运用微元法求解功
变力做功的计算
变力做功的计算 Prepared on 22 November 2020变力做功的计算公式适用于恒力功的计算，对于变力做功的计算，一般有以下几种方法。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变力的做功问题。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少图3答案：。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
高考物理模型101专题讲练：第29讲 变力做功的6种计算方法
第29讲变力做功的6种计算方法一．知识回顾方法举例说法1.应用动能定理用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为W F，则有：W F－mgL(1－cosθ)＝0，得W F＝mgL(1－cosθ)2.微元法质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功W f＝F f·Δx1＋F f·Δx2＋F f·Δx3＋…＝F f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝F f·2πR3.等效转换法恒力F把物块从A拉到B，绳子对物块做功W＝F·⎝⎛⎭⎪⎫hsinα－hsinβ4.平均力法弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功W＝kx1＋kx22·(x2－x1)6.图像法在Fx图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移上所做的功7.功率法汽车恒定功率为P，在时间内牵引力做的功W=Pt二.例题精析题型一：应用动能定理例1．如图所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，重力加速度为g，现在用力F向上缓慢拉A直到B刚好要离开地面，则这一过程中弹性势能的变化量△E p和力F做的功W分别为（）A ．m 2g 2k，m 2g 2kB ．m 2g 2k，2m 2g 2kC ．0，m 2g 2kD ．0，2m 2g 2k题型二：微元法例2．在水平面上，有一弯曲的槽道AB ，槽道有半径分别为R 2和R 的两个半圆构成，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（ ）A ．0B ．FRC ．32πFRD ．2πFR题型三：等效转换法例3．如图所示，轻绳一端受到大小为F 的水平恒力作用，另一端通过定滑轮与质量为m 、可视为质点的小物块相连。
开始时绳与水平方向的夹角为θ，当小物块从水平面上的A 点被拖动到水平面上的B 点时，位移为L ，随后从B 点沿斜面被拖动到定滑轮O 处，BO 间距离也为L ，小物块与水平面及斜面间的动摩擦因数均为μ，若小物块从A 点运动到B 点的过程中，F 对小物块做的功为W F ，小物块在BO 段运动过程中克服摩擦力做的功为W f ，则以下结果正确的是（ ）A ．W F ＝FL （2cos θ﹣1）B ．W F ＝2FLcos θC ．W f ＝μmgLcos θD ．W f ＝FL ﹣mgLsin2θ题型四：平均值法例4．当前，我国某些贫困地区的日常用水仍然依靠井水。
求变力做功的六种方法
求变力做功的六种方法都匀市民族中学：王方喜在高中阶段求变力做功问题，既是学生学习和掌握的难点，也是教师教学的难点。
本文举例说明了在高中阶段求变力做功的常用方法，比如微元累积（求和）法、平均力等效法、功率的表达式PtW=、F-x图像、用动能定理、等效代换法等来求变力做功。
一、运用微元积累(求和)法求变力做功求変力做功还可以用微元累积法，把整个过程分成极短的很多段，在极短的每一段里，力可以看成是恒力，则可用功的公式求每一段元功，再求每一小段上做的元功的代数和。
由此可知，求摩擦力和阻力做功，我们可以用力乘以路程来计算。
用微元累积法的关键是如何选择恰当的微元，如何对微元作恰当的物理和数学处理，微元累积法对数学知识的要求比较高。
例1如图1-1所示，某人用力Ｆ转动半径为Ｒ的转盘，力Ｆ的大小不变，但方向始终与过力的作用点的转盘的切线一致，则转动转盘一周该力做多少功．图1-1【分析与解答】在转动转盘一周过程中，力Ｆ的方向时刻变化，但每一瞬时力Ｆ总是与该瞬时的速度同向（切线方向），即Ｆ在每瞬时与转盘转过的极小位移Δｓ同向．这样，无数瞬时的极小位移Δｓ１，Δｓ２，Δｓ３…Δｓｎ都与当时的Ｆ方向同向．因而在转动一周过程中，力Ｆ做的功应等于在各极小位移段所做功的代数和．即Ｗ＝ＦΔｓ１＋ＦΔｓ２＋…ＦΔｓｎ＝Ｆ（Δｓ１＋Δｓ２＋Δｓ３＋…Δｓｎ）＝Ｆ2πＲ【总结】变力始终与速度在同一直线上或成某一固定角度时，可把曲线运动或往复运动的路线拉直考虑，在各小段位移上将变力转化为恒力用Ｗ＝ＦLcosθ计算功，而且变力所做功应等于变力在各小段所做功之和。
【检测题1-1】如图1-2所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F、方向始终与磨杆垂直的力推磨，设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做了多少功？图1-2【检测题1-2】小明将篮球以10 m/s的初速度，与水平方向成30°角斜向上抛出，被篮球场内对面的小虎接到，小明的抛球点和小虎的接球点离地面的高度都为1.8 m．由于空气阻力的存在，篮球被小虎接到时的速度是6 m/s.已知篮球的质量m＝0.6 kg，g取10 m/s2.求：(1)全过程中篮球克服空气阻力做的功；(2)如果空气阻力恒为5 N，篮球在空中飞行的路程．二、运用平均力等效法求变力做功当力的方向不变，而大小随位移线性．．变化时(即Ｆ＝ｋx＋ｂ)，可先求出力的算术平均值221FFF+=，再把平均值当成恒力，用功的计算式求解。
(完整版)五种方法搞定变力做功问题
五种方法搞定变力做功一.微元法思想。
当物体在变力作用下做曲线运动时，我们无法直接使用θcos s F w •=来求解，但是可以将曲线分成无限个微小段，每一小段可认为恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和。
例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m ，物块与轨道间的动摩擦因数为μ。
求此过程中摩擦力所做的功。
思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果 图1图2把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功二、平均值法当力的大小随位移成线性关系时，可先求出力对位移的平均值221F F F +=，再由αcos L F W =计算变力做功。
如：弹簧的弹力做功问题。
例2静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F 作用下，沿x 轴方向运动（如图2甲所示），拉力F 随物块所在位置坐标x 的变化关系（如图乙所示），图线为半圆．则小物块运动到x 0处时的动能为 （ ） A ．0 B ．021x F mC ．04x F m πD ．204x π【精析】由于W ＝Fx ，所以F-x 图象与x 轴所夹的面积表示功，由图象知半圆形的面积为04m F x π．C 答案正确．三.功能关系法。
