三角形的概念
(人教版)八年级数学上册《三角形》
(人教版)八年级数学上册《三角形》
《三角形》是人教版八年级数学上册的一个单元，主要内容包括三角形的性质、三角形的分类、三角形的面积等。
该单元主要包含以下几个知识点：
1. 三角形的性质：
- 三角形的定义：三条线段两两相交于三个不同的点，就构成一个三角形。
- 三角形的元素：顶点、边、角。
- 三角形的内角和公式：三角形的内角和等于180度。
- 三角形的外角和公式：三角形的外角等于其对应内角的补角。
2. 三角形的分类：
- 三角形的根据边长分类：
* 等边三角形：三边相等。
* 等腰三角形：两边相等。
* 普通三角形：三边都不相等。
- 三角形的根据角度分类：
* 直角三角形：一个角为90度。
* 钝角三角形：一个角大于90度。
* 锐角三角形：三个角都小于90度。
3. 三角形的判定：
- 判断三边能否构成三角形的条件：三边的任意两边之和大于第三边的长度。
- 判断三角形的种类：根据边长和角度的条件，可以判断三角形的种类。
4. 三角形的面积：
- 三角形的面积计算公式：面积等于底边长度乘以高的一半。
- 海伦公式：根据三角形的三边长度，可以通过海伦公式计算三角形的面积。
通过学习《三角形》这个单元，学生将能够掌握三角形的基本概念、性质和分类，了解三角形的三个重要元素，能够判断三边是否构成三角形，能够计算三角形的面积。
同时，还能够通过解决生活中的实际问题，运用所学知识解决问题，培养逻辑思维和解决问题的能力。
三角形的认识与分类小学数学三角形的基本概念与分类
三角形的认识与分类小学数学三角形的基本概念与分类三角形的认识与分类在小学数学学习中，三角形是一个重要的几何形状。
它具有丰富的特点和分类方式。
本文将介绍三角形的基本概念与分类，帮助学生更好地认识和理解三角形。
一、三角形的基本概念三角形是由三条线段连接而成的图形。
它的特点是有三个顶点和三条边。
三角形的边可以是直线段，也可以是曲线段。
常见的三角形有等边三角形、等腰三角形、直角三角形等。
下面对这几种常见的三角形进行具体介绍。
1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
图形上看，三条边的长度完全相等，每个内角都是60度。
等边三角形具有边长相等、内角相等的特点，是一种非常规则的三角形。
2. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
图形上看，两条边的长度相等，另外一条边的长度可能不同。
等腰三角形的两个底角相等，另外一个顶角则可能不等。
3. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
图形上看，直角三角形有一个角是直角，也就是90度。
直角三角形的两条边相互垂直，被称为直角边和斜边。
二、三角形的分类除了上述的等边三角形、等腰三角形、直角三角形之外，三角形还可以根据边的长度和角的大小进行分类。
1. 根据边的长度根据边的长度，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
其中，等边三角形的三条边长度相等；等腰三角形的两条边长度相等；一般三角形的三条边长度都不相等。
2. 根据角的大小根据角的大小，三角形可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
其中，直角三角形有一个内角是90度；锐角三角形的三个内角都小于90度；钝角三角形的三个内角中至少有一个大于90度。
综上所述，三角形是由三条线段连接而成的图形，具有三个顶点和三条边。
根据边的长度和角的大小的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形以及一般三角形、锐角三角形和钝角三角形。
通过对三角形的认识与分类，可以帮助学生更好地理解和应用三角形的性质和特点。
三角形的概念
三角形的概念
三角形是一个有名的几何图形，它具有三条边，三个内角，以及三角形的面积。
三角形是一种基本的几何形状，被广泛用于建筑、图像处理、数学和力学等领域，并被用作几何概念的基础。
由于三角形中只有三条边，因此它可以作为一种几何工具来构建空间形状和结构，并可以应用于三维图像处理。
而从数学的角度来看，三角形也可以使用特定的公式来求解一些重要的问题，如求面积、计算外角等。
三角形的各种类型可以分为正三角形、等边三角形、等腰三角形和不等腰三角形。
几何学家认为，正三角形的内角是相等的，每条边的角度等于60度，因此每个内角的度数也等于60度。
等边三角形前三条边相等，它一般由若干个正三角形组成，也是常用的形状之一。
等腰三角形其中两个边相等，有三种类型，即等腰直角三角形；等腰钝角三角形和等腰锐角三角形。
不等腰三角形，顾名思义，指三条边不全相等的三角形。
一般地，不等腰三角形大多由等腰或不完全等边的三角形组成，属于多边三角形的一类。
三角形的关系与构成有着十分重要的意义，比如，它可以构成花纹、形成构建结构以及用于图像处理等。
因此，三角形的研究对数学和物理等多种领域都具有重要的意义，被称为几何学的基本元素。
此外，三角形在空间几何学研究中，通过分析三角形的性质可以作为连接三点及形成多边形，同时也可以作为图论及数论研究的重要工具。
简单介绍三角形的基本概念与性质
简单介绍三角形的基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，具有丰富的概念和性质。
本文将简单介绍三角形的基本概念和性质。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每两条线段相交于一个顶点，并且不共线。
它是平面上最简单的多边形之一。
2. 三角形的分类根据边长的不同，三角形可以分为以下三种类型：(1) 等边三角形：三条边的长度相等。
(2) 等腰三角形：两条边的长度相等。
(3) 普通三角形：三条边的长度各不相等。
根据角度的不同，三角形可以分为以下三种类型：(1) 直角三角形：其中一个角是直角（90度）。
(2) 钝角三角形：其中一个角大于90度。
(3) 锐角三角形：其中三个角都小于90度。
3. 三角形的性质(1) 三角形的内角和等于180度：三角形的三个内角相加等于180度。
即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
(2) 三角形的外角和等于360度：三角形的每个外角都等于其对应内角的补角。
即∠D = 180° - ∠A。
(3) 三角形的两边之和大于第三边：对于任意一个三角形ABC，有AB + BC > AC，AC + BC > AB，AB + AC > BC。
(4) 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60度，且三条边互相相等。
(5) 等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等。
(6) 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和为90度。
(7) 锐角三角形的性质：锐角三角形的三个内角都小于90度。
4. 三角形的重要定理(1) 余弦定理：对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab·cos∠C。
(2) 正弦定理：对于任意一个三角形ABC，设边长分别为a、b、c，对应的内角分别为∠A、∠B、∠C，则有a/sin∠A = b/sin∠B =c/sin∠C = 2R（其中R为三角形外接圆半径）。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是几何学中的基本图形之一，它由三条边和三个角组成。
在三角形中，有许多重要的概念和性质，本文将详细介绍这些内容。
一、概念1. 边：三角形有三条边，分别连接三个顶点。
2. 顶点：三角形有三个顶点，每个顶点是两条边的交点。
3. 角：三角形有三个角，分别由两条边组成，角的大小可以通过度数或弧度来表示。
4. 顶角：三角形的顶点所对应的角叫做顶角。
5. 底边：底边是三角形的一个边，另外两边的起点和终点都在底边上。
二、性质1. 内角和：三角形的内角和等于180度。
即三个内角的度数之和等于180度。
2. 外角和：三角形的外角和等于360度。
即三个外角的度数之和等于360度。
3. 等边三角形：如果一个三角形的三条边长度相等，则这个三角形是等边三角形。
等边三角形的三个内角都是60度。
4. 等腰三角形：如果一个三角形的两条边的长度相等，则这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的两个底角相等。
5. 直角三角形：如果一个三角形的一个角是90度，则这个三角形是直角三角形。
直角三角形中一边的长度可以通过勾股定理计算。
6. 锐角三角形：如果一个三角形的三个内角都小于90度，则这个三角形是锐角三角形。
7. 钝角三角形：如果一个三角形的一个内角大于90度，则这个三角形是钝角三角形。
8. 等腰直角三角形：如果一个三角形的一个角是90度，并且另外两条边的长度相等，则这个三角形是等腰直角三角形。
9. 角平分线：三角形的内角平分线将一个角分为两个相等的角。
每个内角都有一个对应的内角平分线。
10. 中线：三角形的三条中线将三角形分为三个相等的小三角形。
每条中线都通过三角形的一个顶点和对边的中点。
11. 高线：三角形的三条高线分别从一个顶点垂直向对边，与对边相交于一个点。
