2015-2016年最新审定苏教版高中数学必修二1.2.2空间两条直线的位置关系(优秀课件)

公理4
【问题导思】 在平面内，若 a∥b，b∥c，则 a∥c，该结论在空间中成 立吗？
【提示】 成立．
1． 文字表述： 平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ． a∥b ⇒ a∥c . 2．符号表述： b∥c
等角定理
【问题导思】 观察长方体 A1B1C1D1－ABCD，∠D1A1B1 与∠DAB 的两 边分别具有什么关系，两角大小关系如何？最来自审定苏教版高中数学必修二优秀课件
1.2.2 空间两条直线的 位置关系
1.2.2 空间两条直线的位置关系
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)了解空间中直线的三种位置关系，理解异面直线的概 念，会有平面衬托来画异面直线． (2)理解公理 4 及等角定理． (3)了解异面直线所成的角的概念，能借助长方体模型说 明异面直线所成的角，具体计算不作要求．
图 1－2－14
【思路探究】 取 A1B1 的中点 K―→证明 MKBC 为平行 四边形―→证明 A1QBK 为平行四边形―→得出 A1Q∥CM―→ 同理可证 A1P∥CN―→证明∠PA1Q＝∠MCN.
【自主解答】 取 A1B1 的中点 K，连结 BK、KM. 易知四 边形 MKBC 为平行四边形． ∴CM∥BK. 又∵A1K∥BQ 且 A1K＝BQ， ∴四边形 A1KBQ 为平行四边形， ∴A1Q∥BK，由公理 4 有 A1Q∥CM， 同理可证 A1P∥CN， 由于∠PA1Q 与∠MCN 对应边分别平行，且方向相反， ∴∠PA1Q＝∠MCN.
鉴于本节知识的特点，教学时建议采用“从特殊到一 般”、“从具体到抽象”的：教学方法，启发引导学生思考、 探索、类比、归纳．突出概念教学及理论体系的建构，培养 学生的等价转化能力．
●教学流程
演示结束
课 标 解 读
1.会判断空间中直线与直线的位置关 系．(重点) 2．能应用公理4和等角定理解决简单 的立体几何问题．(难点) 3．了解异面直线所成的角的概念， 能借助长方体模型说明异面直线所成 的角．(难点)
b
互相垂直
．记作 a⊥b.
空间中直线的位置关系
a，b，c 是三条直线，若 a 与 b 异面，b 与 c 异 面，判断 a 与 c 的位置关系，并画图说明．
【思路探究】 空间两条直线有平行、相交、异面三种
位置关系，应根据这三种情况依次作图．
【自主解答】 如图所示，直线 a 与 c 的位置关系有以 下三种情形． 直线 a 与 c 的位置可能平行，如图(1)所示；可能相交， 如图(2)所示；也可能异面，如图(3)所示．
空间中两条直线的位置关系
【问题导思】 1． 同一平面内两条直线有几种位置关系？分别是什么关 系？
【提示】 两种．分别是平行关系和相交关系．
2．观察长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，线段 A1D1 所在的 直线与线段 BB1 所在的直线在同一个平面内吗？它们是什么 关系？
【提示】 不在同一个平面内，它们是异面关系．
●重点难点 重点：异面直线的概念、公理 4 的运用． 难点：异面直线概念的理解． 重难点突破：以“问题导思”及学生身边的实例引出空 间两直线的位置关系问题，在学生获得空间中两直线存在 “既不相交，也不平行”的位置关系的直观感知后，以长方 体为载体引出异面直线的概念，并以“共面”与“异面”及 “有无公共点”为标准将空间两直线的位置关系分类．以长 方体为载体，通过“观察”引入公理 4 及等角定理，在此基 础上完成异面直线所成角的求法的教学． 整个过程自然流畅， 重难点突破过渡自然．
(1)
(2)
(3)
1 ．判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判 断，而两条直线平行也可以用公理 4 判断． 2．判定两条直线是异面直线有定义法、定理和排除法， 由于使用定义法不方便，故常用定理和排除法．
异面直线指的是________． ①空间中两条不相交的直线； ②分别位于两个不同平面内的两条直线； ③平面内的一条直线与平面外的一条直线； ④不同在任何一个平面内的两条直线．
【解析】 不正确；
空间不相交的两直线可能平行或异面，故①
如图，a、b 虽分别在两个平面内，但位置关系有相交、 平行或异面三种可能，故②不正确；
如图，平面 α 内的直线与平面 α 外的直线 a，位置关系 也有三种．故③不正确．只有④正确．
【答案】 ④
公理4及等角定理的应用
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P、Q、M 、N 分别为 AD、AB、C1D1、B1C1 的中点，求证：A1P∥CN，A1Q ∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN.
●教学建议 空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位 置关系，是在平面中两直线的位置关系及平面基本性质的基 础上提出来的，它既是研究空间点、直线、平面之间各种位 置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础．同时，通过 公理 4 及等角定理，借助画平行线的方式，使两条异面直线 移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角及判定空 间平行关系时经常要使用的方法，要让学生在学习中认真体 会把空间问题平面化的思想方法．因此本节课的内容其重要 性不言而喻，它对知识起到了承上启下的作用．
2．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b 经过空间任意一点 O， 作 直 线 a ′ ∥ a ， b′ ∥ b ， 我 们 把 直 线 a′ 和 b′ 所 成 的
锐角 (或 直角 )叫做异面直线 a，b 所成的角．
(2)异面直线所成的角 θ 的取值范围：0° ＜θ≤90° . (3)若两条异面直线 a， b 所成角是直角， 就称异面直线 a，
2．过程与方法 (1)通过探索空间两直线位置关系的过程了解空间两直线 的位置关系． (2)通过对等角定理的温故知新的探究，找出异面直线所 成的角． (3)借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质． 3．情感、态度与价值观 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事 求是等严肃的科学态度和品质．
【提示】 ∠D1A1B1 与∠DAB 的两边分别平行且方向相 同，两角大小相等． 如果一个角的两边和另一个角的两边分别 且 方向 相同，那么这两个角 相等 ．
平行
并
异面直线的判定及异面直线所成的角
1．异面直线的判定
图 1－2－13 (1)判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这 个平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)符号表示：若 l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l 与 l 是异面直线． ，则直线 AB