第2章第1, 2节线性代数
线性代数课后习题与答案
《线性代数》课程习题第1章行列式习 题 1.11． 计算下列二阶行列式： （1）2345 （2）2163- （3）xxx x cos sin sin cos - （4）11123++-x x x x（5）2232ab b a a （6）ββααcos sin cos sin （7）3log log 1a b b a2． 计算下列三阶行列式：（1）341123312-- （2）00000d c b a （3）d c e ba 0000 （4）zy y x x 00002121（5）369528741 （6）01110111-- 3． 用定义计算行列式：（1）4106705330200100 （2）1014300211321221---（3）5000000004000300020001000 (4)dcb a 100110011001---.4.用方程组求解公式解下列方程组:(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--0520322321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=++232120321321321x x x x x x x x x习 题 1.21． 计算下列行列式：（1）123112101 (2)15810644372---- （3）3610285140 （4）6555655562.计算行列式（1）2341341241231234（2）12114351212734201----- （3）524222425-----a a a（4）322131399298203123- （5）0532004140013202527102135---- 3.用行列式的性质证明：（1）322)(11122b a b b a a b ab a -=+（2）3332221113333332222221111112c b a c b a c b a a c c b b a a c c b b a a c c b b a =+++++++++ 4.试求下列方程的根：（1）022223356=-+--λλλ（2）0913251323221321122=--x x5.计算下列行列式（1）8364213131524273------ （2）efcfbfde cd bdae ac ab---（3）2123548677595133634424355---------- （4）111110000000002211n n a a a a a a ---（5）xaaa x a a a x（6）abb a b a b a 000000000000习 题 1.31． 解下列方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+--=++1024305222325321321321x x x x x x x x x （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x2． k 取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++-=++0200321321321x x x x kx x kx x x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++0300321321321x x x x kx x x x kx 习 题 五1.41．计算下列行列式（1）3010002113005004， （2）113352063410201-- （3）222111c b a c b a（4）335111243152113------， （5）nn n n n b a a a a a b a a a a D ++=+212112111112．用克莱姆法则解线性方程（1）⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=--114231124342321321321x x x x x x x x x (2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-+=+-+=++3322212543143214321321x x x x x x x x x x x x x x3．当λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++0020321321321x x x x x x x x x λλ可能存在非零解？4.证明下列各等式(1) 222)(11122b a b b a a b ab a -=+(2) ))()((4)2()1()2()1()2()1(222222222c b a c a b c c c b b ba a a ---=++++++ (3) ))()()()()()((111144442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a d c b a d c b a+++------=5.试求一个2次多项式)(x f ,满足1)2(,1)1(,0)1(-==-=f f f .第2章矩阵习 题 2.21．设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=530142A ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=502131B ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=313210C ， 求3A -2B +C 。
1-2线性代数
n( n 1 ) , = 2 时为偶排列； 当 n = 4k ,4k + 1 时为偶排列；
t = ( n 1) + ( n 2 ) + L + 2 + 1
时为奇排列. 当 n = 4k + 2,4k + 3 时为奇排列
(4) (2k )1(2k 1)2(2k 2)3(2k 3)L (k + 1)k
于是排列32514的逆序数为 t = 0 + 1 + 0 + 3 + 1 = 5. 的逆序数为 于是排列
计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性
(1)
4132
(2) 3712456
（2） ）
解（1）4 1 3 2 ）
3 7 1 2 4 5 6
0 0 2 2 1 1 1
第二节 全排列及其逆序数
一、排列
定义 由自然数 2, , n 组成的不重复的每一 由自然数1, 种有确定次序的排列, 称为一个n 种有确定次序的排列 称为一个 阶排列 (简称排列 简称排列). 简称排列 都是4 例如 1234 和4312都是 阶排列 都是 阶排列, 24315是一个 阶排列 是一个5 阶排列. 是一个
t = 0 +0 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1
0 1 1 2
t = 0+1+1+ 2 = 4
此排列为偶排列 此排列为偶排列. 偶排列
=7
此排列为奇排列 此排列为奇排列. 奇排列
(3)
解
n(n 1)(n 2 )L 321
n 6444 74444 4 1 8 n(n 1)2 2 )L 321 1 4(n443 44 4 (n 2)
线性代数 第二章1
矩 阵 的 概 念及 运 算
主要内容
矩阵的定义 几种常用的特殊矩阵 矩阵的应用举例 矩阵的基本运算
一、矩阵的定义
引例 线性方程组的矩阵
定义 由 m × n 个数 aij (i= 1, 2, … , m; j=1, 2,… , n)
排成的 m 行 n 列的数表，叫做一个 m × n 矩阵 列的数表，
为数 k 与矩阵 A 的数量乘积 简称数乘, 记为 kA. 数量乘积, 简称数乘, kA.
注意
2. 运算规律
设 A, B 为同类型矩阵, k, l 为常数，则 为同类型矩阵 为常数， (1) 1A = A; (2) k(lA) = (kl) A; (3) k(A + B) = kA + kB; (4) (k + l)A = kA + lA. 矩阵相加与数乘矩阵合起来， 矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的 线性运算. 线性运算
一般情形
定义 设矩阵 A = (aij)m×p , B = (bij)p×n , (a (b
C = (cij)m×n , 其中 (c
cij = 轾1 ai 犏 臌
ai 2 L
轾j b1 犏 aip 犏 j = ai1b1j + ai2b2j + … + aipbpj b2 犏 犏 M 犏 犏 b pj 犏 臌
1 O 1
n
.
n 阶单位矩阵 E 在矩阵代数中占有很重要的地 在初等代数中的作用相似. 位, 它的作用与 “1” 在初等代数中的作用相似. EA = AE = A . 如
(6)
数量矩阵
主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 主对角线上的元素全相等的对角矩阵称为数 量矩阵. 量矩阵 例如 n 阶数量矩阵
线性代数课件2-4(1)
至少有一个 3 阶子式不为零 即不为零 子式的最高阶数 是3， 而所有的 4 阶子式 全为零
∴r( A) = 3 .
