高考数学复习点拨 期望与方差中的最值问题
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
高考数学离散型随机变量的期望及方差解答题
高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题考点预测和题型解析在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
属于基础题或中档题的层面。
高考中一定要尽量拿满分。
● 考题预测离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。
从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。
● 复习建议1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是：（1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率；（3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。
2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描述随机变量集中趋势的一个特征数。
4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中与分散程度。
● 知识点回顾1．离散型随机变量的期望：（1）若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。
① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。
② ξE 是一个实数，由ξ的分布列唯一确定。
③ 随机变量ξ是可变的，可取不同值。
④ ξE 是不变的，它描述ξ取值的平均状态。
（2）期望的性质：① C C E =)(为常数）C ( ② b aE b a E +=+ξξ)( 为常数）b a ,(③ 若),(~p n B ξ，则np E =ξ （二项分布）④ 若),(~p k g ξ，则pE 1=ξ （几何分布） 2．离散型随机变量的方差（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量ξ可能取的值为,,,,,21 n x x x 且这些值的概率分别为 ,,,,,321n p p p p则称 +-+-=222121)()(p E x p E x D εεε…+-+n n p E x 2)(ε…；为ξ 的方差。
高考数学 百大经典例题——离散型随机变量的期望与方差
开锁次数的数学期望和方差例 有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数ξ的数学期望和方差．分析：求)(k P =ξ时，由题知前1-k 次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如3,2,1=ξ，发现规律后，推广到一般．解：ξ的可能取值为1，2，3，…，n ．;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P nn n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξ nk n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξ；所以ξ的分布列为：231211=⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n E ξ； n n n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n 说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．次品个数的期望例 某批数量较大的商品的次品率是5％，从中任意地连续取出10件，ξ为所含次品的个数，求ξE ．分析：数量较大，意味着每次抽取时出现次品的概率都是0.05，ξ可能取值是：0，1，2，…，10．10次抽取看成10次独立重复试验，所以抽到次品数ξ服从二项分布，由公式np E =ξ可得解．解：由题，()05.0,10~B ξ，所以5.005.010=⨯=ξE ．说明：随机变量ξ的概率分布，是求其数学期望的关键．因此，入手时，决定ξ取哪些值及其相应的概率，是重要的突破点．此题k k k C k P --⋅==1010)05.01()05.0()(ξ，应觉察到这是()05.0,10~B ξ．根据分布列求期望和方差例 设ξ 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，求q 值，并求ξ ξ D E、．分析：根据分布列的两个性质，先确定q 的值，当分布列确定时，ξ ξ D E、只须按定义代公式即可．解： 离散型随机变量的分布满足（1）,,3,2,1,0 =≥i P i （2）.1321=+++P P P 所以有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤=+-+.1,1210,1212122q q q q 解得 .211-=q 故ξ 的分布列为⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-⨯+⨯-=∴2231)12(021)1(ξ E .2122321 -=-+-= ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯--+-⨯-+⨯---=223)]21(1[)12()21(21)]21(1[ 222ξ D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⨯-=2232)12(21)22( 32 .12223123622223 -=-+-+-+-=小结：解题时不能忽视条件i i p k P ==)(ξ时，10≤≤i p ，⋅⋅⋅=,2,1i 否则取了1>q 的值后，辛辛苦苦计算得到的是两个毫无用处的计算．产品中次品数分布列与期望值例 一批产品共100件，其中有10件是次品，为了检验其质量，从中以随机的方式选取5件，求在抽取的这5件产品中次品数分布列与期望值，并说明5件中有3件以上（包括3件）为次品的概率．（精确到0．001）分析：根据题意确定随机变量及其取值，对于次品在3件以上的概率是3，4，5三种情况的和．解：抽取的次品数是一个随机变量，设为ξ ，显然ξ 可以取从0到5的6个整数． 抽样中，如果恰巧有k 个（5,4,3,2,1,0=k ）次品，则其概率为510059010)(C C C k P k k -⋅==ξ按照这个公式计算，并要求精确到0．001，则有.0)5( ,0)4( ,07.0)3( ,070.0)2( ,340.0)1( ,583.0)0(============ξ ξ ξ ξ ξ ξ P P P P P P 故ξ 的分布列为.501.00504007.03070.02340.01583.00=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E由分布列可知，.007.0)3( ,00007.0)3( =≥∴++=≥ξ ξ P P这就是说，所抽取的5件品中3件以上为次品的可能性很小，只有7％．评定两保护区的管理水平例 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：分析：一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件的次数的均值，即数学期望；二是要看发生违规事件次数的波动情况，即方差值的大小．（当然，亦可计算其标准差，同样说明道理．）解：甲保护区的违规次数1ξ的数学期望和方差为：;3.12.032.023.013.001=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE;21.12.0)3.13(2.0)3.12(3.0)3.11(3.0)3.10(22221=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξD 乙保护区的违规次数2ξ的数学期望和方差为：;3.14.025.011.002=⨯+⨯+⨯=ξE41.04.0)3.12(5.0)3.11(1.0)3.10(2222=⨯-+⨯-+⨯-=ξD ；因为2121,ξξξξD D E E >=，所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散和波动．（标准差64.0,1.12211≈===ξσξξσξD D 这两个值在科学计算器上容易获得，显然，σξσξ>1）说明：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值大小还是不够的，比如：两个随机变量的均值相等了（即数学期望值相等），这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周期变化，即计算其方差（或是标准差）．方差大说明随机变量取值分散性大；方差小说明取值分散性小或者说取值比较集中、稳定．射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差例 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数ξ 的分布列，并求出ξ 的期望ξ E 与方差ξ D （保留两位小数）． 分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解． 解： 该组练习耗用的子弹数ξ 为随机变量，ξ 可以取值为1，2，3，4，5．ξ ＝1，表示一发即中，故概率为;8.0)1(==ξ Pξ ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故;16.08.02.08.0)8.01()2(=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故;032.08.02.08.0)8.01()3(22=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故0064.08.02.08.0)8.01()4(33=⨯=⨯-==ξ Pξ ＝5，表示第五发命中，故.0016.02.01)8.01()5(44==⋅-==ξ P因此，ξ 的分布列为0016.050064.04032.0316.028.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξ D .31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=说明：解决这类问题首先要确定随机变量的所有可能取值，然后再根据概率的知识求解对应的概率．准备礼品的个数例 某寻呼台共有客户3000人，若寻呼台准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取．假设任一客户去领奖的概率为4％．问：寻呼台能否向每一位顾客都发出奖邀请？若能使每一位领奖人都得到礼品，寻呼台至少应准备多少礼品？分析：可能来多少人，是一个随机变量ξ．而ξ显然是服从二项分布的，用数学期望来反映平均来领奖人数，即能说明是否可行．解：设来领奖的人数)3000,,2,1,0(, ==k k ξ，所以k k k C k P --⋅==300003000)04.01()04.0()(ξ，可见()04.0,30000~B ξ，所以，12004.03000=⨯=ξE （人）100>（人）．答：不能，寻呼台至少应准备120份礼品．说明：“能”与“不能”是实际问题转到数学中来，即用数字来说明问题．数字期望反映了随机变量取值的平均水平．用它来刻画、比较和描述取值的平均情况，在一些实际问题中有重要的价值．因此，要想到用期望来解决这一问题．。
高考数学拔高题训练：离散型随机变量的期望与方差含详解
