第一章 函数极限和连续习题课

解：设其为x 的k 阶无穷小
x2 + x lim =C ≠0 k x →0 x
3
2 x2 + x x + x 3 ∴ lim = lim k x →0 x →0 x x 3k 3
= lim x
3 x→0
1 −3k 2
(1 + x )
3 2
1 ⇒k= 6
f ( x) f ( x)⎞ ⎛ . 例7. 已知 lim = 4, 求 lim ⎜ 1 + ⎟ x → 0 1 − cos x x→0 x ⎠ ⎝
分析：考察各区间端点的极限是否存在？
x →−1
lim+ f ( x ), lim− f ( x )存在.
x→3
sin 2 sin 2 lim , lim− f ( x ) = − . f ( x) = + x →0 4 x→0 4
lim f ( x ) = ∞ ,
x →1
| x | sin( x − 2) |x| lim = lim =∞ 2 x → 2 x ( x − 1)( x − 2) x → 2 x ( x − 1)( x − 2)
一、 函数
1. 函数的概念
定义 : 设 D ⊂ R , 函数为特殊的映射 :
f :D
→
f ( D) ⊂ R 值域
定义域
其中 f ( D ) = { y y = f ( x ) , x ∈ D} .
函数图形:
y
y = f ( x)
C = { ( x , y ) y = f ( x ) , x ∈ D}
x = –1 为第一类可去型间断点.
lim f ( x ) = ∞ .
x→ 1
x = 1 为第二类无穷型间断点.
x→ 0
lim+ f ( x ) = −1, lim− f ( x ) = 1.
x →b
∃ M 2 > 0, ∃ δ 2 > 0, 使 ∀ x ∈ ( b − δ 2 , b ), 有 | f ( x ) |≤ M 2 .
又已知 f ( x ) ∈ C (a , b) ⇒ f ( x ) ∈ C [a + δ 1 , b − δ 2 ].
⇒ f ( x )在[a + δ 1 , b − δ 2 ]有界,取 M = max{ M 1 , M 2 , M 3 }.
1 x
1 x
f ( x) 2 ) e = exp(lim = x→0 x2
练习
(1 + x )sin x 的间断点并判断其类型. 1. 求 f ( x ) = x ( x + 1)( x − 1)
(1 + x )sin x 1 lim 解： = sin1. x → −1 x ( x + 1)( x − 1) 2
x →a x →b
证明 f ( x) 在 (a, b)内有界.
证明1：巳知 lim+ f ( x ) ∃, 由局部有界性得
x →a
∃ M 1 > 0, ∃ δ 1 > 0, 使 ∀ x ∈ ( a , a + δ 1 ), 有 | f ( x ) |≤ M 1 .
巳知 lim f ( x ) 存在, 由局部有界性得 −
o
D
x
2. 函数的特性 有界性, 单调性, 奇偶性, 周期性.
3. 反函数
设函数 f : D → f ( D )为单射,其反函数为
f −1 : f ( D ) → D
4. 复合函数
给定函数 f : D1 → f ( D1 )，g : D → g ( D ) ⊂ D1
则复合函数为 f g : D → f [ g ( D ) ].
⇒ lim f ( xn ) = A
n →∞
2. 极限存在准则及极限运算法则
3. 无穷小
无穷小的性质 ;无穷小的比较 ; 常用等价无穷小:
sin x ~ x ; e x − 1 ~ x; tan x ~ x; 1 2 1 − cos x ~ x ; 2 ln(1 + x ) ~ x;
arctan x ~ x; arcsin x ~ x;
故 − 1 − a = 0 , 所以a = −1, 由此
Hale Waihona Puke Baidu
y
y = 3 1 − x3
b = lim( 1 − x 3 + x )
3 x →∞
o
x
y = −x
= lim
1 (1 − x 3 )2 − x 3 1 − x 3 + x 2
x →∞ 3
=0
3 例6. 确定当x → 0时， x 2 + x 为x的几阶无穷小.
