2012届高三数学 专题二十六 椭圆中定值和最值问题复习课件

1 5 C－2，－2，设圆心
C 到 l1，l2 的距离分别为 d1，d2，
13 则 d2＋d2＝OC2＝ ， 1 2 2 EF2 GH2 2 2 又 2 ＋d1＝R ， 2 ＋d2＝R2， 2 两式相加， 两式相加，得 EF2＋GH2＝74≥2EF·GH， ≥ ， 1 37 37 ∴S＝ EF·GH≤ ，即(S 四边形 EFGH)max＝ . ＝ ≤ 2 2 2
若曲线 x2＋y2＋2x－4y＋1＝0 上的任意一点关于直 － ＋ ＝ 1 1 的对称点仍在该曲线上， 线 2ax－by＋2＝0(a，b∈R＋)的对称点仍在该曲线上，则a＋b的 － ＋ ＝ ， ∈ 的对称点仍在该曲线上 最小值是________． 最小值是 ．
【解析】 由题意知，已知圆的圆心 －1,2)在直线 2ax－ 解析】 由题意知，已知圆的圆心(－ 在直线 － ＋ 1 1 a＋b by＋2＝0(a，b∈R＋)上，所以解得 a＋b＝1，所以a＋b＝ a ＋ ＋ ＝ ， ∈ 上 ＋ ＝ ， a＋b ＋ b a ＋ b ＝2＋a＋b≥4. 4
已知集合 A＝{(x，y)||x|＋|y|≤1}， B＝ {(x， y)|x2 ＋ ＝ ， ＋ ≤ ， ＝ ， y2≤r2，r>0}，若点 ，y)∈A 是点 ，y)∈B 的必要条件，则 r ，若点(x， ∈ 是点(x， ∈ 的必要条件， 的最大值是________． 的最大值是 ．
2 解析】 A 是由四点(1,0)、(－1,0)、(0,1)、(0， 、－ 、 、 ， 2 【解析】 集合 是由四点 围成的正方形区域， 表示的是以(0,0)为圆心，r 为半 为圆心， －1)围成的正方形区域，集合 B 表示的是以 围成的正方形区域 为圆心 径的圆面，由于点(x， ∈ 是点(x， ∈ 的必要条件， 径的圆面，由于点 ，y)∈A 是点 ，y)∈B 的必要条件，所以 r |0＋0－1| ＋ － 2 的最大值是点(0,0)到直线 x＋y－1＝0 的距离 d＝ 的最大值是点 到直线 ＋ － ＝ ＝ ＝2. 2
专题二十四│ 专题二十四│ 要点热点探究
的下方， 【点评】 本题要注意的一个细节是直线 l 在圆 C 的下方， 点评】 利用这个几何特征及二元一次不等式所表示区域可以去掉 d＝ ＝ |－a－a＋m| － － ＋ 中分子的绝对值符号，从而避免了讨论． 中分子的绝对值符号，从而避免了讨论． 2
专题二十四│ 专题二十四│ 要点热点探究
专题二十四
直线与圆的最值问题
专题二十四 直线与圆的最值问题
高中数学下载平台 数学1618 http://www.shuxue1618.com） 高中数学下载平台 ：数学1618 （http://www.shuxue1618.com） 为您分享
专题二十四 │ 主干知识整合
主干知识整合
直线与圆中的最值问题主要包含两个方面 1．参量的取值范围 ． 由直线和圆的位置关系或几何特征， 由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如 k，b， ， ， r 的值变化． 的值变化． 此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等 式或函数． 式或函数． 2．长度和面积的最值 ． 由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化． 由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化．此类 问题主要是建立关于参数如 k 或 b，r 的函数，运用函数或基本 ， 的函数， 不等式求最值． 不等式求最值．
专题二十四 │ 要点热点探究
► 探究点二 有关面积的最值问题
直线与圆中的面积问题主要指的是由直线与坐标轴形成的 三角形、直线与圆形成的多边形及动圆的面积． 三角形、直线与圆形成的多边形及动圆的面积．
例 2 已知圆 C 通过不同的三点 P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1)，且 CP 、 、 ， 的斜率为－ 的斜率为－1. (1)试求⊙C 的方程； 试求⊙ 的方程； 试求 (2)过原点 O 作两条互相垂直的直线 l1，2，1 交⊙C 于 E， 两点， l l F 过原点 ， 两点， l2 交⊙C 于 G，H 两点，求四边形 EGFH 面积的最大值． 面积的最大值． ， 两点，