10
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
例题与讲解
3 3 0 − 2 例2: 设 A = − 1 − 4 3 0 , 1 − 5 6 − 2
0 0 0 1 1 0 0 0 列向量组 : β 1 = 0 , β 2 = 0 , β 3 = 0 , β 4 = 1 , 0 0 0 0
行向量组为 :
α 1 = (1, 0, 0, 0) , α 2 = ( 0, 1, 0, 0 ) , α 3 = ( 0, 0, 0, 1) , α 4 = ( 0, 0, 0, 0 ) ,
α 1 , α 2 , α 3 , α 4 线性 相关, α 1 , α 2 , α 3 线性无关,
∴ r (α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) = 3 , 即A的行秩是 3;
初等行变换
1 2 s 1 2 s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
1
2
s
5
P D F c re a te d w ith p d f F a c to r y tr ia l v e r s io n
定理3 矩阵的行秩和列秩相等 . 证明: 当 A = O 时, 显然. 当 A ≠ O 时, 即A的元素不全为零 , 则
线性代数章节概括
《线性代数》章节概括苏州大学数学科学学院朱广俊潘洪亮2018年6月5日目录第一章线性方程组与消元法1第二章矩阵3第三章行列式5第四章矩阵的进一步讨论7第五章向量组与解空间9第六章矩阵的对角化11第七章实二次型13附录A参考教材15附录B教学计划17附录C习题简解21C.0.1第1章习题（p.6-7） (21)C.0.2第2章习题（p.19-20） (27)C.0.3第3章习题（p.60-65） (32)C.0.4第4章习题（p.77-79） (39)C.0.5第5章习题（p.100-104） (50)C.0.6第6章习题（p.124-126） (69)C.0.7第7章习题（p.140-141） (97)i目录附录D线性代数简介105D.0.1概述 (105)D.0.2历史 (105)D.0.3学术地位 (106)D.0.4应用实例 (107)附录E名人名言109 ii第二章矩阵1.基本概念（p.9-10；p.13）：矩阵（A）、行（列）向量、增广矩阵（(A|b)）、系数矩阵；对角阵、对称阵；2.矩阵相等【A=B】（p.10）；3.矩阵运算（p.10-11）：加法（A+B）、乘法（AB）、数乘（kA）、转置（A T）；•运算性质（p.12定理2.2.1）；•逆矩阵及性质【A 1】（p.14-15定义2.3.1及性质）；4.初等行变换及线性方程组的矩阵解法（p.15-16定义2.4.1，p.17-19）：•i⇥k；i!j；i⇥k+j．(初等行变换：kr i,r i!r j,kr i+r j)相关数学史在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵．这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出．英国数学家凯利3第二章矩阵矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成．1800年代，高斯和威廉·若尔当建立了高斯—若尔当消去法．1844年，德国数学家费迪南·艾森斯坦（F.Eisenstein）讨论了“变换”（矩阵）及其乘积．1850年，英国数学家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester）首先使用矩阵一词．4第三章行列式1.行列式的定义（p.24定义3.2.1）∗；2.行列式的性质（p.26-37）：•数乘（p.27性质3.3.1；p.28推论3.3.1）：i⇥k；一行为零；•相加【一行和拆开】（p.28性质3.3.2）：i!a+b;•交换两行【变号】（p.30性质3.3.3；推论3.3.2，3.3.3）：i!j；两行相同、两行成比例；•数乘一行加到另一行（p.30性质3.3.4）：i⇥k+j;•行列互换【转置不变】（p.35性质3.3.5）．3.余子式、代数余子式【M ij，A ij=( 1)i+j M ij】（p.38定义3.4.1）；•行列式展开（p.39-40定理3.4.1，3.4.2）、行列式计算（p.40-44，|AB|=|A||B|）（p.44-46行列式的完全展开式不作要求）；4.线性方程组公式解【克拉默法则或克莱姆法则】（p.56-59定理3.6.1，3.6.2）．相关数学史行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的．行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同．戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646年7月1日－1716年11月14日），德国哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为十∗本章后移到课程最后讲解。
线性代数__2[1].2向量组的线性相关性
![线性代数__2[1].2向量组的线性相关性](https://img.taocdn.com/s3/m/b9fe1714a2161479171128c3.png)
k 3 0 1 , 2 , 3 线性无关.
例3：设向量组1 , 2 ,, m 线性无关，且
1 2 m 证明向量组 1 , 2 ,， m 线性无关(m 1). 证 : 设k1 ( 1 ) k 2 ( 2 ) k m ( m ) O
a , a , , a b , b , , a
m 1m 2m 1 2 n
nm
可由 ， ， ， 线性表示
1 2 m
存在一组实数k1 , k 2 , k m , 使
k1 1 k 2 2 k m m
a1 m b1 a11 a12 a b a a 2 k 21 k 22 k 2 m 1 2 m bn a n1 a n 2 a nm a11k1 a12k 2 ...... a1m k m b1
问题： 零向量是任何向量组的线性组合，为什么？
1 0 0 0 5 0 1 0 0 , 1 , 2 , 3 , 4 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 5 0 1 0 0 有 2 5 3 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 即 =2 1 5 2 3 3 0 4 所以，称 是 1 , 2 , 3 , 4 的线性组合， 或 可以由 1 , 2 , 3 , 4 线性表示。
任一向量都可表示成单位坐标向量的线性组合
线性代数讲座_1,2章
IO
P T A* A A 0
Q A T A1 b A 0
Q可逆 Q 0 T A1 b 0 T A1 b
例4. 设
A, B 均为 2 阶矩阵, 若
A
2,
B
3,
O
则
B
A O
*
=
A
O 2A*
3B*
O
B
O 3A*
2B*
O
C
O 2B*
3A*
a122
a123
3a121 1
a11 3 3
例3. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, α 为 n 维列向量, b 为常数, 记
I O A
P
T
A*
A
,
Q
T
b
.