功能关系求变力做功是非常方便的，但是必须知道这个过程中能量的转化关系。
例3 如图所示，用竖直向下的恒力F 通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A 、B 、C 三点，设AB =BC ，物体经过A 、B 、C 三点时的动能分别为E KA ，E KB ，E KC ，则它们间的关系一定是：A ．E KB -E KA =E KC -E KB B ．E KB -E KA <E KC -E KB C ．E KB -E KA >E KC -E KBD ．E KC <2E KBF x 0FxF •Ox 0图2－甲图2乙【精析】此题中物块受到的拉力是大小恒定，但与竖直方向的夹角逐渐增大，属于变力，求拉力做功可将此变力做功转化为恒力做功问题．设滑块在A 、B 、C 三点时到滑轮的距离分别为L 1、L 2、L 3，则W 1=F (L 1-L 2)，W 2=F (L 2-L 3)，要比较W 1和W 2的大小，只需比较(L 1-L 2)和(L 2-L 3)的大小．由于从L 1到L 3的过程中，绳与竖直方向的夹角逐渐变大，所以可以把夹角推到两个极端情况．L 1与杆的夹角很小，推到接近于0°时，则L 1-L 2≈AB ，L 3与杆的夹角较大，推到接近90°时，则L 2-L 3≈0，由此可知，L 1-L 2> L 2-L 3，故W 1> W 2．再由动能定理可判断C 、D 正确．答案CD.四.应用公式Pt W =求解。
[求解变力做功的五种方法]变力做功
![[求解变力做功的五种方法]变力做功](https://img.taocdn.com/s3/m/09821684ed3a87c24028915f804d2b160b4e86c0.png)
[求解变力做功的五种方法]变力做功1.微元法适用于大小不变的力所做功的计算，此种情况可以通过分割求和的物理方法来求变力的功。
把曲线运动分成若干小段，每一小段上都可认为是恒力做功，再累计求和。
计算时由于力的大小不变，在累加时可以提出来，剩下的各小段累加得到的结果就等于物体通过的总路程。
我们可以通过力与物体通过的路程及其夹角的乘积来计算这一情况下大小不变的力所做功的问题。
如图所示，某个力F=10N作用于半径为R=1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向保持在任何时刻均与作用点的切线一致，则转动一周这个力做的总功为（）。
A.0JB.20JC.10JD.20J解析：分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功。
可以把圆弧分成1、2、3。
，总功W=F1+ F2+ F3+。
= F（1+2+3+。
）= F·2R=20J。
故答案为：B。
2.平均法对方向不变、大小随位移发生线性变化（即力与位移成一次函数关系）的力做功问题，可以通过平均力来计算这种变力的功。
这种方法也可以用来求解弹簧的弹力做的功。
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。
已知铁锤第一次将钉子钉进d，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度是多少？解析：钉子钉入木板过程中随着深度的增加，阻力成正比地增加，这属于变力做功问题。
由于力与深度成正比，可将变力等效为恒力来处理。
．据题意可得第一次打击有：；第二次打击有：。
由以上两式可得。
用图象法求解变力做功问题在F—图象中，图线与坐标轴围成的面积表示功。
对于方向不变，大小随位移线性变化的力，作出F—图象，求出图线与坐标轴所围成的面积，就求出了变力所做的功。
一立方体木块，边长0．2m，放在水池中，恰在此时有一半浮出水面而处于静止状态，若池深1m，用力将木块慢慢推至池底，在这一过程必须对木块做多少功？（水的密度）解析：木块的重力。
作出整个过程的F-图象，梯形面积即为变力的功，有。
利用微元法求变力做功
第 1 页 共 1 页 利用微元法求变力做功将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数个无穷小的位移上的恒力所做功的代数和，此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题．典例1 如图1所示，在一半径为R ＝6 m 的圆弧形桥面的底端A ，某人把一质量为m ＝8 kg 的物块(可看成质点)．用大小始终为F ＝75 N 的拉力从底端缓慢拉到桥面顶端B (圆弧AB 在一竖直平面内)，拉力的方向始终与物块在该点的切线成37°角，整个圆弧桥面所对的圆心角为120°，g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求这一过程中：图1(1)拉力F 做的功；(2)桥面对物块的摩擦力做的功．答案 (1)376.8 J (2)－136.8 J解析 (1)将圆弧AB 分成很多小段l 1、l 2、…、l n ，拉力在每一小段上做的功为W 1、W 2、…、W n .因拉力F 大小不变，方向始终与物块在该点的切线成37°角，所以W 1＝Fl 1cos 37°、W 2＝Fl 2cos 37°、…、W n ＝Fl n cos 37°所以W F ＝W 1＋W 2＋…＋W n ＝F cos 37°(l 1＋l 2＋…＋l n )＝F cos 37°·16·2πR ＝376.8 J. (2)因为重力G 做的功W G ＝－mgR (1－cos 60°)＝－240 J ，而因物块在拉力F 作用下缓慢移动，动能不变，由动能定理知W F ＋W G ＋W f ＝0所以W f ＝－W F －W G ＝－376.8 J ＋240 J ＝－136.8 J.。
专题一变力做功的求解1—微元法
专题一：变力做功的求解1—微元法目标：1.知道功的计算公式适用于恒力做功。
2.理解微元法的思想。
3.能根据微元法解决简单的变力做功的问题。
知识梳理：微元法求解变力做功：将变力做功的空间(位移)无限划分为相等的小段，在每小段过程中变力可近似看作恒力，每小段过程中功可由公式cos W Fl α=计算，整个过程中变力的功就是各小段“恒力”功的总和。
解题方法与策略：将物体做功过程分割成一个个元过程，每个元过程中，变力做功可近似看作恒力做功，这是微分的思想，再将各段元功累加求和，这是积分的思想。
此法在中学阶段常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
典型例题例1：如图所示，用水平拉力拉着滑块沿半径为R 的水平圆轨道运动一周，已知滑块与轨道间的动摩擦因数为μ，滑块质量为m ，求此过程中摩擦力做的功。
例2：如图所示，质量为m 的小车以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道运动，已知小车与竖直圆轨道间的摩擦阻力为压力的k 倍，试求在小车从轨道最低点运动到最高点的过程中克服摩擦阻力做的功。
练习：1.以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力大小恒为F ，则在从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为（ ） A ．0 B ．－Fh C ．Fh D ．－2Fh2.如图所示，用长l 、不可伸长的细线把质量为m 的小球悬挂于O 点，将小球拉至悬线偏离竖直方向a 角后放手，运动t 时间后停在最低点，则在时间t 内（ ）A.小球重力做功为(1cos )mgl α-RRvαB.空气阻力做功为 cos mgl α-C.小球所受合力做功为 s mgl in αD.细线拉力做功的功率为(1cos )mgl tα-3.新中国成立前后，机械化生产水平较低，人们经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来食用。