高考数学拔高题训练：离散型随机变量的期望与方差学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．对任意实数x ，有3230123(2)(2)(2)x a a x a x a x =+-+-+-，则2a 的值为（）A ．6B ．9C ．12D ．212．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343，12521等.两位数的回文数有11，22，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（）A ．40B ．30C ．20D ．103．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11164．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为（）A ．85B ．86C ．91D ．905．已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲，乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则E ξ=A ．145B ．135C ．73D ．836．某科技公司生产一批同型号的光纤通信仪器，每台仪器的某个部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：时）均服从正态分布()210000,10N ，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数的均值为（）A ．600B ．420C ．375D ．2707．安排A ，B ，C ，D ，E ，F ，共6名义工照顾甲，乙，丙三位老人，每两位义工照顾一位老人，考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有A ．30种B ．40种C ．42种D ．48种8．2020年12月1日，大连市开始实行生活垃圾分类管理.某单位有四个垃圾桶，分别是一个可回收物垃圾桶､一个有害垃圾桶､一个厨余垃圾桶､一个其它垃圾桶.因为场地限制，要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落，每个角落至少摆放一个，则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落，它们的前后左右位置关系不作考虑)（）A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种二、填空题9．已知随机变量()~,B n p ξ，且6E ξ=，3D ξ=，则n =______.10．在MON ∠的边OM 上有5个异于O 点的点，边ON 上有4个异于O 点的点，以这10个点（含O 点）中的3个点为顶点，可以得到___________个三角形.11．某校周五的课程表设计中，要求安排8节课（上午4节、下午4节），分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻（注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻），则周五的课程顺序的编排方法共有______．12．一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取1只，每一次取后不放回．若已知第1只是好的，则第2只也是好的的概率是______．三、解答题13．212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式一共有16项.（1）求展开式中二项式系数之和；（2）求展开式中的常数项.14．10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：（1）甲中奖的概率.（2）乙中奖的概率.（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.15．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列；②设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率．16．某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温（单位：℃）有一定关系：最高气温低于25，需求量为1000千克；最高气温位于[25，30）内，需求量为2000千克；最高气温不低于30，需求量为3000千克．为了制订2020年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到下面的频率分布直方图．以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．（1）求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；（2）设2020年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E （Y）取到最大值？17．7本不同的书分给5人，每人至少1本，共有多少种不同的分法？18．随着国家对体育、美育的高度重视，不少省份已经宣布将体育、美育纳入中考范畴．某学校为了提升学生的体育水平，决定本学期开设足球课，某次体育课上，体育器材室的袋子里有大小、形状相同的2个黄色足球和3个白色足球，现从袋子里依次随机取球．（1）若连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率；（2）若无放回地取3次，每次取1个球，取出黄色足球得1分，取出白色足球不得分，求总得分X的分布列．参考答案：1．A 【解析】【分析】由33[(2)2]x x =-+，根据二项式定理可得特定项系数.【详解】因为33[(2)2]x x =-+，所以123C 26a =⨯=，故选：A.2．A 【解析】【分析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果.【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8，中间一位数均有10种可能，所以有41040⨯=个，故选：A 【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题.3．A 【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．4．B 【解析】【分析】根据题意，分三类，第1类，男生甲入选，女生乙不入选，第2类，男生甲不入选，女生乙入选，第3类，男生甲入选，女生乙入选，分别求得其方法数，然后利用分类计数原理求解.【详解】由题意，可分三类：第1类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为122133434331C C C C C ++=；第2类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为122134343434C C C C C ++=；第3类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为2112343421C C C C ++=．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86．故选：B 5．A 【解析】【分析】先求出ξ的可能取值及取各个可能取值时的概率，再利用1122i i E p p p ξξξξ=+++ +可求得数学期望.【详解】ξ的可能取值为2,3,4.2ξ=表示从甲口袋中取出一个红球，从乙口袋中取出一个白球，故()33925525P ξ==⨯=.3ξ=表示从甲、乙口袋中各取出一个红球，或从甲、乙口袋中各取出一个白球，故()3223123555525P ξ==⨯+=.4ξ=表示从甲口袋中取出一个白球，从乙口袋中取出一个红球，故()22445525P ξ==⨯=.所以9124142342525255E ξ=⨯+⨯+⨯=.故选A.【点睛】求离散型随机变量期望的一般方法是先求分布列，再求期望.如果离散型随机变量服从二项分布(),B n p ，也可以直接利用公式E np ξ=求期望.6．C 【解析】【分析】计算得出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数服从二项分布31000,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用二项分布的期望公式可求得结果.【详解】由题意可知，该部件每个元件正常工作超过10000小时的概率均为12，则该部件正常工作超过10000小时的概率为21131228⎡⎤⎛⎫-⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的台数服从二项分布31000,8B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故所求均值为310003758⨯=.故选：C.7．C 【解析】利用间接法求解，首先计算出所有的安排方法，减掉A 照顾老人甲的情况和B 照顾老人乙的情况，再加回来多减一次的A 照顾老人甲的同时B 照顾老人乙的情况，从而得到结果.【详解】6名义工照顾三位老人，每两位义工照顾一位老人共有：2264C C 90=种安排方法其中A 照顾老人甲的情况有：1254C C 30=种B 照顾老人乙的情况有：1254C C 30=种A 照顾老人甲，同时B 照顾老人乙的情况有：1143C C 12=种∴符合题意的安排方法有：9030301242--+=种本题正确选项：C 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，对于限制条件较多的问题，通常采用间接法来进行求解.8．C 【解析】分析题意，得到有一个固定点放着两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，之后相当于三个元素分配到三个地方，最后利用分步乘法计数原理，求得结果.【详解】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，先选出两个垃圾桶，有246C =种选法，之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有33A 种放法；所以不同的摆放方法共有23436636C A ⋅=⨯=种，故选：C.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关排列组合综合题，解题方法如下：（1）首先根据题意，分析出有两个垃圾桶分到同一个地方，有246C =种选法；（2）之后就相当于三个元素的一个全排；（3）利用分步乘法计数原理求得结果.9．12【解析】根据二项分布的期望和方差公式可得出关于n 、p 的方程组，即可求得n 的值.【详解】()~,B n p ξ ，由二项分布的期望和方差公式得()613E np D np p ξξ==⎧⎨=-=⎩，解得1212n p =⎧⎪⎨=⎪⎩.故答案为：12.【点睛】本题考查利用二项分布的期望和方差公式求参数，解答的关键就是得出关于n 和p 的方程组，考查运算求解能力，属于基础题.10．90【解析】【分析】从10个点中任取3个点有310C 种情况，然后减去三点共线的情况即可得答案【详解】先不考虑共线点的问题，从10个点中任取3个点有310C 种情况.其中从边OM 上的6个点（含O 点）中任取3个点为顶点，不能得到三角形，有36C 种情况；从边ON 上的5个点（含O 点）中任取3个点为顶点，也不能得到三角形，有35C 种情况.所以共可以得到3331065C C C 12020--=--1090=个三角形.故答案为：9011．2400种【解析】【分析】分三步，第一步：根据题意从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，第二步：将数学和英语捆绑排列，第三步：将剩下的5节课全排列，最后利用分步乘法计数原理求解.【详解】分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置安排生物，有122A =（种）编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，所以有225A 10=（种）编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有55A 120=（种）编排方法．根据分步乘法计数原理知共有2101202400⨯⨯=（种）编排方法．故答案为：2400种12．59【解析】【分析】令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，由()1519C C P B A =可求得答案.【详解】解：令A ={第1只是好的}，B ={第2只是好的}，因为事件A 已发生，所以我们只研究事件B 即可，在A 发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只是好的，所以()1519C 5C 9P B A ==．故答案为：59.13．（1）152；（2）96096.【解析】【分析】（1）先由21(2n x x+的展开式一共有16项得15n =，即可求得展开式中二项式系数之和；（2）根据展开式的通项153031152r rr r T C x --+=⋅⋅，令3030r -=，即可求出常数项.【详解】（1）由21(2)n x x+的展开式一共有16项得15n =，∴2151(2)x x +得展开式中二项式系数之和为：152；（2）由2151(2x x+得展开式的通项为：()152********15122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3030r -=，得10r =，∴展开式中的常数项为10151015230033296096C -⋅=⨯=.【点睛】本题考查二项式定理及其应用，其中()na b +的展开式通项1C r n rr r n T a b -+=的熟练运用是关键，是基础题.14．（1）310；（2）310；（3）13【解析】【分析】（1）设“甲中奖”为事件A ，根据古典概型的概率公式计算可得；（2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB =+=+，再求出()P AB ，()P AB ，即可得解；（3）根据条件事件的概率公式计算可得；【详解】解：（1）设“甲中奖”为事件A ，则()310P A =（2）设“乙中奖”为事件B ，则()()()()P B P AB AB P AB P AB=+=+又()32110915P AB =⨯=，()73710930P AB =⨯=所以()()()179315303010P B P AB P AB =+=+==（3）因为()710P A =，()730P AB =所以()()()7130|7310P AB P B A P A ===【点睛】本题考查古典概型的概率公式，条件概率的概率公式的应用，属于基础题.15．