(1) 计算并化简 PQ. (2) 证明矩阵 Q可逆 T A1 b.
分析:
I O A
PQ
T
A*
A
标准方法: 利用行列式性质直接计算:
A 2B 1, 2, 3, 1 23, 1, 2, 2
1 23 , 2 21 , 3 22 , 1 22
A 2B 1 23 , 2 21, 3 22 , 1
1 23 , 2 21 , 3 22 , 22
1 2 0 0
按第一行(列)展开, 直接求得;
(3) 三线型:
按第一行(列)或最后一行(列)展开, 得
递推关系式, 解递推关系式;
(4) “爪”型(箭型) 行列式: 用中间的“爪”消去某条 “爪”;
(5) 计算某行(列)元的(代数)余子式的线性组合：
构造“新行列式”;
知识点2: 行列式计算
(6) 抽象行列式 |A| = |α, β, γ|的计算:
第二章-线性代数学习指导书(1)
第二章 线性方程组一．主要内容本章主要讨论向量组的线性性质，线性方程组的可解条件及其解法等内容．（一）、向量组的线性相关性列向量（行向量）是一类特殊的矩阵，因而它的运算（如加法、数乘、转置等）和性质与矩阵的相应运算和性质一样．值得注意的是n 维列向量与n 维行向量才能做相乘运算，例如，令12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12y y y ,y n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体) 则111121221222T 1212xy (,,,),n n n n n n n n x x y x y x y x x y x y x y y y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(字母新罗马用斜体)()12121122,,,.T T n n n n y y x y x x x y x y x y x y x y ⎛⎫ ⎪ ⎪==+++= ⎪ ⎪⎝⎭这表明：n 维列向量与n 维行向量的积是n 阶方阵，n 维行向量与n 维列向量的积是一个数，这个数被定义为这两个向量的内积（参见第三章）．为了研究一组同维数的列向量间的相互关系，引入了向量的线性表示和向量组的线性无关性以及向量组等价等概念．它们是研究线性方程组的基础． 假设有一组n 维列向量：1j 2j j nj a a ,1,2,,.a j s α⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(字母新罗马用斜体)构造矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 则向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是()R A s <. 因此，可用下面步骤判断向量组12,,,s ααα的线性相关性．第一步：对矩阵A 施行初等行变换化为行阶梯形矩阵B ；第二步：行阶梯形矩阵B 的非零行数即为矩阵A 的秩()R A ；第三步：如果()R A s <，则12,,,s ααα线性相关，否则线性无关.在向量组线性相关的情况下，还应求出它的最大线性无关向量组与线性关系式．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系，因而，可利用矩阵的初等行变换求解．具体解法如下：第一步：对矩阵11121s 21222s 12n1n2ns (,,,)s a a a a a a A a a a ααα⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 施行初等行变换化为行标准形12(,,,)s B βββ=；第二步：求最大线性无关组．因为行标准形B 中首元1所在的列构成的向量组12,,,r i i i βββ是矩阵B 的列向量组的一个极大线性无关组，所以，12,,,r i i i ααα是12,,,s ααα的一个最大线性无关组．第三步：求线性关系式．若行标准形B 中的列向量12,,,k j j j βββ满足关系式12120k j j r j d d d βββ+++=，则矩阵A 中的列向量12,,,k j j j ααα也满足关系式12120k j j r j d d d ααα+++=． 因此，位于其它各列的向量由最大线性无关组线性表示的组合系数即为矩阵B 对应列的相应分量.（二）、线性方程组理论线性方程组理论是一个应用很广的数学理论，它包含解的存在性、解的唯一性和求解等内容.设含有m 个方程n 个未知量的线性方程组为11112211211222221122,,n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （１）其系数矩阵、未知向量、常向量和增广矩阵分别为111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12x ,n x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭12,m b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(),.A A b = 1．线性方程组解的存在性与唯一性 存在性：线性方程组（１）有解的充分必要条件是R(A)R(A).=唯一性：若R(A)R(A)n,==则线性方程组（１）有唯一解；若R(A)R(A)n,=<则线性方程组（１）有无穷多解．2．线性方程组的求解步骤第一步： 写出线性方程组（1）的增广矩阵(),,A A b =并利用矩阵的初等行变换将A变为行标准形；第二步：分别求出线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵的秩R(A),和R(A),并运用解的存在性与唯一性定理进行判定．若有解时，继续求解．否则，停止求解；第三步：若线性方程组（１）的解唯一，则根据A的行标准形直接求解，完成计算．若线性方程组（１）的解不唯一，则根据A的行标准形求线性方程组（１）的一个特解．这时，首先确定自由变量．