如图所示，假设驴拉磨的力F 总是与圆周轨迹的切线共线，若运动的半径为R ，则驴拉磨转动一周所做的功为（ ）A. 0B. FRC. 2πFRD.无法判断4.在水平面上有一弯曲的槽道AB ，槽道由半径分别为R/2和R 的两个半圆构成，如图所示，现用大小恒为F 的拉力将一光滑小球从A 点沿槽道拉至B 点，若拉力F 的方向时刻与小球的运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（ ） A. 0 B. FRC. 32FR πD. 2FR π5.如图所示，物块分别两次从凹形曲面上A 处滑至最低处B ，若第一次下滑时的初速度大于第二次，则物块两次下滑时克服摩擦阻力所做的功相比（ ） A.第一次大 B.第二次大 C.两次一样 D.无法确定6.如图所示，摆球质量为m ，悬线的长为l ，把悬线拉到水平位置后静止释放。
妙用“微元法”巧解高中物理问题
运动的合成与分解的规律有２L ＝v ０t ,L ＝１２a t ２,粒子在O 点速度沿y 轴方向的分量v y ＝a t ,根据数学关系有t a n α＝v yv ０,所以t a n α＝１,即α＝４５ʎ,粒子到达O 点时的速度大小为v ＝v ０c o s ４５ʎ＝２v ０．(２)粒子在电场中运动时,根据牛顿第二定律可得其加速度为a ＝q E m ．粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有q v B ＝mv２R,根据数学关系有R ＝２L ,可以得出E B＝v ０２．处理粒子在磁场中做匀速圆周运动的习题时要能准确找到粒子的圆心和半径,并画出其运动轨迹．３㊀电场㊁磁场和重力场共存三个场共存的情况下,如果粒子做匀速圆周运动,重力和电场力一定平衡．㊀㊀图５例３㊀如图５,空间某区域存在匀强电场和匀强磁场,电场方向竖直向上(与纸面平行),磁场方向垂直于纸面向里,３个带正电的微粒a ㊁b ㊁c 电荷量相等,质量分别为m a ㊁m b ㊁m c ．在该区域内,若a 做匀速圆周运动,b 向右做匀速直线运动,c 向左做匀速直线运动,则下面结论正确的是(㊀㊀)．A．m a ＞m b ＞m c ㊀㊀B ．m b ＞m a ＞m cC ．m c ＞m a ＞m b ㊀㊀D．m c ＞m b ＞m a因为a 在该区域内做匀速圆周运动,所以a所受重力和电场力平衡,即m a g ＝qE ,b ㊁c 分别在纸面内向右和向左做匀速直线运动,有m b g ＝q E ＋B q v ,m c g ＋B q v ＝qE ,所以有m b ＞m a ＞m c ,故选项B 正确．在匀强磁场㊁匀强电场和重力场组成的复合场中,粒子所受重力和电场力是恒力,粒子所受洛伦兹力方向随速度方向变化而变化．总之,带电粒子在复合场中的运动问题涉及的知识较多,需要学生灵活运用力学㊁运动学㊁功能关系及电磁学等知识来解决,同时还要注意挖掘隐含条件,多做练习㊁多总结,做到熟练掌握．(作者单位:山东省青岛市即墨区第四中学)Җ㊀山东㊀宋致堂㊀㊀微元法 是从整体中取某一特定的微小部分作为研究对象从而认识整体的一种思维方法,它是物理学研究连续变量的一种常用方法．通俗地讲, 微元法 就是把研究对象分为无限多个微小的 元过程 ,这些具有代表性的 元 ,可以是一小段线段圆弧(线元)㊁一小段时间(时间元)㊁一小块面积(面积元)或一小部分质量(质量元)等,每个微元中变量可以看作不变,再对这些微小积累量求和,就可以得到物理量的总变化量．用该方法可以使一些复杂的物理过程简单化,用我们熟悉的物理规律迅速地解决问题．下面通过具体实例进一步阐述微元思想的应用,提升微元解题技巧．１㊀微元法 在变力做功中的应用例１㊀如图１所示,某个力F ＝１N作用于半径㊀㊀图１R ＝１m 的圆形转盘的边缘上,力F 的大小保持恒定不变,但方向始终与作用点的切线方向保持一致,则转动一周,这个力F 做的功是多少?由于力F 的方向与作㊀㊀图２用点处的速度方向时刻保持一致,因此力F 做功不为零．此力的大小恒定,方向时刻与速度方向一定,则可以考虑把圆周划分为很多 微元 来研究．当各小段的弧长Δs 足够小时,F 的方向几乎与该小段的位移重合,如图２所示,在这一小段里,力F 可看作恒力且方向与位移方向一致,则F 做的总功W ＝F Δs １＋F Δs ２＋F Δs ３＋ ＋F Δs n ＝F (Δs １＋Δs ２＋Δs ３＋ ＋Δs n )＝F ２πR ＝２πJ ．本题解法等效于将本是曲线的圆周拉直,即化曲为直 ．在这里,力F 所做的功相当于力和物体运动路程的乘积．此思想方法适用于力F 大小恒定且与速度v 夹角不变的情况,其表达式为W ＝F s c o s θ,式中s 为路程,θ为力F 与速度v 的夹角．如物体在地面上滑动时,滑动摩擦力做功可表示为W ＝F f s c o s １８０ʎ＝－F f s ,式中F f 大小不变,s 为物体运动０４的路程．２㊀微元法 在运动的合成与分解中的应用例２㊀如图３所示,物体A 置于水平面上,A 前固定一滑轮B ,高台上有一定滑轮D ,一根轻绳一端固定在C 点,再绕过B㊁D,B C 段水平,当以恒定水平速度v 拉绳的自由端时,A 沿水平面前进,求当跨过B 的两段绳子的夹角为α时,A 的运动速度．图３图求物体A 的瞬时速度,可先假设物体A 在极短时间Δt 内,由G 运动到H ,然后求G H 段的平均速度,当时间Δt 趋近于无穷短时,G H 段的平均速度便为物体在G 点的瞬时速度．设经过Δt 时间物体A 由G 运动到H ,如图４所示,使D E ＝D B ᶄ,则绳子的自由端运动的距离为Δx ＝B E ＋B B ᶄ,当Δt 趋近于零时,角θ趋近于零,则可以认为B ᶄE ʅBD ,那么,Δx ＝B B ᶄc o s α＋B B ᶄ＝B B ᶄ(１＋c o s α)．当Δx 趋近于零时,v A ＝B B ᶄΔt ,v ＝Δx Δt ＝BB ᶄΔt(１＋c o s α),因此v ＝v A (１＋c o s α)．所以A 的运动速度为v A ＝v１＋c o s α．本题关键是用微元思想选取极短时间Δt ,在极短时间内物体和绳自由端的运动均可看作匀速直线运动,然后找出Δt 时间内两位移的关系,即可求出结果,同时要注意理解瞬时速度和极限思想．３㊀微元法 在动量定理中的应用例３㊀如图５所示,高压采煤水枪出水口的截面积为S ,水的射速为v ,射到煤层上后,水的速度为零,若水的密度为ρ．图图６如图６所示,取极短时间Δt ,则Δt 时间内冲到煤层上的水的体积ΔV ＝S v Δt ,这些水的质量Δm ＝ρS v Δt ．规定初速度方向为正方向,由动量定理得－F Δt ＝Δm (０－v ),即F ＝ρS v ２,由牛顿第三定律得,水对煤层的冲力大小F ᶄ＝F ＝ρS v ２．所取的时间Δt 足够短,液体柱长度Δl 很短,相应的质量Δm 也很小,即在水流中取很小一段水柱为研究对象,如图６所示,其水柱质量Δm 与Δt 有关,冲量I 也与Δt 有关,故可消去Δt 求得结果．４㊀微元法 在电磁感应中的应用例４㊀如图７所示,水平放置的导体电阻为R ,R与两根光滑的平行金属导轨相连,导轨间距为l ,其间有垂直导轨平面的㊁磁感应强度为B 的匀强磁场．导轨上有一质量为m 的导体棒a b 以初速度v ０向右运动．求:(１)导体棒在整个运动过程中的位移x ;(２)导体棒整个运动过程中通过闭合回路的电荷量．