《概率论与数理统计》1-1古典概率

m1 n1 m n
m n
例5
解
（分房问题）设有 n 个人入住 N n N 个房间 ,
n 设为n个人的所有可能的入住方法, 则 N .
第一章 随机事件与概率
概率论 : 研究随机现象的统计规律性的一个数学分支. 评价 : 生活的真正指南. 例 : 亲子鉴定. 若鉴定为无血亲关系, 正确率 100%. 若 鉴定为有 , 则为 99.93%.
确定性现象: 有确定的变化规律, 重复一组相同的条件,
其结果是肯定的, 事前是可以预言的. 如 : 抛掷一枚硬币必定下落.
ab a c nB P B n a b a b c a b 2c
a a c b nC P C n a b a b c a b 2c
结论 : 与顺序无关. 有放回 : c=0
⑶分配律 A
B B
C , C ; C , C ;
B C A C
A
⑷对偶律
B C B
A B A B, A B A B.
事件的和 , 积运算可以推广到有限个或可列个事件.
n
Ai ,
i 1
n
Ai
i 1

Ai ,
i 1 i 1
Ai
相应的对偶律
n i 1
例 1: 四猫性别 A: 同品种 B: 有一只不一样 C: 两公两母
引例 2: 一手牌型 最不可能 A: 同花色
哪种最有可能? 平均牌型 B: 4, 3, 3, 3 一长一短 C: 5, 3, 3, 2 比较平均 D: 4, 4, 3, 2
古典概型 classical probability model 1 试验的样本空间是个有限集:
而揭示其内在规律性. 比如在投掷一枚均匀的骰子试验
中 , 掷出偶数点显然比掷出6点发生可能性要大.
概率就是随机事件发生的可能性大小的数量表征. 对于
事件 A, 用 P(A)表示事件 A发生的可能性大小, 即 A发生 的概率 probability.
一 古典概率
本段我们从最古老的概率模型来探讨概率的计算.
0,
三 随机事件 random event 样本空间的某个子集即由若干个样本点构成的集合称为
随机事件 , 简称事件. 一般用大写字母A,B,C,D等表示. 仅含一个样本点的随机事件称作基本事件.
例1 抛出面值 A={面值}
例 2 可以起飞 A={5,6} 例 3 投篮优秀 A={1,2,3} 例 4 射箭 10环 A=[0,a] 例 5 灯泡长命 A=[3, ) 显然随机事件是由部分样本点 (基本事件)构成的 . 每次试验中可能发生也可能不发生.
1 , 2 , n
2 每个样本点即基本事件以相等的可能性出现, 即 :
P 1 P 2 P n
如果事件 A中包含了个n A 个样本点, 规定
nA P A n
从而
1 P 1 P 2 P n n
二 样本空间 sample space 样本点 (基本事件 ):
试验每一个可能出现的结果称为样本点, 用 表示 . 样本空间 (基本事件空间): 全体样本点构成的集合 , 称为样本空间 . 用 表示 .
例 1 抛硬币 ={面值 ,图案} 例2 掷骰子 ={1,2,3,4,5,6}
例 3 投篮 ={1,2,3,……} 例 4 射箭 0, r 例 5 灯泡寿命
解:
1.取到的都是正品
B1 A1 A2 A3 A4 ;
2.取到的恰有一件是次品
B2 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4 ;
3.取到的至少有一件是次品
B3 A1 A2 A3 A4 A1
A2
A3
A4
§1.2 等可能概型
对于一个随机试验, 我们不仅要知道它可能出现哪些结 果 , 更重要的是研究各种事件发生的可能性的大小, 从
事件的积
A B | A and B.
常简写为 AB
显然有 :
A
A A, A
A A
A B A A B
若
A B
则
A B A, A B B
事件的差
A B | A and B.
A B A B
A B
由定义容易得到下列关系
践可以发现随机现象呈现出某种规律性. 如 : 多次重复抛掷, 某一面向上出现一半左右 .
历史上 , 有很多学者为了考察某些问题的概率而做了
大量的试验, 以观察一些问题的实质. 例如在抛硬币试
验中 , 有这样三组数据:
试验者 蒲丰 试验次数 4040 正面出现次数 2048 频率 0.5069
K.皮尔逊 K.皮尔逊
随机现象 : 事前不可预言, 重复一组相同的条件, 每次结
果未必相同, 事前不能预言将出现哪一个结果. 就一次试 验而言 , 时而出现这个结果, 时而出现那个结果, 呈现出 一种偶然性.
如 : 硬币落下后哪一面向上？
统计规律性: 由于随机现象事先无法判定将会出现哪种 结果 , 人们就以为它是不可捉摸的. 其实通过大量的实
A, B 是互斥事件 A A, B 是对立事件 A
B .
B , A
B .
差事件可以表示为：
A B A AB AB
事件的运算满足下面性质: ⑴交换律 A
⑵结合律 A
BB
A, A
BB
A;
B C A B C A B C A
A
在所有的事件中, 有两个特殊的事件, 分别称为必然 事件和不可能事件.