可令A的行标准形中非零行的首元1所在的列对应的变量为约束变量，其个数为R(A),其它未知量为自由变量，其个数为n R(A).-然后将所有的自由变量赋值为零，求得特解．第四步：求线性方程组（1）的导出组的基础解系．首先确定导出组的基础解系中所含向量的个数n R(A),-同时根据A的行标准形确定自由变量；然后，分别取n R(A)-阶单位矩阵的列对自由变量分别赋值，并根据A的行标准形求得导出组的基础解系.第五步：用线性方程组（1）的特解与导出组的基础解系表示线性方程组（1）的解．值得注意的是，对于一个数学问题（或实际问题），它的解的存在性、唯一性和求解等内容是研究的主要内容，这些内容、研究方法与数学思维便形成了一种研究模式．二．基本要求与疑难解析（一）基本要求1.熟悉线性方程组的不同表达形式(方程组形式,矩阵形式,向量形式).2.理解线性方程组的可解条件，熟练掌握求解线性方程组的消元法.3.熟悉齐次线性方程组有非零解(只有零解)的充分必要条件，熟悉非齐次线性方程组有解(无解),有唯一解,有无穷多解的充分必要条件.4.理解n维向量、n维向量空间概念，熟悉n维向量的线性运算.5.理解n维向量的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与线性无关、两向量组的等价等概念及其相关定理，会利用矩阵的秩来判别向量组是否线性相关.6.理解向量组的最大无关组及向量组的秩的概念及其相关定理，会求向量组的最大无关组与秩.7.熟悉齐次线性方程组解的结构.熟练掌握齐次线性方程组的基础解系的求法.8.熟悉非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间的联系.熟练掌握非齐次线性方程组的结构式通解的求法.（二）疑难解析1、用消元法求解线性方程组时，能对方程的系数矩阵或增广矩阵进行初等列变换吗？答：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等变换：（1）某个方程乘非零常数k；（2）一个方程乘常数k加到另一方程；（3）对换两个方程的位置，将其化为同解的阶梯形方程组这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行三种初等行变换，化为阶梯形矩阵.因此，求解线性方程组时，一般不能对增广矩阵施行初等列变换，但可以对换矩阵的两列，此时相应地未知元也要对换.2、向量组的线性相关与线性表示两个概念之间有什么联系？理解它们之间的关系要注意些什么？答：一向量组线性相关就意味着存在不全为零的一组数，以它们为系数所作的此向量组的线性组合为零.这等价于向量组中有某向量可以由其余向量线性表示.在后一句话中我们要注意两点：第一，向量组线性相关只说明向量组中存在某一个向量可由其余向量线性表示，并不一定是每个向量都可由其余向量线性表示.第二，线性相关的向量组中至少有一向量可由其余向量线性表示.3、如何判断向量组线性相关？答：根据书中的定理，某些向量组可直接判断它是线性相关的，如向量组中向量的个数多于其维数，向量组含有零向量或含有显然线性相关的部分组（如含有对应系数成比例的两个向量）等.一般的向量组可通过矩阵判别法来判断,即把向量组中向量作为列排成一矩阵A ，然后计算矩阵A 的秩，当且仅当A 的秩小于向量的个数时向量组线性相关.特别，对于由n 个n 维向量构成的向量组，只需考察A 的行列式，即当且仅当0=A 时向量组线性相关.4、向量组的最大无关组有什么特性？它在向量组的讨论中起什么作用？答：向量组的最大无关组有两个重要特性：第一，它是向量组的线性无关部分组，第二，它与原向量组等价.最大无关组也可以从其它角度来刻画：向量组的最大无关组就是向量组中含向量最多的线性无关部分组，也是与向量组等价的部分组中含向量最少的部分组.向量组的最大无关组不唯一，但每个最大无关组所包含向量的个数是相同的，称它为向量组的秩，是反映向量组本质的一个量.因为向量组的最大无关组与原向量组等价，根据等价关系的对称性和传递性，在讨论两向量组的线性关系时，诸如讨论一向量组是否可由另一向量组线性表示，两向量组是否等价，两向量组的秩之间的关系等，通常用最大无关组来代表原向量组.因为最大无关组是线性无关的，且其所含向量的个数就是向量组的秩，讨论起来较方便.特别是对包含无限多个n 维向量的向量组，它的最大无关组仅含有限个向量，这样就可以把对无限向量组的讨论转化为对有限向量组的讨论.5、向量组的等价与等秩有什么联系？答：根据等价的向量组的极大无关组也等价以及教材中有关定理可知等价的向量组必等秩.但等秩的向量组不一定等价，例如设),1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(321===εεε则向量组21,εε与向量组31,εε的秩都为2，但显然这两个向量组不等价.只有当两向量组中有一个可由另一个线性表示时，这两个向量组等秩就一定等价.特别地，一个向量组的部分组如果与原向量组等秩，则它们是等价的.6、如何理解矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系？什么是由此结论得出的求向量组的极大无关组的方法？答：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系是指如果矩阵A 通过初等行变换化为矩阵B ，那么对A 的任一列向量部分组，该部分组线性相关当且仅当B 对应的列向量部分组也线性相关.因而ir i i ,,ααα 21是A 的列向量组的最大无关组当且仅当B 中对应的列向量组ir i i βββ,,,21 是B 的列向量组的最大无关组. 前一论断证明如下：设A 通过初等行变换化为矩阵B ，任取A 的第k i i i ,,,21 列ik i i ααα,,, 21构成矩阵A 1，则A 1通过前面给出的初等行变换得到的矩阵正是由B 的第k i i i ,,,21 列ik i i βββ,,,21 构成的矩阵B 1，因而)()(11B r A r =.又ik i i ααα,,, 21线性相关当且仅当,)(1k A r <也就是.)(1k B r <而k B r <)(1当且仅当ik i i βββ,,,21 线性相关.