2009年上海数学中考题压轴题

2009年上海数学中考题压轴题 25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）

已知9023A B C A B B C A D B C P ∠===°，，，∥，为线段B D 上的动点，点Q 在射线

A B 上，且满足

P Q A D P C

A B

=（如图8所示）．

（1）当2A D =，且点Q 与点B 重合时（如图9所示），求线段P C 的长； （2）在图8中，联结A P ．当32

A D =

，且点Q 在线段A B 上时，设点B Q 、之间的距离

为x ，

A P Q P

B C

S y S =△△，其中A P Q S △表示A P Q △的面积，P B C S △表示P B C △的面积，求y 关

于x 的函数解析式，并写出函数定义域；

（3）当A D A B <，且点Q 在线段A B 的延长线上时（如图10所示），求Q P C ∠的大小．

解：（1）AD=2，且Q 点与B 点重合，根据题意，∠PBC=∠PDA ，因为∠A=90。

PQ/PC=AD/AB=1,所以：△PQC 为等腰直角三角形，BC=3，所以：PC=3 /2,

（2）如图：添加辅助线，根据题意，两个三角形的面积可以分别表示成S1，S2， 高分别是H ，h ，

则：S1=（2-x ）H/2=（2*3/2）/2-(x*H/2)-(3/2)*(2-h)/2

S2=3*h/2 因为两S1/S2=y ，消去H,h,得：

Y=-(1/4)*x+(1/2),

定义域：当点P 运动到与D 点重合时，X 的取值就是最大值，当PC 垂直BD 时，这时X=0，连接DC,作QD 垂直DC ，由已知条件得：B 、Q 、D 、C 四点共圆，则由圆周角定理可以推知：三角形QDC 相似于三角形ABD

QD/DC=AD/AB=3/4，令QD=3t,DC=4t,则：QC=5t ，由勾股定理得： 直角三角形AQD 中：(3/2)^2+(2-x)^2=(3t)^2 直角三角形QBC 中：3^2+x^2=(5t)^2

整理得：64x^2-400x+301=0 (8x-7)(8x-43)=0 得 x1=7/8 x2=(43/8)>2(舍去) 所以函数: Y=-(1/4)*x+1/2的定义域为[0，7/8] (3)因为：PQ/PC=AD/AB,假设PQ 不垂直PC ，则可以作一条直线PQ ′垂直于PC ，与AB 交于Q ′点，

A

D

P

C B Q 图8 D

A

P

C B

（Q ） 图9 图10

C A

D

P

B Q

2

则：B ，Q ′，P ，C 四点共圆，由圆周角定理，以及相似三角形的性质得：

PQ ′/PC=AD/AB,

又由于PQ/PC=AD/AB 所以，点Q ′与点Q 重合，所以角∠QPC=90。

A

D P C B Q

图8 D A P

C B

（Q ） 图9 图10

C

A D P

B Q