必然事件 certain event 不可能事件 impossible event

注 : 严格来讲, 必然事件与不可能事件反映了确定性现
象, 可以说它们不是随机事件. 但是把它们作为随机事
件的两个极端情形而加以考虑, 则不但合理, 也为今后 的研究提供了方便. 从集合论角度理解 , 全集与空集也 是子集 .
mP P A P
k 1 n1 k n
m n
解法 3 对于同颜色球不加区分 设想有 n个位置依次排成一列
将 n个球分别放进n个格子(每格一球 )
m 只考虑红球的位置则总共有Cn 种不同放法
第 k个位置必须是红球则只要再挑m-1个位置放红球 总共有 Cn1 种放法
m1
C P A C
显然有 :
n 0 P 1, P 0 n n
在抛硬币试验中, 由于基本结果只有两个, 而且每个结
果出现的可能性是相同的, 故该试验为古典概型. 掷一枚均匀骰子, 则样本空间为
1 , 2 ,
, 6 .
1 且每个点数出现的可能性均为 , 故该试验为古典概型 . 6
例1: 四猫性别
A: 同品种 B: 有一只不一样 C: 两公两母
方法一 : 列举 以 0记公猫 , 1记母猫 , 只要列举四位二进制数.
0000, 0001, 0010, 0011
0100, 0101, 0110, 0111
1000, 1001, 1010, 1011
1100, 1101, 1110, 1111
P B P C P D
结论 : “平均”往往不是可能性最大的.
例3 摸球模型 袋中有 a只黑球b只白球. 随机摸取一只,记下颜色放回,
再添加 c只同色球. 如此重复三次. 求摸出的球颜色依次
为白黑黑 , 黑白黑, 黑黑白的概率.
解 : 记所求三事件分别为A, B, C
四 事件的关系和运算 为了用简单的事件来表达较为复杂的事件, 有必要讨 论事件间的关系和运算 .
1.关系 若事件 A发生必然导致事件B 发生 , 则称事件B 包含事
件 A, 记为
A B or B A
显然 , 对任意事件A, 有
A A, A , A
若 A B, B C 则 AC
2 C4 3 P C 4 2 8
引例 2: 一手牌型 最不可能 A: 同花色
哪种最有可能？ 平均牌型 B: 4, 3, 3, 3 一长一短 C: 5, 3, 3, 2 比较平均 D: 4, 4, 3, 2
n C 635013559600
来自百度文库13 52
4 11 P A 13 10 C52
n a b a b c a b 2c
nA b a a c nB a b a c
nC a a c b
ba a c nA P A n a b a b c a b 2c
有利场合数为先放好第 k位, 共有 m种 其余个 n-1个位置任意排
m n 1! m P A n! n
解法 2 仍将 n个球一一编号区分 从n个不同的球中接连抽出 k个球
相当于从 n个不同元素中选 k个元素的选排列 共有Pnk 种不同抽法 有利场合的不同抽法为 : 第 k次抽球抽到红球的情形共有m种 前 k-1次抽法等于从n-1个元素中选k-1个的选排列
Ai
n
n
Ai ,
i 1 i 1
Ai
n
Ai
i 1
形象地说 , 是把大帽子分配成小帽子, 运算符反向.
例 一箱产品中有95件正品和5件次品, 从中取4次, 每
次取一件 , 以 Ai i
1,2,3,4 表示第i 次取到的是正品,
试表达如下事件:
1.取到的都是正品 2.取到的恰有一件是次品 3.取到的至少有一件是次品.
4 3 3 3 4C13 C13C13 C13 P B 13 C52
5 2 3 3 4C13 3C13 C13C13 P C 13 C52
3 2 4 4 4C13 3C13 C13 C13 P D 13 C52
比较得 :
P B 55 P C 18 , P C 81 P D 25
12000 24000
6019 12012
0.5016 0.5005
§1.1 随机事件
一 随机试验 random test 满足如下条件的试验称为随机试验
1 可重复性 ; 2 具体结果的未知性; 3 所有结果的可预测性.
例1 抛掷一枚硬币. 例2 掷一枚均匀骰子, 观察出现的点数.
例 3 机器人投篮, 直到投中为止. 例 4 射箭 , 观察箭离靶心的距离. 例 5 灯泡寿命 .
显然有 : 基本事件组两两互不相容.
关系间的图示
B
.
A
A
B
A B.
A, B 互斥
若事件 A, B 满足 : 事件A 发生当且仅当B 不发生 , 则称
事件B 为事件A 的对立事件 , 记为 A.
A
A
2.运算 设 A, B为事件 , 定义下列事件 .
事件的和
A B | A or B.
2 1 P A 16 8
8 1 P B 16 2
6 3 P C 16 8
方法二 : 排列组合
2 1 P A 4 2 8
2 2C4 3 P C 4 2 4
1 2C4 1 P B 4 2 2
？？？
对称时一定要注意,如果区别性别, 则 0011等重复计数 . 正解 :
无放回 (抽签模型): c=-1
例4 假设箱中共有n个球, 其中 m个是红球, 其余是白球
(0<m<n). 现一个接一个地从箱中抽球, 试求第 k次抽到红 球的概率 . 解:
m 对于有放回情形, 显然P A n
对于无放回情形, 也即抽签模型有同样结果 .
这证明了抽签与顺序无关.
解法 1 设想将n个球一一编号区分 样本点个数相当于全排列
若事件A包含在事件B 中 , 而事件B 又包含在事件A中 , 则称事件 A与事件 B相等, 记为
A B.
即 A与 B有相同的样本点 .
互斥事件 (互不相容): 若事件 A与事件B不能在一次试验中同时发生,
则称事件 A与B是互斥的. 显然 , 互斥事件没有公共样本点.
如果一组事件中任意两个事件都互不相容, 那么称这组事件两两互不相容.