(1)3人，2人，2人；(2)①答案见解析；②67．【解析】【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（2）①随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P （X =k ）=34337C C C k k -⋅（k =0，1，2，3）．所以，随机变量X 的分布列为X0123P 13512351835435②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A=B∪C，且B与C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=67．所以，事件A发生的概率为67．16．（1）答案见解析；（2）2000千克．【解析】【分析】（1）由题意知X的可能取值为1000，2000，3000，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000，当100≤n＜2000时，求出E（Y）＝5.2n+2800＜13200；当2000≤n≤3000时，求出EY＝14000﹣0.4n≤13200，由此能求出当一天的进货量为2000千克时，E（Y）取到最大值．【详解】（1）由题意知X的可能取值为1000，2000，3000，P（X＝1000）＝（0.0089+0.0311）×5＝0.2，P（X＝2000）＝0.0800×5＝0.4，P（X＝3000）＝（0.0467+0.0333）×5＝0.4，∴X的分布列为：X100020003000P0.20.40.4（2）设一天的进货量为n千克，则1000≤n≤3000，①当1000≤n＜2000时，若最高气温不低于25，则Y＝8n，若最高气温低于25，则Y＝1000×8﹣（n﹣1000）×6＝14000﹣6n，此时E（Y）＝0.8×8n+0.2×（14000﹣6n）＝5.2n+2800＜13200．②当2000≤n≤3000时，若最高气温不低于30，则Y＝8n，若最高气温位于[25，30）内，则Y＝2000×8﹣（n﹣2000）×6＝28000﹣6n，若最高气温低于25，则Y＝1000×8﹣（n﹣1000）×6＝14000﹣6n，此时，EY ＝0.4×8n +0.4×（28000﹣6n ）+0.2×（14000﹣6n ）＝14000﹣0.4n ≤13200，当且仅当n ＝2000时，取等号，综上，当一天的进货量为2000千克时，E （Y ）取到最大值．17．16800(种)【解析】【分析】先将7本不同的书分成5组，每组有1、1、1、1、3本或1、1、1、2、2两种情况，再把这五组分配给5人，运用分步乘法原理可得结果.【详解】解:第一步，先把7本不同的书分成5组，每组有1、1、1、1、3本或1、1、1、2、2两种情况，有31111221117432175321423423140C C C C C C C C C C A A A +=⋅(种)方法.第二步，再把这五组分配给5人有55120A =(种)方法.故共有14012016800⨯=(种)不同的分法.18．（1）35；（2）分布列见解析.【解析】【分析】（1）利用古典概型概率公式即求；（2）由题知X 的取值范围为{}0,1,2，分别求概率，即得.【详解】（1）从袋子里连续抽取3次，每次取1个球，设事件A 为“取出1个黄色足球、2个白色足球”，则()122335C C 3C 5P A ==．（连续抽取3次，每次取1个球，求取出1个黄色足球、2个白色足球的概率问题可转化为从5个足球中选出3个足球，其中有1个黄色足球、2个白色足球的概率问题）（2）X 的取值范围为{}0,1,2，则()33351010===A P X A ，()11232335315C A A P X A ===，()221323353210===C A A P X A ．所以总得分X的分布列为：X012P 11035310。
高考数学复习点拨 函数应用题中的最值问题选解
用心 爱心 专心函数应用题中的最值问题选解函数是高中数学主要内容，涉及函数的应用问题，题源丰富、背景深刻、题型新颖、解法灵活，是历年高考的热点之一．有很多应用体涉及到“方案最优化”问题，其解决方法一般是建立“目标函数”，从而化归为求目标函数的最大值或最小值问题．例1 渔场中鱼群的最大养殖量是m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．⑴写出y 关于x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；⑵求鱼群年增长量的最大值；⑶当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 的取值范围．解：⑴因鱼群的年增长量为m 吨，实际养殖量为x 吨，则空闲量为(m －x)吨，空闲率为mx m -= 1－m x ． 依题意，鱼群年增长量为：y = kx(1－mx )，定义域为0＜x ＜m ． ⑵ y = kx(1－m x ) =－m k (x －2m )2+4km ，当x =2m 时，y max =4km ，即鱼群年增长量的最大值为4km ． ⑶ 由于实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量，所以有0＜x + y ＜m ，即0＜2m +4km ＜m ，解得－2＜k ＜2，再注意到k ＞0，得0＜k ＜2． 评析：此题中专业术语多，如最大养殖量、实际养殖量和年增长量等，很不容易理解清楚，主要问题是抓住涉及数量关系的一句话：“已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x 吨与空闲率乘积成正比．”理解并求出空闲率mx m -，就可列出函数表达式．由于是二次函数，处理时可依据二次函数求最值的方法来求．而实际养殖量和年增长量之和小于最大养殖量应是社会常识，在阅读题意中要得到这个隐含条件．例2 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．⑴当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？⑵设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数P =)(x f 的表达式；用心⑶当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价－成本)．解：⑴设每个零件的实际出厂价恰好降为51元，一次订购两为x 0个，则x 0= 100＋02.05160-= 550． 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰降为51元．⑵当0＜x ≤100时，P = 60；当100＜x ＜550时，P = 60－0.2(x －100) = 62－50x ； 当x ≥550时，P = 51． 所以P =)(x f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<.550,51)(,550100,5062,1000,60x N x x x x ⑶设销售商的一次订购量为x 个时，服装厂获得的利润为L 元，则L = (P －40)x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥∈<<-≤<.550,11)(,550100,5022,1000,202x x N x x x x x x 当x = 500时，L = 6000；当x = 1000时，L = 11000.因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元；如果订购1000个，利润是11000元．评析：此例主要考查应用分段函数、一元二次函数等知识综合解答实际问题的能力，以函数为主线的联系实际的应用问题正是近几年高考的热点和重点题型．分段函数是自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数．分段函数不仅形式独特，而且应用广泛，求分段函数的最值，应先求出函数在各段上的最值，然后加以比较，其中最大(小)者就是分段函数在整个定义域上的最大(小)值．例3 某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状态良好的某种消费品专卖店，并约定用该店用心 爱心 专心 经营的利润逐步偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销售量q(百件)与销售价p(元/件)之间的关系用右下图中的一条折线(实线)表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元．⑴若当销售价p 为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数； ⑵若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？解：⑴设该店的月利润为S 元，有职工m 名．则S = q(p －40)×100－600m －13200．又由图可知：q =2140,(4058)82.(5881)p p p p -+≤≤⎧⎨-+<≤⎩所以，S=(2140)(40)10060013200,(4058)(80)(40)10060013200,(5881)p p m p p p m p -+-⨯--≤≤⎧⎨-+-⨯--<≤⎩由已知，当p = 52时，S = 0，即(－2p ＋140)(p －40)×100－600m －13200 = 0，解得m = 50，即此时该店有50名职工．⑵若该店只安排40名职工，则月利润S=⎩⎨⎧≤<-⨯-+-≤≤-⨯-+-)8158(.37200100)40)(82()5840(,37200100)40)(1402(p p p p p p 当40≤p ≤58时，求得p = 55时，S 取最大值7800元；当58＜p ≤81时，求得p = 61时，S 取最大值6900元．综上，当p = 55时，S 有最大值7800元．设该店最早可在n 年后还清债务，依题意，有12n ×7800－26800－200000≥0，解得n ≥5．所以，该店最早可在5年后还清债务，此时消费品的单价定为55元． 评析：利用函数图象所表示的几何意义，借助于几何图形的直观性是求分段函数最值问题常用的策略之一．。
高考数学最值问题及解题思路分享
高考数学最值问题及解题思路分享在高考数学中，最值问题是一道经典的题型，出现频率较高。
关于最值问题，我们可以从以下三个方面来进行探讨：最大值、最小值和最优解。
接下来，我们将从这三个方面入手，来一起学习解题思路。
一、最大值最大值问题通常可以通过以下步骤来解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最大值点。
2. 计算：将最大值点代入原函数，可得函数的最大值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=x^3-3x+1$，求其在区间$[-2,2]$上的最大值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3x^2-3$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\pm1$。
由此得出，当$x=\pm1$时，函数$f(x)$取得最大值。
将$x=\pm1$代入原函数，可得最大值为$f(1)=f(-1)=3$。
二、最小值与最大值问题类似，最小值问题也可以通过以下步骤解决：1. 求导数：首先需要对函数进行求导，找到导数为零的点，即可找到函数的最小值点。
2. 计算：将最小值点代入原函数，可得函数的最小值。
3. 可能存在的特殊情况：若导数不存在或导数为无穷大时，需要另外进行判断。
在多数情况下，最值点就是导数为零的点。
举个例子：已知函数$f(x)=(x-1)^3-x^2$，求其在区间$[0,2]$上的最小值。
解：首先，求导数：$f'(x)=3(x-1)^2-2x$。
令$f'(x)=0$，可得极值点$x=\frac{3}{4}$和$x=2$。
由此得出，当$x=\frac{3}{4}$和$x=2$时，函数$f(x)$取得最小值。
将$x=\frac{3}{4}$和$x=2$代入原函数，可得最小值为$f(\frac{3}{4})=\frac{-49}{64}$和$f(2)=-4$。
三、最优解在实际问题中，我们通常要找到一个最优解，这个解可能既不是最大值也不是最小值，而是在某种条件下最合适的解。
新课标高考期望与方差经典高考题