所以矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系.利用这一性质，我们求向量组的最大无关组时，只须把所给向量组中向量为列构成一矩阵A ，然后用初等行变换化A 为阶梯形矩阵B ，因为B 的每个非零行第一个不为零的元素所在的列向量构成的列向量部分组是B 的列向量组的一个最大无关组，所以A 的相应的列向量部分组就是所给向量组的一个最大无关组.7、非齐次线性方程组AX ＝b 的解与A 的列向量组之间有何联系？(用b Ax =，或0=Ax ，下同)答：将线性方程组AX ＝b 写成向量形式b x x x n n =+++ααα 2211，其中i α为A 的第i 列构成的列向量，因此b 可由n ααα,,,21 线性表示⇔AX ＝b 有解.b 可由n αα,,1 唯一线性表示⇔AX ＝b 有唯一解.b 可由n αα,,1 表示，且表示法不唯一⇔AX ＝b 有无穷多解.8、齐次线性方程组的基础解系是否唯一？判别一个向量组是否为AX ＝0的基础解系的方法有哪些？答：当方程组AX ＝0存在基础解系（有非零解）时，其基础解系是不唯一的。
第2章线性方程组求解方法第2讲
y1 1 1 1 y2 3 3 y 34 3 5
1 2 3 x1 1 再解 5 9 x2 3 ,得 34 17 x 5 3 5
计算方法 2.3.1
线性代数方程组求解方法
直接三角分解法
将高斯消去法改写为紧凑形式，可以直接从矩阵A的元
素得到计算L、 U元素的递推公式，而不需要任何中间步骤 ，这就是所谓的直接三角分解法。一旦实现了矩阵A的LU分
解，那么求解线性代数方程组Ax=b的问题就等价于求解两
个三角方程组 Ly=b，求y Ux=y，求x 的问题，而这两个线性代数方程组只要回代，就可以求出其
1 u11 u12 u13 u 22 u 23 l21 1 l l 1 u 33 31 32 l l l 1 n1 n 2 n 3
计算方法
线性代数方程组求解方法
克罗脱(Grout)分解
a11 a12 a21 a22 a 31 a32 an 1 an 2 ... a1n ... a2n a3n ... ann ... u1n ... u 2n ... u 3n 1
a11 a12 ... a1n b1 a21 a22 ... a2n b2 a a ... a b nn n n1 n 2
u11 u12 ... u1n y 1 l21 u 22 ... u 2n y 2 l l ... u y nn n n1 n 2
设A
A=LU=L1U1 其中, L、L1 为单位下三角矩阵， U、 U1为上三角矩阵。由 于U１－1
线性代数第二章2-1, 2-2
称为mn线性方程组，m=n 时，称为n元方程组
... a11 a 12 系 ... 数 a a 21 22 矩A ............ 阵 ... a a m2 m1
增 广 矩 阵
2n a mn
a a
1n
x1 未 x 知 2 量 X 阵 xn
矩阵A与B的差记作 ：A - B
a11 b11 a12 b12 a b a b 21 21 22 22 A B a b a b m1 m1 m 2 m 2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
矩阵加法满足下列运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律 （设A、B为mn矩阵，、为常数）
(i). （）A = （A）
(ii). （+）A = A + A (iii). （A + B）=A + B
3.矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A = (aij ) ms ， B = (bij ) sn， 则矩阵A与B的乘积矩阵C =(cij)mn，其中
第1节 矩阵的概念
引：线性方程组的一些性质反映在它的 系数矩阵和增广矩阵上，解线性方程组的过 程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方 程组外，还有大量的各种各样问题也都提出
矩阵的概念，且这些问题的研究常常表现为
对矩阵的某些方面的研究。甚至于某些性质
完全不同的，表面上无联系的问题，归结成
矩阵后却是相同的。这使矩阵有着广泛的应用
0 a 0
0 0 a
3）单位矩阵 主对角线元素都是 1, 其他元素都是零 的矩阵称为单位矩阵,记为
I
1 0 0 1 I 0 0
第1章(行列式)线性代数及其应用
一般情形
设排列 …ji1…isk… (3) 经j,k对换变成 …k i1…is j… (4) 对换变成 易知， 可由 经一系列相邻对换得到： 可由(3)经一系列相邻对换得到 易知，(4)可由 经一系列相邻对换得到： k经s+1次相邻对换成为 …kj i1…is … 经 次相邻对换成为 j经s次相邻对换成为 …ki1…is j … 经 次相邻对换成为 即经2s+1次相邻对换后 成为 (4). 相邻对换改变排列的奇偶 次相邻对换后(3) 即经 次相邻对换后 性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变. 奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变 ||
从而 τ ( x1 x2 Lxn ) +τ ( xn xn−1 Lx1 ) n(n − 1) = (n − 1) + (n − 2) +L2 + 1 = 2 此即 τ ( x x Lx ) = n(n − 1) − I . n n−1 1 2
3. n阶行列式定义 阶行列式定义 分析： 分析：
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 a33 − a13a22a31 − a12a21a33 − a11a23a32
线性代数
第1 章 第2 章 第3 章 第4 章 第5 章 行列式 矩阵 向量 线性方程组 矩阵的对角化 二次型
第1章 行列式 章