㊀㊀图７(１)设导体棒整个运动过程中的位移为x ,导体棒速度为v 时,回路中感应电流为i ,则i ＝B l vR,F 安＝B i l ＝B ２l ２vR,由牛顿第二定律得B ２l ２v R ＝m a ,极短时间Δt 内有B ２l２R v Δt ＝m a Δt ＝m Δv ,则B ２l２R ðv Δt ＝m ðΔv ,即B ２l ２R x ＝m v ０,得x ＝m v ０RB ２l２．(２)设整个过程中通过导体棒某一截面的电荷量为q ,导体棒速度为v 时,回路中感应电流为i ,由牛顿第二定律得B i l ＝m a ,在极短时间Δt 内,有B i lΔt ＝m a Δt ＝m Δv ,则B l ði Δt ＝m ðΔv ,即B l q ＝mv ０,解得q ＝m v ０B l．该题两次运用了 微元法 ,很好地体现了化变为恒 的重要思想．微元法 解题可归纳为以下３个步骤:１)选取微元;２)列微元方程;３)累积求和．在不涉及累积求和时,可只用前两步骤,如上面的例２和例３．总之, 微元法 是分析㊁解决物理问题中的常用方法,也是高考提倡的处理问题的数学方法,是高考的热点．运用这一方法不仅丰富了处理问题的手段,拓展了学生的思维,还为后续学习奠定了方法基础．(作者单位:山东省滕州市第一中学)１４。
巧用“微元法”解题利器 攻克高中物理难题
巧用“微元法”解题利器攻克高中物理难题物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题.可以说凡是中学阶段学到的数学知识，基本都可能成为解答物理试题中的数学工具.然而在高中阶段所遇到变加速情况下求瞬时速度和位移；电磁感应中非匀变速运动的切割磁感线求位移、能量等问题；由于高中阶段还没有接触到高等数学中的与积分相关的知识，所以这些问题对于中学生来讲，成为一大难题.但是如果利用积分的思想，采用“微元法”，可以很好的解决这类问题.“微元法”是将研究对象分割成许多微小的单元，或从研究对象上选取某一微元加以分析，从而可以化曲为直，使变量、难以确定的量变成常量、容易确定的量.随着新课改的不断深化，高考试题越来越重视解决物理问题能力的考查，而物理解题方法是解决物理问题的基础；本文笔者根据自身多年物理教学经验，以教材和实例为载体，注重探究“微元法”在高中物理试题中的重要应用和独特之处；以飨读者.1 巧寻课本中的微元材料，展现微元思想的有机运用纵观现行的教科版教材上有关微元思想可以说是到处可见；譬如：课本对于匀变速直线运动位移公式的推导，由于速度在不断的变化之中，x=vt不可以直接套用求解，但是若将整个过程的时间分成无数个微小的时间间隔Δt，只要Δt越小则Δv越小，若Δt非常足够的小，则每一小段就可以看成是匀速直线运动来处理，最后将每一小段进行累加即可.这里能将相对复杂的变速运动等价转化成简单的匀速直线运动关键所在就是将其进行了无限小的分割的办法，即形成“时间元”这正是微元思想的反映.再如，重力做功的公式推导过程中，对于弯曲的路径而言，我们可以将整个弯曲路径进行无穷等分，则每一等分就可以近似看成是直线，利用功的定义式进行计算每一小段内重力做功，最后再进行累加可以得到整个过程中重力做的总功.此例中主要是巧妙运用了“化曲为直”的思想，灵活运用了“位移元”.课本中许多物理概念的建立其实也渗透了“微元思想”，作为老师在课堂讲解概念时可以适当进行引申，让学生在微元法的学习中加深对微元概念的理解和运用，这有助于学生对物理概念、物理规律的理解，有助于学生解决新问题能力的提高.2 在实例剖析中明确微元法的解题思路，在反思总结中形成微元处理问题的方法“微元法”在物理竞赛中使用比较多，但在我们平常的训练中也不失为一种好方法.在一些求解瞬时速度和位移等方面有着很广的应用，作为大学知识在高中的应用，“微元法”丰富了我们处理问题的手段，拓展了我们的思维，对于高中的教师要注重这方面能力的培养；对于高三学生特别要注意熟练掌握.“微元法”在高中物理解题中应用时的解题思路一般为：①正确选取恰当的“微元量”；②将“微元量”看做是恒定的，利用物理知识与规律正确列出以微元为变量的表达式；③根据题意将表达式进行计算，最终通过叠加得出结果.下面试以一道典型例题的解析说明在实例中如何形成微元解题思路.例题如图1所示，两平行光滑金属导轨AD、CE相距L=1.0 m，导轨平面与水平面夹角α=30°，下端用导线连接R=0.40 Ω的电阻，导轨电阻不计.PQGH范围内存在方向垂直导轨平面的磁场，磁场的宽度d=0.40 m，边界PQ、HG均与导轨垂直.质量m=0.10 kg、电阻r=0.10 Ω的金属棒MN垂直放置在导轨上，且两端始终与导轨电接触良好，从与磁场上边界GH距离也为d的位置由静止释放，g=10 m/s2.（1）若PQGH范围内存在着磁感应强度随高度变化的磁场（在同一水平线上各处磁感应强度相同），金属棒进入磁场后，以a=2.5 m/s2的加速度做匀加速运动，求磁场上边缘（紧靠GH）的磁感应强度；（2）在（1）的情况下，金属棒在磁场区域运动的过程中，电阻R上产生的热量是多少？（3）若PQGH范围内存在着磁感应强度B=0.50 T的匀强磁场，金属棒在磁场中运动过程受到F=（0.75v-0.5） N （v为金属棒运动速度）沿导轨向下的力作用，求金属棒离开磁场时的速度.解析（1）设磁场上边缘的磁感应强度为B0，金属棒刚进入磁场时的速度为v0、产生的感应电流为I0、受到的安培力为F0，则有代入数据解得B0=0.25 T.（2）设电阻R上产生的热量为Q，金属棒到达磁场下边界时的速度为v，则代入数据解得Q=0.08 J.代入数据解得v′=3.0 m/s.点评本题的第三问中由于整个过程是个变加速运动，所以采取“微元法”将运动分解成若干的微小的变速运动，每一个运动可以看成是匀变速运动处理，从而达到解题的目的.3 归纳总结微元法的实际应用的意义，在探究中将解题技巧得以提升将“微元法”巧妙运用到高中物理解题中，可以打破数学知识的局限性，解决了难题；通过选取特定的具有代表性的“微元”（线元、面积元、质量元、时间元等）进行分析处理，最后进行整体的总结求和得出预期的结果.例题从地面上以初速度v0竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图2所示，t1时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v，且落地前球已经做匀速运动.求：球上升的最大高度H.解析本题中同样是将非匀变速运动分割为若干小微元，然后对每一个小微元进行数学方法和物理思想的处理，这样可以使复杂的问题变的简单化，进而提高了处理问题的能力.总而言之，“微元法”就抓住“变化”的这一本质特征，通过限制“变化”所需的时间或空间，把变化的事物或变化的过程转化为不变的事物或不变的过程.实践证明，“微元法”可以把一些复杂的物理过程通过使用我们熟悉的物理规律迅速地加以解决，使所求的问题简单化，从而起到巩固知识、加深认识和提高能力的作用.由此可见，我们教师在平常的教学中应该把学生的探究活动开展好，潜移默化、逐步渗透，特别是在高三复习中结合数学中导数和积分的知识，应用微元法来解决实际问题能力的考查便成了理所当然之事，应予以重视。
微元法解决万有引力做功
微元法解决万有引力做功万有引力是地球上一个非常重要的物理现象，它对我们日常生活有着深远的影响。
那么，万有引力是如何产生的呢？它又是如何做功的呢？我们来了解一下什么是万有引力。
万有引力是由质量之间的相互作用所产生的一种力，它是自然界中最基本的力之一。
根据万有引力定律，任何两个物体之间都存在着一个相互吸引的力，这个力与两个物体的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
