余弦定理练习题及答案解析

1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()

A．8B．217

C．6 2 D．219

解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝219. 2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sin A的值为()

A.

57

19 B.

21

7

C.

3

38D．－

57

19

解析：选A.c2＝a2＋b2－2ab cos C ＝22＋32－2×2×3×cos 120°＝19. ∴c＝19.

由a sin A ＝c

sin C

得sin A＝57

19.

3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．

解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a2

2·2a·2a

＝7

8.

答案：7 8

4．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：根据余弦定理得

b2＝a2＋c2－2ac cos B.

∵B＝60°，2b＝a＋c，

∴(a＋c

2)

2＝a2＋c2－2ac cos 60°，

整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.

∴△ABC是正三角形．

法二：根据正弦定理，

2b＝a＋c可转化为2sin B＝sin A＋sin C. 又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，

∴C＝120°－A，

∴2sin 60°＝sin A＋sin(120°－A)，

整理得sin(A＋30°)＝1，

∴A＝60°，C＝60°.

∴△ABC是正三角形．

课时训练一、选择题

1．在△ABC中，符合余弦定理的是() A．c2＝a2＋b2－2ab cos C

B．c2＝a2－b2－2bc cos A

C．b2＝a2－c2－2bc cos A

D．cos C＝a2＋b2＋c2

2ab

解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．

2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()

A.12

13 B.

5

13

C．0 D.2 3

解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cos C＝a2＋b2－c2

2ab

＝0.

3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．不能确定

解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()

A.π

3 B.

π

6

C.2π

3 D.

π

3或

2π

3

解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，

∴cos A＝b2＋c2－a2

2bc

＝－1

2

，

又∵0＜A＜π，∴A＝2π

3

，故选C.

5．在△ABC中，下列关系式

①a sin B＝b sin A

②a＝b cos C＋c cos B

③a2＋b2－c2＝2ab cos C

④b＝c sin A＋a sin C

一定成立的有()

A．1个B．2个

C．3个D．4个

解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sin A＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sin B＝sin C sin A＋sin A sin C＝2sin A sin C，则不一定成立．6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于()

A.1

4 B.

3

4

C.

2

4 D.

2

3

解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，

∴cos B＝a2＋c2－b2

2ac

＝

a2＋4a2－2a2

2a·2a

＝3

4.

二、填空题

7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.

解析：由余弦定理，

得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，

即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－1

2)，

AC2＋5AC－24＝0.

∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．

答案：3

8．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．

解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12

＝21，∴第三边长是21. 答案：21

9．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________．

解析：由正弦定理，

得a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8.

不妨设a ＝5k ，b ＝7k ，c ＝8k ，

则cos B ＝?5k ?2＋?8k ?2－?7k ?22×5k ×8k

＝12， ∴B ＝π3

. 答案：π3

三、解答题

10．已知在△ABC 中，cos A ＝35

，a ＝4，b ＝3，求角C . 解：A 为b ，c 的夹角，

由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，

∴16＝9＋c 2－6×35

c ， 整理得5c 2－18c －35＝0.

解得c ＝5或c ＝－75

(舍)． 由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝16＋9－252×4×3

＝0， ∵0°＜C ＜180°，∴C ＝90°.

11．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若(a ＋b ＋c )(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，求C 的大小．

解：由题意可知，

(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，

于是有a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝3ab ，

即a 2＋b 2－c 22ab ＝12

， 所以cos C ＝12

，所以C ＝60°. 12．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．

解：由余弦定理知cos B ＝a 2＋c 2－b 2

2ac

，代入c ＝a cos B ， 得c ＝a ·a 2＋c 2－b 2

2ac

，∴c 2＋b 2＝a 2， ∴△ABC 是以A 为直角的直角三角形．

又∵b ＝a sin C ，∴b ＝a ·c a

，∴b ＝c ， ∴△ABC 也是等腰三角形．

综上所述，△ABC 是等腰直角三角形．