三角形的三条高线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
12. 外心：外接圆是一个三角形的三条边的延长线所确定的唯一圆。
这个圆的圆心叫做三角形的外心。
13. 内心：内切圆是一个三角形的三条边的内部所确定的唯一圆。
三角形的相关概念及三边关系
三角形的相关概念及三边关系三角形是几何学中最基本的图形之一，由三条线段组成，每两条线段的交点称为顶点。
三角形有许多重要的概念和性质，其中最为关键的是三边关系。
本文将介绍三角形的相关概念，并探讨三边关系的性质和应用。
一、三角形的相关概念1. 三角形的分类根据三条边的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三边长度相等，等腰三角形的两边长度相等，普通三角形的三边长度各不相等。
2. 三角形的内角和外角三角形的内角是指三个顶点所对应的角，分别用A、B、C表示。
三角形的外角是指在顶点所在直线延长线上的补角，分别用α、β、γ表示。
3. 三角形的内角和外角之和三角形的内角之和为180度，即A + B + C = 180度。
三角形的外角之和也为180度，即α + β + γ = 180度。
4. 三角形的高和中线三角形的高是指从顶点所在直线到底边的垂直线段，分别记为h1、h2、h3。
三角形的中线是连接顶点和底边中点的线段，分别记为m1、m2、m3。
二、三角形的三边关系1. 三角形的边长关系三角形的任意两边之和大于第三边，即a + b > c，b + c > a，c + a > b。
这是三角形存在的必要条件。
2. 三角形的等边关系等边三角形的三边长度相等，即a = b = c。
等边三角形的三个内角也相等，都为60度。
3. 三角形的等腰关系等腰三角形的两边长度相等，即a = b 或 b = c 或 c = a。
等腰三角形的两个内角也相等，分别为A = B 或 B = C 或 C = A。
3. 三角形的直角关系直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度。
直角三角形的斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根。
4. 三角形的相似关系如果两个三角形的对应角相等，那么它们称为相似三角形。
相似三角形的对应边之间存在着等比关系。
三、三角形的应用1. 三角形的面积计算三角形的面积可以通过三角形的底边长度和高来计算，面积等于底边乘以高再除以2。
三角形概念大全
三角形概念大全三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个顶点组成。
在这篇文章中，我们将详细介绍三角形的概念、性质、分类以及一些与三角形相关的重要定理和公式。
1. 三角形的基本概念三角形是由三条线段（边）和三个点（顶点）组成的多边形。
其中，边是连接两个顶点的线段，而顶点是多边形的拐角处。
三角形中的三个顶点用大写字母A、B、C表示，对应的边用小写字母a、b、c表示。
2. 三角形的性质（1）内角和定理：三角形的三个内角之和等于180度。
即∠A +∠B + ∠C = 180°。
（2）外角和定理：三角形的一个内角和其相邻的两个外角之和等于360度。
即∠A + ∠D + ∠E = 360°。
（3）角平分线定理：三角形的内角平分线相交于三角形的内心，且内心到三角形的各边的距离相等。
（4）中线定理：三角形的三条中线交于一点，这个点被称为三角形的重心，重心到三角形的各顶点的距离相等。
3. 三角形的分类根据边长和角度的不同，三角形可以分为以下几种类型：（1）按边长分类：a. 等边三角形：三条边的长度都相等。
b. 等腰三角形：至少有两条边的长度相等。
c. 普通三角形：三条边的长度都不相等。
（2）按角度分类：a. 锐角三角形：三个内角都小于90度。
b. 直角三角形：一个内角为90度。
c. 钝角三角形：其中一个内角大于90度。
（3）综合分类：a. 等腰直角三角形：一条等边与一个直角。
b. 等边锐角三角形：三个等边均为锐角。
c. 正三角形：既是等边三角形又是等腰三角形同时也是锐角三角形。
4. 三角形的重要定理和公式（1）勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
a² + b² = c²（c为斜边）（2）正弦定理：三角形中，边与其对应的正弦值成比例。
a/sinA = b/sinB = c/sinC（3）余弦定理：三角形中，边与其余弦值成反比。
a² = b² + c² - 2bc*cosA （a为边A对应的边长，A为角A对应的内角，b和c同理）（4）海伦公式：已知三角形的三边长度，可以求出三角形的面积。
三角形的基本概念与性质
三角形的基本概念与性质三角形是几何学中最基本的图形之一，具有广泛的应用和重要的性质。
在本文中，我们将探讨三角形的基本概念和一些常见的性质，以加深我们对三角形的理解。
一、基本概念三角形是由三条边和三个角组成的图形。
根据边的长度，我们可以将三角形分为三类：等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
1.等边三角形：假设三条边的长度都相等，那么这个三角形就是等边三角形。
等边三角形的三个角都是60度。
2.等腰三角形：假设三角形的两条边的长度相等，那么这个三角形就是等腰三角形。
等腰三角形的两个角也是相等的。
3.一般三角形：如果三角形的三条边的长度都不相等，那么这个三角形就是一般三角形。
除了边的长度外，三角形还可以根据角的大小来进行分类。
根据角的大小，我们可以将三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
1.锐角三角形：三个角都是锐角的三角形称为锐角三角形。
2.直角三角形：拥有一个90度角的三角形称为直角三角形。
直角三角形的两边相互垂直。
3.钝角三角形：拥有一个大于90度角的三角形称为钝角三角形。
二、性质除了基本的分类外，三角形还具有一些重要的性质。
1.三角形的内角和性质：三角形的三个内角的和总是等于180度。
这个性质被称为三角形的内角和定理。
2.直角三角形的性质：直角三角形是三角形中最特殊的一种。
如果一个三角形有一个90度角，那么它的另外两个角的和总是等于90度。
此外，直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
这个性质被称为毕达哥拉斯定理。
3.等腰三角形的性质：等腰三角形的两边相等，并且其底边的中线也是高和中线。
此外，等腰三角形的顶角的平分线也是高和中线。
4.等边三角形的性质：等边三角形的三边都相等，三个角也都是60度。
此外，等边三角形的高、中线、中位线、角平分线和垂直平分线都是同一条线。
5.海伦公式：对于一般的三角形，我们可以使用海伦公式来计算其面积。
海伦公式如下：设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为s，则三角形的面积S可以计算如下：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))。
初中数学三角形
利用相似比求三角形面积
若两个三角形相似，则它们的 面积之比等于相似比的平方。
若已知一个三角形的面积和相 似比，可以求出另一个三角形 的面积。
若已知两个相似三角形的面积， 可以求出它们的相似比。
PART 06
三角形在几何变换中的性 质
REPORTING
平移、旋转和翻折中的三角形性质
平移性质
三角形在平移过程中，其形状、大小和方向均不发生变化，对应边 和对应角分别相等。
若三角形关于某条直线对称，则该直线上的点到三角形两边的距离相等，可以利用这一 性质求解三角形的面积。
利用中心对称性质解决三角形重心问题
三角形的重心是三条中线的交点，也是三角形的对称中心。利用中心对称性质可以求解 与重心相关的问题。
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REPORTING
三角形的性质
三角形的内角和性质
三角形的三个内角之和等于180 度。
三角形的外角和性质
三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角之和。
三角形的稳定性
当三角形的三条边长确定时，三 角形的形状和大小也就唯一确定 了，这个性质叫做三角形的稳定 性。
三角形的全等性质
能够完全重合的两个三角形叫做 全等三角形。全等三角形的对应
边相等，对应角相等。
PART 02
三角形全等与相似
REPORTING
全等三角形的性质与判定
性质
全等三角形的对应边相等，对应 角相等。
SSS
三边分别相等的两个三角形全等。
SAS
两边和它们的夹角分别相等的两 个三角形全等。
HL
斜边和一条直角边分别相等的两 个直角三角形全等。
AAS
两角和其中一个角的对边分别相 等的两个三角形全等。
认识三角形知识点
