高等数学课件2-4高阶导数

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2012-9-27
高等数学课件
作业:第118页 1.⑵⑷⑻2 .⑴⑶3. 5 . 6 . 7. ⑷ 9
2012-9-27
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y ae e
ax ax
sin bx be
ax
cos bx
( a sin bx b cos bx )
e
y
(n)
2
ax
a b sin( bx )
2 2
2 ax
( arctan
ax
b a
)
a b [ ae a b e
2 2 ax
sin( bx ) be
t0

t 0时 , x 1
y0
两 式 对 t求 导 , 得 :
sin t e
y
dx dt dy
dt
e
t
dy
0
dx
sin te
t y
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d dy t y t y y 2 sin te (1 sin te ) d y dt dx cos te t 2 dx e dx 2 dt d y 1 2 dx 高等数学课件 t 0
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练 习 : y arctan x, 求 y 设
(n)
(0)
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隐函数确定函数的高阶导数
例10 .设 y y ( x )由 方 程 xy e e 0 确 定 ,
y
求 y '' 和 y ''(0)
解 : 方 程 两 边 对 x求 导 得 : y xy ' e y ' 0
k sin( kx n ) 2 n k cos( kx n ) 2
n

(4) ( x )
( 5 ) (ln x )
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(n)
( 1) ( n 1) x
( 1)
n1
n
(n)
( n 1 )! x
n
( ) x
1
(n)
2 2
cos( bx )]

ax
a b sin( bx 2 )

n
y
(a b ) 2 e
2 2
sin( bx n )
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2. 高阶导数的运算法则:
设函数 u 和 v 具有 n 阶导数 , 则
(1 ) ( u v ) ( 2 ) ( Cu )
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例2
ln (1 x ) ( 1)
(n)
n 1
( n 1)! (1 x )
n
例3
e
x
(n)
e
n
x
例4
sin
cos
(n)
x
x
sin( x n

2
)
例4
(n)
cos( x n
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2
)
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例5 设 y e ax sin bx ( a , b 为常数 ), 求 y ( n ) . 解
2
y (
)
1 1 x
2
) 2
y ( f ( 0 )
2x (1 x )
2 2
2( 3 x 1) (1 x )
2 3
2x (1 x )
2 2 x0
0; f ( 0 )
2( 3 x 1)
2
(1 x )
2
3Hale Waihona Puke Baidu
x0
4
x sin x cos x cos x )
2 2 4 2 2
(sin x cos x ) 3 sin x cos x
1
5 8 3
3 4 3
8
n
sin 2 x
cos 4 x
2
3 1 cos 4 x 1 4 2
y
(n)

4 cos( 4 x n ). 8 2
解:
y'
1 1 x
2
x
1 x x '
2


x 1 2 2 1 x x 1 x 1

1 1 x
2
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2.4 高阶导数
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一、高阶导数的定义
问题提出:变速直线运动的加速度.
设 s f (t ),
练习:求函数 y ln( x 1 x 2 ) 的导数
1 x 1 x
2
解:
y'

x 1 x
2
'
1 2 x 1 x 1
2 1 x x

1 1 x
2
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高等数学课件
2 练习:求函数 y ln( 1 x x ) 的导数
3
.
dy

dt tan t 2 dx dx 3 a cos t ( sin t ) dt
dy
3 a sin t cos t
2
d y dx
2
2

) d ( tan t ) dt ( tan t ) 3 dx dx dt dx ( a cos t )
d ( dy
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练习:函数 y
x
2
3
x 3x 2
的 n 阶导数
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例9 设 y sin 6 x cos 6 x , 求 y ( n ) .
2 3 2 3 解 y (sin x ) (cos x )
(sin x cos x )(sin
2 2 2 2 2
存 在 , 则 称 ( f ( x )) 为 函 数 f ( x ) 在 点 x处 的 二 阶 导 数
记作 f ( x ), y ,
d y dx
2
2

d f ( x) dx
2
2
.
三阶导数 n阶导数
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记为: 记为: f
f ( x ), y ,
d y dx
n
3
3
.
( t ) ( t ) ( t ) ( t ) 1 2 (t ) ( t )
即 d y dx
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2
2