行列式是线性代数的一个重要组成部分. 行列式是线性代数的一个重要组成部分. 它 不仅是研究矩阵理论、 不仅是研究矩阵理论、线性方程组求解等问题的 重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、 重要工具，而且在数学的许多分支及经济、管理、 工程技术等领域有着极其广泛的应用. 工程技术等领域有着极其广泛的应用. 阶行列式的概念， 本章建立了n阶行列式的概念，讨论了 n 阶 行列式的性质及计算方法， 行列式的性质及计算方法，最后给出了它的一个 简单应用——克拉默法则 克拉默法则. 简单应用 克拉默法则
1线性方程组的消元解法
dr1 0 时，方程组有解
r( A ) r( Ab )
r n 时，方程组有唯一解 r( A ) r( Ab ) n r n 时，方程组有无穷多解 r( A ) r( Ab ) n
即： 线性方程组化为阶梯形后，有 r( A ) r( Ab ) 无解
r( A ) r( Ab ) n 唯一解
x1
13 7
3 7
c1
13 7
c2
x2
4 7
2 7
c1
4 7
c2
x3 c1
x4
c2
四、齐次线性方程组的求解 1、定理3.2 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件
是： r( A ) n
例5 解齐次线性方程组
x1 x2 5 x3 x4 0
x1 x2 2 x3 3x4 0
则方程组可写为： AX b
Ab
a11 a12 a1n b1
a21 a22 a2n b2
am1
am2
amn
bm
2、求解步骤：
① 写出增广矩阵
② 化为阶梯形
③ 判断是否有解，如有解
④ 进行回代
称为增广矩阵
化为阶梯形
a'
11
x1
a' 12 x2 a' 22 x2
1 0 1 7
0
1
4 1
8 9
2 4
方程组有无穷多个解
引例3 线性方程组
x31x1
2
x2 x2
3x3 5x3
x4 3x4
1
2
2x1 x2 2x3 2x4 3
解：消元得
x1
2x2 5x2
3x3 x4 4x3 1
线性代数第二章1
第五节向量空间为了解决无穷多个解的表示问题，我们先来研究由无穷多个向量构成的向量组.设V n 定义1是元实向量的集合,若V 非空且对于向量的线性运算封闭（即对任意12v ,v ,R,V V k ∈∈∈都有121v v ,v ),V k V +∈∈则称V 元实向量空间.n 是显然，R n元实向量空间.n 是向量空间一定含有零向量.仅含有零向量的向量空间叫做零空间，其它向量空间叫做非零空间.零空间仅含有一个向量，非零空间含有无穷多个向量.定义2设21,V V 是两个实向量空间,若21V V ⊆则称1V 是2V 的子空间;若1V 是2V 的子空间且是2V 1V 的子空间，则称这两个空间相等,记作.21V V =元实向量空间，则是V 的子空间.是V n 若的子空间. R n 0的子空间.}{的子空间. 是V例1集合是向量空间.对任意0)0)R k {(,,)|,R,0}TV v x y z x y z ==∈=证明T111222(,,0),(,,0),T Tv x y v x y V ==∈R,∈有,)0,,(212121V y y x x v v ∈++=+111(,,0),Tkv kx ky V =∈因此，集合是一个向量空间.V 例2集合不是向量空间.(10)(01)TT{(,)|0}TV v x y xy ===证明而,)1,1(21V v v T∉=+12(1,0),(0,1),v v V ==∈即加法运算不封闭.所以集合不是向量空间.Vu v 是x 0A =的解,12u ,u设是x b A =的解,12v ,x 0A =的解集是向量空间，称为解空间.x b A =的解集不是向量空间,齐+非齐=非齐非齐-非齐=齐1212(u u )u u 0A A A +=+=11(u )u 0A k kA ==不含零向量+v =(v -v )x 0A =11(u v )x bA 11()基（基底）:向量空间的一个极大无关组.向量空间的维数:向量空间的基所含向量的个数,维向量空间:dim .V r dim .V r =记作向量空间的基是正交向量组.正交基:标准正交基:向量空间的基是标准正交向量组.零空间{0}没有基.规定零空间的维数是0.线性无关；任意向量12e ,e ,,e n "n α∈\可以由e ,e ,e "e ,e ,e "n 线性表示，所以，12,,,n 是12,,,n \的基，dim ,nn =\是标准正交基.12e ,e ,,e n "设维向量空间的一个基底,则对是12v ,v ,,v n "V n 任意向量存在唯一一组数使得v ,V ∈12,,n x x x "1122v v v v n nx x x =+++"x x x "2v v v "称为向量在基下的坐标.12,,n v 12x (,,)Tn x x x ="称为向量在基下的1,,,n 12v ,v ,,v n "v 坐标向量.解一个线性方程组.求一个向量在某个基下的坐标或坐标向量，实质上是121212v [v ,v ,,v ][,,,][v ,v ,,v ]xTn n n x x x =="""例4求中的向量在下面基下的坐标向量为列构成的矩阵进行初等行变换解对123,,,αααβ1011⎡⎤1011⎡⎤1011⎡⎤01100114⎢⎥⎢⎥⎢⎥−01100024⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎦01100012⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎣1001−⎡⎤01020012⎢⎥→−⎢⎥⎢⎥在此基下的坐标向量为则⎣⎦β(1,2,2).T−−定义3设和是维向量空间n 12 a ,a ,,a n "12b ,b ,,b n "的两个基底，则存在矩阵V P 使得b b ][]到基称为由基P a ,a ,a "1212[b ,b ,,b ]=[a ,a ,,a n n P""b ,b ,b "这里易知，P 是可逆阵.12,,,n 12,,,n 的过渡阵.是b b a a 11212[a ,a ,,a ][b ,b ,,b ]n n P−=""到的过渡矩阵.1P −12b ,b,,b n "12a ,a ,,a n "同一个向量在不同基下的坐标向量一般是不同的，但是这两个不同的坐标向量之间却有必然的联系.