认识三角形1．三角形有关的概念1 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角简称三角形的角．2 三角形的表示三角形用符号“△”表示,顶点是A 、B 、C 的三角形,记作“△ABC ”,读作“三角形ABC ”;如图7 -4一l,三角形有三个顶点：A 、B 、C ；有三条边：AB 、BC 、AC;有三个角：A ∠、B ∠、C ∠．△ABC 的三边用c b a ,,表示时,A ∠所对的边BC 用a 表示．B ∠所对的边AC 用b 表示．C ∠所对的边AB 用c 表示．2．三角形的分类⎪⎩⎪⎨⎧是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都形角三注意：根据角的大小来识别三角形的形状时,一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角,则三角形是锐角三角形；若最大角是直角,则三角形直角三角形；若最大角是钝角,则三角形钝角三角形．3．三角形中边的关系1三角形的任意两边之和大于第三边；2三角形的任意两边之差小于第三边如图7 -4 -1中,c b a b a c a b c b c a a c b c b a <-<-<->+>+>+,,;,,;注意：在任意给定的三条线段中,当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时,才能组成三角形; 例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3 +4 >6,所以这三条线段能组成三角形．又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4 <8,所以这三条线段不能组成三角形．4．三角形的三种主要线段1高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足间的线段,叫做三角形的高; 如图7 -4 -2,AD 是△ABC 的高,可表示为AD ⊥ BC 或ADC ∠=90°或ADB ∠= 90°;2中线：在三角形中,连接顶点和它对边中点的线段,叫做三角形的中线;如图7 -4 -3,AE 是△ABC 的中线,表示为BE=EC 或BE = 21BC 或BC= 2EC. 3角平分线：在三角形中,一个内角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线,一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段．如图7-4-4,AF 是ABC ∆的角平分线,可表示为CAF BAF ∠=∠或BAC BAF ∠=∠21或CAF BAC ∠=∠2.一个三角形中三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在直线交于一点;5．三角形的高、角平分线、中线的画法1三角形高的画法,如图7-4 -5．注意：①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图7 -4 -5甲,③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图7 -4 -5乙,④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图7 -4 -5丙．2 三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来,就得到三角形一边上的中线． 3三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同,可以用量角器;防错档案：画钝角三角形的高容易出错,要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．6．面积法解题例如：如图7 -4 -6,在△ABC中,AB =AC,AC 边上的高BD= 10,求AB 边上的高CE 的长．解析：由三角形面积公式有：AC BD AB CE S ABC ⋅=⋅=∆2121 因为AB =AC,BD =10,所以CE= BD= 10.名题诠释例题1如图7 -4 -7,点D是△ABC的边BC上的一点,点E在AD上．1图中共有____个三角形；2以.AC为边的三角形是____；3以∠BDE为内角的三角形是____.解析1AD的左右两侧各有3个三角形,分别是△ABE、△ABD、△EBD、△ACE、△.ACD、△ECD,左右两侧组合又形成2个以BC为边的三角形,它们是△ABC、△EBC.故共有8个三角形．2 以AC为边的三角形有3个,它们是△.ACE、△ACD、△ACB. 3以∠BDE为内角的三角形有2个,它们是△EBD、△ABD．答案18 2△ACE、△ACD、△ACB 3△EBD、△ABD点评数三角形要注意选择恰当的顺序,做到不重不漏,注意最容易漏掉的是最大的三角形．例题2 下列三角形分别是什么三角形1已知一个三角形的两个内角分别是50°和60°；2 已知一个三角形的两个内角分别是35°和55°；3 已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°；4 已知一个三角形的周长为16cm,有两边的长分别是6cm和4cm.解析确定三角形的形状,应紧扣定义．答案1 锐角三角形,因为三角形内角和为180°,而两个内角分别是50°和60°,所以第三个内角是70°,即这个三角形是锐角三角形．2 直角三角形,同理．3 钝角三角形,同理．4 等腰三角形．因为第三条边的长为16 -6 -4 =6cm．点评应全面考虑三角形的边和角的条件,再根据定义判别．例题3 下列长度的三条线段能组成三角形的是．A. lcm、2cm、3.5cmB.4cm、5cm、9cmC. 5cm、8cm、15cmD.8cm、8cm、9cm解析因为1+2<3.5,所以lcm、2cm、3.5cm的三条线段不能构成三角形因为4+5 =9,所以4cm、5cm、9cm的三条线段不能构成三角形；因为5+8<15,所以5cm、8cm、15cm的三条线段不能构成三角形；因为8+8 >9,所以8cm、8cm、9cm的三条线段能构成三角形．答案D点评三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系,即是否满足任意两边之和大于第三边．简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边．例题4 甲地离学校4km,乙地离学校lkm．记甲、乙两地之间的距离为dkm,则d的取值为．A.3B.5C.3或5 D．3≤d≤5解析本题应分两种情况讨论：1甲、乙两地与学校在一条直线上；2甲、乙两地与学校不在同一条直线上,则构成三角形,可利用三角形三边关系解题．答案D∠,G为AD的中点,延长BG交AC于E．F为例题5 如图7-4 -8,在△ABC中,1∠=2AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断正确的有．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线．A.l个B．2个 C.3个D．4个∠知AD平分∠BAE．但AD不是△ABE内的线段,故①错,AD应是△ABC的角平分线；同理,BE经解析由1∠=2过△ABD 的边AD 的中点G,但BE 不是△ABD 中的线段,故②不正确,正确的说法应是BG 是△ABD 边AD 上的中线；由于CH ⊥AD 于H,故CH 是△ACD 边AD 上的高,故③正确；AH 平分∠FAC 并且在△ACF 内,故AH 是△ACF 的角平分线,同理AH 也是△ACF 的高,故④正确．答案B点评 三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段,在三角形的内部,后者是射线,可以无限延伸．例题6在△ABC 中,AB =AC,AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分,求三角形各边的长,解析 中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分,要分类讨论：1当腰长小于底边时,AB +AD =12,如图7-4 -9①；2当腰长大于底边时,AB +AD =15,如图7-4 -9②．答案设AB=x ,则有：AD= DC=x 21． 1若AB +AD =12,即x + x 21=12,x =8． AB =AC =8,DC =4,故BC= 15 -4= 11.此时AB +AC> BC,所以三角形三边长分别为8cm,8cm,llcm.2若AB+ .4D= 15,即x +x 21=15,x =10． 即AB =AC =10,DC =5,故BC=12 -5 =7．显然,此时三角形存在,所以三角形三边长分别为l0cm,l0cm,7cm ．综上所述,此三角形的三边长分别为8cm,8cm ．llcm 或l0cm,l0cm,7cm ．例题7 如图7-4 -10,是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE,其中画法错误的是____________解析 甲图错在把三自形的高线与AC 边的垂线定义相混淆,把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征,画出的BE 与AC 不垂直；丙图错在没有过点B 画AC 的垂线,故不是高；丁图错在没有向点B 的对边画垂线． 答案 甲、乙、丙、丁例题8 如图7—4-11,在△ABC 中,AB =AC,AC 边上高BD=10,P 为边BC 上任意一点,PM ⊥AB,PN ⊥AC,垂足分别为M,N ．求PM+PN 的值．解析 连接AP 后,PM 、PN 就转化为△APB 和△APC 的高,从而由面积法可求得PM+ PN 的值．