期望与方差1.某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．2.某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列．3.一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ 表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ 的分布列．4.一批零件中有9个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．5.（20XX年高考（安徽理））某单位招聘面试,每次从试题库随机调用一道试题,若调用的是A类型试题,则使用后该试题回库,并增补一道A类试题和一道B类型试题入库,此次调题工作结束;若调用的是B类型试题,则使用后该试题回库,+道此次调题工作结束.试题库中现共有n m试题,其中有n道A类型试题和m道B类型试题,以X表示两次调题工作完成后,试题库中A类试题的数量.(Ⅰ)求2=+的概率;X n(Ⅱ)设m n=,求X的分布列和均值(数学期望).6.（20XX年高考（天津理））现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:ξ-,求随机(Ⅲ)用,X Y X Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记=||变量ξ的分布列与数学期望Eξ.本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=⨯==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=⨯==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=⨯==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：解：由题：⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3~B ξ，所以3,2,1,0,4143)(33=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==-k C k P kkk ξ，分布列为说明：n 次独立重复实验中，以事件发生的次数ξ为随机变量．解：随机变量ξ 的取值为3，4，5．当ξ ＝3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1，2，故有;101C C )3(3523===ξ P当ξ ＝4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3的3球中取2个，故有;103C C )4(3523===ξ P当ξ ＝5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4的4球中取2个，故有.53106C C )5(3523====ξ P因此，ξ 的分布列为解：以ξ 表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则ξ 是一个随机变量，由题设ξ 可能取的数值是0，1，2，3．当ξ ＝0时，即第一次就取到合格品，其概率为;750.0123)0(===ξ P 当ξ ＝1时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得合格品，其概率为;204.0119123)1(≈⋅==ξ P 当ξ ＝2时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为;041.0119112123)2(≈⋅⋅==ξ P 当ξ ＝3时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为.005.099101112123)3(≈⋅⋅⋅==ξ P所以ξ 的分布列为说明：一般分布列的求法分三步：（1）首先确定随机变量ξ的取值哟哪些；（2）求出每种取值下的随机事件的概率；（3）列表对应，即为分布列．【解析】(I)2X n =+表示两次调题均为A 类型试题,概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)m n =时,每次调用的是A 类型试题的概率为12p =随机变量X 可取,1,2n n n ++21()(1)P X n p ==-=,1(1)2(1)P X n p p =+=-=,21(2)4P X n p =+==(1)(2)1424EX n n n n =⨯++⨯++⨯=+答:(Ⅰ)2X n =+的概率为12n n m n m n +⨯+++ (Ⅱ)求X 的均值为1n +1. 【命题意图】本小题主要考查古典概型及其计算公式,互斥事件、事件的相互独立性、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为13,去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件(0,1,2,3,4)i A i =,则4412()()()33i i ii P A C -=.(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为22224128()()()3327P A C ==. (2)设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B ,则34B A A =⋃,由于3A 与4A 互斥,故334434441211()()()()()()3339P B P A P A C C =+=+=所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能的取值为0,2,4,由于1A 与3A 互斥,0A 与4A 互斥,故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181P P A P P A P A P P A P A ξξξ=====+===+= 所以ξ的分布列为ξ0 2 4p827 40811781随机变量ξ的数学期望84017148024********E ξ=⨯+⨯+⨯=.。
高考数学复习考点知识与结论专题讲解61 随机变量分布列、期望与方差
高考数学复习考点知识与结论专题讲解 第61讲 随机变量分布列随机变量分布列、、期望与方差【知识通关】通关一、离散型随机变量分布离散型随机变量分布列列1. 离散型随机变量的分布列的表示一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12,,,n x x x ，X 取每一个值()12,,,i x n 的概率12,i i P X x p i n === （）,,，则下表称为随机变量X 的概率分布列，简称为x 的分布列.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p为了简单起见，也可以用等式12,i i P X x p i n === （）,,，表示X 的分布列. 2. 离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质： （1）012,,,i P i n ≥= ，； （2）121i n p p p p +++++= ；（3）1i j i i j Px x x P P P +≤≤=+++ （）（*,i j i j N <∈且）. 通关二通关二、、离散型随机变量的均值与方差1. 期望与方差的表示一般地，若离散型随水变量X 的概率分布列为：则称1122i i n n E X x P x P x p x p =+++++ （）为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了高散型随机变量取值的平均水平；称()21ni i i D x x E X p = =− ∑（）为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X与其均值E （Xx 的标准差. 2. 均值的性质若y aX b =+，其中a b ，是常数，X 是随机变量，则均值的性质：（1）Ek k =（）（k 为常效）； （2）EaX b aB X b +=+（）（）； （3）1212E X X E X E X +=+（）（）（）； （4）若12,X X 相互独立，则1212·E X X E X E X ⋅=（）（）（）. 3. 方差的性质（1）0Dk =（）（k 为常数）； （2）2D aX b a D X +=（）（）；（3）22[]D X E X E X =−（）（）（）.X 1x 2x i x n x P1p2pi pn p通关三通关三、、正态分布曲缆及特点我们把画数224()(),(,)k n nn x x ϕ−−−==−∞+∞（其中u 是样本均值，σ是样本标准差）的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.（1）曲线位手x 轴上方，与x 轴不相交； （2）曲线是单峰的，它关于直线x µ=对称；（3）曲线在x µ=（4）曲线与x 轴之间的面积为1；（5）当σ一定时，曲线的位置由u 确定，曲线随着u 的变化而沿x 轴平移；（6）当u 一定时，曲线的形状由σ确定；σ越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 【结论第讲】结论一结论一、、求解离散型随机变量X 的分布到的步的分布到的步骤骤1. 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；2. 求X 取每个值的概率；3. 写出X 的分布列；4. 根据分布列的性质对结果进行检验.【例1】甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都投球3次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为13，乙每次投篮投中的概率为12，且各次投篮互不影响，（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投球次数ξ的分布列.【解析】设,k k A B 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”，则()()()1112233,,,,k k P A P B k ===.（1）记“甲获胜”为事件C ，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知1112112231122111()()()()()()()()()()()P C P A P A B A P A B A B A P A P A P B P A P A P B P A =++=++32221211211111133323323392727()()()().P B P A +×+=++==××× （2）ξ的所有可能取值为1，2，3且111121213323()()()P P A P A B ξ×==+=+=；1222221112921121232332()()()(( =)P P A B A P A B A B ξ+==+=×××11223()()P P A B A B ξ==22211329()(×==, 综上ξ的分布列为：【变式】在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手进人第三轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进人第三轮考核的概率；（3）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列.【解析】设事件i A （1234i =，，，）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知234154316543(),(),(),()P A P A P A P A ==== （1）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123543116546()()()()()()P B P A A A P A P A P A ===××−= （2）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123112123P ( C ) = P ( ++ )=P ( )+P ()+P ( )A A A A A A A A A A A A 1515431665654()××=++×−12=（3）x 的可能取值为1，2，3，4.1231211541541213665665()();()()();()(P X P A P X P A A P X A P A A =======×−===×12331553114466442(;()()P X P A A A −===×=××=所以，x 的分布列为：结论二结论二、、期望与方差的一般计算步骤1. 理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；2. 求X 取各个值的概率，写出分布列；3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.【例2】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：最高气温 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30， 35） [35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，P （X=200）=2160290.+=36257430004500049090().,().P X P X ++====== 所以X 的分布列为：X 200 300 500 P0. 20. 40. 