也就是说，质量越大、距离越近的物体之间的引力越强。
那么，万有引力是如何做功的呢？为了解释这个问题，我们可以使用微元法来分析。
微元法是一种基本的数学方法，用于描述物体的小变化。
对于万有引力的做功问题，我们可以将物体的运动轨迹离散化，将其划分为无数个微小的路径段，然后对每个微小的路径段进行分析。
假设我们有两个物体A和B，它们之间存在着万有引力。
我们将物体A看作是一个质点，物体B则是另一个质点。
当物体A沿着某个轨迹移动时，物体B对物体A的引力将会做功。
我们可以将物体A 的运动轨迹划分为无数个微小的路径段，每个路径段的长度为Δs。
现在，让我们来考虑物体A在某个路径段上的运动。
在这个路径段上，物体A受到物体B的引力作用，这个引力的大小为F。
根据物体在力的作用下所做的功的定义，我们知道功等于力乘以位移。
在这个路径段上，物体A受到的力是变化的，因此我们可以将力看作是一个微元力，记作dF。
位移也是变化的，我们将其记作ds。
根据微元法的思想，我们可以将这个路径段上物体A所受到的引力dF进行微元的分析。
首先，我们可以将dF分解为两个方向上的分力，一个是沿着路径段的方向，另一个是垂直于路径段的方向。
我们记沿着路径段方向的分力为Ft，垂直于路径段方向的分力为Fn。
根据万有引力定律，我们知道Ft与物体A的质量m和物体B的质量M之间成反比，与它们之间的距离的平方成正比。
因此，我们可以得到Ft与ds之间的关系式：Ft = k * m * M * ds / r^2，其中k 为常数，r为物体A和物体B之间的距离。
求变力做功的方法
求变力做功的方法大全河南省信阳高级中学陈庆威高中物理求功的公式，适用于恒力功的计算。
对于变力做功的计算，常用方法有以下几种。
一、微元法对于变力做功，不能直接用进行计算，但是我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为F是恒力，用求出每一小段内力F所做的功，然后累加起来就得到整个过程中变力所做的功。
这种处理问题的方法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性。
但在高中阶段主要用于解决大小不变、方向总与运动方向相同或相反的变例1. 用水平拉力，拉着滑块沿半径为R的水平圆轨道运动一周，如图1所示，已知物块的质量为m，物块与轨道间的动摩擦因数为。
求此过程中摩擦力所做的功。
图1思路点拨：由题可知，物块受的摩擦力在整个运动过程中大小不变，方向时刻变化，是变力，不能直接用求解；但是我们可以把圆周分成无数小微元段，如图2所示，每一小段可近似成直线，从而摩擦力在每一小段上的方向可认为不变，求出每一小段上摩擦力做的功，然后再累加起来，便可求得结果。
图2正确解答：把圆轨道分成无穷多个微元段，摩擦力在每一段上可认为是恒力，则每一段上摩擦力做的功分别为，，…，，摩擦力在一周内所做的功。
误点警示：对于此题，若不加分析死套功的公式，误认为位移s＝0，得到W＝0，这是错误的。
必须注意本题中的F是变力。
小结点评：对于变力做功，一般不能用功的公式直接进行计算，但有时可以根据变力的特点变通使用功的公式。
如力的大小不变而方向总与运动方向相同或相反时，可用计算该力的功，但式子中的s不是物体运动的位移，而是物体运动的路程。
［发散演习］如图3所示，某个力F＝10N作用于半径R＝1m的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向任何时刻与作用点处的切线方向保持一致。
则转动半圆，这个力F做功多少？图3答案：31.4J。
二、图象法在直角坐标系中，用纵坐标表示作用在物体上的力F，横坐标表示物体在力的方向上的位移s。
如果作用在物体上的力是恒力，则其F－s图象如图4所示。
巧用微元法解答高中物理问题
Җ㊀福建㊀林文枢㊀㊀ 微元法 是从局部到整体的综合分析思维方法,也是高中阶段物理学习中常用的解题方法之一．使用 微元法 能够将一些复杂的问题简单化,有助于快速找到解题关键,从而帮助学生快速解决问题,提高解题效率． 微元法 的解题思路大致分为以下几个步骤:１)将研究对象进行拆分处理;２)集中处理具有代表性的部分;３)根据总体框架进行细化步骤的处理．本文就微元法在高中物理解题中的应用进行分析．１㊀ 微元法 求解做功问题摩擦力做功问题是高中物理习题中常考的知识点,常用的动力学解题思路很难得到正确答案,因此这类题目具有一定难度．这时就可以使用微元法来解决,可以说,微元法是解决此类问题的一种有效方法．微元法能够帮助学生从比较简单的细节入手,将题目的内容简单化,根据题目的求解要求分割相关物理量,找到题目中的隐含条件,再利用相应的公式得出正确答案．例１㊀使用外力拉着木箱在一个半径为R的圆轨道上运动,假定木箱运动一周,木箱受到的摩擦力为F f,求箱子在圆轨道上运动时摩擦力对箱子所做的功．把圆轨道分割成若干小段,保证分割的小段弧长完全相等．对其中的某一段进行研究,假定这一小段的弧长为Δs,因为分割段的弧长比较短,可以认为弧与弦重合,因此滑动摩擦力做负功,有W１＝－F f Δs１．同样,其他小段上F f做功分别为W２＝－F f Δs２,W３＝－F f Δs３,W４＝－F f Δs４, ,W n＝－F f Δs n．因此,W＝W１＋W２＋W３＋W４＋ ＋W n＝－F f (Δs１＋Δs２＋Δs３＋Δs４＋ ＋Δs n)＝－２πR F f．微元法是物理学习中常用的方法之一,使用微元法解题能充分体现学生的微分与积分思想,本题就是一个典型的案例．本题的解题思路主要是:将运动路径分割成若干个相等的小段,每个小段的摩擦力做功相同,每个微元中的变量几乎没有变动,因此可以使用同一个公式计算各个小段的功,而这些小段上摩擦力做功累计求和就是最后的答案．２㊀ 微元法 求解位移问题微元法不仅能够有效解决摩擦力做功问题,平滑轨道上的位移问题同样也可以选择微元法来解决．微元法可以将这个运动过程拆解为无数个匀速运动的过程,由此可以达到简化问题的效果,从而使用已有的公式分析解答．例２㊀如图１所示,在间距为L的光滑平行轨道上放置一个质量为m㊁电阻不计的金属杆,磁感应强度为B的匀强磁场垂直平行轨道向里,平行轨道一侧接有阻值为R的电阻,金属杆以初速度v０向平行轨道的右侧运动,不计导轨电阻,求金属杆在平行轨道上运动的最远距离．㊀图１㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图２金属杆受到向左的安培力,所以向右做减速运动．根据微元法,我们可以将这个运动拆解为无数个匀速运动,电流I＝B L vR,所以F安＝B I L＝B２L２vR．使用微元法,我们可以假设Δt时间内,安培力的冲量ΔI＝－F安Δt＝－B２L２v RΔt．又因为Δx＝vΔt．所以ΔI＝－B２L２RΔx,则有Δx＝－R B２L２ΔI．求和可得x＝ðΔx＝－R B２L２ðΔI．因此,ðΔI＝０－m v０,最大位移x＝R B２L２m v０．这种类型的题目在高中物理考试中比较常见,同时也是许多学生难以解答的题目．本题运用微元法将运动拆解为很多个微小时间段内的匀速运动,使问题变得比较简单．３㊀微元法 求解质量相关问题微元法实质上是将研究对象无限分割,划分为无限个小的部分,取其中之一进行研究,再将其综合起来分析的思想方法．例３㊀将一杯水放置于加速行驶的车子内部,某１４㊀㊀图３时刻水面与水平面的倾斜角为θ,求车的加速度大小．如图３所示,将水分成无数个微小的质量元,则对每个质量元来说,F 合＝Δm gt a n θ,那么F 合＝Δm a ,则a ＝g t a n θ,即车辆的加速度a ＝gt a n θ．