不等式的应用ppt

基本不等式的应用
ab a b (a 0,b 0) 2
_______ 利用基本不等式求和的最小值

基本不等式 ab a b（a 0,b 0）
2
当且仅当a=b时，等号成立 一正
问题：设 a，b为正实数，若 ab p( p为定值），

则当__且_仅__当_a_=_b____时，
和 a+b 有最__小__ 值为__2__p_.
x y的最小值为16.

即


9x y 19

x y

y

x

1

xy

40 12 0

例2 已知x 0, y 0,且 1 9 1,求x y的最小值. xy

变式1：1 9 3 1 9 1

xy

3x 3y

变式2：1 1 1 xy

课堂总结
1.利用基本不等式求最值的7字诀 一正、二定、三相等
2.利用基本不等式求最值用到的方法： (1)配凑法 （2）整体代换
3.本节用到的数学思想 化归思想

课后作业

1.求函数

f

(x)



ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx2

3x 1
的最小值。
x 1

2.已知 x 0, y 0, 且 2x y 1,
求 1 1 的最小值。 xy



1 9 2 9 x y xy

6 xy

1

6 xy

xy 6(2)

当且仅当 1 9 时，等号成立。 xy

x y 2 xy 26 12

研究成两立个一的等正条号件同时
x y的最小值为12.

x y



1

x



9 y

1 9

例2 已知x 0, y 0,且 1 9 1,求x y的最小值.

当且仅当 x 2 4 时，等号成立。 x2

此时 x 4或x 0, x 02, 舍去

x 42, x 4 的最小值为6.

三相等

x2

例2 已知x 0, y 0,且 1 9 1,求x y的最小值.

解： x 0, y 0

xy

这个解法 正确吗？

x y 2 xy(1) 当且仅当 x y时，等号成立。

xy

解： (x y) 1 (x y)(1 9 ) xy

巧用“1” 整体代换

1 9x y 9 9x y 10

yx

yx

一正

x 0, y 0 9x 0, y 0

y

x

9x y 10 2

9x



y

10



二定
23 10

16

yx

yx

x y 16 三相等
当且仅当 9x y 时，等号成立， yx

分析： ab a b a b 2 ab

2

二定

a b 2 p ( p为定值）

当且仅当a=b时，等号成立 三相等

典型例题
例1 已知x 2 ，求 x

4

的最小值。

x2

解： x 2 x 2 0 一正
x 4 x2 4 2

构造积为 定值

x2

x2

二定
2 (x 2) 4 2 6 x2