专题二十四 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
直线与圆中最值问题常规处理方法： 直线与圆中最值问题常规处理方法： (1)直线与圆的最值问题可以考虑找出最值的几何特征， 直线与圆的最值问题可以考虑找出最值的几何特征， 直线与圆的最值问题可以考虑找出最值的几何特征 再 计算． 如弦长问题 如弦长问题) 计算．(如弦长问题 (2)把所讨论的参数作为一个函数 一个适当的参数作为自 (2)把所讨论的参数作为一个函数， 把所讨论的参数作为一个函数， 变量来表示这个函数， 变量来表示这个函数，通过讨论函数的单调性或利用不等式求 最值． 最值． (3)如果建立的函数为二元函数，可以考虑用消元、三角换 如果建立的函数为二元函数， 如果建立的函数为二元函数 可以考虑用消元、 元或利用其几何意义来解决． 元或利用其几何意义来解决．
专题二十四│ 专题二十四│ 要点热点探究
【解答】 (1)设圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 解答】 设圆 ＋ ＋ ＝ ， D E 的斜率为－ ， 则 C 点的坐标为－ 2 ，－ 2 ，且 PC 的斜率为－1， 因为圆 C 通过不同的三点 P(m,0)，Q(2,0)，R(0,1)， ， ， ， ＋ ＋ ＝ ， 1＋E＋F＝0， ＋ ＋ ＝ ， 4＋2D＋F＝0， D 2＋m ＋ － 2 ＝ 2 ， 所以有 E － 2 －0 ＝－1， ＝－ ， D － 2 －m 所以圆 C 的方程为 x ＋y
2 2
D＝1， ＝ ， ＝ ， E＝5， 解得 ＝－6， ＝－ F＝－ ， m＝－ ＝－3. ＝－
12 52 25 ＋ ＋ ＋x＋5y－6＝0.或写成x＋2 ＋y＋2 ＝ 2 . ＋ － ＝
专题二十四 │ 要点热点探究
(2)圆心 圆心
专题二十四 │ 要点热点探究
► 探究点三 某些参量的取值范围问题
动直线和动圆中都会带有参量，此时由于直线和圆的运用， 动直线和动圆中都会带有参量，此时由于直线和圆的运用，会带 来参量取值变化， 利用几何特征建立关于参量的不等式或函数来求解． 来参量取值变化， 利用几何特征建立关于参量的不等式或函数来求解．
专题二十四│ 专题二十四│ 要点热点探究
|－a－a＋m| |m－2a| － － ＋ － (2)圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ 圆心 ＝ ＝ ， 2 2 的切线， ∵直线 l 是圆 C 的切线， |m－2a| － ∴d＝r，即 ＝ ， ＝2 a. 2 ∴m＝2a±2 2a. ＝ 的下方， ∵直线 l 在圆 C 的下方， ∴m＝2a－2 2a＝( 2a－1)2－1. ＝ － ＝ － －1，8－4 2. ， － ∵a∈(0,4]，∴m∈ ∈ ， ∈
专题二十四│ 专题二十四│ 要点热点探究
【解答】 (1)∵x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0， 解答】 ∵ － ＋ ＝ ， ∴(x＋a)2＋(y－a)2＝4a. ＋ － ∴圆心为 C(－a，a)，半径为 r＝2 a. － ， ， ＝ 设直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 2t，圆心 C 到直线 l 的距离为 d. ， m＝4 时，直线 l：x－y＋4＝0， ＝ ： － ＋ ＝ ， |－a－a＋4| － － ＋ 圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝ ＝ 2|a－2|， － ， 2 t2＝(2 a)2－2(a－2)2＝－ 2＋12a－8＝－ －3)2＋10. ＝－2(a－ － ＝－2a － ＝－ ∴当 a＝3 时，直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值为 2 10. ＝
专题二十四 │ 要点热点探究