微元法是高中物理学习与考试中非常重要的解题方法之一,在高中物理学习中发挥着重要的作用．从整体上看, 微元法 主要是整体到局部再到整体的综合解题思维方法,它将整体拆解再组合．４㊀微元法 求解做功与功率问题解题方法的教学从来都不应该是单纯地告诉学生什么是微元法,而是真正让学生通过练习体会微元法思想,学会如何使用微元法来解题．简单地说,就是让学生掌握如何进行微元法中 微元 的拆分工作．例４㊀我们都知道风力发电机转动的时候有一些面积是暴露在外部的,假设进风口与发电机转动的时候暴露的面积为S ,进风速度为v ,空气密度为ρ,发电机的出口横截面积是进口横截面积的４倍,那这台风力发电机的输出功率是多少?假设风力发电机的出口风的速度为v ᶄ,那么Δt 时间内流进发电机的空气质量Δm ＝ρΔV ,ΔV ＝S v Δt ,根据上述公式可得v ᶄ＝v４,因此有W ＝１２Δm v ２－１２Δm v ᶄ２＝１５３２ρS v ３Δt ,P ＝W Δt ＝１５３２ρS v ３．微元法 作为高中物理学习中常用的解题方法之一,主要应用于一些带有变量的运动学问题之中,因此在解决问题的时候,一般要确定具体的变量,然后再进行问题的处理与解答．微元法是一种化繁为简的解题方法,可将复杂的问题常规化㊁简单化．除此之外,微元法还有一个重要的特点在于它的全局观念和全局意识,微元解题思维在高中物理中的应用不仅是提供一个简单的解题思路,同时还能帮助我们更好地理解一些物理知识点,对基础知识的掌握更加全面．综上所述, 微元法 有助于我们学习高中物理中的重点和难点,在高中物理学习中发挥着重要的作用,因此,教师要在教学的时候注意微元法的教学与使用,让学生能够充分了解微元法,并能够使用微元法来解决物理问题．(作者单位:福建省福州第二中学)Җ㊀山东㊀董永波㊀㊀应用动量知识分析不同物理情境问题时,为保证分析结果的正确性,学生应在充分理解动量定理以及动量守恒定律的前提下,积极分析物理情境,挖掘已知条件,同时做好不同情境下动量知识的应用总结,掌握相关问题的应用技巧,做到以不变应万变,及时找到解题突破口．１㊀动量知识与斜面问题相结合高中物理学习中,学生对各类斜面情境并不陌生．部分试题与斜面情境相结合,考查学生对动量基础知识的理解程度．㊀㊀图１例１㊀如图１所示,一物块由静止从三个不同倾角的光滑斜面顶端A 下滑至底端的C ㊁D ㊁E 处,用I １㊁I ２㊁I ３分别表示物体运动过程中重力的冲量,用Δp １㊁Δp ２㊁Δp ３分别表示动量变化量的大小,则下列关系正确的是(㊀㊀)．A㊀I １＞I ２＞I ３,Δp １＞Δp ２＞Δp ３;B ㊀I １＞I ２＞I ３,Δp １＝Δp ２＝Δp ３;C ㊀I １＜I ２＜I ３,Δp １＝Δp ２＝Δp ３;D㊀I １＝I ２＝I ３,Δp １＜Δp ２＜Δp ３分析㊀根据题设要求,分别回顾所学的冲量与动量变化量两个概念以及对应的计算公式．其中重力的冲量I ＝m g t ,动量的变化量Δp ＝m v ．因三个斜面均是光滑的,物块运动过程中机械能守恒,所以到达底端的速度大小相等,动量变化量的大小也是相等的,排除选项A ㊁D ．设斜面的高度为h ,则物块下滑到底端所用的时间为t ,由运动学公式可知hs i n θ＝１２g s i n θ t ２,则t ＝２h g s i n ２θ,因此,斜面的倾角越小,物体运动的时间越长,对应的重力的冲量也就越大,因此,选项C 正确．２㊀动量知识在电磁学问题中的应用在学习电磁学知识时,难免会遇到一些动量知识２４。
变力做功的多种求解方法
变力做功的多种求解方法作者：华峰来源：《中学生理科应试》2014年第11期大家对于恒力做功问题都能灵活地利用公式顺利求解，然而对于变力做功问题求解常常会感到较困难.下面介绍几种典型的常用的求解方法，以利于对此类问题正确处理.一、微元法此法适用于力的大小恒定，方向始终与速度同向或反向的力做功的求解.例1力F=10 N作用于半径r=1 m的转盘边缘上，其大小保持不变、方向始终保持在作用点处与圆盘边缘切线方向一致，则刚转动一周这个力F做的总功是多少？解析因为力F的大小保持不变，方向始终与圆盘边缘的速度方向相同，因而可将转动一周的过程分为很多很短的一段一段，在每一段上都可以认为是恒力做功，再将各段的功相加，即用力F的大小乘以一周的路程，故可得：W=Fs=F·2πr=10×2π×1 J=20π J.二、平均值法此法适用于力的方向不变，大小随位移匀速改变的力做功的求解.例2用竖直向下压力将放置在水平面上的一弹簧（k=2×104N/m）缓慢匀速压缩了10cm，则外加压力对弹簧做功J.解析因为弹簧的弹力F=kx，F的方向不变，而大小与x成正比，即F随着x均匀增大，所以此过程中力F的平均值为：F=12kx=12kL.故力F做的功为：W=FL=12kL2=12×2×104×0.12J=100J.例3用锤击钉，木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，每次击钉子时，锤子对钉子做的功相同.已知第一次击钉时，钉子进入木板1 cm，求第二次击钉时，钉子进入木板的深度.解析由于木板对钉子的阻力跟钉子进入木板的深度成正比，因此可用平均值法求木板对钉子的阻力做的功.设f=kx，第二次击钉时，钉子进入木板的深度为x2，则有：0+kx12·x1=kx1+k（x1+x2）2·x2，其中x1=1 cm，∴x22+2x2-1=0，解之得：x2=2-1=0.414（cm）[注：另一根不合题意，舍去].三、转化法当变力做功不易求解时，可通过转化为恒力做功顺利求解.图1例4如图1所示，一人用绳子提升质量为m的物体，从A点缓慢地移到B点，∠AOB=45°，sAB=3m，求拉力做的功.。
物理解题方法6微元法
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二、其它类的“微元”模型（范例）
[例6]如图所示，S为一点光源。M为一平面镜，光屏与平面镜平行放置。SO是一条垂直照射到M上的光线，已知SO=L，若M以角速度绕O点逆时针匀速转动，则转过30o角时光点S’在屏上移动的瞬时速率v=___________。
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[例7]如图所示，质量为m的均匀闭合绳圈套在表面光滑,半顶角为α的圆锥上,当绳圈平衡时,绳中的张力是多大?
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[例5]右图为阴极射线管示意图。由阴极K产生的热电子（初速为0）经电压U加速后，打在阳极A板上。若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收。求电子打击A板过程中，A板所受的压强。
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3、“柱体微元”模型在98年高考17题中的应用
[题目]来自质子源的质子（初速为0），经一加速电压为800Kv的直线加速器加速,形成电流强度为1mA的细柱形质子流。已知质子电量e=1.6×10-19C。这束质子流每秒打到靶上的质子数为——————————。假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距L和4L的两处,各取一段极短的相等长度的质子流,其中的质子数分别为n1和n2，则n1：n2=——————————。
1、“质量柱体模型”---------------△m=ρsv△t [例1]某地强风的风速为v,设空气的密度为ρ,如果将通过横截面积为s的风的动能全部转化为电能,则其电功率多大?
