2017北京初三一模数学汇编之几何压轴题

2017北京初三一模数学汇编之几何压轴题

西城

28．在ABC △中，AB BC =，BD AC ⊥于点D ．

（1）如图1，当90ABC ∠=︒时，若CE 平分ACB ∠，交AB 于点E ，交BD 于点F ．

①求证：BEF △是等腰三角形；

②求证：1

()2

BD BC BF =+；

（2）点E 在AB 边上，连接CE ．若1

()2

BD BC BE =+，在图2中补全图形，判断ACE ∠与ABC ∠之间的

数量关系，写出你的结论，并写出求解ACE ∠与ABC ∠关系的思路．

图1

图2

D A

B

F

E

A

D B

海淀

28．在

Y ABCD 中，点B 关于AD 的对称点为B '，连接AB '，CB '，CB '交AD 于F 点.

（1）如图1，90ABC ∠=︒，求证：F 为CB '的中点；

（2）小宇通过观察、实验、提出猜想：如图2，在点B 绕点A 旋转的过程中，点F 始终为CB '的中

点．小宇把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：过点B '作B G '∥CD 交AD 于G 点，只需证三角形全等；

想法2：连接BB '交AD 于H 点，只需证H 为BB '的中点； 想法3：连接BB '，BF ，只需证90B BC '∠=︒．

请你参考上面的想法，证明F 为CB '的中点．（一种方法即可） （3）如图3，当135ABC ∠=︒时，AB '，CD 的延长线相交于点E ，求

CE AF

的值．

图2

东城

28. 在等腰△ABC 中，

（1）如图1，若△ABC 为等边三角形，D 为线段BC 中点，线段AD 关于直线AB 的对称线段为线段AE ，连接

DE ，则∠BDE 的度数为___________；

（2）若△ABC 为等边三角形，点D 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），连接AD 并将

线段AD 绕点D 逆时针旋转60°得到线段DE ，连接BE . ①根据题意在图2中补全图形；

②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D 运动的过程中，恒有CD =BE .经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：

思路1：要证明CD =BE ，只需要连接AE ，并证明△ADC ≌△AEB ；

思路2：要证明CD =BE ，只需要过点D 作DF ∥AB ，交AC 于F ，证明△ADF ≌△DEB ； 思路3：要证明CD =BE ，只需要延长CB 至点G ，使得BG =CD ，证明△ADC ≌△DEG ； ……

请参考以上思路，帮助小玉证明CD =BE .（只需要用一种方法证明即可）

（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB =AC =kBC ，AD =kDE ，且∠ADE =∠C ，此时小明发现BE ，BD

，AC 三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）

图

1

图3

A

B

D

B

A

C

C

D

图1

图2

房山

28. 在△ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，点D 为直线BC 上一个动点（不与B 、C 重合），连结AD ，将线段

AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°，使点A 旋转到点E ，连结EC . （1）如果点D 在线段BC 上运动，如图1： ①依题意补全图1； ②求证：∠BAD=∠EDC

③通过观察、实验，小明得出结论：在点D

运动的过程中，总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：

想法一：在AB 上取一点F ，使得BF=BD ，要证∠DCE =135°，只需证△ADF ≌△DEC . 想法二：以点D 为圆心，DC 为半径画弧交AC 于点F. 要证∠DCE=135°，只需证

△AFD ≌△ECD .

想法三：过点E 作BC 所在直线的垂线段EF ，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF . ……

请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°.

（2）如果点D 在线段CB 的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE 的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE 的度数；如果不是，说明你的理由.

C

C

B C

B 28．在△AB

C 中，AB =AC ，∠A =60°，点

D 是BC 边的中点，作射线D

E ，与边AB 交于点E ，射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 交于点

F ． （1）依题意将图1补全；

（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有DE=DF ．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：由点D 是BC 边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE =DF ；

想法2：利用等边三角形的对称性，作点E 关于线段AD 的对称点P ，由∠BAC 与∠EDF 互补，可得∠AED 与∠AFD 互补，由等角对等边，可证DE =DF ；

想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD 是∠BAC 的角平分线，由角平分线定理，构造点D 到AB ，AC 的高，利用全等三角形，可证DE =DF …….

请你参考上面的想法，帮助小华证明DE =DF （选一种方法即可）； （3）在点E 运动的过程中，直接写出BE ，CF ，AB 之间的数量关系．

通州

28．在等边三角形ABC 中，E 为直线AB 上一点，连接EC .ED 与直线BC 交于点D ，ED =EC . （1）如图1，AB =1，点E 是AB 的中点，求BD 的长；

（2）点E 是AB 边上任意一点（不与AB 边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE 与BD

间的数量关系并证明；

（3）点E 不在线段AB 上，请在图3中画出符合条件的一个图形.

图1 图2 图3

丰台

图1

备用图