定理1中向量在基设维向量空间n V 12a ,a ,,a n "v 下的坐标向量分别为和和x y.若P 是x P =12b ,b ,,b n "a "b ,b ,b "到的过渡矩阵，y.12 a ,a ,,a n 12,,,n 则证明由已知1212[b ,b ,,b ][a ,a ,,a ]nnP=""1212v [a ,a ,,a ]x=[b ,b ,,b ]yn n =""b b ][]从而1212v [b ,b ,,b ]y=[a ,a ,,a y,n n P =""即下的坐标，因为一个向量在12a ,a ,,a n "y P v 是在基一个基底下的坐标是唯一的，所以x y.P =例5在中基123I :[1,0,0],[0,1,1],[1,1,1]T T Tααα==−=和基123II :[0,1,1],[1,1,1],[2,1,1]TTTβββ==−=−（1）求从I 到II 的过度矩阵P（2）已知向量I [421]v 在基下的坐标向量[4,2,1]Tx =II 下的坐标向量求v 在基y123123[,,][,,]Pβββααα=解因为101012011111⎡⎤⎢⎥−⎥101012011111⎡⎤⎢⎥→−⎢⎥011111⎢⎢⎥−−⎣⎦002200⎢⎥⎣⎦1010121⎡⎤1001120−⎡⎤→01111001100⎢⎥→−⎢⎥⎢⎥⎣⎦010********⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦112−⎡⎤⎢⎥011100P =−⎢⎥⎢⎥⎣⎦所以x Py=（2）因为⎡⎤⎤1411240112−⎢⎥−11240112−⎡⎢⎥→−⎢120112−⎡⎤⎢⎥→−⎢1001⎢⎥⎢⎥⎣⎦0125⎥⎢⎥⎣⎦0033⎥⎢⎥⎣⎦1124−⎡⎤⎢⎥−10010−−⎡⎤⎢⎥→⎢10010⎡⎤⎢⎥→⎢01120011→⎢⎥⎢⎥⎣⎦0130011⎥⎢⎥⎣⎦0130011⎥⎢⎥⎣⎦(1,3,1)Ty =所以第六节线性方程组解的结构与解的表示线性方程组解的结构是指其解集是怎样构成的，它的所有解是怎样表达的.型线性方程组所有解的一般表m n ×x b A =达式叫做这个方程组的通解或一般解.=解空间：型齐次线性方程组的解集.基础解系：齐次线性方程组的解空间的基.m n ×x 0A x 0A =定理1设型齐次线性方程组的解空间m n ×x 0A =为,S 则dim ().S n r A =−的任意个线性无关的解是()n r A −x 0A =x 0A =的基础解系.例1解方程组解对系数矩阵进行初等行变换得行的最简形：−−⎡0−−0−−111111231⎤⎢⎥−−⎢⎥11100120⎡⎤⎢⎥→−⎢⎥1110012⎡⎤⎢⎥→−⎢⎥113⎢⎥−−⎣⎦024⎢⎥−⎣⎦0000⎢⎥⎣⎦行的最简形对应的齐次线性方程组为：1240x x x −−=⎧124x x x =+⎧变形为3420x x ⎨−=⎩342x x ⎨=⎩令2142,,x k x k ==则方程组的所有解为：⎤⎡⎤10⎡⎢⎥⎢⎥12x x ⎢⎥⎢⎥=121k k k +⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢11k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=221k +⎢⎥⎢⎥3x x x ⎢⎥⎢⎥22k k ⎥⎢⎥100⎢⎥⎢⎥⎣⎦4⎣⎦2⎣⎦⎣⎦系数矩阵的秩为2,基础解系含有2个解.是方程组的基础解系.一般解为12,αα1122.k k αα+12,k k 是任意实数.。
张小向老师 《线性代数》第2章-n维向量
第二章 n维列向量
二. n维向量(vector)的概念
§2.1 n维向量及其运算
分量
本质 n 维 几何背景 向 量
表现形式
n个数a1, a2, …, an 构成的有序数组
向量/点的坐标
行矩阵 列矩阵
行向量 列向量
第二章 n维列向量
三. n维向量的线性运算
§2.1 n维向量及其运算
与矩阵的线性运算相同
东南大学-张小向 272365083@
1
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第二章 n维向量
格拉斯曼[德] (1809.4.15~1877.9.26)
§2.1 n维向量及其运算
顺治1644-1662 康熙1662-1723 雍正1723-1736 乾隆1736-1796 嘉庆1796-1821 道光1821-1851 咸丰1851-1862 同治1862-1875 光绪1875-1908 宣统1908-1911
3
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…
⇔
…
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
几个显然的结论:
(1)
α1, α2, …, αs线性相关
α1T, α2T, …, αsT线性相关 注意: 不要混淆:
“矩阵A的行向量组线性相关”与 “矩阵A的列向量组线性相关”
如: A =
101 010
第二章 n维列向量
=
a21 …
a22 …
… …
a2s …
ηm cm1 cm2 … cmn am1 am2 … ams
b11 b12 … b1n β1 b21 b22 … b2n β2 ………… bs1 bs2 … bsn βs
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的解取决于
系数
a ij i , j 1 , 2 , , n ,
常数项 b i i 1 ,2 , , n
线性方程组的系数与常数项按原位置可排为
a11 a 21 a n1 a12 a 22 an 2 a1 n a2n a nn b1 b2 bn
c ij a i 1 b 1 j a i 2 b 2 j a is b sj a ik b kj
k 1
s
i 1 , 2 , m ; j 1 , 2 , , n ,
并把此乘积记作
C AB .