4（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，所以只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时，若最高气温不低于25，则Y=6n -4n =2n ；若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n -300）-4n =1200-2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2(n -200）-4n =800-2n ； 所以F(Y ）=2n ×0. 4+(1200-2n )×0. 4+(800-2n )×0. 2=640-0. 4n . 当200≤n ≤300时，若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n ； 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（m -200）-4n =800-2n ；所以E(Y ）=2n×(0. 4+0. 4)+(800-2m )×0. 2=160+1. 2n .综上，当n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元【变式】为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.（1）求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；（2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【解析】（1）设事件A 为“甲乙排在前两位”，则232355110()()A A n A P A n Q A ⋅===（）. （2）X 的可能取值为0,1,2,3，则232323235555432301510();(),A A A A P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======23332323555211123510();()A A A B P X P X A A ⋅⋅⋅⋅======. 所以x 的分布列为：结论三结论三、、二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 恰好发生次的概率为1k k n k n P X k C p p −==−（）（）"，k=0，1，2…，n ，则称随机变量X 服从二项分布，记作x ~B （n ，p ）.X1nP001nn C p p −（） 1111n n C p p −−（）1n n n C p p −（）要点诠释：1E X np D X np p ==−（），（）（）. 【例】3为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.（1）求4人恰好选择了同一个公园的概率；（2）设选择甲公园的志愿者的人数为X ，试求X 的分布列及期望.【解析】（1）设“4人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有3’种等可能的情况，事件A 所包含的等可能事件的个数为3，所以431273P A ==（）,故4人恰好选择了同一个公园的概率为127（2）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C ，则13P C =（）. 4人中选择甲公园的人数X 可看作4次独立重复试验中事件C 发生的次数. 因此，随机变量X 服从二项分布X 可取的值为0，1，2，3，4.4141233()()()i i P X i C −==，i=0，1，2，3，4.X 的分布列为：X 的期望为14433()E X np ==×=【变式】一家面包房根据以往某种将日销售量落入各组的频率视为概（1）求在未来连续3天里，有的概率；（2）用X 表示在未来3天里日方差D(X ）.【解析】（1）设1A 表示事件“日销件“在未来连续3天里，有连续2天的1000600040002...P A =++（）（）2000350015..P A P =×==（），（（2）X 的可能取值为0，1131061.P X C ==−（）（）（3333060216..P X C ===（）（）. 随机变量X 的分布列为：X P往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直视为概率，并假设每天的销售量相互独立.里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量x 的分布日销售量不低于100个”，2A 表示事件“日销售量低于天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低5006.×=，060601520108....B ×××=）.1，2，3，相应的概率为：03010P X C ==−（）（222130602882061060432.....P X C ===−=）；（）（）（）0 1 2 30064. 0288. 0432. 0216.分布直方图，如图所示. 天的日销售量低于50个的分布列、期望E(X ）及量低于50个”，B 表示事售量低于50个”，因此360064..=）； ；因为X~B （3，0. 6），所以期望30618..E X np ==×=（），方1306106072...D X p p =−=××−=（）（）（）.结论四结论四、、超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则012,,,,,,k n kN NMM nC P X k k m C C −−==== （）其中min{,},m M n =且*,,,,n N M N n M N N ≤≤∈. 要点诠释：21()()(),()()nM nM N M N n E X D X N N N −−==− 【例】4某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4. 现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；（2）设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望.【解析】（1）由已知得11234321013C C C P C ⋅+==,所以事件A 发生的概率为13. （2）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.222111111334333434222101010474012151515 ();();()C C C C C C C C C P X P X P X C C C +++========= 所以，随机变量x 的分布列为：随机变量X 的数学期望4740121151515()E X =×+×+×=.【变式】为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10名教师中任选3人去参加支教活动. 这10名教师中，语文教师3人，数学教师4人，英语教师3人.（1）求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率； （2）求选出的3人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望.【解析】设事件i A 为“3人中有i 名语文教师”，j B 为“3人中有j 名数学教师”，事件A 为“语文教师人数多于数学教师人数”，所以3213412213333310021333331010101099121120C C C C C C C P A P A B P A B P A B P A C C C C ++++++==+++=（）（）（₂）（）（）31120=. （2）语文教师人数X 可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H （10，3，3），所以2217713331301310031211356301212020120,(),(),C C C P C C C C X P X P X C =========（）3331031201()C P X C ===. 所以X 的分布列为：所以356321*********12012012010()E X =×+×+×+×=.结论五结论五、、利用期望与方差进行决策若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量12,ξξ的期望，若12()()E E ξξ=时，则用12(),()D D ξξ来比较这两个随机变量的偏离程度. 若1()E ξ与2()E ξ比较接近，且期望较大者的方差校小，显然该变量更好；若1()E ξ与2()E ξ比较接近且方差相差不大时，应根据不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.【例5】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下；支付方式支付金额（元）（0，1000]（1000，2000]大于2000 仅使用A |18人 9人 3人 仅使用B10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率； （2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A 的有30人，仅使用B 的有25人，所以A ，B 两种支付方式都使用的人数有：100-5-30-25=40. 从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4004100.p ==.（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X 的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A 的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有l8人，超过1000元的有12人，样本仅使用B 的学生有25人，其中支付金额在（0. 1000]的有10人，超过1000元的有15人.所以1810180618151239013013025750253025307525;();P X P X ××+========（）121518023025750256()P X ====×. 所以x 的分布列为：数学期望61360121252525()E X =×+×+×=.（3）不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：样本中仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为3333014060C p C ==,虽然概率较小，但发生的可能性为14060,故不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.。
版高考数学一轮总复习概率与统计中的期望与方差应用题
版高考数学一轮总复习概率与统计中的期望与方差应用题高考数学一轮总复习概率与统计中的期望与方差应用题概率与统计是高考数学中的一大难题，涉及了许多与概率相关的概念和计算方法。
其中，期望与方差是概率与统计中的重要概念，也是应用最广泛的内容之一。
本文将介绍概率与统计中的期望与方差的应用题，并探讨其解题方法和实际应用。
1. 期望应用题期望是概率与统计中的一个重要概念，表示随机变量的平均值。
在概率与统计的应用中，期望可以用来计算某个随机事件的平均值或预测未来事件的结果。
例题1：某电子游戏中，一次游戏中奖概率为0.2，中奖金额分别为100元、200元、300元和400元的概率分别为0.3、0.4、0.2和0.1。
求一次游戏的平均奖金。
解析：设随机变量X表示一次游戏的中奖金额，则X的取值为100、200、300和400。
根据期望的定义，一次游戏的平均奖金E(X)可以计算如下：E(X) = 100 × 0.3 + 200 × 0.4 + 300 × 0.2 + 400 × 0.1= 30 + 80 + 60 + 40= 210所以一次游戏的平均奖金为210元。
2. 方差应用题方差是概率与统计中用来表示随机变量与其均值偏离程度的指标，它的大小与随机变量的波动程度有关。
在实际应用中，方差可以用来衡量风险、评估数据的离散程度以及进行财务分析等。
例题2：某商店每天的顾客人数服从正态分布N(40, 9)，表示均值为40，方差为9。
若商店的营业时间为8小时，请问每小时的平均顾客人数的方差是多少？解析：设随机变量X表示每小时的顾客人数，则X服从正态分布N(40/8, 9/8)。
根据方差的定义，每小时的平均顾客人数的方差Var(X)可以计算如下：Var(X) = 9/8所以每小时的平均顾客人数的方差为9/8。
3. 实际应用期望与方差的概念在实际应用中有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景。
高考数学复习点拨 与随机变量期望、方差有关的最值问题
与随机变量期望、方差有关的最值问题
随机变量分布列、期望、方差是新教材的新增内容，同时也是近年来高考的新热点和重点知识，分布列、期望、方差的计算是概率部分计算的延伸，求随机变量的分布列、期望的关键是对基本概念的理解和概率的计算以及分布列、期望、方差的性质等.下面举例说明与随机变量期望、方差有关的最值问题的解法。
例. 若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p （0<p<1）,用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数.