答案 连接AP,由图7-4 -11可知：ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+, 即BD AC PN AC PM AB ⋅=⋅+⋅212121 因为AB =AC,BD =10,所以PM+PN= BD =10.速效基础演练1如图7 -4 -12,图中三角形的个数共有 ．A 1个B ．2个 C.3个 D ．4个2 三角形两边的长分别为lcm 和4cru,第三边的长是一个偶数,则第三边的长是________,这个三角形是___________三角形3如图7 -4 -13．1 AD ⊥BC,垂足为D,则AD 是___________的高,_______=_______= 90°；2 若AE 平分BAC ∠,交BC 于E 点,AE 叫___________的角平分线,BAE ∠ =_______=21________; 3 若AF= FC,则△ABC 的中线是_________;4 若BC= GH= HF ．则AG 是________的中线,AH 是_________的中线;4 如图7 -4 -14,在△ABC 中,C ∠ = 90°,D 、E 为AC 上的两点,且AE= DE,CBD ∠ =EBC ∠21,则下列说法中不正确的是 ．A ．BC 是△ABE 的高B ．BE 是△ABD 的中线C ．BD 足△EBC 的角平分线D ．DBC EBD ABE ==∠5如图7 -4 -15,哪一个图表示AD 为△ABC 的高6 如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是．A．15 B．16 C．8 D．77 下列长度的三条线段,能组成三角形的是．A. lcm,2cm,3cmB. 2cm,3cm,6cmC. 4cm,6cm,8cmD. 5cm,6cm,12cm8 如图7 -4 -16,为估计池塘岸边A、B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA =15米,OB =10米,A、B间的距离不可能是．A．5米B．10米C．15米D．20米∠的平分线CD；2画出AC边上的中线BM；9 如图7 -4 -17,在△ABC中,1画出C3画出△ABM的边BM上的高AH.10如图7 -4 -18．△ABC是周长为18cm的等边三角形,D是BC上一点,△ABD的周长比△ADC的周长多2cm,求BD、DC的长;11 等腰三角形的周长为30,一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分,试求腰长．∠,交AC于点E,DE∥BC,EF∥AB,分别交AB、BC于点D、F,则BE 12已知如图7 -4 -19,在△ABC中,BE平分ABC∠的平分线吗请说明理由．是DEF13在△ABC 中,C ∠= 90°,BC =6,AC =8,AB =10,求边AB 上的高．知能提升突破1 如图7 -4 -20,在△ABC 中,已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 上的中点,且ABC S ∆=42cm , 求阴影部分的面积阴S ;2 如图7 -4 - 21,在△ABC 中,AB= AC,BD 是AC 边上的高,P 为BC 延长线上的一点,AB PM ⊥,AC PN ⊥,垂足分别为M 、N ．试问PM 、PN 与BD 之间有何关系3某木材市场上木棒规格和价格如下表： 规格1m 2m 3m 4m 5m 6m价格元/根 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用,现有两根长度为3m 和5m 的木棒,还需要到 某木材市场上购买一根．问：1 有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择2 选择哪一种规格的木棒最省钱。
三角形的基本概念
三角形的基本概念 三角形的概念：如图，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．三角形的主要线段：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条角平分线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线．在三角形中，连结一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线．这里我们要注意两点：一是一个三角形有三条中线，并且相交于三角形内部一点；二是三角形的中线是一条线段．从三角形一个顶点向它对边画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线(简称三角形的高)．这里我们要注意三角形的高是线段，而垂线是直线． 三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的这个性质在生产和生活中应用很广，需要稳定的东西都制成三角形的形状． 10.2. 三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：①三角形有三条线段；②三条线段不在同一条直线上； ③首尾顺次连接．以上三点表明三角形是封闭图形，如图就不是三角形．“三角形” 用符号“∆” 表示，顶点是C B A ,,的三角形记作“ABC ∆” ，读作“三角形ABC ” ． 10.3. 三角形的分类及角边关系10.3.1. 三角形的分类三角形按边的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形 三角形按角的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形．它是两条直角边相等的直角三角形．注意：一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角；最多有一个直角． 10.3.2. 三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形． ②当已知两边时，可确定第三边的范围． ③证明线段不等关系．10.3.3. 三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180． 推论：①直角三角形的两个锐角互余．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．注意：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角．10.3.4. 三角形的面积三角形的面积＝21×底×高． 10.4. 全等三角形 10.4.1. 全等三角形的概念能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．夹边就是三角形中相邻两角的公共边．夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角．10.4.2. 全等三角形的表示和性质下图中的两个三角形能够完全重合，就是全等三角形，“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于” ．下图中的ABC ∆和C B A '''∆全等，记作“ABC ∆≌C B A '''∆” ．注意:记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上． 因为能够重合的两条线段是相等的线段，能够重合的两个角是相等的角，所以全等三角形的对应边相等，对应角相等．这是全等三角形的性质．10.4.3. 三角形全等的判定 三角形全等的判定公理：三角形全等的判定公理有下面几个：(1)边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ” )． (2)角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ” )．这个公理还有下面的推论：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ” )．(3)边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等．(可以简写成“边边边”或“SSS ” )． 三角形全等判定公理的选择：已知条件 可选择的判定公理 一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判断它全等时，还有HL 公理即斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写为“斜边、直角边”或“HL ”)．注意：①HL 公理是直角三角形独有的，它对一般三角形不成立；而一般三角形的全等判定公理同样适用于直角三角形．②有两边和其中一边的对角(直角或钝角)对应相等，则这两个三角形全等． 10.4.4. 全等变换只改变图形的位置，而不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换．全等变换包括以下三种：①平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换．如图1，把ABC ∆沿直线BC 移动到C B A '''∆和C B A ''''''∆位置就是平移变换．②对称变换：将图形沿某直线翻折 180，这种变换叫做对称变换．