本题在建立函数时， 【点评】 (1)本题在建立函数时，没有选择用 D 点坐标 点评】 本题在建立函数时 建立函数， 而是选择∠ 为自变量来建立函数， 建立函数， 而是选择∠OAD 为自变量来建立函数， 这样比起 二元函数来说，有利于求解 二元函数来说，有利于求解． (2)本题中的距离是一个二元函数 ， 这样一来几何条件 本题中的距离是一个二元函数， 本题中的距离是一个二元函数 是直角三角形” “△AOB 是直角三角形”就必须转化为 a，b 之间的等式， ， 之间的等式， 然后代入消元求出最大值 然后代入消元求出最大值．
图 24－1 －
专题二十四 │ 要点热点探究
战略合作伙伴：有机蔬菜专卖网： 战略合作伙伴：有机蔬菜专卖网： 专卖网 http://www.like-green.com
(1)2
(2) 2＋1 【解析】 (1)设切点为 ＋ 解析】 设切点为
π 0<α< ， D，∠OAD＝α ， ＝ 2
Βιβλιοθήκη Baidu
1 cosα 1 BD＝ 则连结 OD 知 OD⊥AB， ⊥ ， 从而得到 AD＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ tanα sinα π tan2 －α

sinα cosα sinα ，所以线段 AB＝ sinα ＋cosα，故线段 AB 长度的最小值为 2. ＝ cosα 1 (2)由题意知，圆心 由题意知， 由题意知 圆心(0,0)到直线 2ax＋by＝1 的距离为 到直线 ＋ ＝ 2 2＝ 2a ＋b 1 b)与点 ， 解得 2a2＋b2＝2， ， 所以点 P(a， 与点 ， 与点(0,1)之间距离为 a2＋(b－1)2 之间距离为 － ) 2 b2 1 因为－ ≤ ≤ ， ＝ －2b＋2＝ 2(b－2)2， ＋ ＝ － ) 因为－ 2≤b≤ 2， 所以当 b＝－ 2时， ＝－ 时 2 与点(0,1)之间距离取得最大值为 3＋2 2＝ 2＋1. 点 P(a，b)与点 ， 与点 之间距离取得最大值为 ＋ ＝ ＋
【答案】 答案】
2 －∞，－ ∪[5，＋∞) ，＋∞ ，＋ 5
－3－2 － 2 2 解析】 【解析】 kAM＝ ＝5，kBM＝ ， ＝－5，结合图象可得 －2＋1 ＋ －1－4 － 2 k∈－∞，－5∪[5，＋∞)． ∈ ，＋∞ ． ，＋
专题二十四│ 专题二十四│ 课本挖掘提升
专题二十四 │ 课本挖掘提升
课本挖掘提升
P11 115 改编) (教材必修 2 P115 习题 15 改编) ，－3)， 相交， 例 直线 l 过点 M(－1,2)且与线段 A(－2，－ ，B(4,0)相交，则斜 － 且与线段 － ，－ 相交 率的取值范围为________． 率的取值范围为 ．
【分析】 本题利用几何特征来得到 k 的取值范围， 的取值范围， 分析】 也可以转化为 方程组有解来处理． 方程组有解来处理．
例 1 (1)如图 24－1，已知圆 x2＋y2＝1 的一条切线与 x 轴、y 如图 － ， 长度的最小值为________． 轴分别交于点 A、B，则线段 AB 长度的最小值为 、 ， ． (2)直线 2ax＋by＝1 与圆 x2＋y2＝1 相交于 A，B 两点 直线 ＋ ＝ ， (其中 a， 是实数 ， △AOB 是直角三角形 是坐标原点 ， b 是直角三角形(O 是坐标原点)， 其中 ， 是实数)， 且 与点(0,1)之间距离的最大值为 之间距离的最大值为________． 则点 P(a，b)与点 ， 与点 之间距离的最大值为 ．
专题二十四 │ 要点热点探究
要点热点探究 ► 探究点一 有关长度的最小值
直线与圆中有关长度的问题主要包括直线被坐标轴截得的长度、 直线与圆中有关长度的问题主要包括直线被坐标轴截得的长度、弦 切线长等．其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解． 长、切线长等．其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解．
例 3 已知圆 x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圆心为 － ＋ ＝ ≤ 的圆心为 C，直线 l：y＝x＋m. ， ： ＝ ＋ (1)若 m＝4，求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值； 所截得弦长的最大值； 若 ＝ ， (2)若直线 l 是圆心下方的切线，当 a 在(0,4]变化时，求 m 的取 变化时， 若直线 是圆心下方的切线， 变化时 值范围． 值范围．