(1)求方差D ξ的最大值;
(2) 求ξ
ξE D 12-的最大值. 解析: 随机变量ξ的所有可能取值为0,1,并且有p （ξ=1）=p, p （ξ=0）=1-p, 从而E ξ=o ×(1-p)+1×p=p,
D ξ= (0-p) 2×(1-p)+ (1-p) 2×p=p-p 2
, (1) D ξ =p-p 2=-(p 2-p+41)+41=- (p-2
1) 2+41, ∵0<p<1,∴当p=2
1时, D ξ取得最大值,最大值为41. (2) ξξE D 12-= )12(21)(22p
p p p p +-=--, ∵0<p<1,∴2p+p 1≥22.当2p=p 1,p=2
2时,取“=” 因此，当p=22时，ξ
ξE D 12-取得最大值2-22. 温馨提示：显然随机事件A 服从两点分布，EX 和DX 易得。
求方差D ξ的最大值用二次函数，求ξ
ξE D 12-的最大值则用基本不等式，本题考查了随机变量分布列、期望、方差等与其它知识的联系。
练习：若p 为非负实数，随机变量ξ的概率分布列为
则 E ξ的最大值为 ，D ξ的最大值为 . 温馨提示：23，1.。
2023年高考数学冲刺 高中数学求最值的方法全梳理
2023年高考数学冲刺高中数学求最值的方法全梳理在高中数学中，求最值是一个非常重要的概念，也是考试中经常会涉及到的一个考点。
在2023年高考数学冲刺阶段，掌握求最值的方法将有助于提高数学成绩。
下面将全面梳理高中数学中求最值的方法，希望能帮助大家更好地备战高考。
一、一元一次函数求最值对于一元一次函数y=kx＋b来说，其最值一般出现在最高点或最低点。
求最值的方法通常有两种：一是导数法，二是配方法。
1.导数法：对函数求导数，令导数等于0，求出导数为0时的x值，再将这个x 值带入函数中求出对应的y值，就可以得到最值点的坐标。
2.配方法：通过配方法将一元一次函数转化为完全平方式，找出完全平方式的顶点，即可得到最值点。
二、一元二次函数求最值一元二次函数一般形式为y=ax^2+bx+c，求最值的方法一般有以下几种：1.配方法：将一元二次函数转化为完全平方式，找出完全平方式的顶点，即可得到最值点。
2.求导数法：对函数求导数，令导数等于0，求出导数为0时的x值，再将这个x值带入函数中求出对应的y值，就可以得到最值点的坐标。
3.平方差公式：当一元二次函数为完全平方式时，可以利用平方差公式求出最值点的坐标。
三、一元三次函数求最值一元三次函数一般形式为y=ax^3+bx^2+cx+d，求最值的方法一般有以下几种：1.求导数法：对函数求导数，令导数等于0，求出导数为0时的x值，再将这个x值带入函数中求出对应的y值，就可以得到最值点的坐标。
2.配方法：通过配方法将一元三次函数转化为完全平方式，找出完全平方式的顶点，即可得到最值点。
3.数值法：将一元三次函数的值代入，通过计算得出最值点的坐标。
总的来说，求最值的方法主要有导数法、配方法和数值法，针对不同类型的函数，选择合适的方法进行求解可以更快更准确地找到最值点。
在高中数学的学习中，不仅要掌握求最值的方法，还要多做题，多练习，提高自己的解题能力和数学思维，为2023年高考数学的冲刺做好准备。
2023年高考数学冲刺 高中数学求最值的方法全梳理
2023年高考数学冲刺高中数学求最值的方法全梳理
一、求最值的概念
求函数的最值，是指确定函数在某些约束条件下取得最大值或最小值的问题。
二、求最值的方法
1. 一阶导数法：
即利用一阶导数等于0的原理来求函数的最值，计算出函数在某一点的一阶导数，如果该一阶导数为0，则该点是函数的极值点，在极值点处函数的变化情况判断函数的最值。
2. 二阶导数法：
即利用函数的二阶导数的正负性来判断极值点是最大值点还是最小值点，如果函数在某点的二阶导数大于0，则该点处的函数为极小值点；如果二阶导数小于0，则该点处的函数为极大值点；如果二阶导数等于0，则有可能是极大值点也有可能是极小值点，这时需要进一步利用一阶导数法来判断。
3. 极值点法：
即利用函数的单调性来求最值，函数在区间内一定有极大值和极小值，只要找出极值点，就可以确定函数在该区间内的最值。
4. 极限法：
即利用函数的极限来求最值，找出函数取极限的极限情况，判断函数在该点处的最值。
三、求最值的注意事项
1. 在求函数的最值时，要先判断函数的定义域，开口，以及变化趋势等，搞清楚函数的特点；
2. 要熟悉求最值的方法，熟练掌握每种方法的应用场景；
3. 要认真练习求最值的题目，并且要总结归纳一些经验教训，发现规律，做到熟能生巧；
4. 在解题过程中，要注意分析函数的表达式，先简化函数，然后找出极值点，最后进行比较，以确定最值。
高考数学复习点拨 期望与方差中的最值问题
1 / 1 期望与方差中的最值问题期望与方差中的最值问题，主要与函数、不等式等知识相联系，因此在解答时，要善于把有关期望与方差的最值问题转化为相关的函数、不等式等知识的最值问题进行求解.解答此类最值问题的途径主要是：①利用均值不等式；②利用二次函数的最值；③利用函数的单调性.下面举例说明.例1 设一次试验成功的概率为p ，进行100次重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.解析：224p q n D npq n ξ+⎛⎫== ⎪⎝⎭≤，等号在12p q ==时成立，此时，25D ξ=，5σξ=． 例2 （1）如果1~203B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，求使()P k ξ=取最大值的k 的值． （2）一般地，如果~()B n p ξ，，其中01p <<，讨论当k 由0增加到n 时，()P k ξ=的变化情况，k 取什么值时，()P k ξ=取得最大值？解：（1）设1~203B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，考查不等式1201120202012(1)201331()121233k k k k k k C P k k P k k C ξξ+--+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭==⨯=+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 得6k ≤，所以当6k ≤时，(1)()P k P k ξξ=+=≥；当6k >时，(1)()P k P k ξξ=+<=．其中当6k =时，(1)()P k P k ξξ=+==，所以当6ξ=，7时，()P k ξ=取最大值．（2）一般地，如果~()B n p ξ，，其中01p <<，考查不等式(1)1()P k P k ξξ=+=≥， 如果111(1)1()1k k n k n k k n k n C p q P k n k p P k C p q k qξξ++---=+-==⨯=+≥，得()(1)p n k q k -+≥，所以(1)1k np q n p -=+-≤． ①如果(1)n p +是正整数，那么(1)1n p +-也是正整数，此时，可以使(1)1k n p =+-，1(1)k n p +=+，且(1)()P k P k ξξ=+==，即当k 取(1)n p +或(1)1n p +-时()P k ξ=取最大值．②如果(1)n p +不是正整数，那么不等式(1)1()P k P k ξξ=+=≥不可能取等号． 所以，对任何k ，(1)()P k P k ξξ=+≠=，所以，当1(1)k n p +<+的最大整数为[(1)]n p +·，∴当[(1)]k n p =+时，()P k ξ=取得最大值．。
高考中的分布列、期望、方差问题
几种常见题型的解法 一、从分类问题角度求概率例2（日本高考题）袋内有9个白球和3个红球，从袋中任意地顺次取出三个球（取出的球不再放回），求第三次取出的球是白球的概率。
二、从不等式大小比较的角度看概率例3 “幸运52”知识竞猜电视节目，为每位选手准备5道试题，每道题设“Yes ”与“No ”两个选项，其中只有一个是正确的，选手每答对一题，获得一个商标，假设甲、乙两位选手仅凭猜测独立答题，是否有99%的把握断定甲、乙两位选手中至少有一位获得1个或1个以上的商标？三、从“至多”、“至少”的角度看概率.例4、有三种产品，合格率分别是0.90、0.95和0.95，各取一件进行检验。
（I ）求恰有一件不合格的概率；（II ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）。
四、从“或”、“且”的角度看概率例5甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或被乙解出的概率为0.92。
（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数 的数学期望和方差。
相关练习1.（山东卷7）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为 （A ）511（B ）681（C ）3061 （D ）40812.（福建卷5)某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是A.16625B.96625C. 192625D.2566253.（辽宁卷7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．344.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161． （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（Ⅲ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中2次的概率．5.某单位6个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立），1）求至少3人同时上网的概率；2）至少几人同时上网的概率小于0.3？6.甲、乙二人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个。