如图2，将ABC ∆翻折180到ABD ∆位置的变换就是对称变换．③旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换．如图3，将ABC ∆绕过A 点旋转180到ADE ∆的位置，就是旋转变换．这里我们应该知道，无论是平移变换，对称变换还是旋转变换，变换前后的两个图形全等，具有全等的所有性质．图1 图2 图310.5. 等腰三角形 10.5.1. 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等(简称：等边对等角)．即：在ABC ∆中，若AC AB =，则C B ∠=∠． 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边．即等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合．推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60．等腰三角形的其它性质：1、 等腰三角形的三线合一性：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互 相重合．即只要知道其中一个量，就可以知道其它两个量．2、 等腰直角三角形的两个底角相等且等于45．3、 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角(或直角)，但顶角可以为钝角(或直角)．4、 等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则a b<2． 5、 等腰三角形的三角关系：设顶角为A ∠，底角为C B ∠∠,，则有：B A ∠-=∠2180，2180AC B -=∠=∠ ．10.5.2. 等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．(简写成：等角对等边).这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等．推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形．推论2：有一个角是60的等腰三角形是等边三角形．推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 注意：推论1，推论2常用于证明一个三角形是等边三角形；推论3常证明线段的倍分． 证明一个三角形是等腰三角形的方法：1、利用定义证明，有两边相等的三角形是等腰三角形．2、等腰三角形的判定定理：等角对等边．证明一个三角形是等边三角形的方法：1、利用定义证明：证明三条边相等．2、证明三角形三个角相等．3、证明它是等腰三角形并且已有一个角是60．等腰三角形性质等腰三角形判定中线 1、等腰三角形底边上的中线垂直底边，平分顶角2、等腰三角形两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等1、两边上中线相等的三角形是等腰三角形2、如果一个三角形的一边中线垂直这条边(平分这个边的对角)，那么这个三角形是等腰三角形角平分线1、等腰三角形顶角平分线垂直平分底边2、等腰三角形两底角平分线相等，并且它们的交点到底边两端点距离相等 1、如果三角形的顶角平分线垂直于这个角的对边(平分对边)那么这个三角形是等腰三角形2、三角形中两个角的平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形高线 1、等腰三角形底边上的高平分顶角、平分底边2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等 1、如果一个三角形一边上的高平分这条边(平分这条边的对角)那么这个三角形是等腰三角形2、有两条高相等的三角形是等腰三角形 角 等边对等角等角对等边边 底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形10.6. 直角三角形； 10.6.1. 直角三角形的性质1、直角三角形两锐角互余． 即：︒=∠+∠⇒︒=∠9090B A C ．2、直角三角形中，︒30角所对的直角边等于斜边的一半． 即：AB BC C A 219030=⇒⎭⎬⎫︒=∠︒=∠．3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 即：AD BD AB CD AB D ACB ===⇒⎭⎬⎫︒=∠2190中点为．4、勾股定理：直角三角形两直角边b a ,的平方和，等于斜边c 的平方．即：222c b a =+．注意：此定理揭示了直角三角形三边关系，蕴含了数形结合思想，是从图形到数量的关系，常用来求线段的长．5、射影定理：直角三角形斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项．即：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=⋅=⇒⎭⎬⎫⊥︒=∠．，，AB BD BC AB AD AC BD AD CD AB CD ACB 22290 注意： 1、它是线段计算、比例求等积式或证明中的常用定理； 2、这个双垂直图形中还有：①两对等角(除直角)ACD B BCD A ∠=∠∠=∠，； ②三个相似三角形即ACD ∆∽CBD ∆∽ABC ∆；③由面积公式推导出来另一等积式：BC AC CD AB ⋅=⋅． 10.6.2. 直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形．2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 注意：它是“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”的逆定理．3、勾股定理逆定理：如果三角形三边长c b a ,,有下面关系：222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形． 注意：它是利用三角形边长的数量关系判断三角形形状，体现了数形结合思想． 10.6.3. 锐角三角函数的概念如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，我们把锐角A 的 ①对边与斜边的比叫做A ∠的正弦，记作A sin ， 即：caA A =∠=斜边的对边sin ；②邻边与斜边的比叫做A ∠的余弦，记作A cos ，即：cbA A =∠=斜边的邻边cos ； ③锐角A 的对边与邻边的比叫做A ∠的正切，记作A tan ，即：baA A A =∠∠=的邻边的对边tan ； ④锐角A 的邻边与对边之比叫做A ∠的余切，记作A cot ，即：abA A A =∠∠=的对边的邻边cot ． 说明：①当A ∠固定时，A ∠的正弦值，余弦值，正切值，余切值都是固定的，这与A ∠的两边长短无关． ②上面各式从整体看是一个等式，而右边是一个分式，因而具有等式、分式的性质，当已知式中两个量时，可求第三量．锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做A ∠的锐角三角函数．说明：由于锐角三角函数都是线段的比值，因而都是正数，而且没有单位． 10.6.4. 特殊角度的三角函数值特殊角度()的三角函数值：三角函数︒0︒30︒45︒60︒90αsin0 2122 23 1 αcos1 23 22 21 0 αtan33 13－10.6.5. 各锐角三角函数之间的关系式各锐角三角函数之间的关系式： (1)互余关系：)90cos(sin A A -︒=，()A A -︒=90sin cos ，)90cot(tan A A -︒=，()A A -︒=90tan cot ．(2)平方关系：1cos sin 22=+A A ．(3)倒数关系：1)90cot(cot ,1)90tan(tan ,1cot tan =-︒=-︒=A A A A A A ． (4)相除关系：AAA A A A sin cos cot ,cos sin tan ==． 10.6.6. 锐角三角函数的增减性当角度在︒-︒900之间变化时，(1)正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； (2)余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)； (3)正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)； (4)余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)．10.6.7. 解直角三角形解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 解直角三角形的工具：在Rt ∆ABC 中，90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠所对边分别为c b a ,,． 1、三边之间的关系：222c b a =+(勾股定理)． 2、锐角之间的关系：A ∠+B ∠=90． 3、边角之间的关系：c a A =sin ，c b A =cos ，b a A =tan ，a b A =cot ，c b B =sin ，c a B =cos ，abB =tan ，baB =cot ． 