拱桥计算

第三章 拱桥计算
第一节 拱轴方程的建立
教学内容：1、实腹式悬链线拱拱轴方程的建立
2、空腹式悬链线拱拱轴方程的建立
3、悬链线无铰拱的弹性中心
重点：空腹式悬链线拱拱轴方程的建立、悬链线无铰拱的弹性中心 难点：1、逐次逼近法 2、五点重合法 3、弹性中心
（一）实腹式悬链线拱拱轴方程的建立
1、拱轴线方程的得出：
实腹式悬链线拱采用恒载压力线作为拱轴线
在恒载作用下，拱顶截面：
0=d M ，
由于对称性，剪力0=d Q ，
仅有恒载推力g H 。

对拱脚截面取矩，则有：
f
M
H j
g ∑=
式中 ∑j
M
——半拱恒载对拱脚截面的弯
矩；
g H ——拱的恒载水平推力（不考虑弹性压缩）；
f ——拱的计算矢高。

对任意截面取矩，可得：g
x
H M y =
1 式中 x M ——任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值；
1y ——以拱顶为坐标原点，拱轴上任意点的纵坐标。

将上式两边对x 求二阶导数得：
g x x
g H g dx M d ．H dx
y d ==2
22121 解此方程，则得拱轴线方程为：
)1(11--=
ξchk m f
y 2 拱轴系数m ： 拱轴系数：为拱脚与拱顶的恒载集度比
拱脚截面：ξ=1，y 1=f ， )1m m ln(m ch k 21-+==- 当1=m 时，均布荷载。

压力线方程为：2
1ξf y = (二次抛物线) 当拱的矢跨比确定后，拱轴线各点的纵坐标（拱轴形状）将取决于m 。

（表3-3-1）供设计时根据拱轴系数确定拱轴坐标。

3．实腹式悬链线拱拱轴系数m 的确定方法：
d
j g g m =
, d h g d d γγ+=1， γϕγγj
d j d
h h g cos 21+
+=
式中 d h ——拱顶填料厚度，一般为0.30～0.50m ；
d ——拱圈厚度；
γ——拱圈材料容重
1γ——拱顶填料及路面的平均容重； 2γ——拱腹填料平均容重
j ϕ——拱脚处拱轴线的水平倾角。

j
d d f h ϕcos 22-+
= 由于j ϕ为未知，故不能直接算出m 值，需用逐次逼近法确定；
逐次逼近法：
（1）根据跨径和矢高假定m 值，
（2）由表3-3-4查得拱脚处的ϕtg ，求得ϕcos 值； （3）代入求得j g 后，再连同d g 一起代入算得m 值。

（4）与假定的m 值比较，如相符，则假定的m 值即为真实值；如两者不符，则以算得的m 值作为假定值，重新进行计算，直至两者接近为止。

当拱的跨径和矢高确定之后，悬链线的形状取决于拱轴系数m ，其线型特征可用4/l 点纵坐标4/1y 的大小表示。

)12
k ch (1m 1f y 4
l --=
∵
2
121
2+=+=m chk k
ch
∴
2
)1m (211m 1
21
m f
y 4
l ++=
--+=
拱跨
4
L
点纵坐标与
m
的关系
j g 、d g 、m 与拱轴线坐标的关系
由上式可见，4
l y 随m 的增大而减小，随m 的减小而增大。

当m 增大时，拱轴线抬高；反之当m 减小时，拱轴线降低。

(二)空腹式悬链线拱
1、特点：集中力的存在，恒载压力线是一条在集中力下有转折的曲线，不是悬链线，不是光滑的曲线。

2．M 值求解思路：
五点重合法：
要求拱轴线在全拱有五点（拱顶、两点4/l 和两拱脚）与其相应三铰拱恒载压力线重合，根据上述五点弯矩为零的条件确定m 值。

条件：（1）拱顶弯矩为零
（2）恒载对称
拱顶：弯矩0=d M ，剪力0=d Q 。

由
∑=0A M ，得 f
M H j
g
∑=
由
∑=0B M ，得 ∑=-04/4/l l g M y H 和4
/4
/l l g y M
H ∑=
将H g 代入上式，可得：
∑∑=j
4/l 4
/l M
M f
y
式中
∑j
Μ
——半拱恒载对拱脚截面的弯矩；
∑4
/l M
——拱顶至拱跨4/l 点区域的恒载对4/l 截面的弯矩。

4/l M 、j M 可由表3-3-3查得。

1)2(2124
/--=
l y f m 求得m 值。

3．M 值求解方法：（逐次逼近法）
（1）先假定一个m 值，定出拱轴线，作图布置拱上建筑， （2）计算拱圈和拱上建筑的恒载对4/l 和拱脚截面的力矩
∑4
/l M
和
∑j
M
，根据式(3-3-18)求出f y l /4/
（3）利用1)2(2124
/--=
l y f
m 算出m 值，如与假定的m 值不符，则应以求得的m 值作为新假定值，重新计算，直至两者接近为止。