功的几种求法
功的几种求法高二物理组尚田鹤生活中牵涉到物体做功的问题很多，怎样求功是学生在学习机械能这一章中遇到的一个基本问题，也是比较复杂的一个问题，尤其牵涉到变力做功的情况。
下面把求某力做功基本方法总结如下：一．按照功的定义求功。
即由：W=Fscosθ求功。
在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。
恒力F做功大小只与F、S、θ这三个量有关，与物体是否还受其它力，物体的运动状态、运动形式等因素无关。
这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。
例1．如图所示，力F大小相等，A B C D 物体运动的位移s也相同，哪种情况F做功最小（）解析．力F做功多少与接触面粗糙度无关，W=Fs cos α，D中cosα最小，∴F做功最小。
故选D二．求变力功的方法1．用动能定理求变力做功，用动能定理W=ΔE k求功。
当F为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。
这种方法的依据是：物体所受合外力的功等于物体动能的变化，如果知道某一过程中动能变化的数值，那么也就知道了该过程中对应的合外力功的数值，进一步可求某个力的功。
例2如图所示，质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。
用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置。
在此过程中，拉力F 做的功各是多少？A.θcos FLB.θsin FLC.()θcos 1-FLD.()θcos 1-mgL解析：若用F 缓慢地拉，则显然F 为变力，整个过程中动能可认为不变，可以用动能定理求解。
F 做的功和重力做功的功相等。
选D例3．如图4所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为0.8m ，BC 是水平轨道，长L=3m ，BC 处的摩擦系数为1/15，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。
求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、AC段的摩擦力共三个力做功，重力做功W G=mgR，水平面上摩擦力做功W f1=-μmgL，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。
变力做功(微元法、平均力法、图像法)
第一次击入深度为x1，平均阻力F1= 1/2× kx1，
做功为W1= F1 x1=1/2×kx21.
第二次击入深度为x1到x2，
平均阻力F2=1/2× k(x2+x1), 位移为x2-x1，
做功为W2= F2(x2-x1)=1/2× k(x22-x21).
两次做功相等：W1=W2.
解后有：x2＝ 2 x2=1.41cm.
例一 一辆马车在恒定大小摩擦力力f=100N的作用下 绕半径为50m的圆形轨道做匀速圆周运动，当车运 动一周回到原位置时，摩擦力所做的功为多少？
解： 阻力的方向时刻在变，是变力做功的问题，不 能直接由功的公式计算。
采用微元法解之，将圆分成很多很多小段，在这些小 段中，力可以看作恒力，于是
ΔW1=-fΔl1
③恒力做功多少只与Ｆ、L及二者夹角余弦有关，而 与物体的加速度大小、速度大小、运动时间长短等都 无关，即与物体的运动性质无关，同时与有无其它力 做功也无关。
二.变力做功
对于变力做功不能依定义式
W Flcos
直接求解，但可依物理规律通过技巧的转化间接求解。
基本原则——过程分割与代数累积
1.可用（微元法）无限分小法来求, 过程无限分小后， 可认为每小段是恒力做功。
7.2《功》 变力做功的几种求法
一、复习引入
1.定义：物体受到力的作用，并在力方向上发生一段 位移，就说力对物体做了功.
2.公式：W=Flcosα，其中α为F与l的夹角，F是力的大 小，l一般是物体相对地面的位移，而不是相对于和它 接触的物体的位移.
3.应用中的注意点
①公式只适用于恒力做功
② F和S是对应同一个物体的；
例3. 用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁钉的阻
力学中功的计算方法(二)
解：在20m内，外力做功： W1=Fx1=8×20J=160J
在20m到30m内，外力做功： W2=F′x2=4×10J=40J
所以整个过程外力做功： W=W1+W2=（160+40）J=200J
例23、一辆汽车质量为105kg，从静止开始 运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大 小与车前进的距离变化关系为F= x×103 +f0 ， f0是车所受的阻力。当车前进100m时，牵引 力做的功是多少？
当力的大小不变而方向始终与运动方向相同或 相反时，这类力做的功的绝对值等于力的大小和路 程(不是位移)的乘积，W＝Fl或W＝－Fl，如牵引力 （大小不变）、滑动摩擦力、空气阻力（大小一定 时）做功等。
例18、新中国成立前，机械化生产水平较低，人们
经常通过“驴拉磨”的方式把粮食颗粒加工成粗面来
食用。假设驴拉磨的平均作用力大小为500 N，方向水
F0
W (F0 F100 )l （5104 1.5105）100 J 1107块与一轻弹簧相连， 弹簧处于自由伸长状态。现用手水平拉弹簧，拉
力的作用点移动x1＝0.2m时，木块开始运动，继 续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.4m的位移，其 F－x图象如图所示，求上述过程中拉力所做的功
[解析] 由 F－x 图象可知，在木块运动之前，弹簧 弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时 弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做 的功，即 W＝1×(0.6＋0.4)×40 J＝20 J。
2
[答案] 20 J
例25、用铁锤将一铁钉击入木块，设木块对铁 钉的阻力与铁钉进入木块内的深度成正比，即 Ff=kx（其中x为铁钉进入木块的深度），在铁锤击 打第一次后，铁钉进入木块的深度为x1。 （1）求铁锤对铁钉做功的大小； （2）若铁锤对铁钉每次做功都相等，求击打第二 次时，铁钉还能进入的深度。
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ＷＦ —ｍ ｒ Ｉ：—Ｗ克 ｇ 安＝ 妻ｍｌ 。
又 由于 Ｑ — ｗ克 安
０ ２ ｋ 的金 属棒 均 通 过棒两 端 的套环 水平 地 ．７ｇ
联立 以上 方程 解得
套在 金属 导轨 上 ， 图 ４ ｎ 如 （ ）所示 ， 虚线 上 方磁 场
方 向垂 直 纸 面 向里 ， 线 下 方 磁 场 方 向竖 直 向 虚 下， 两处 磁 场 磁 感 应 强 度 大 小 相 同 。 棒 光 滑 ， 棒 与 导轨 间动摩 擦 因数 为 一 ０ ７ ， 棒 总 电 ． ５两