说明：①利用这些关系，知道其中的2个元素(至少有一个边)，就可以求出其余的3个未知元素．②已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，不一定全等．因此其边的大小不确定．直角三角形解法：直角三角形解法按除直角外已知2个元素的不同情况可大致分为四种类型： 1、已知一条直角边和一个锐角(如a ，A ∠)其解法为：)(cot ,sin ,9022a c b A a b Aac A B -=⋅==∠-=∠或 ； 2、已知斜边和一个锐角(如c ，A ∠)其解法为：)(cos ,sin ,9022a c b A c b A c a A B -=⋅=⋅=∠-=∠或 ；3、已知两直角边(如a ，b )，其解法为：A B A baA b a c ∠-=∠∠=+= 90,tan ,22得由；4、已知斜边和一直角边(如c ，a )，其解法为：A B A caA a c b ∠-=∠∠=-= 90,sin ,22得由．10.6.8. 解直角三角形的应用仰角、俯角：如图1，在我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．图1坡度、坡角：如图2，我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(或坡比)，用字母i 表示，即lh i =． 坡面与水平面的夹角叫坡角．坡度与坡角(若用α表示)的关系：αtan =i ．坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．图2 图3方向角：如图3，平面上，过观测点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．例如，图中“北偏东30”是一个方向角，又如“西北”即指正西方向与正北方向所夹直角的平分线，此时的方向角为“北偏西 45”(或“西偏北45” )．例.1.在平面直角坐标系χογ中，已知点A （2，3），在坐标轴上找一点P ，使得∆AOP 是等腰三角形，则这样的点P 共有 个。
第四章 三角形知识点
第四章三角形一、认识三角形●三角形的有关概念1、三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。
2、三角形的边：组成三角形的线段叫作三角形的边，可以用两个大写英文字母表示，也可以用一个小写英文字母表示。
3、三角形的顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点。
4、三角形的角：相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。
5、角与边的对应关系：大边对大角。
6、三角形的表示：用符号“△”表示，以A,B,C为顶点的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。
●三角形的分类1、按内角的大小分类锐角三角形（三个角都是锐角）直角三角形（最大内角为直角），互相垂直的两条边叫作直角边，最长的边叫作斜边，直角三角形ABC可以用符号“Rt△ABC”表示钝角三角形（最大内角为钝角）注：在一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个直角，最多有一个钝角。
2、按边的相等关系分类等腰三角形：有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两条边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角。
等边三角形：三条边都相等的三角形叫作等边三角形，即腰和底边相等的等腰三角形叫作等边三角形，也叫正三角形。
不等边三角形：三边都不相等的三角形。
注：●三角形的三边关系1、三角形的两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边。
（证明可以依据两点之间线段最短，大角对大边，不等式性质）2、三边关系的运用（1）判断以已知的三条线段为边能否构成三角形（2）确定三角形的第三边长（或周长）的取值范围（3）解决线段的不等关系问题（如证明几何不等式）●三角形的高1、三角形的高的概念：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足所连线段叫做三角形的高。
2、三角形高的几何语言表达形式AD是△ABC的边BC上的高，或AD是△ABC的高，或AD垂直BC与点D，或∠BDA=∠CDA=90°3、三角形三条高的位置锐角三角形三条高都在三角形的内部。
三角形的概念
三角形的概念三角形是几何学中的基本概念之一，它是由三条线段组成的图形。
本文将介绍三角形的定义、性质以及一些常见的特殊三角形。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段称为三角形的边。
边的起点和终点称为边的顶点。
三角形的三个顶点连接起来的线段称为三角形的边。
三角形的内部区域称为三角形的内部。
2. 三角形的分类根据三边的长度和角的大小，三角形可以分为以下三种分类：- 等边三角形：三条边的长度相等，三个角的大小也相等。
- 等腰三角形：至少有两条边的长度相等，至少有两个角的大小相等。
- 普通三角形：三条边的长度都不相等，三个角的大小也不相等。
3. 三角形的性质三角形具有很多独特的性质，下面介绍几个常见的性质：- 三角形的内角和为180度：三角形的三个内角之和等于180度。
- 三角形的外角和为360度：三角形的三个外角之和等于360度。
- 三角形两边之和大于第三边：三角形的任意两边之和大于第三边。
- 等边三角形的内角都是60度：等边三角形的三个内角都是60度。
- 等腰三角形的底角相等：等腰三角形的两个底角（底边上的角）大小相等。
- 等腰三角形的高线对称：等腰三角形的高线对称，即等腰三角形的高线经过底边中点。
4. 特殊三角形除了等边三角形和等腰三角形之外，还有一些特殊的三角形，下面简要介绍一下：- 直角三角形：有一个角是90度的三角形，直角三角形的特点是有一个角是直角（90度）。
- 钝角三角形：三角形中最大的角大于90度的三角形。
- 锐角三角形：三角形中所有的角都小于90度的三角形。
- 等腰直角三角形：既是直角三角形又是等腰三角形的三角形，即有一个角是90度且有两条边的长度相等。
5. 三角形的应用三角形在日常生活中有许多实际应用，下面列举几个例子：- 三角形的形状可以用于设计建筑物、桥梁和通信塔等工程项目。
- 在地理学中，通过三角法可以测算地球上不同地点之间的距离和角度。
- 在导航和航海中，三角形被广泛用于测量和计算位置、速度和方向。
三角形有关概念及性质
21D CB AD CBA三角形有关概念及性质⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. 注意：（1）三条线段要不在同一直线上，且首尾顺次相接； （2）三角形是一个封闭的图形；（3）△ABC 是三角形ABC 的符号标记，单独的△没有意义． ⒉ 三角形的分类：(1)按边分类： (2)按角分类：⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线.2.BD=DC=12BC. 注意：①三角形的中线是线段；②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形．（2）三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线.2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段；②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线．三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形 三角形直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _AD CB A（3）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线.2.AD ⊥BC 于D.3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段；②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点．⒋ 三角形的主要线段的表示法： 三角形的角平分线的表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示：① AD 是∆ABC 的角平分线； ② AD 平分∠BAC ，交BC 于D ；③ 如果AD 是∆ABC 的角平分线，那么∠BAD=∠DAC=21∠BAC.(2)三角形的中线表示法：如图1，根据具体情况使用以下任意一种方式表示： ①AE 是∆ABC 的中线；②AE 是∆ABC 中BC 边上的中线；③如果AE 是∆ABC 的中线，那么BE=EC=21BC. (3)三角线的高的表示法：如图2，根据具体情况，使用以下任意一种方式表示： ① AM 是∆ABC 的高；② AM 是∆ABC 中BC 边上的高；③ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上高，那么AM ⊥BC ，垂足是E ； ④ 如果AM 是∆ABC 中BC 边上的高，那么∠AMB=∠AMC=90︒.⒌ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意：(1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部.图3图4ABCD E 图1图2如图5,6,7，三角形的三条高交于一点，锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部，直角三角形的三条高的交点在直角三角形直角顶上.图5图6图7⒍三角形的三边关系三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.注意：（1）三边关系的依据是：两点之间线段是短；（2）围成三角形的条件是任意两边之和大于第三边．⒎三角形的角与角之间的关系：(1)三角形三个内角的和等于180 ;(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(4)直角三角形的两个锐角互余.三角形的内角和定理定理：三角形的内角和等于180°．推论：直角三角形的两个锐角互余。