高考数学总复习 12.2 总体期望值和方差的估计夯实基础 大纲 试题
12.2 总体期望值和方差的估计稳固·夯实根底一、自主梳理(1)假如有n 个数据x 1,x 2,…,x n ,那么x =n1(x 1+x 2+…+x n )叫做这n 个数据的平均数，x 读作“x 拔〞.(2)当一组数据x 1,x 2,…,x n 的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a ，得到x 1′=x 1-a,x 2′=x 2-a,…,x n ′=x n -a,那么，x ='x +a.(3)加权平均数：假如在n 个数据中，x 1出现f 1次，x 2出现f 2次，…，x k 出现f k 次(f 1+f 2+…+f k =n)，那么 x =nf x f x f x kk ⋅⋅⋅++2211.(1)对于一组数据x 1,x 2,…,x n ,s 2=n1［(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x n -x )2］叫做这组数据的方差，而s 叫做HY 差. (2)公式s 2=n1［(x 12+x 22+…+x n 2)-n x 2］. (3)当一组数据x 1,x 2,…,x n 中的各数较大时，可以将各数据减去一个适当的常数a,得到x 1′=x 1-a,x 2′=x 2-a,…,x n ′=x n -a. 那么s 2=n1［(x 1′2+x 2′2+…+x n ′2)-n 2'x ］.人类的长期理论和理论研究都充分证明了用样本的平均数估计总体平均值，用样本方差估计总体方差是可行的，而且样本容量越大，估计就越准确. 二、点击双基1.描绘总体离散型程度或者稳定性的特征数是总体方差，以下统计量估计总体稳定性的是…〔 〕x解析:统计学的根本思想是用样本来估计总体.因此选B. 答案：B2.甲、乙两人在一样的条件下，射击10次，命中环数如下： 甲：8,6,9,5,10,7,4,8,9,5; 乙：7,6,5,8,6,9,6,8,7,7.根据以上数据估计两人的技术稳定性，结论是〔 〕 解析:x 甲=101(8+6+…+5)=7.1,x 乙=101(7+6+…+7)=6.9.s甲2=101［(8-7.1)2+…+(5-7.1)2］=3.69,s乙2=101［(7-6.9)2+…+(7-6.9)2］=1.29.∴乙优于甲. 答案：B3.(高考)在一次歌手大奖赛上,七位评委为某歌手打出的分数如下:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为〔 〕 ,0.484 B.9.4,0.016 C 解析：去掉一个最高分9.9后再去掉一个最低分8.4,剩余的分值为9.4、9.4、9.6、9.4、9.7. 求平均值57.94.96.94.94.9++++≈9.5,代入方差运算公式可知方差为0.016. 答案：D4.(第一次诊断性测试)设甲、乙两班某次数学考试的平均成绩分别为甲x =106.8, 乙x =107,又知s甲2=6,s乙2=14,那么如下几种说法:①乙班的数学成绩大大优于甲班;②甲班数学成绩较乙班稳定;③乙班数学成绩比甲班波动大.其中正确的说法是____________________. 解析：根据平均值和方差的意义知②③正确. 答案:②③ 诱思·实例点拨【例1】x 是x 1,x 2,…,x 100的平均数，a 是x 1,x 2,…,x 40的平均数，b 是x 41,x 42,…,x 100的平均数，那么以下各式正确的选项是〔 〕A.x =1006040b a + B.x =4004060b a + C.x =a+b D.x =2ba +剖析:这100个数的平均数是a+b 还是21(a+b)，这都很容易让人误解.我们可以从概率及加权平均数的角度来考虑.解:设P i 是x 1,x 2,…,x 100中x i 被抽到的概率，q i 是x 1,x 2,…,x 40中x i 被抽到的概率，r i 是x 41,x 42,…,x 100中x i 被抽到的概率,那么P i =10040q i ,P i =10060r i .故x 1,x 2,…,x 100的平均数 x =10040(x 1q 1+x 2q 2+…+x 40q 40)+10060(x 41r 41+x 42r 42+…+x 100r 100)=10040a+10060b.答案：A 链接·拓展除了上述方法外，我们还可以先分别求出x 1+x 2+…+x 40=40a,x 41+x 42+…+x 100=60b,再求x . 【例2】 甲、乙两名射击运发动参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环):假如甲、乙两人只有1人入选，那么入选的应是_______________________. 剖析:判断谁入选，首先应考虑选手的成绩是否稳定,因此分别求其方差. 解:甲的平均数为1x =51(10+8+9+9+9)=9, 乙的平均数为2x =51(10+10+7+9+9)=9, 甲的方差为s 甲=(10-9)2×51+(8-9)2×51=52,乙的方差为s 乙=(10-9)2×51×2+(7-9)2×51=56.s 乙＞s 甲，说明乙的波动性大，故甲入选. 答案：甲讲评:方差的大小可看出成绩的稳定性，平均数的大小可看出成绩的上下. 链接·聚焦1.期望反映数据取值的平均程度，期望越大，平均程度越高.2.方差反映数据的波动大小，方差越小，表示数据越稳定.【例3】 某班40人随机分为两组，第一组18人，第二组22人，两组学生在某次数学检测中的成绩如下表：求全班的平均成绩和HY 差. 剖析:代入方差公式s 2=n1［(x 12+x 22+…+x n 2)-n 2x ］即可求得. 解:设全班的平均成绩为x ，全班成绩的方差为s 2，那么s 12=181［(x 12+x 22+…+x 182)-18×902］=36, s 22=221［(x 192+x 202+…+x 402)-22×802］=16. ∴x =401(90×18+80×22)=2169=84.5.s 2=401［(x 12+x 22+…+x 182)+(x 192+x 202…+x 402)-40·2x ］=401［18×(36+8 100)+22×(16+6 400)-40×21692］=401(146 448+141 152-10×1692) =401×1 990=49.75.∴s=2199≈7.05. 讲评:平均成绩应为总成绩除以总人数，而总成绩可由每组成绩之和求得.【例4】 要加工一圆形零件,按图纸要求,直径为10 mm,如今由甲、乙两车工加工此种零件,在他们的产品中各抽5件测得直径如下:问甲、乙两人谁消费的零件较好?剖析:通过计算两组数据的x 和2*s ,然后参加比拟,再作出判断. 解:甲x =51(10.05+10.02+9.97+9.96+10.00)=10, 2*甲s=41［(10.05-10)2+(10.02-10)2+(9.97-10)2+(9.96-10)2+(10-10)2］=0.001 35; 乙x =51(10.00+10.01+10.02+9.97+10.00)=10,2*乙s =41［(10-10)2+(10.01-10)2+(10.02-10)2+(9.97-10)2+(10-10)2］=0.000 35.由计算可知两者样本均值一样,前者样本方差较大,由此估计工人乙消费的零件质量较好.讲评:一组数据的方差,刻画了这组数据波动的大小(即各数据偏离平均数的大小,也称离散性、差异性),方差越大,说明这组数据的波动越大,即这组数据越分散(或者称离散程度大).。
高考热点问题12 概率、随机变量的数学期望与方差
高考热点问题12:概率、随机变量的数学期望与方差概率是一个重要的数学概念，古典概型是一种重要的概率模型，掌握它们，我们可以求一些随机事件的概率．条件概率与相互独立事件的概率是概率的重要性质，为概率的计算提供了重要的方法．随机变量的分布列、数学期望与方差是刻画随机变量的重要特征．超几何分布与二项分布是两种重要的离散型随机变量的分布，能把一些问题归结为超几何分布或二项分布的模型。
