三角函数解题方法例谈

三角函数解题方法例谈
湖北奉阳市高级中学（441200) 毛俊
[摘要]采撷几道三角函数经典例题，剖析常值代换、巧妙换元、升幂降幂、化弦为切等方法技巧的运用，以提高学生的认知 能力、知识运用能力和函数思维能力.
[关键词]数;方法;技巧
[中图分类号]G633. 6[文献标识码]A[文章编号]1674-6058(2018)11-0030-01
三角函数题是高考数学中学 出现错误的题型，究其原因，除了知识 、题目 外，最主要
的原因是学 必要的解题技巧.为改变这一现状，在日 学中，可通过 代换、巧妙换元、升幂降幂、弦 等方法技巧，不断提高学生的认知能力、知识运用能力和函数思维能力.
一、常值代换
在三角函数计算中，有一些特殊的常数与三角函数 有着密切的联系，如 cos20+sin20=1、tan:c •cotr=1等，在解题过程中，对于这些特殊的常数有时需要 仔细
分析，利用 代换的方法对题目 ，这样 .
会收到很好的解题效果.
【例 1% 计算 1+2sin:ccos:c—(sin.r+cos.r)2.
析与解:此题乍看有点复杂、有 度，但仔细分析发现，将其中的常数1利用“sin20+cos20=1”进行代换，贝!|有sin^r+a s^r+Zsinrcosic:(sinr+cos:c)2，这样原 式就可以化为（sinr/cos:c)2—(sinr+cos:c)2=0，从而 得到 .常值代换，大大简化了解题的过程和步骤，也给三角函数解题提供了很好的思路和方法.
二、巧妙换元
元法是数学解题的重要方法之一.在三角函数的 解题中，有些题目 复杂，运用常规方法求解不简单，，教师要善于引导学生发现题目的特征规律，引人 参数 原，以使复杂的题目简单化，到快速
解决问题的目的.
【例 2% 试求函数y=1+sinr/cos:c/(sin:c/ cos:c)2的值域.
析与解:直接计算可能有些复杂，通过分析，可将 sin,/cos,转化为槡sin(,/-■")&*—槡，槡]，设 sine
/cos, 为则可以将函数y=1/sine/cose+(sine/
c o e)2通过换元法 一个关于w的简单的二次函数
^=饥2+饥+1，然后经过 就 得到^ =饥2+饥+1
=卜+1)2+4,由于[—槡，槡]，结合函数的图 像就可以求出，当时，;>8^ = 3 /槡，当T O=2
时，:y_=3.运用换元法，既达到了化繁为简的目的，拓
展了学的思维，又实现了参数的巧妙运用，提高了学 生的解题效率.
三、升幕降幕
三角函数公式繁多，熟练运用三角函数公式，如中学教学参考
■2018-4~~中旬30cos2e=2cos2e—1=1—2sin2e等进行升幂降幂计算，能 ，有效提高学生的解题思维和解题效率.
【例 3】已知函数 /(e)=4sin2e+2sin2e—2，e& "求/(e)的最小正周期、/(e)的最大 时，的集合!
析与解:通过观察分析发现，题中含有sin2e，sin2e 式子，无法 计算.要想解决这一问题，需：化为相同的式子，再利用函数的性质解决.因此，可借助““os2e=1—2sin2e”这一公式的变形 ““in2e=1—言2”
将题目中的4Sin2e进行降幂，化为4X1-C2〇s2, =2­
2cos2e,从而将原函数化为 /(e)=2sin2e—2cos2e= 2槡sin(2e—■"),从而确定了 /(e)的最小正周期为"，当e=々"+8时，/(e)m… =2槡升幂降幂方法的运用，
需建立在熟练掌握公式的基础上.在日 学中，教师要指导学生熟记公式、活用公式，只有这样才能有效解 决问题!
、化弦为切
化弦 是高中三角函数的常用方法之一，化弦为的关键是学 万能公式的熟练掌握，利用万能公式函数中的正弦和余弦 正切或余切，现了将元三角函数 一元三角函数的目的，最后，利用函
数的性质或函数值代人的方法 函数的求解或求值.
【例4】已知tanff=槡，试求C〇1/sm d a的值.
析与解:解决问题的关键是建立条件与 之间的关系，根据“cos0—sin0"0”可得cos0"0，将原式的分子
与分母同时除以cos0，就可以得到
cos^+sin^
cos$——sin$
+tan6*
1—tan$ ’再将tan$=槡代人式子中，可得9$=—3 —2槡化弦为切，方法科学，事半功倍，极大 发了学生学习数 学的 ，提高了学生的数学解题能力.
了以上几种简单的方法之外，还有很多的方法技 巧，如项的分拆、角的配凑等.在三角函数的教学中，教 应积极通过 代换、巧妙换元、升幂降幂、化弦为切等方法激发学生学习数学的 ，锻炼学生的数学思维
能力，提高学生的数学解题能力和解题效率.
(责任编辑黄春香）。