中考复习三角形的基本概念与性质
中考复习三角形的基本概念与性质三角形是初中数学中的重要概念，它涉及到边、角、面积等基本要素。
掌握三角形的基本概念与性质对于中考数学的学习至关重要。
本文将从三角形的定义、分类以及常用的性质等方面进行讲解，帮助同学们在中考复习中更好地理解和掌握三角形。
一、三角形的定义与分类1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的多边形，它的特点是有三个顶点和三条边。
三角形的三个顶点可以不在同一条直线上，但是三条边必须相互连接才能构成三角形。
2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度的关系，三角形可分为以下几类：(1) 等边三角形：三条边的长度相等；(2) 等腰三角形：两条边的长度相等；(3) 直角三角形：有一个角为直角（90度）；(4) 钝角三角形：有一个角大于90度；(5) 锐角三角形：三个角都小于90度。
二、三角形的性质1. 三角形内角和性质对于任意一个三角形，其内角和恒为180度。
即三个角的度数之和等于180度。
2. 三边关系性质(1) 三角形两边之和大于第三边：若三边长分别为a、b、c，则满足a +b > c、b +c > a、a + c > b。
只有满足这个条件，这三条边才能构成一个三角形。
(2) 两边之差小于第三边：若三边长分别为a、b、c，则满足|a - b| <c、|a - c| < b、|b - c| < a。
3. 等腰三角形的性质(1) 等腰三角形的底角（两边相等的角）相等；(2) 等腰三角形的高线（从底边的中点垂直于顶点的线段）相等。
4. 直角三角形的性质(1) 直角三角形的斜边是最长的边；(2) 直角三角形的两个锐角互余，也就是说，两个锐角之和等于90度。
5. 等边三角形的性质(1) 等边三角形的三个内角都等于60度；(2) 等边三角形的高线、中线、角平分线以及垂心、重心、外心、内心都重合于一个点。
6. 三角形的面积公式三角形的面积公式为：面积 = 底边长度 ×高 / 2。
三角形定义
三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．三角形的边:组成三角形的线段顶点:相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点．三角形的内角：相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角．按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等边三角形）．三角形的主要线段：角平分线、中线、高．三角形具有的特性:稳定性．三角形的高:从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段．三角形的角平分线:三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形的中线:三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．线段:三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．三角形的面积：（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1/2×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．三角形三边关系1.三角形两边之和大于第三边．2。
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．3。
三角形的两边差小于第三边．4.在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．三角形内角和定理：三角形内角和是180°．三角形内角和定理的证明：证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．三角形内角和定理的应用：主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形．全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．三角形全等的符号:“全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上．对应顶点、对应边、对应角:把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角．全等三角形的性质和注意：1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等关于全等三角形的性质应注意以下两点：①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角．全等三角形的5种判定方法:（1）判定定理1：SSS-三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS-两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA-两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS-\\两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL-斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．1、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都适合它，同时，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．全等三形的判定是结合全等三角形的证明线段相的重要工具．在判定三角形全等，关键是选择恰当的判定条．在应用全等三角形的判定时要注意三的共边和公角，必要时添适当辅助构造三角．。
三角形基础概念
三角形基础概念1、三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2、三角形的分类锐角三角形等腰三角行按角分类直角三角形按边分类钝角三角形3、三角形边的性质（1）三角形三边关系定理及推论定理：三角形两边的和大于第三边。
推论：三角形两边的差小于第三边。
（2）三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边（3）三角形的重要线段①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心（4）三角形具有稳定性（5）三角形的内角和定理及性质定理：三角形的内角和等于180°.推论1：直角三角形的两个锐角互补。
推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。
推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
4、全等三角形定义：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：全等三角形是相似三角形中的特殊情况）（1）三角形全等的判定公理及推论①三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)②有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
③有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
④有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边)⑤在直角三角形中，如果斜边及一直角边对应相等，则两个直角三角形全等（HL 或“斜边，直角边”）（2）全等三角形的性质①全等三角形的对应角相等、对应边相等。