最 大 ， 这里 包 含 了电动 机 内 阻发 热 的功 率 ， 但 所 以前 面推 出的结 论也 就无 法直 接使 用 。 么 可 否 那
变 通 一 下 呢 挂一 步 的 分 析 即 可 发 现 ： 要 将 电 只
电源 的总功 率为
Ｐ总 ＝ ＝ ＝ＥＩ 一 １ × ２ ０ Ｗ ＝ ２ ０Ｗ
解 析 将 从 Ａ 到 Ｂ 的 圆 弧 分 成 １等 份 ， 等 每 份 圆 弧 长 为 ， 对 圆 心 角 为 所
” ”
全 过 程 中 万 有 引 力 做 的 总 功 为
一 一
ｌｍ Ｆ ｉ
一 、ｉ １ 一 ＂
一 一
＂ ｌｒ （ — 一 ｉ — ａ ＋ 一 、 （ １＋ 一 ） ｒ Ｔ ａ （ １＋ ２一 ｒ ａ Ｔ）
Ｑ — ＷＦ—ｍｌｘ一 － １ｆ １Ｊ ｇ 去 一 ８ －
再解 在 问题 （ ）中将 ｔ ２ 分 成 等份 ， ２ 一 ｓ
则第 ｉ 等份上 棒 ｎ ６受到 的安 培力 大小 为
阻 为 １ ８ 导 轨 电阻 不 计 。 棒 在 方 向竖 直 向 ． ａ，
上， 大小按 图 ４ ６ 所 示 规律 变 化 的外 力 Ｆ 作 用 （）
１
１
则第 ｉ 份上 的摩擦 力 大小 为 等
＿ ＋ ｉ ） 厂 （簧 Ｓ 一 ｎ
摩 擦力 做功 的元 功为
＋ （ １＋ ３ ｒ
， ２
—
Ｊ一 ・・ 上 — ・
） 一 Ｔ ａ
） ：
（ ｌ＋ ｘ ） ｒ ｚ
７ ７
＂
ｗ 一 姿 ，
从 Ａ 到 Ｂ 的过 程 中摩擦 力做 的总 功为
（ ）此 时 电 动 机 的 １
Ｕ — Ｅ — Ｉ 一 （ Ｏ一 ２× ２） 一 ６ ｒ １ Ｖ Ｖ
。
最大 机 械 功 率 和 最 大 机 械功 率时 的效 率 ；
（ ）此 时 电 源 的 输 ２
： ．
： 占
电动机 的效 率 为 一
一
× １ ０ 一 ０％
× １０ ０ ％
拉 力 做 功 的 元 功 为
ｗ ．一
全过 程 中拉 力 做 的总功 为
Ｗ — ｌ ∑ｋ （ ） ｉ ｍ ｉ生
大值 的关 系 。
解 析 从 中性 面开 始 计 时 ， 电动 势 随 时 间
变 化 的 规 律 为 Ｐ— Ｅ ， ｎ ｔ— ＮＢ Ｓｓ ￣ ｉ￣ ｓ ｉ ｔ ｎ
１ 万 有 引 ： 做 功 匀
万有 引力 做 的功 。
图 １
解析 设 Ａ 问距 离 为 — ｒ 一ｒ ， Ｂ 。将 分
如 图 １所示 ， 地 球 的 质 量 为 Ｍ ， 体 的质 设 物
为 等份 ， 则第 ｉ 等份 上 的万有 引力 大小 为
Ｆ — Ｇ （１ ｉ ） ｒ＋ 生
（ 目编 辑 栏 罗琬华 ）
Ｐｍ一 ｔｘ ｌ 南 ．
一 ｗ＝１ ＝０ 面 一 Ｗ ＝
即 电动 机 的最大 机械 功率 为
Ｖ（ ． ９ ＮＯ ４ ７ ） ２ １ ． ２
（ ９ ２ ｌ ．４ Ｓ） ． ０ １ ２．
物
理
教
学
探
讨
第２ ９卷 总 第 ４ ７期 ２
２１ ０ １年 第 ９期 （ 半 月 ） ｓ ｍ／
２ 内发生的位移为 一 妻 一 ２ ｓ ｍ
由动 能 定 理 得
相距 Ｌ 一 １ ５ 的 足 够 长 金 属 导 轨 竖 直 放 ．ｍ
置 质 物 ， 量 为 Ｕ ｍ 一 ｌ ｇ的 金 属 棒 和 质 量 为 ｍ。 ｋ 一
２ 弹 力 做 功
如图 ２ 示 ， 所 一根 劲度 系数 为 是的轻 质 弹簧 ， 在 弹性 限度 内用 外 力 Ｆ将 它 从 自然 长度 缓 慢 拉 至 伸长 ， 求这 一 过程 中拉 力 Ｆ做 的功 。
解 得 ： — ｆ ｍｖ ￣ ｇ Ｗ ．， ￣ ｅ Ｒ ｏ、 ＋ ｎ ｒ ，
电源 的效率 为
一
动 机 的 内 阻 和 电 源 放 在 一 起 ， 成 一 个 等 效 电 组
一
老×。＝２１ １ ： ×。 ｏ ＝ Ｏ ％ ％ １
６ ０
源， 则该 等效 电源的输 出功 率 即等 于电动 机输 出
的 机械 功率 ， 样 就 可应 用 上 面 推 出 的结 论 了。 这 简解 如 下 ： （ ）依题 意知 ， １ 当
第２ ９卷 总 第 ４ ７期 ２
２１ ０ １年 第 ９期 （ 半 月 ） 上
理
教
学
探
讨
Ｖｏ． ９ Ｎ Ｏ ４ ７ Ｉ２ ． ２ （ ９ ２ １ ．４ ． Ｓ） ． Ｏ１ ３
ｏ Ｐｈ ｓｃ Ｔｅ ｃ ｉ ｇ ｆ ｙ ｉｓ ａ ｈｎ ｔ — ２Ｓ Ｆ ２— １ ． ２ ， ４ ６Ｎ
在 数列 求和 中用 到结 论 ：
解 析 将 伸 长量 分 为 等份 ， 则第 ｉ 等份
七的 拉 力 大 小 为
Ｆ 一
ｓ Ｏ ｉ ０ ｉ３＋…＋ｓ 一 ｓ 昙 ． ｉ ￣ｓ ２￣ｓ ０ ｎ ｎ ｎ ｉ ｎ ｉ ｎ
ｓ ０ ｉ ） ｉ ｎ ｎ 导
４ 交变 电流做 功 匝数 为 Ｎ， 积为 Ｓ的矩形 线框 在磁感 应 强 面 度 为 Ｂ的匀 强磁场 中 ， 绕垂 直磁 场方 向 的轴 以角 速 度 ∞匀速 转动 ， 交流 电的 电动势 有效 值 与最 求
量为 ｍ， 物体在 位置 Ａ 时离 开地心 的距 离 Ｏ 为 Ａ
， ， Ｂ 间的距 离为 ｒ ， 一Ｏ 。 求物体 从 Ａ 到 Ｂ 的过程 中
０ ５ 。 的 轴 上 用 线 提 起 一 重 物 ｍ ， ｍ一 ． Ｄ Ｑ 当
Ｐ机
一 １ Ｗ ０
．
此 时 电 源 的 路 端 电压 为
，
解得 ： Ｅ一 万 Ｅ ｍ
代入 上式 得 在数 列： 和中用 到结 论 ： ｊ 之
＿ ｌ
ａ
ｌ ｓ， 一 １２ ｍ／ Ｂ ．Ｔ
ｃ ｃ２ ｃ３ 一 ｃｎ ｓ号 。＋。 Ｏ ‘ 。 ｉ ｓ ｓ＋ Ｓ＋ ＋ ｓ 一 ｎ
ｃ ｏ ｓ ０ （ｎ ．ｓ 导） ｉ
５ 安 培 力 做 功 近年 某市 测试 中有 这样 一道 题 目：
一
ｌ 去 （ ＋ ２ ３ … ＋ ） ｉ ｍ １ ＋ ＋
取 完整 四分 之一周期进行 研究 ， ｔ Ｔ ４ 将 — ／ 分 成 ＂等份 ， ｉ 第 等份 上的电动势 为 一 ｓ ｔ ｉ ｎ ＿ 交 流 电在 Ｔ ４内做 的总功 为 ／
Ｅ ｓｎ ｉ （
Ｗ ＝ ｌ ｉ ａ ｒ
Ｆ
在第 一 例 中 ， 同样存 在求 电动机 输 出 的最 也 大 机械 功 率 问题 ， 用 的也 是 本 例 中类 似 的 解 使
法， 读者 不妨 一试 ， 幅所 限 ， 里不再 详解 。 篇 这 综 上可 见 ， 闭合 电路 欧姆 定律应 用 的课 堂 在 教学中， 如果 能 进 一 步 引 导学 生 进 行 上 述 探讨 ，
第 ２ ９卷 总 第 ４ ７期 ２ ２１ ０ １年 第 ９期 （ 半 月） 上
物
理
教
学
探
讨
Ｖｏ ． ９ Ｎｏ ４ ７ １２ ． ２ （ ９ ２ １ ．４ Ｓ） ． Ｏ １ １．
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｏ Ｐ ｙ ｉｓ Ｔｅ ｃ ｉ ｇ ｏ ｒ ａ ｆ ｈ ｓｃ ａｈｎ
运 用 微 元 法 求 解 功
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万 有 引 力 做 功 的 元 功 为
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