这是因为正比例函数中的比值恒定为1，即y与x相等。
三、正比例函数的应用正比例函数在实际生活中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的例子：1. 比例尺：在地图中，比例尺用来表示实际距离和地图上的距离之间的关系。
当实际距离和地图上的距离成正比时，我们可以利用比例尺来测量实际距离。
2. 每小时行驶的里程：在汽车行驶中，速度与时间的关系通常是成正比的。
例如，一辆汽车每小时行驶60英里，那么2个小时行驶的里程将是120英里。
3. 电话费用：电话费用通常根据通话时间计算。
如果电话费用与通话时间成正比，我们可以根据通话时间来计算电话费用。
人教版数学八年级下册 正比例函数的概念
(3) 一个长方体的长为 2 cm，宽为 1.5 cm，高为 x cm，
体积为 y cm3.
y = 3x，是正比例函数
一般地，_形__如__y__=_k_x_(__k_是__常__数__，__k_≠__0_)_的__函__数_ 叫做正比例函数
解：(1) y = 5×15x÷100，即 y 是 x 的正比例函数.
(2) 当 x = 220 时，
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
做一做 3. 列式表示下列问题中 y 与 x 的函数关系，并指出哪 些是正比例函数．
(1) 正方形的边长为 x cm，周长为 y cm. y = 4x，是正比例函数
一次 函数
新知一览
函数
常量与变量 函数的图象
函数 函数的表示方法
一次 函数
正比例函数的概念 正比例函数的图象与性质
一次函数的概念 一次函数的图象与性质 用待定系数法求一次函数的解析式
一次函数与方程、不等式
课题学习 选择方案
第十九章 一次函数
19.2.1 正比例函数
第1课时 正比例函数的概念
如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量， 眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的 函数解析式吗？
等号右边是一次单项式，一次项系数不为 0， 次数为 1.
2. 正比例函数 y = kx 的自变量 x 的取值范围是什么? 这与问题 1 中的函数自变量的取值范围有何不同?
自变量 x 的取值范围是全体实数， 注意实际问题：要符合实际情境.
练一练
k 是常数，k ≠ 0
正比例函数详细知识点总结
正比例函数详细知识点总结一、正比例函数的定义1、正比例函数的定义给定两个变量x和y，如果存在一个常数k，使得当x增大k倍时，y也增大k倍，那么称y是x的正比例函数。
我们可以用数学式表示为：y = kx其中，k为常数，称为比例系数。
2、比例系数的含义比例系数k表示两个变量之间的比例关系。
当k>1时，表示y随着x的增大而增大，当0<k<1时，表示y随着x的增大而减小，当k=1时，表示y和x成正比例关系。
3、正比例函数的定义域和值域对于正比例函数y=kx，定义域为实数集R，即x可以是任意实数；值域也为实数集R。
二、正比例函数的性质1、图像特点正比例函数的图像是一条经过原点的直线。
当k>1时，图像是从原点开始向上倾斜的直线；当0<k<1时，图像是从原点开始向下倾斜的直线；当k=1时，图像是经过原点的斜率为1的直线。
2、性质（1）通过原点正比例函数的图像必经过原点，因为当x=0时，y=0。
（2）斜率性质正比例函数的图像斜率为k，斜率表示函数随着自变量的变化而变化的速率。
（3）单调性当k>0时，正比例函数为增函数；当k<0时，正比例函数为减函数。
三、正比例函数的解题方法1、确定比例系数在解题时，首先需要确定比例系数k，可以通过已知条件或者数据关系来确定。
2、构建函数关系根据已知条件构建出正比例函数的函数式。
3、解题步骤（1）根据已知条件确定比例系数k；（2）构建出正比例函数的函数式；（3）应用正比例函数的性质和图像特点进行问题分析和解答。
四、正比例函数的应用正比例函数在实际问题中有着广泛的应用，尤其在数学建模和物理问题中常常出现。
下面举例说明正比例函数的应用：1、代买水果小明要在市场上代买水果，水果摊上的价格是正比例关系，每斤水果的价格是3元，小明要买的数量和购买的金额之间也是正比例关系。
如果他要买5斤水果，需要支付多少钱？解题步骤：（1）根据已知条件确定比例系数k为3；（2）构建出正比例函数的函数式y=3x；（3）代入x=5即可求得所需支付的金额为15元。
正比例函数条件
正比例函数条件
正比例函数是数学中的一个概念，它指的是形如 y=kx 的函数，其中 k 是常数且k ≠ 0。
以下是对正比例函数条件的详细解释：
1. 两个变量：正比例函数涉及两个变量 x 和 y。
这两个变量是自变量和因变量的关系，当 x 变化时，y 会按照一定的规律变化。