1 x 1 x 1 x x→0 x→0
x→0
x →+∞
lim+ e = +∞ , lim− e = 0 ⇒ lim e
π
2 , lim arctan x = −
x →−∞
不存在 .
lim arctan x =
π
2
⇒ lim arctan x不存在 .
x →∞
1 π 1 1 π lim arctan = , lim− arctan = − ⇒ lim arctan 不存在. + x→0 x →0 2 x 2 x→0 x x
例3. 若 f ( x ) ∈ C ( R )，且 lim f ( x )存在，则 f ( x )必有界.
x →∞
证明：令 lim f ( x ) = A , ∀ε > 0 , ∃ X > 0 , 当 x > X 时，
x →∞
有 A − ε < f ( x) < A + ε .
因为 f ( x ) ∈ C [− X , X ] , 据有界性定理，∃ M 1 > 0 ，
分析： 考察数列极限的定义：
∀ε > 0, ∃N ∈ N + , ∀n : n > N ⇒ | xn − a |< ε .
a − ε < xn < a + ε
x N 以后数列的所有点都进入点 a 的邻域内.
点 a的任何邻域之外只有数列{ x n }的有限个点.
例2. 设 f ( x) ∈ C(a, b) 且 lim f ( x) = A, lim f ( x) = B , + −
a x − 1 ~ x ln a ; (1 + x ) μ − 1 ~ μ x;
sin x 1⎞ ⎛ lim = 1, lim ⎜ 1 + ⎟ = e . x→0 x →∞ x x⎠ ⎝
x
4. 两个重要极限：
5. 求极限的基本方法：
极限准则; 参考极限; 等价代换; 换元法.
6. 判断极限不存在的方法 : 特殊序列法.
⇒ ∃ M 3 > 0, 使 ∀ x ∈ [a + δ 1 , b − δ 2 ], | f ( x ) |≤ M 3 .
则∀x ∈ (a , b), 有 | f ( x ) |≤ M , 即 f ( x ) 在 (a , b) 有界.
原题. 设 f ( x) ∈ C(a, b) 且 lim f ( x) = A, lim f ( x) = B , + −
1 1 u−1 令 = ,即 x = , 代入上式得 1− x 1− u u 1 x −1 2( x − 1) 1 u − 1 2( u − 1) )+ f ( )= . f( )+ f ( )= , 即 f( x x 1− x 1− u u u
1 1 联立解得：f ( x ) = x + + − 1. x 1− x
⎧9 x + 4 , x < 0 ⎪ = ⎨3 x + 1 , 0 ≤ x < 1 ⎪x , x≥1 ⎩
x≥8 ⎧ x − 3, 例2 已知 f ( x ) = ⎨ ，求 f (5) . ⎩ f [ f ( x + 5)], x < 8
解：f (5) = f [ f (10)] = f (10 − 3) = f (7) = f [ f (12)]
5. 基本初等函数和初等函数 有限个常数及基本初等函数经有限次四则运算
与复复合而成的一个表达式的函数.
6. 熟悉基本初等函数的图形及性态
• 常量函数 • 对数函数
x → +∞
• 幂函数 • 三角函数
x → −∞
• 指数函数 • 反三角函数
x→∞
lim e x = +∞ , lim e x = 0 ⇒ lim e x 不存在 .
由局部保号性知 , ∃ x2 ∈ (b − δ 2 , b), f ( x2 ) > 0.
∃ [x1 , x2 ] ⊂ (a , b ), f ( x ) ∈ C [x1 , x2 ], 且 f ( x1 ) f ( x2 ) < 0.
故 ∃ξ ∈ ( x1 , x2 ) ⊂ (a, b) 使 f (ξ ) = 0.
例5. 确定常数a , b，使 lim( 1 − x − a x − b ) = 0.