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )
3
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.
x a cos t 例12 求由方程 表示的函数的二阶导数 3 y a sin t
y
分别整理得:y '
y xe
y
再 次 求 导 得 : y ' xy '' e y ' e y '' 0 2
y 2 y
y ''
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2 y(x e ) e y
y y
2
x e
y

3
又 : y (0) 1
得 : y ''(0) e
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2
d x
(n)
( x ), y
(n)
,
d y dx
n

d f ( x) dx
n
n
.
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二、 高阶导数求法举例
1.直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.
例1 设 y arctan x , 求 f ( 0 ), f ( 0 ).
2x (1 x )
2 2

y
1 1 x
(n)
u
(n)
v
(n)
(n)
Cu
n
(n)
(3) ( u v )
(n)

C
k 0
k n
u
(nk ) (k )
v
莱布尼兹公式
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例7
设 y x e
2
2x
, 求y
( 20 )
.
解 设 u e 2 x , v x 2 , 则由莱布尼兹公式知
y
( 20 )
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3.先变形: 利用已知的高阶导数公式, 通过四则
运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数. 常用高阶导数公式
(1 ) ( a )
x (n)
a ln a
x n
(a 0)
(e )
x
(n)
e
x
( 2 ) (sin kx )
(n)
( 3 ) (cos kx )
(n)
2.
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例1 设 y x ( R ), 求 y ( n ) .
y
(n)
( 1) ( n 1) x
n
( n 1)
y
(n)
(x )
n
(n)
n! ,
y
( n 1)
( n! ) 0 .
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(e
20
2x
)
( 20 )
x 20 ( e
2
2x
)
( 19 )
( x )
2 2
20 ( 20 1 ) 2!
2x 2
(e
2x
)
( 18 )
( x ) 0 2x
2 e
x 20 2 e
19
2x

20 2x
20 19 2!
2
2 e
18
2x
2
2 e ( x 20 x 95 )
三、小结
高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法:
1.直接对导函数求导; 2. 先变形,利用四则运算,变量代换等方法. 3.隐函数和参数方程决定的方程求导.
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思考:设 y f ( x 2 ) , f ( x ) 存在,求 y .
( 1)
n
n! x
n1
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例8 设 y 解 y
y
(5)
1 x 1
2
, 求y
(5)
. 1 x1
6
1 x 1
2

1
2 x1
6
(
1

)

1
2 ( x 1) 1
[
5!

5! ( x 1) 1 ( x 1)
]
60 [
( x 1)
6

6
]
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y0
y
原方程可化为 : x e 2
由 隐 函 数 求 导 法 得 :1 e y ' 0
y
y ' |t 0 1
e y ' e y '' 0
y 2 y
y '' t 0 1
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2 x et d y 例14 参 数 方 程 确 定 的 函 数 y y ( x ), 求 2 y dx cos t e 2
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练习:设 f ( x ) x ( x 1 )( x 2 ) ( x n ) , 求 f ( n1) ( x ) .
练习:验证函数 y c 1 e x c 2 e x ( , c 1 , c 2 是常数) 满足关系式 y 2 y 0 .
2
例 11、已知函数 y y ( x ) 二阶可导,求 d y 2
解:
dx dy
2

1 y
d x dy
2
d dx d 1 dy dy dy y ' d 1 dx y '' 1 2 dx y ' dy y ' y '
则瞬时速度为
v ( t ) f ( t )
加速度 a 是速度 v 对时间 t 的变化率
a ( t ) v ( t ) [ f ( t ) ] .
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定义 如果函数f ( x)的导函数f ( x)在点x处可导,即
x 0
lim
f ( x x) f ( x) x

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y ) 3 (y 高等数学课件
参数方程确定函数的高阶导数
x (t ) dy 1 ( t ) dy dy dt 在方程 中, dt dx ( t ) dx dt dx y (t ) dt 2 d ( t ) dt d y d dy ( ) ( ) 2 dt ( t ) dx dx dx dx

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sec t
2
3 a cos t sin t
2

sec t 3 a sin t
4
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2 x et d y 例13 参 数 方 程 确 定 的 函 数 y y ( x ), 求 2 t y dx e e 2
t0

t 0时 , x 1
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