2. 比例系数：正比例函数中有一个比例系数 k，这个系数不能为0。
如果
k=0，那么 y 也将等于0，这就不符合正比例函数的定义。
3. 一次式：正比例函数的表达式必须是 y=kx 的一次式。
这意味着 x 和 y
的次数都必须是1，不能有更高次或更低次的项。
4. 线性关系：在正比例函数中，x 和 y 之间存在线性关系，即它们的比值是恒定的。
这意味着无论 x 的值如何变化，y 的值都会按照固定的比例 k 变化。
5. 单调性：正比例函数的图像是一条通过原点的直线。
当 k>0 时，图像经
过第一、三象限，从左往右上升，y 随 x 的增大而增大，即函数是增函数；当k<0 时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y 随x 的增大而减小，即函数是减函数。
6. 对称性：正比例函数的图像关于原点成中心对称，也就是说，如果 (x, y) 在图像上，那么 (-x, -y) 也一定在图像上。
总的来说，正比例函数是一种特殊的线性函数，其特点是当一个变量变化时，另一个变量会按照固定的比例变化。
这种函数在数学、物理和工程等领域都有广泛的应用。
正比例函数的总结归纳图
正比例函数的总结归纳图正比例函数，也称为比例函数或直接比例函数，是数学中一种重要的函数类型。
在正比例函数中，自变量和因变量之间存在着固定的比例关系，即当自变量增大或减小时，因变量也相应地按照相同的比例增大或减小。
正比例函数的常见形式可以表示为y = kx，其中k为比例系数。
正比例函数在实际生活中有着广泛的应用，例如速度和时间、体积和温度、距离和时间等都存在着正比例关系。
本文将对正比例函数的性质、图像特征以及解题方法进行总结归纳，并通过图表来直观地展示。
一、性质总结1. 自变量和因变量之间存在着正比例关系，即y与x成正比。
2. 比例系数k为常数，表示自变量每增加1单位，因变量增加或减少k单位。
3. 当自变量为0时，因变量也为0，即函数图像必过原点。
4. 正比例函数的图像为一条通过原点的直线，斜率为比例系数k。
二、图像特征根据函数的形式y = kx，可以绘制出正比例函数的图像。
以下为几个例子：1. k > 0的情况：当比例系数k大于0时，得到的图像为一条斜率为正的直线，直线从原点出发朝着右上方倾斜。
随着x的增大，y也随之增大；随着x的减小，y也随之减小。
2. k < 0的情况：当比例系数k小于0时，得到的图像为一条斜率为负的直线，直线从原点出发朝着右下方倾斜。
随着x的增大，y会随之减小；随着x的减小，y会随之增大。
3. 特殊情况：当比例系数k等于0时，函数图像变为y = 0，即为x轴。
三、解题方法1. 已知两个点求比例系数k：若已知正比例函数通过两个点(x1, y1)和(x2, y2)，可以使用以下公式求解比例系数k：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)2. 已知k和x求y：已知比例系数k和自变量x，可以使用以下公式求解因变量y：y = kx3. 已知k和y求x：已知比例系数k和因变量y，可以使用以下公式求解自变量x：x = y / k四、应用实例下面通过一些实际问题来应用正比例函数的解题方法：1. 问题：一辆汽车以每小时50公里的速度行驶，行驶2小时后，汽车行驶的总距离是多少？解答：已知速度和时间之间存在着正比例关系，即速度v与时间t 成正比。
初二数学 正比例函数
6、如图所示，若正方形ABCD的边长为2，P为DC上一动点，且不与D、C 两点重合，设DP=x，求△APD的面积y与x之间的函数关系式，并画出函 数的图象．
7、当m、n为何值时，函数y=（2m－3）x1－n＋（m＋n）是正比例函数？
8、y与x＋2成正比例，且x=1时，y=－6． 1）求y与x之间的函数关系式； 2）若点（a，2）在函数图象上，求a的值．
初二数学 正比例函数
一、正比例函数定义：一般的，我们把形如y=kx(k是常数，k≠0) 的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 注意：正比例函数y=kx形式特征：①k≠0；② x的次数是1． 例1、已知函数y=x2n＋m＋(m－n)是正比例函数，求m、n．
例2：已知函数y=(k－4)x|性质：图像是过原点的一条直线. ①当k>0时，图像经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x的增大， y也增大． ②当k<0时，图像经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x的增大， y反而减小． ③画图：理解+总结
(1) y x与y x (2) y x与y 3 x (3) y x与y 3 x