②全等三角形的对应边上的高对应相等。
③全等三角形的对应角平分线相等。
④全等三角形的对应中线相等。
⑤全等三角形面积相等。
⑥全等三角形周长相等。
5、等腰三角形（1）定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形是一个轴对称图形（2）性质：①等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重和（即“三线合一”）（3）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个交所对的边也相等（简写为“等角对等边”）6、等边三角形（1）等边三角形的定义：。
八年级三角形知识点总结
11八年级三角形知识点总结1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线.（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）.3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状.4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段.（2）三条线段不在同一直线上，三角形是封闭图形.（3）首尾顺次相接.三角形用符号“△”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”.5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：八年级三角形知识点总结八年级三角形知识点总结 2 21.不等边三角形2. 等腰三角形（1）底和腰不相等的等腰三角形.（2）等边三角形.三角形按角的关系分类如下：1.直角三角形（有一个角为直角的三角形）.2.斜三角形（1） 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）.（2）钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）.把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。
它是两条直角边相等的直角三角形.6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角形的两边之差小于第三边.（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形.②当已知两边时，可确定第三边的范围.③证明线段不等关系.7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.推论：①直角三角形的两个锐角互余.②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.338、三角形的面积=1/2×底×高.多边形知识要点梳理定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形. 分类1：凸多边形、凹多边形.分类2：（1）正多边形：各边相等，各角也相等的多边形；（2）非正多边形.多边形的定理1、n边形的内角和等于180°（n-2）.2、任意凸形多边形的外角和等于360°.3、n边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）.镶嵌：拼成360度的角.只用一种正多边形：3、4、6.只用一种非正多边形（全等）：3、4.八年级三角形知识点总结。
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三角形的概念
预习单
一、选择题
1、下列各组线段中，不能构成三角形的是（ ）
(A) 1.5cm,2.5cm,4cm (B)2cm,4cm, 5cm (C)2cm,2cm,2cm (D)2cm,2cm,2cm 2、在ABC ∆中，已知
90=∠-∠A B ,那么ABC ∆是（ ）
（A ）直角三角形 （B ）锐角三角形 （C ）钝角三角形 （D ）无法确定 二、填空题
3、已知在ABC ∆中， 30=∠B ,︒
=∠50C ,那么=∠A 度。
4、已知在ABC ∆中，︒
=∠+∠120B A ，那么=∠C 度。
5、已知等腰三角形的顶角等于︒
40，那么这个等腰三角形的两个底角等于 度。
6、已知在ABC ∆中，AB=4，AC=6，那么边BC 的长度的取值范围是 。
7、已知ABC ∆是等腰三角形，AB=5cm,AC=8cm,那么BC= cm. 三、简答题
8、已知ABC ∆中，,C B A ∠=∠+∠试判断ABC ∆的形状，请说明理由。
9、如图，已知在ABC ∆中，︒
=∠50ABC ,︒
=∠70ACB ,延长CB 到D ，使BD=AB ，延长BC 到E ，使CE=AC ，求DAE ∠的度数。
D
学习任务单
【课前练习】
1、已知五条线段的长度是1cm 、2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，那么任取其中三条线段，能构成 个三角形。
2、已知在ABC ∆中，AB=3，BC=7，那么第三边AC 长度的取值范围是 。
3、已知在ABC ∆中，AB=3，AC=7，AD 是边BC 上的中线，那么中线AD 长度的取值范围是 。
4、已知等腰三角形的周长为20，如果腰长为x, 底边长为y ，那么y 与x 的函数解析式是 ，定义域是 。
5、已知在ABC ∆中，︒=∠25A ,︒
=∠70B ,那么=∠C 度。
6、如图，已知在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠,交边BC 于点D ，如果︒=∠45B ,︒
=∠70BAC ，那
么=∠ADC 度。
【例题选讲】 一、选择题
1、已知三角形的两边长分别是3和5，那么第三边a 的长的取值范围是（ ） （A ）53<<a （B ）83<<a （C ）82≤≤a （D ）82<<a
2、已知在ABC ∆中，︒
=∠+∠120B A ,C B ∠=∠,那么ABC ∆是（ ）
（A ） 等腰三角形 （B ） 等边三角形 （C ） 等腰直角三角形 （D ）无法确定 3、下列说法不正确的是（ ）
（A ） 三角形的三个内角中至少有两个锐角 （B ） 三角形的三个内角中至多有一个直角 （C ） 三角形的三个内角中至多有一个钝角 （D ） 三角形的一个外角等于它的两个内角和 二、填空题
4、已知在ABC ∆中，A C B ∠=∠=∠2,那么=∠B 度。
5、现有两根长度分别为5cm 和9cm 的小木棒，如果要用第三根小木棒与它们搭成一个三角形，那么这第三根小木棒的长度可以是 cm 。
（只需填写一个答案）
6、已知等腰三角形的周长为15cm ，腰长为6cm ，那么这个等腰三角形的底边长为 cm 。
7、如图，已知CD 是ABC ∆的角平分线，︒
=∠50B ,
︒
=∠35ACD ,那么=∠A 度。
8、已知在ABC ∆中，4:3:2::=∠∠∠C B A ,那么=∠A 度。
9、已知等腰三角形的一个底角等于︒
50，那么这个等腰三角形的顶角等于 度。
10、已知等腰三角形的一个内角等于︒50，那么这个等腰三角形的顶角等于 度。
11、已知在ABC ∆中，3:2:1::=∠∠∠C B A ，那么ABC ∆中是 。
（填“锐角三角形”、“直角三角形”、“钝角三角形”）
12、已知在ABC ∆中，2:1:1::=∠∠∠C B A ，那么ABC ∆是 。
（填“等腰三角形”、“等腰直角三角形”、“等边三角形”）
13、已知等腰三角形的两条边长分别是5cm 、7cm ，那么这个等腰三角形的周长等于 cm. 三、简答题：
14、如图，已知在ABC ∆中，AB=AC ，︒=∠45BAC ,AD ∥BC,
求：DAE ∠的度数。
15、如图，三角形纸片ABC 中，︒=∠75A ,︒=∠72B .讲三角形纸片的一角折叠，使点C 落在
ABC ∆内，如果︒=∠321，求2∠的度数。
课后作业单
1、已知一个三角形的两边长分别为3和5，那么第三边c 的长的取值范围是 。
2、如图，已知ABC ∆中，AD 平分BAC ∠且与边BC 相交于点D 。
如果︒=∠40C , ︒=∠30BAD ,那么B ∠的度数是 。
3、命题“等角的补角相等”的逆命题是 。
4、在ABC ∆中，D 、E 分别是边AB 和AC 的中点，AB=6cm ，BC=7cm ，AC=8cm ，那么ADE ∆的周长是 cm 。
5、现有两根木棒，它们的长度分别是4dm 和7dm 。
如果不改变木棒的长度，要钉成一个三角形的木架，那么在下列四根木棒中应选取（ ）
A 、3dm 长的木棒
B 、7dm 长的木棒
C 、11dm 长的木棒
D 、15dm 长的木棒 6、下列说法中正确的是（ ）
A 、每个命题都有逆命题；
B 、每个定理都有逆定理
C 、真命题的逆命题一定是真命题
D 、假命题的逆命题一定是假命题。
7、如图，已知ABC ∆中，∠C 是钝角，请用直尺和圆规分别作出边AC 上的中线和边AC 上的高（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
8、如图，已知ABC ∆中，∠B=∠C ，D 是边BC 上一点，DE ⊥AB ，垂足是点E ，DF ⊥BC ，DF 交边AC 于点F ，∠AFD=︒
160。
求∠EDF 的度数。
B。