4．偏离影响的计算：
（1）除五点重合，其它截面都有不同程度的偏离。

计算证明，从拱顶到4/l 点，一般压力线在拱轴线之上； 而从4/l 点到拱脚，压力线则大多在拱轴线之下
拱轴线与相应三铰拱恒载压力线的偏离类似于一个正弦波。

（2）偏离附加内力计算
对于静定三铰拱： y H M p p ∆⋅=；
对于无铰拱：以y H M p p ∆⋅=作为荷载，算出无铰拱的偏离弯矩值。

由结构力学知，荷载作用在基本结构上引起弹性中心的赘余力为：
⎰⎰⎰⎰
⎰
⎰
∆-=-
=-
=∆-
=∆I
ds ds I y H I
ds ds
I M EI
ds M ds EI M M X s s g
s p
s
s
p
s
p
21111
11δ
⎰⎰⎰
⎰
∆==
∆-
=∆I
ds y ds I y y H EI
ds M ds
EI M M X s s g s
p
s
p
2
22222
22δ 1X ∆数值较小。

若I
yds
s
∆⎰
=0，则1X ∆=0。

2X ∆恒为正值（压力）。

任意截面之偏离弯矩：
21X X M ∆-∆=∆·p M y +
式中 y ——以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴纵坐标。

对于拱顶、拱脚截面，0=p M ，偏离弯矩为：
⎭
⎬⎫
>-∆+∆=∆<⋅∆-∆=∆0)(0y 21s 21s j d y f X X M X X M
式中 s y ——弹性中心至拱顶之距离.
（3）结论：
空腹式无铰拱桥，采用“五点重合法”确定的拱轴线，而与无铰拱的恒载压力线实际上并不存在五点重合的关系。

由于拱轴线与恒载压力线有偏离，在拱顶、拱脚都
产生了偏离弯矩。

拱顶的偏离弯矩d M ∆为负，而拱脚的偏离弯矩j M ∆为正，恰好与这两截面控制弯矩的符号相反。

偏离弯矩对拱顶、拱脚都是有利的。

因而，空腹式无铰拱的拱轴线，用悬链线比用恒载压力线更加合理。

(三)悬链线无铰拱的弹性中心 利用拱的弹性中心的概念目的：
是将求解三个赘余力的联立方程的问题解耦，从而变为解三个独立的一元一次方程的问题。

在荷载作用下，以半拱悬臂为基本结构，在拱顶处会产生三个赘余力X 1、X 2、
X 3，典型方程为：⎪⎭
⎪
⎬⎫
=∆+++=∆+++=∆+++000333323213123232221211313212111p p p X X X X X X X X X δδδδδδδδδ
赘余力中弯矩1X 和轴力2X 是正对称的，剪力3X 是反对称的，故知副系数：
⎭
⎬⎫====0032233113δδδδ
如果能设法使2112δδ=也等于零，则典型方程中的全部副系数都为零，解三个独立的一元一次方程的问题，从而简化计算。

我们讨论的是对称拱，弹性中心在对称轴上。

以悬臂曲梁为基本结构，由计算得知，作用于弹性中心的三个赘余力以单位
力分别作用时引起的内力为⎪⎭
⎪
⎬⎫ϕ=ϕ==ϕ=ϕ-=====sin N ,cos Q ,x M cos N ,sin Q ,y M 0
N ,0Q ,1M 333222111
（x 轴向左为正，y 轴向下为正，弯矩以使拱下缘受拉为正，剪力以绕隔离体逆时针方向转动为正，轴力以压力为正，上式中ϕ在右半拱取正，左半拱取负），因此：
00212121212112++⋅=⋅+⋅+⋅==⎰⎰⎰⎰EI
ds M M GA ds Q Q k EA ds N N EI ds M M s s s s
δδ
=
EI
ds
y EI ds y EI ds y y EI ds y
s
s s s s s
⎰⎰⎰⎰
-=-=11)( 令021
12==δδ，便可得到弹性中心距拱顶之距离为：EI
ds EI
ds
y y s s s ⎰⎰=1
式中 ζ
ϕ
ϕξd l dx ds chk m f
y cos 12cos )1(1
1⋅==--=
其中 ξ
ηϕ
ϕk sh tg 2
2
2
1111cos +=
+=
则 ξξηd k sh ds 2212
1
+=
以1y 及ds 代入式（3-3-28），并注意到等截面拱中I 为常数，则：
f d k sh d k sh chk m f
ds ds
y y s s
s
⋅=++-⋅-==
⎰⎰⎰⎰12222110
1
1)1(01
1
αξ
ξηξ
ξηξ （由表3-3-5查
得）
第三章 拱桥计算
教学内容：1、不考虑弹性压缩的恒载内力
2、弹性压缩引起的内力
3、结构总内力
重点：1、不考虑弹性压缩的恒载内力 2、弹性压缩引起的内力 难点：1、弹性压缩引起的内力
第二节 恒载作用下拱的内力计算
一、计算内容：不考虑弹性压缩影响的内力+仅因弹性压缩引起的内力=恒载作用下的总内力。