三、用待定系数法求正比例函数解析式 1、设出含有待定系数的函数解析式y=kx(k≠0)． 2、代入(点坐标)得到关于待定系数的方程． 3、解方程，求出待定系数． 4、将求得的待定系数的K值代回解析式 1、若正比例函数的图象经过点（－1，2），则这个图象 必经过点（ ） A．（1，2） B．（－1，－2） C．（2，－1） D．（1，－2）
1、下列函数是正比例函数的是（
）
2、若正比例函数y=（2m－1）x（m为常数），y随x的增大而减小，则m 的取值范围为（ ）
3、点A（－5，y1），B（－2，y2）都在函数的图象上，则y1与y2的大 小关系为（ ） A．y1≤y2 B．y1=y2 C．y1＜y2 D．y1＞y2 4、当m_______时，正比例函数y=（1－m）x的图象经过二、四象限． 5、若正比例函数y=（1－2m）x的图象经过点（x1，y1）和点（x2， y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是__________．
八年级数学下册期末知识点：正比例函数的定义
八年级数学下册期末知识点：正比例函数的定义八年级数学下册期末知识点：正比例函数的定义正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。
正比例函数是一次函数的特殊形式，即一次函数y=kx+b中，若b=0，即所谓“y轴上的截距”为零，则为正比例函数。
正比例函数的关系式表示为：y=kx（k为比例系数）当k0时（一三象限），k越大，图像与y轴的距离越近。
函数值y随着自变量x的增大而增大。
当k0时（二四象限），k越小，图像与y轴的距离越近。
自变量x的值增大时，y的值则逐渐减小。
正比例函数性质：定义域R（实数集）值域R（实数集）奇偶性奇函数单调性当k0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x 的增大而增大（单调递增），为增函数；当k0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x 的增大而减小（单调递减），为减函数。
周期性不是周期函数。
对称性对称点：关于原点成中心对称对称轴：自身所在直线；自身所在直线的垂直平分线正比例函数的定义经典例题对于正比例函数y=2x，当x=1时，函数值y=______．答案:对于正比例函数y=2x，当x=1时，函数值y=2×1=2．故答案为：2．函数y=x的图象在( )A．第一、三象限B．第二、四象限C．第一象限D．第三象限答案:A如果函数y=(a-2)xa2-a-1是正比例函数，则a的值为（）A．2B．-1C．2或-1D．0或2答案:B已知函数y=（m+1）xm2-3是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．2B．-2C．±2D．答案:A正比例函数y=（m-1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是（）A．m=1B．m＞1C．m＜1D．m≥1答案:B正比例函数y=3x是过点（0，______）与（1，______）的一条直线．答案:∵正比例函数的一般形式为y=kx，∴当x=0时，y=0，∴正比例函数的图象一定经过（0，0）点，当x=1时，y=3，则图象过（1，3）点．故答案为：0，3．。
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八年级数学 正比例函数
教学目标
1.理解正比例函数的概念。
2.能根据所给条件写出正比例函数表达式。
3.经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。
4.通过由已知信息写正比例函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。
5.经历利用正比例函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。
教学重点：
1.正比例函数的概念。
2.会根据已知信息写出正比例函数的表达式。
教学过程：
1. 新课导入
有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看：
某弹簧在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加1千克、弹簧长度y 增加0.5厘米。
（1
（2分析：①当挂1千克物体时，弹簧长度增加0.5厘米；
②当增加1千克物体，即所挂物体为2千克时，弹簧又增加0.5厘米，弹簧总增加1厘米； ③当再增加1千克物体，即所挂物体为3千克时，弹簧又增加0.5厘米，弹簧总增加1.5厘米； ④当再增加1千克物体，即所挂物体为4千克时，弹簧又增加0.5厘米，弹簧总增加2厘米； ⑤当再增加1千克物体，即所挂物体为5千克时，弹簧又增加0.5厘米，弹簧总增加2.5厘米；