注:两矩阵能相乘的条件：
A 的列等于 B 的行
ml
A B
对应
cos sin
sin cos
Y
P1 x 1 , y 1 P x, y
这是一个以原点为中心 旋转 角的旋转变换.
O
X
例2
设
1 A 3 2 1 3 , 2 1 B y x 1 3 , z
已知
A B ,求 x , y, z.
6 2 2
2i 2 2
是一个3 阶方阵.
(2)只有一行的矩阵 A a 1 , a 2 , , a n ,
称为行矩阵(或行向量).
只有一列的矩阵
a1 a2 B an ,
称为列矩阵(或列向量). 不全为0
1 A 1 0
解
A a ij
3 4
, .
B b ij
4 3 ,
C c ij
3 3
1 C AB 1 0
故
0 1 5
1 3 1
5 6 7 10 2 6 . 2 17 10
一、矩阵概念的引入
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n b 2 1. 线性方程组 a n 1 x 1 a n 2 x 2 a nn x n b n
称为矩阵
a 12 a 22 am1
a1n a 2n a ij , a mn
A 的 负矩阵 .
4 A A 0 , A B A B .
二、数与矩阵相乘
1、定义
数 与矩阵 A 的乘积记作
解
A B, x 2, y 3, z 2.
第二节矩阵的运算
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个 m n 矩阵 A a ij , B b ij , 那末矩阵 A 与 B 的和记作 A B ，规定为
a 11 b 11 a 21 b 21 A B a m 1 bm 1 a 12 b 12 a 22 b 22 a m 2 bm 2 a 1 n b1 n a 2n b2n a mn b mn
注意 例如
不同阶数的零矩阵是不相等的.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0
0
0 .
(5)方阵
E En
0 1 1 0 O 0 0
0 O 0 1
5 9 13 0 4 7 6 81
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A ; 2 A B C A B C .
a 11 a 21 3 A am1
0 2 1 0 3 4 1
3 2 1 2
4 1 1 1
2、矩阵乘法的运算规律
数
矩阵
ab ba
AB
BA
数
矩阵
ab 0 a 0 或 b 0
AB O
A O或 B O
例:设
1 A 1
0 AB 0 0 , 0
1 0 0 0 1 0 0 0 1
若线性变换为
称之为恒等变换.
y1 x1 , y2 x2 , yn xn
对应
单位阵.
线性变换
x 1 cos x sin y , y 1 sin x cos y .
6 2 2
2i 是一个 3 3 复矩阵, 2 2
9
是一个 3 1 矩阵,
2
3 5
4 是一个 1 1 矩阵.
是一个 1 4 矩阵,
几种特殊矩阵 (1)行数与列数都等于 n 的矩阵 A ，称为 n 阶 方阵.也可记作 A n .
例如
13 2 2
0 O 0 n
（3）形如
0 1 2 0 O 0 0
的方阵,称为对角 矩阵(或对角阵）.
记作
A diag 1 , 2 ,, n .
m （4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， n 零 矩阵记作 o m n 或 o .
表示一个从变量 x 1 , x 2 , , x n 到变量 y1 , y 2 , , y m的
线性变换.
其中 a ij 为常数 .
y 1 a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n , y 2 a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n , y m a m 1 x 1 a m 2 x 2 a mn x n .
为了便于计算,把表中的 0,就得到一个数表:
A A
B
C
Байду номын сангаас
D
B
C
D
0
1
0 0
1 1
0 0
0 0
1 1
0
1
0
1
这个数表反映了四城市间交通联接情况.
二、矩阵的定义
由 m n 个数 a ij i 排成的 m 行 n 列的数表
a 11 a 21 am1 a 12 a 22 am 2
n
1,2 , , m ; j 1 ,2 , , n
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 1 3 3 9 6 3 8 9 5 6 2 5 1 0 6 8 3 8 5 2 9 4 1
11 4 8 4 4 . 9
例如
12 1 1 6 3 3
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究.
B
2. 某航空公司在A,B,C,D四 城市之间开辟了若干航线 , 如图所示表示了四城市间的 航班图,如果从A到B有航班, 则用带箭头的线连接 A 与B.
A
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 到站
A A
B
C
D
发站
B
C
D
其中
表示有航班. 改成1,空白地方填上
A
a 11 a 21 am1
a 12 a 22 am1
a 1n a 2n 系数矩阵 a mn
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
y1 x1 , y2 x2 , yn xn
a1n a2n a mn
称为 m n 矩阵.简称 m
矩阵. 记作
a 11 a 21 A am1
a 12 a 22 am1
a 1n a 2n a mn
a ij .
矩阵A的
m , n 元
简记为
1 1
1 B 1
1 1
则
故
2 BA 2
2 , 2
AB
BA
A O或 B O
AB O
矩阵乘法的运算规律
1 AB C A BC ; 2 A B C AB AC ,
B C A BA CA ;
1 A A ; 2 A A A; 3 A B A B .
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
B 设 A a ij 是一个m s 矩阵， b ij 是一个 s n 矩阵，那末规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积 是一个m n 矩阵 C c ij ，其中
3 AB A B A B （其中 为数）;
例１
2 C 1 4 2 2 2 2 3 4 6 2 2
16 32 ? 16 2 2 8
例2
设
0 1 5 1 3 1
0 2 1 0 B 3 4 1 3 2 1 2 4 1 1 1
A 或 A , 规定为
a 11 a 21 A A am1
a 12 a 22
a1n a2n
am1
a mn
.
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A 、 B 为 m n 矩阵， , 为数）
相等
C
ln
mn
c ij A 的第 i 行 B 的第 j 列