题71 古典概型分别计数有5个指定的席位，坐在这5个席位上的人都不知道指定的号码，当这5个人随机地在这5个席位上就座时，（1）求5个人中恰有3人坐在指定的席位上的概率；（2）若在这5个人中坐在指定位置上的概率不小于16，则至多有几个人坐在自己指定的席位上？【问题特征】古典概型的事件的概率计算问题【问题的解答】（1）思路计算基本事件的总数及随机事件所包含的基本事件的个数解(2)思路计算5个人中恰有2人坐在指定的席位上的概率解【注意点】【相关问题】1.某校举办2017年元旦迎新晚会，对6个演出节目进行编号，并以随机排序的方式打印一张节目单，则打印出“节目甲不排在第一位、节目乙和节目丙不排在一起”的节目单的概率为_____________2. 将标号分别为1，2，3，4,5的小球随机放入标号分别为1，2，3，4,5的5个盒子中，每个盒子放一个小球,则盒子的标号与放入的小球的标号都不一致的概率为_____________题72 条件概率 两种方法在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为___________【问题特征】条件概率的计算问题思路1 利用条件概率的定义解法1思路2利用缩小样本空间的方法解法2【注意点】1．本题为条件概率问题，解法1利用条件概率的定义()(|)()P AB P B A P A =，将计算条件概率的问题转化为求事件同时发生的概率及作为条件的事件发生的概率．解法2利用缩小样本空间的方法计算条件概率()(|)()n AB P B A n A =； 2．()()(|)P AB P A P B A =⋅对任意随机事件都成立；3．若将原题改为有放回地抽题，怎么解决？（答案：925） 【相关问题】1.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则(|)P B A 等于（ ）（A ）18 (B)14 (C)25 (D)122．1号箱有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是（ ）（A ）1127 (B)1124 (C)1627 (D)38题73 转化思想 运用模型某电视节目举行答题比赛，由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给选手记正10分，否则记负10分。
2023年高考数学考前冲刺：范围、最值问题
的最小值。
）因为焦点坐标为（1，0），所以2p=4，所以抛物线的标准方程为點评：解析几何的本质特征就是用代数方法研究几何问题。
若能引用已知的平面几何性质，将会收到事半功倍的效果。
本题考查抛物线的方程、直线与抛物线的几何关系及弦长问题。
对于过抛物线焦点的弦长问题我们可以利用抛物线的定义将其转化为到其准线的距离求解。
三、利用二元变量，转化二次函数求最值【典例3】已知抛物线C：y=+2，过抛物线C外的点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B。
（1）若P（2，0），求两条切线的方程;的动点，求△PAB面积的取值范围。
解析：（1）设过点P的切线方程为y=k（x-2），将其代人y=x+2，可得x？-kx+2k+2=0，所以0=k？-8k-8=0，解得k=4士2/6。
所以所求的两条切线的方程分别为y=（4+2/6）（x-2）和y=（4-26）（x-2）。
（2）设P（m，n），A（x，y），B（xg，yg），对y=x+2求导得y'=2x，则切线PA的方程为y-yi=2x（xc-x），又y1=x+2，则y=2xcx-y+4。
同理，切线PB的方程为y=2x2x-y2+4。
又因为PA和PB都过点P（m，n），则（n=2xm-y+4，所以直线AB的方程为n=2x2m-y2+4，n=2mx-y+4，即y=2mx-n+4。
（y=2mx-n+4，消去y整理得xc？联立y=x*+2，-2mx+n-2=0，所以0=4m2-4（n-2）=4（m'-n+2）》0，由韦达定理得+x=2m，xxz=n-2，所以|AB|=/1+4m，lx-xl=2i44m.m-n+2。
点评：对于圆锥曲线中的最值问题，既要“以形助数”，启发思维，培养敏捷性，也要“以数助形”，精确刻画，培养严密性，使抽象思维和形象思维互相结合，相互渗透。
本题考查抛物线的方程与几何性质、切线方程、韦达定理、三角形的面积公式等。
在求面积的取值范围时，恰当运用消元思想把二元问题转化为一元问题，使运算得到简化，从而解决问题。
高考数学复习点拨 概率中的期望与方差新题展示
概率中的期望与方差新题展示概率与统计的最大特点是其在生产、生活中的应用，随着所学内容的加深，出现了一些情况新颖、构思巧妙、解法灵活的创新题，显示了概率知识的活力与魅力。
一、哪种方案好例1、根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为，有大洪水的概率为该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。
为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
试比较哪一种方案好。
解：用321,,X X X 分布表示三种方案的损失。
采用第1种方案，无论有无洪水，都损失3800元，即38001=X ，采用第2种方案，遇到大洪水时，损失2000＋60000＝62000元；没有大洪水时，损失2000元，即⎩⎨⎧=2000620002X 无大洪水有大洪水 同样，采用第3种方案，有⎪⎩⎪⎨⎧=020********X 无洪水有小洪水有大洪水于是，E 38001=X ，)2000(2000)62000(62000222=⨯+=⨯=X P X P EX＝62000×＋2000×（1－）＝2600，)0(0)10000(10000)60000(600003333=⨯+=⨯+=⨯=X P X P X P EX ＝60000×＋10000×＝3100采用方案2的平均损失最小，所以可以选择方案2点评：值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失”而得出的。
一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：假设问题中的气象情况多次发生，那么采用方案2将会使损失减到最小。
由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的，所以对于个别的一次决策，采用方案2也不一定是最好的。
二、哪种物体质量好例2、有甲、乙两种钢筋，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度指标如下：其中1ξ、2ξ分别表示A 、B 两种钢筋的抗拉强度，在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种钢筋哪一种质量较好分析：要比较两种钢筋的质量，可先比较甲、乙两种钢筋的平均抗拉强度，即期望值，然后再看这两种钢筋质量的稳定性即方差。
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用心 爱心 专心 期望与方差中的最值问题
期望与方差中的最值问题，主要与函数、不等式等知识相联系，因此在解答时，要善于把有关期望与方差的最值问题转化为相关的函数、不等式等知识的最值问题进行求解.解答此类最值问题的途径主要是：①利用均值不等式；②利用二次函数的最值；③利用函数的单调性.下面举例说明.
例1 设一次试验成功的概率为p ，进行100次独立重复试验，当p =________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________.
解析：2
24p q n D npq n ξ+⎛⎫== ⎪⎝⎭
≤，等号在12p q ==时成立，此时，25D ξ=，5σξ=． 例2 （1）如果1~203B ξ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，，求使()P k ξ=取最大值的k 的值． （2）一般地，如果~()B n p ξ，，其中01p <<，讨论当k 由0增加到n 时，()P k ξ=的变化情况，k 取什么值时，()P k ξ=取得最大值？ 解：（1）设1~203B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，考查不等式1201120202012(1)201331()12
1233k k k k k k C P k k P k k C ξξ+--+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-⎝⎭⎝⎭==⨯=+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥， 得6k ≤，所以当6k ≤时，(1)()P k P k ξξ=+=≥；
当6k >时，(1)()P k P k ξξ=+<=．
其中当6k =时，(1)()P k P k ξξ=+==，所以当6ξ=，7时，()P k ξ=取最大值．
（2）一般地，如果~()B n p ξ，，其中01p <<，考查不等式(1)1()
P k P k ξξ=+=≥， 如果111(1)1()1k k n k n k k n k n C p q P k n k p P k C p q k q ξξ++---=+-==⨯=+≥，得()(1
p n k q k -+≥，所以(1)1k np q n p -=+-≤．
①如果(1)n p +是正整数，那么(1)1n p +-也是正整数，此时，可以使(1)1k n p =+-，1(1)k n p +=+，且(1)()P k P k ξξ=+==，即当k 取(1)n p +或(1)1n p +-时()P k ξ=取最大值．
②如果(1)n p +不是正整数，那么不等式(1)1()
P k P k ξξ=+=≥不可能取等号． 所以，对任何k ，(1)()P k P k ξξ=+≠=，
所以，当1(1)k n p +<+的最大整数为[(1)
]n p +·， ∴当[(1)]k n p =+时，()P k ξ=取得最大值．。