由此可见，所挂物体每增加1千克，弹簧就伸长0.5厘米，所挂物体为x 千克，弹簧就伸长0.5x 厘米，则弹簧伸长
的长度y= 。
2.做一做
某辆汽车每行驶50千米耗油9升。
（1）完成下表：
3.归纳：正比例函数的概念
我们观察上面的函数关系式y=0.5x ，y=0.18x ，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式。
•一般地，•形如y=•kx •（k •是常数，•k •≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional func-tion ），其中k 叫做比例系数。
注意：（1）.自变量的指数为一次。
（2）.含自变量的式子为整式。
（3）.k ≠ 0
4.例题讲解
例1：下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）
①y=x ；②y=
x 2；③y=8
x
；④y=5x A 、①②③ B 、①③④ C 、①②③④ D 、②③④
例2：写出下列各题中x 与y 之间的关系式，并判断，y 是否为x 的正比例函数？
（１）．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
（２）．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．
（３）．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化．（４）．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化．
解：（１）．根据圆的周长公式可得：L=2 r．
（２）．依据密度公式p=m
V
可得：m=7．8V．
（３）．据题意可知：h=0．5n．
（４）．据题意可知：T=-2t．
例3：一只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数，请写出函数解析式，并求出当燕鸥飞行10天时，它飞行的路程是多少？
解：依题意得
函数解析式为y=200x
当燕鸥飞行10天时，它飞行的路程y=200×10=2000km
答：当燕鸥飞行10天时，它飞行的路程为2000km。
例4、学校准备添置一批篮球，已知所购篮球的总价y（元）与个数x（个）成正比例，当x=4（个）时，y=100（元）。
（1）求正比例函数关系式及自变量的取值范围；
（2）求当x=10（个）时，函数y的值；
（3）求当y=500（元）时，自变量x的值。
解：依题意得
（1）设所求的正比例函数的解析式为y=k x，
∵当x =4时，y =100，
∴100=4k
解得k= 25
∴所求正比例函数的解析式是y=25x
自变量x的取值范围是所有自然数
（2）当x=10（个）时，y=25x=25×10=250（元）。
（3）当y=500（元）时，500=25x，所以x=20（个）。
5.巩固练习：
①汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶路程中y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系式；
②圆的面积y（厘米2）与它的半径x（厘米）之间的关系；
③一棵小树每个月长高2厘米，x月后这棵树长的高度为y（厘米）
本课总结：
1.正比例函数的概念。
2.能根据已知简单信息，写出正比例函数的表达式。
补充练习：
1.小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已有20元，从现在开始，每周存入5元，那么小明的存款y与从现在开始的周数x的关系为．
2.下列函数关系中，哪些属于正比例函数？
(1)面积为10cm2的三角形的底a(cm)与这边上的高h(cm)；
(2)长为8(cm)的平行四边形的周长L(cm)与宽b(cm)；
(3)食堂原有煤120吨，每天要用去5吨，x天后用去煤y吨；
(4)汽车每小时行40千米，行驶的路程s（千米）和时间t（小时）．
根据上表写出y与x之间的关系式是：________________，y是否为x有正比例函数？
4.甲市到乙市的包裹邮资为每千克0.9元，求总邮资y（元）与包裹重量x（千克）之间的函数解析式，并计算9千克重的包裹的邮资
5. 已知△ABC的底边BC=8cm，当BC边上的高从小到大变化时，△ABC的面积也随之变化。
（1）写出△ABC的面积y（cm2）与高x的函数解析式，并指明它是什么函数；
（2）当x=7时，求出y的值。