3 3 x →∞
⎛ 1 ⎞ b 解：原式 = lim x ⋅ ⎜ 3 3 − 1 − a − ⎟ = 0 ⎜ x ⎟ x →∞ x ⎝ ⎠
⎛ 1 ⎞ b ∴ lim ⎜ 3 3 − 1 − a − ⎟ = 0 x →∞ x⎠ ⎝ x
f ( x) f ( x) f ( x) 解： lim = 4 ⇒ lim = 4 ⇒ lim = 2. 2 x → 0 1 − cos x x→0 1 x→0 x 2 x 2
f ( x) ⎞ f ( x) 1 ⎛ = exp(lim ⋅ ) lim ⎜ 1 + ⎟ x→0 x→0 x ⎠ x x ⎝
= f (12 − 3) = f (9) = 6
x −1 例3 设 f ( x ) + f ( ) = 2 x , 其中x ≠ 0 , x ≠ 1，求 f ( x ). x
解：利用函数表示与变量字母的无关的特性 .
x −1 1 , 即x = , 代入方程得 令t = 1− t x
1 2 f( ) + f (t ) = , 1− t 1− t 1 2 即 f( ) + f ( x) = 1− x 1− x
例1. 数列 {xn } 以点 a 为极限的充分必要条件是 ( ). ( A) 在点a的任何邻域之内有数列{ xn }的有限多个点； ( B) 在点a的任何邻域之外有数列{ xn }的无穷多个点； (C ) 在点a的任何邻域之内有数列{ xn }的无穷多个点； ( D) 在点a的任何邻域之外有数列{ xn }的有限多个点 .
⎧ 3x + 1 , x < 1 , 求 f [ f ( x )] . 例1 设函数 f ( x ) = ⎨ x≥1 ⎩ x, 解: x<0 ⎧ 3 f ( x) + 1 , f ( x) < 1
f [ f ( x )] = ⎨ ⎩ f ( x) ,
f ( x) ≥ 1
3(3 x + 1) + 1
⇒ F ( x ) ∈ C[a, b]，故F ( x ) 在 [a, b]有界.
⇒ F ( x ) 在 (a , b)有界，故 f ( x ) 在 (a , b)内有界.
| x | sin( x − 2) 应用. 函数 f ( x) = 在下列哪个区间内有界( ). 2 x( x − 1)( x − 2) ( A) (−1,0); ( B) (0,1); (C ) (1,2); ( D) (2,3).
x →a x →b
试证 ∃ξ ∈ (a, b) 使 f (ξ ) = 0.
分析：需证 ∃ x1 , x2 ∈ (a , b), f ( x1 ) f ( x2 ) < 0.
证明：不妨设 lim+ f ( x ) = A < 0, lim− f ( x ) = B > 0.
x →a x→b
由局部保号性知 , ∃ x1 ∈ (a , a + δ 1 ), f ( x1 ) < 0.
x →a x →b
证明 f ( x) 在 (a, b)内有界.
⎧ f ( x ), ⎪ 证明2：作辅助函数 F ( x ) = ⎨ A, ⎪ B, ⎩
x→a x→a
a< x<b x=a . x=b
lim+ F ( x ) = lim+ f ( x ) = A = F ( a )
x→b
x→b
lim− F ( x ) = lim− f ( x ) = B = F ( b )
二、 极限
1. 极限定义的等价形式 [ 考虑x → x0情况 ]
x → x0
lim f ( x ) = A ⇔ lim[ f ( x ) − A] = 0
x → x0
"ε −δ "
[α = f ( x ) − A为无穷小]
− + ⇔ f ( x0 ) = f ( x0 )= A
⇔ ∀ { xn
n→∞ → x0 } ( xn ≠ x0 ) , xn ⎯⎯⎯
使 f ( x ) ≤ M1 ,
x ∈ [− X , X ].
取 M = max { A + ε , A − ε , M 1 } .
⇒ f ( x ) ≤ M , x ∈ ( −∞ , ∞ ).
y M 1 f ( x) A
−X o X
x
例4. 设 f ( x) ∈ C (a, b), 且 lim f ( x) i lim f ( x ) < 0, + −