（一）、不考虑弹性压缩的恒载内力 1．实腹拱恒载内力
实腹式悬链线拱的拱轴线与恒载压力线完全吻合，可按纯压拱的公式计算。

由公式（3-3-9）)1(212
-⋅=m f
H g l k g d
f l
g k f l g k
m H d g d g 22
2
41=⨯-= 式中 2
41k
m k g -=。

⎰⎰==ξd l g dx g l V x x g 110
1
将公式（3-3-8）、式（3-3-11）代入上式积分得：
l g k l g m m m V d g d g '22)]
1[ln(21=-+-=
式中 )]
1[ln(212
2'
-+-=
m m m k g
系数g
k
、g
k
'
可自表3-3-6查得。

结构重力产生的水平推力系数g k 和垂直反力系数g
k
' m
1.347 1.543 1.756 1.988
2.240 2.514 2.814
3.142
3.500
g k
0.13200 0.13577 0.13974 0.14392 0.14834 0.15300 0.15793 0.16315 0.16869 g k '
0.55663 0.58762 0.62060 0.65574 0.69323 0.73327 0.77611 0.82201 0.87126
因为恒载弯矩和剪力均为零，拱圈各截面的轴向力N 按下式计算：
ϕ
=cos H N g
2．空腹拱恒载内力
（1）考虑拱轴线与恒载压力线偏离弯矩
空腹式无铰拱桥的恒载内力=不考虑偏离的影响+偏离引起的恒内力。

（2）不考虑偏离的影响时，空腹拱的恒载内力亦按纯压拱计算 f
M
H j
g ∑=，∑=
P V g （半
拱恒载重）
弯矩和剪力均为零，所以轴力ϕ
cos g H N =
注：（1）设计中、小跨径的空腹式拱桥时，可偏安全地不考虑偏离弯矩的影响。

（2）大跨径空腹式拱桥，偏离一般比中、小
跨径大，恒载偏离弯矩是一种可供利用的有利因素，应当计入偏离弯矩的影响。

（二） 、弹性压缩引起的内力
拱轴长度的缩短，会在拱中产生相应的内力。

取悬臂曲梁为基本结构，弹性压缩会使拱轴在跨径方向缩短l ∆，则在弹性中心必有一个水平拉力S ，使拱顶的相对水平变位为零。

弹性压缩产生的赘余力S ，可由拱顶的变形协调条件求得，即022
'=∆-l S δ
∴22
'
δl
S ∆=
从拱中取出一微段ds ，则ϕcos •=ds dx ，在轴向力N 作用下缩短ds ∆，其水平分量为ϕcos ⋅∆=∆ds dx ，则整个拱轴缩短的水平分量为：
ϕϕcos cos 0⎰⎰⎰=⋅∆=∆=∆EA Nds ds dx l l a s
⎰⎰
⋅=⋅=∆ϕ
ϕcos 0cos 0EA dx
l H EA dx H l l g g
由单位水平力（x 2=1）作用在弹性中心产生的水平位移（考虑轴向力影响）为：
EI
ds y EA ds EI ds y EA ds N EI ds M s s s s s
222222222
'
)1(cos ⎰⎰⎰⎰⎰+=+=+=μϕδ
式中 EI
ds y EA ds s s
22cos ⎰⎰
=
ϕμ μμϕ
μ+⋅=⋅+=⎰⎰1cos 01112g
s g H EI
ds
y EA dx
l H S 式中 EI
ds y EA dx l
s 2
1cos 0⎰⎰=ϕ
μ 等截面拱的 1μ和μ，也可直接由表3-3-9查出。

注：对于砖石及混凝土的拱圈结构，在下列情况下，设计时可不计弹性压缩的
11 影响：1）3/1,30≥≤l f m l ；2）4/1,20≥≤l f m l ；3）5/1,10≥≤l
f m l （三）、恒载作用下拱圈各截面的总内力
拱中内力的符号规定：
拱中弯矩以使拱圈下缘受拉
为正，
轴向力则使拱圈受压为正。

1、 当不考虑空腹拱恒载压力线偏离拱轴线的影响时，拱圈各截面的恒载内力为： 不考虑弹性压缩的恒载内力+弹性压缩产生的内力
轴向力：ϕμ
μϕcos 1cos 1g g
H H N +-= 弯矩：)(111y y H M s g -+=μ
μ 剪力：ϕμ
μsin 11g H Q +±= （上式中，上边符号适用于左半拱，下边符号适用于右半拱）
从以上各式可见，考虑了恒载弹性压缩之后，拱中便有恒载弯矩和剪力，这就说明，不论是空腹式拱还是实腹式拱，考虑弹性压缩后的恒载压力线，将无法与拱轴线重合。

计入偏离的影响之后，截面的恒载总内力为：
⎪⎪⎪⎭
⎪⎪⎪⎬⎫∆±∆++=∆+-∆++=∆++-∆+=ϕϕμμμμϕμμϕϕsin sin )(1))((1cos )(1cos cos 221121212X X H Q M y y X H M X H X H N g s g g g。